2022年《新课标》高三数学第一轮复习单元讲座第31讲不等式性质及证明 .pdf

普通高中课程标准实验教科书数学人教版 高三新 数学第一轮复习教案（讲座31）不等式性质及证明一课标要求：1不等关系通过具体情境，感受在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，了解不等式（组）的实际背景；2基本不等式： （a,b0 ）探索并了解基本不等式的证明过程；会用基本不等式解决简单的最大（小）问题。二命题走向不等式历来是高考的重点内容。对于本将来讲，考察有关不等式性质的基础知识、基本方法，而且还考察逻辑推理能力、分析问题、解决问题的能力。本将内容在复习时，要在思想方法上下功夫。预测 2007 年的高考命题趋势：1从题型上来看，选择题、填空题都有可能考察，把不等式的性质与函数、三角结合起来综合考察不等式的性质、函数单调性等，多以选择题的形式出现，解答题以含参数的不等式的证明、求解为主；2利用基本不等式解决像函数)0(,)(axaxxf的单调性或解决有关最值问题是考察的重点和热点，应加强训练。三要点精讲1不等式的性质比较两实数大小的方法求差比较法0abab；0abab；0abab。定理 1：若ab，则ba；若ba，则ab即abba。说明：把不等式的左边和右边交换，所得不等式与原不等式异向，称为不等式的对称性。定理 2：若ab，且bc，则ac。说明：此定理证明的主要依据是实数运算的符号法则及两正数之和仍是正数；定理 2称不等式的传递性。定理 3：若ab，则acbc。说明：（1）不等式的两边都加上同一个实数，所得不等式与原不等式同向；（2）定理 3 的证明相当于比较ac与bc的大小，采用的是求差比较法；（3）定理 3 的逆命题也成立；（4）不等式中任何一项改变符号后，可以把它从一边移到另一边。定理 3推论：若,abcdacbd且则。说明：（1）推论的证明连续两次运用定理3 然后由定理2 证出；（2）这一推论可以推广精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 27 页 - - - - - - - - - - 到任意有限个同向不等式两边分别相加，即：两个或者更多个同向不等式两边分别相加，所得不等式与原不等式同向；（3）同向不等式：两个不等号方向相同的不等式；异向不等式：两个不等号方向相反的不等式。定理 4如果ba且0c，那么bcac；如果ba且0c，那么bcac。推论 1：如果0ba且0dc，那么bdac。说明：（1）不等式两端乘以同一个正数，不等号方向不变；乘以同一个负数，不等号方向改变； （2）两边都是正数的同向不等式的两边分别相乘，所得不等式与原不等式同向； （ 3）推论1可以推广到任意有限个两边都是正数的同向不等式两边分别相乘。这就是说， 两个或者更多个两边都是正数的同向不等式两边分别相乘，所得不等式与原不等式同向。推论 2：如果0ba， 那么nnba) 1(nNn且。定理 5：如果0ba，那么nnba) 1(nNn且。2基本不等式定理 1：如果Rba,，那么abba222（当且仅当ba时取“” ） 。说明：（1）指出定理适用范围：Rba,； （2）强调取“”的条件ba。定理 2：如果ba,是正数，那么abba2（当且仅当ba时取“ =” ）说明： （1）这个定理适用的范围：, a bR； （2）我们称baba,2为的算术平均数，称baab,为的几何平均数。即：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。3常用的证明不等式的方法（1）比较法比较法证明不等式的一般步骤：作差变形判断结论；为了判断作差后的符号，有时要把这个差变形为一个常数，或者变形为一个常数与一个或几个平方和的形式，也可变形为几个因式的积的形式，以便判断其正负。（2）综合法利用某些已经证明过的不等式（例如算术平均数与几何平均数的定理）和不等式的性质，推导出所要证明的不等式，这个证明方法叫综合法；利用某些已经证明过的不等式和不等式的性质时要注意它们各自成立的条件。综合法证明不等式的逻辑关系是：12nABBBB，及从已知条件A出发，逐步推演不等式成立的必要条件，推导出所要证明的结论B。（3）分析法证明不等式时，有时可以从求证的不等式出发，分析使这个不等式成立的充分条件，把证明不等式转化为判定这些充分条件是否具备的问题，如果能够肯定这些充分条件都已具备，那么就可以断定原不等式成立，这种方法通常叫做分析法。（1） “分析法”是从求证的不等式出发，分析使这个不等式成立的充分条件，把证明不等式转化为判定这些充分条件是否具备的问题，即“执果索因”；（2）综合过程有时正好是分析过程的逆推，所以常用分析法探索证明的途径，然后用综合法的形式写出证明过程。