2022年三角函数的值域与最值 .pdf

教师姓名郭鹏学生姓名刘晓航填写时间年级高一升高二学科数学上课时间阶段基础（）提高（）强化（）课时计划第（）次课共（）次课教学目标1会根据正、余弦函数的有界性和单调性求简单三角函数的最值和值域；2运用转化思想，通过变形、换元等方法转化为代数函数求其给定区间内的值域和最值；3通过对最值问题的探索与解决，提高运算能力，增强分析问题和解决问题能力。体现数学思想方法在解决三角最值问题中的作用。教学重难点重点： 求三角函数的最值与值域难点： 灵活选取不同的方法来求三角函数的最值和值域教学过程一、知识检测1 在下列说法中：（ 1） 函数xysin2的最大值为3； （2） 函数xxy22sinsin4最小值是4； （3）函数xycos1的值域是 1,0)(0,1；(4) 存在实数x，使得1tan2tanxx成立正确的是（）A （1） （2）B （2） （ 4）C （1） （ 3）D （1） （4）2函数32,6,sinxxy的值域为（）A 1，1 B 1 ,21C23,21D 1 ,233函数xxy2cos2sin的最大值为，最小值为4x _ 时，函数)4sin()4sin(xxy的最大值为 _ 5函数2sinsin1yxx的值域为6函数bxaycos（ba,为常数，且0a）的最大值是1，最小值是7，则函数xbxaycossin的最大值是 _. 二、互动平台（）简单三角函数的值域【例 1】 1. 求下列三角函数的值域. （1）xysin（2）32,6,sinxxy2. 若函数cosyaxb的最大值是1，最小值是7，求a、b. 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 7 页 - - - - - - - - - - 小结 ：求基本三角函数值域，一定要结合三角函数的图像，故切记正、余弦函数的图像. （）与三角函数有关的复合函数的值域:)cos(),sin(xAyxAy型函数的值域【例 2】4,0),42sin(2xxy【例 3】 求函数,0,cossinxxxy的值域小结 ：对于hxAy)sin(的最大值为hA，最小值为hA，若hxAy)sin(，,bax，先由,bax求出x的范围，然后结合图像求出，即由内而外逐层求值域（）引入辅助角法：类型一：xbxaycossin型.（此类型通常可以可化为22sincos()yax bxabx求其最值（或值域）.）【例 4】 求函数)3sin()6sin(xxy（Rx）的最值 . 解法 : )12sin(24)6sin(2)6cos()6sin(xxxxy，函数的最大值为2，最小值为2. 类型二：)0(cossinsin2acxxbxay型. 形如这种类型的，可利用倍角公式、降幂公式进行降次、整理为sin 2cos2yAxBx型再利用辅助角公式求出最值. 【例 5】求函数)2474(cossin4sin3cos35)(22xxxxxxf的最值，并求取得最值时x 的值 . 解：xxxxf2sin222cos1322cos135)(332sin23cos32xx33)62cos(4x2474x， 436232x，21)62cos(22x( )f x的最小值为2233，此时247x，( )f x无最大值 . 【例 6】 ）求函数)cos3)(sin3(xxy的值域 . 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 7 页 - - - - - - - - - - 方法小结：求只含有sincosxx，sincosxx的函数的最值问题，通常方法是换元法：令sincosxxt(22t) ，将sincosxx转化为t的关系式，从而使问题转化为二次函数的最值问题. 但要注意换元后变量的取值范围 .小试身手 已知：213sincos122sinyxxxxR，求y的最大值及此时x的集合分析 此类问题为xcxxbxay22coscossinsin的三角函数求最值问题，它可通过降次化简整理为xbxaycossin型求解 . max1 1cos23 sin 212222135cos2sin 24441135cos2sin 2222415sin 2264722,.6264xxyxxxxxxkxkkzy解：小试身手 1.已知函数xxf2sin)(，( )cos(2)6g xx，直线 xt（t0,2）与函数f( x) 、g( x) 的图像分别交于 M、N 两点，则 | MN | 的最大值是多少？2. 求函数xxxxy22cos6cossin3sin5的值域 . 3. cos2cosyxx4. 求函数xxxxycossincossin的值域 . （）配方法：)0(sinsin2acxbxay型。此类型可化为)0(2acbtaty在区间1 , 1上的最值问题 . 【例 6】求函数1sin3cos2xxy（Rx）的最值 . 解：49)23(sin1sin3sin122xxxy函数的最大值为49，最小值为4325【例 8】求函数1sin3cos2xaxy（Ra，Rx）的最大值 . 