四典例解析题型 1：考查不等式性质的题目例 1 （ 1） （06 上海文， 14）如果0,0ab，那么， 下列不等式中正确的是（）精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 27 页 - - - - - - - - - - （A）11ab（B）ab（C）22ab（D）| |ab（2） （06 江苏， 8）设 a、b、c 是互不相等的正数，则下列等式中不恒成立的是（A）|cbcaba（B）aaaa1122（C）21|baba（D）aaaa213解析：（1）答案： A；显然0,0ab，但无法判断ba,与|,|ba的大小；（2）运用排除法，C 选项21baba，当 abb，cd，则下列结论中正确的是（）A.a+cb+dB.acbdC.acbdD.cbda（2） （1999 上海理， 15）若 ab（b+a1）2均不能成立D.不等式|1|1ba和（a+a1）2（b+b1）2均不能成立解析：（1）答案： A；ab，cd，a+cb+d；精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 27 页 - - - - - - - - - - （2）答案： B解析： b0，aba，又 ab0，a0，aba11。故aba11不成立。ab|b|，|1|1ba故|1|1ba不成立。由此可选B。另外， A 中ba11成立 .C 与 D 中（ a+b1）2（b+a1）2成立。其证明如下：ab0，ab110，a+b1b+a1|b+a1|，故（ a+b1）2（b+a1）2。点评：本题考查不等式的基本性质。题型 2：基本不等式例 3 （06 浙江理， 7） “ab0”是“ ab222ba”的（）(A)充分而不必要条件(B)必要而不充分条件(C)充分必要条件(D)既不允分也不必要条件解析： A；22baab2中参数的取值不只是指可以取非负数。均值不等式满足)0,0(,2baabba。点评：该题考察了基本不等式中的易错点。例 4 （1） （2001 京春）若实数a、b 满足 a+b=2，则 3a+3b的最小值是（）A.18 B.6 C.23D.243（2）（2000 全国，7） 若 ab1， Pba lglg， Q21（lgalgb） ， Rlg （2ba） ，则（）A.RPQB.PQR精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 27 页 - - - - - - - - - - C.QPRD.PRQ解析：（1）答案： B；3a+3b2baba3233=6，当且仅当a=b=1 时取等号。故 3a+3b的最小值是6；（2）答案： B； lgalgb0，21（lgalgb）ba lglg，即 QP，又 ab1，abba2，21lg)2lg(abba（lgalgb） ，即 RQ，有 PQR，选 B。点评：本题考查不等式的平均值定理，要注意判断等号成立的条件。题型 3：不等式的证明例 5已知 a0，b0，且 a+b=1求证(a+a1)(b+b1)425。证法一：(分析综合法）欲证原式，即证4(ab)2+4(a2+b2)25ab+40，即证 4(ab)2 33(ab)+80，即证 ab41或 ab8a0， b0，a+b=1，ab8 不可能成立1=a+b2ab， ab41，从而得证。证法二：(均值代换法 ) 设 a=21+t1，b=21+t2。a+b=1，a0，b0，t1+t2=0，|t1|21，|t2|21，精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 5 页，共 27 页 - - - - - - - - - - .4254116254123162541)45(41) 141)(141()21)(21() 141)(141(211)21(211)21(11)1)(1(2242222222222222222112122221122212122tttttttttttttttttttttbbaabbaa显然当且仅当t=0，即 a=b=21时，等号成立。证法三： (比较法 ) a+b=1，a0，b0，a+b2ab， ab41，425)1)(1(04)8)(41(4833442511425)1)(1(2222bbaaabababababbabbaabbaa证法四： (综合法 ) a+b=1， a 0，b0，a+b2ab， ab41，22225(1)1139(1)1251611(1)1441644abababababab425)1)(1(bbaa即。