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 7 页 - - - - - - - - - - 解：1sin3cos2xaxy转化为2sin3 sin2yxax配方得 ：243)23(sin22aaxy当123a，即332a时，在 sinx= 1，13maxay当123a时，即332a时，在 sinx=1，13maxay当1231a，即332332a时，在ax23sin时，2432maxay综上：2max2 331()332 32 32()4332 331()3aayaaaa小结 ：对于二次型函数，都可通过换元构造二次函数cbtaty2，进而转化为二次函数在某个区间上的值域问题，但一定要注意新元的范围. 小试身手 1. 函数22( )sin2cos, 1,3f xxx在区间上的最大值为则的值是多少？2. 求函数5sincos2yxx的最值 . 分析 ：观察三角函数名和角，其中一个为正弦，一个为余弦，角分别是单角和倍角，所以先化简，使三角函数的名和角达到统一. 222minmax5335sin12sin2sin5sin12 sin4881331sin1,sin1 ,2,262168133sin1 .2,242168yxxxxxxxxkkzyxxkkz y解：3. 设20214sincos2xaxaxxf，用a表示fx的最大值M a. 解：.214sinsin2axaxxf令 sinx=t, 则, 10t.21442214222aaataattxftg精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 7 页 - - - - - - - - - - （1）当12a，即tga, 2在0，1上递增，;21431agaM（2）当,120a即20a时，tg在 0，1上先增后减，;214422aaagaM（3）当, 02a即tga,0在0，1上递减，.4210agaM0,42120,21442,21432aaaaaaaaM3. 求函数xxysin22cos在区间4,4上的值域 . （）数形结合 :dxcbxaxfcossin)(型。此类型最值问题可考虑如下几种解法：转化为cxbxacossin再利用辅助角公式求其最值；采用数形结合法（转化为斜率问题）求最值. 【例 9】求函数sincos2xyx的值域解法 1：将函数sincos2xyx变形为cossin2yxxy22sin()1yxy由2|2 |sin()|11yxy22(2 )1yy，解得：3333y，故值域是33,33解法 2：数形结合法：求原函数的值域等价于求单位圆上的点P(cosx, sinx)与定点Q(2, 0)所确定的直线的斜率的范围。作出如图得图象，当过Q 点的直线与单位圆相切时得斜率便是函数sincos2xyx得最值，由几何知识，易求得过Q 的两切线得斜率分别为33、33。结合图形可知，此函数的值域是33,33. 课后作业xQPyO精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 5 页，共 7 页 - - - - - - - - - - 1.函数xxycos3sin在区间0,2上的最小值为2.函数)(2cos21cos)(Rxxxxf的最大值等于3.函数tan()2yx (44x且0)x的值域是 _4.当20 x时，函数xxxxf2sinsin82cos1)(2的最小值为1函数)(6cos()3sin(2Rxxxy的最小值等于 _2当04x时，函数22cos( )cossinsinxf xxxx的最小值是 _3函数sincos2xyx的最大值为 _，最小值为 _. 4函数costanyxx的值域为 . 5已知函数( )2sin(0)f xx在区间,3 4上的最小值是2，则的最小值等于 _6已知函数( )2cos(sincos )1f xxxxxR，（）求函数( )f x的最小正周期；（）求函数( )f x在区间 384，上的最小值和最大值7. 已知函数22 sin2 3 sincos0fxaxaxxab a的定义域为 2，0，值域为 5，1，求常数 a、b的值教学反思：三角函数的最值问题是三角函数基础知识的综合应用，近几年的高考题中经常出现.其出现的形式，或者是在小题中单纯地考察三角函数的值域问题；或者是隐含在解答题中，作为解决解答题所用的知识点之一；或者在解决某一问题时，应用三角函数有界性会使问题更易于解决（比如参数方程）。题目给出的三角关系式往往比较复杂，进行化简后，再进行归纳家长签名及建议：精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 6 页，共 7 页 - - - - - - - - - - 文档编码：KDHSIBDSUFVBSUDHSIDHSIBF-SDSD587FCDCVDCJUH 欢迎下载 精美文档欢迎下载 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 7 页，共 7 页 - - - - - - - - - -