证法五： (三角代换法 ) a0，b0， a+b=1，故令 a=sin2， b=cos2，(0，2)，精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 6 页，共 27 页 - - - - - - - - - - .425)1)(1(4252sin4)2sin4(412sin125162sin24.3142sin4, 12sin2sin416)sin4(2sin42cossin2cossin)cos1)(cossin1(sin)1)(1(2222222222222442222bbaabbaa即得点评：比较法证不等式有作差(商)、变形、判断三个步骤，变形的主要方向是因式分解、配方，判断过程必须详细叙述：如果作差以后的式子可以整理为关于某一个变量的二次式，则考虑用判别式法证。例 6求使yxayx(x0，y0)恒成立的 a 的最小值。分析：本题解法三利用三角换元后确定a的取值范围， 此时我们习惯是将x、y 与 cos、sin来对应进行换元，即令x=cos，y=sin(02，这样也得asin+cos，但是这种换元是错误的其原因是： (1)缩小了 x、y 的范围； (2)这样换元相当于本题又增加了“x、y=1”这样一个条件，显然这是不对的。除了解法一经常用的重要不等式外，解法二的方法也很典型，即若参数a 满足不等关系， af(x)，则 amin=f(x)max若 af(x)，则 amax=f(x)min，利用这一基本事实，可以较轻松地解决这一类不等式中所含参数的值域问题。还有三角换元法求最值用的恰当好处，可以把原问题转化。解法一：由于a 的值为正数，将已知不等式两边平方，得： x+y+2xya2(x+y)，即 2xy(a21)(x+y)，x，y0， x+y2xy，当且仅当x=y 时，中有等号成立。比较、得a 的最小值满足a21=1，a2=2，a=2(因 a0)，a 的最小值是2。解法二：设yxxyyxxyyxyxyxyxyxu212)(2x0，y0， x+y2xy(当 x=y 时“ =”成立 )，精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 7 页，共 27 页 - - - - - - - - - - yxxy2 1，yxxy2的最大值是1。从而可知， u 的最大值为211，又由已知，得au， a 的最小值为2，解法三： y0，原不等式可化为yx+1a1yx，设yx=tan，(0，2)。tan+1a1tan2，即 tan+1asecasin+cos =2sin(+4)，又 sin(+4)的最大值为1(此时 =4)。由式可知a 的最小值为2。点评：本题考查不等式证明、求最值函数思想、以及学生逻辑分析能力。该题实质是给定条件求最值的题目，所求a 的最值蕴含于恒成立的不等式中，因此需利用不等式的有关性质把a 呈现出来，等价转化的思想是解决题目的突破口，然后再利用函数思想和重要不等式等求得最值。题型 4：不等式证明的应用例 7 （06 浙江理， 20） 已知函数 f(x)=x3+ x3，数列 xn(xn0)的第一项 xn1，以后各项按如下方式取定：曲线x=f(x)在)(,(11nnxfx处的切线与经过（0，0）和（xn,f (xn)）两点的直线平行（如图）精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 8 页，共 27 页 - - - - - - - - - - . 求证：当n*N时， ()x;231212nnnnxxx（）21)21()21(nnnx。证明：（I）因为2( )32 ,fxxx所以曲线( )yf x在11(,()nnxf x处的切线斜率121132.nnnkxx因为过(0,0)和(,()nnxf x两点的直线斜率是2,nnxx所以221132nnnnxxxx. （II）因为函数2( )h xxx当0 x时单调递增，而221132nnnnxxxx21142nnxx211(2)2nnxx，所以12nnxx，即11,2nnxx因此1121211( ).2nnnnnnxxxxxxx又因为12212(),nnnnxxxx令2,nnnyxx则11.2nnyy因为21112,yxx所以12111( )( ).22nnnyy因此221( ),2nnnnxxx故1211()().22nnnx点评：本题主要考查函数的导数、数列、不等式等基础知识，以及不等式的证明，同时考查逻辑推理能力。例 8 （2002 江苏， 22）已知 a0，函数 f（x）axbx2。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 9 页，共 27 页 - - - - - - - - - - （1）当 b0 时，若对任意xR 都有 f（x） 1，证明 a2b；（2） 当 b 1 时，证明：对任意 x0， 1 ，|f （x） |1 的充要条件是b1a2b；（3）当 0b1 时，讨论：对任意x 0，1 ，|f（x）|1的充要条件。（）证明：依设，对任意xR，都有 f（x）1，f（ x）babaxb4)2(22，babaf4)2(21， a0，b0， a2b（）证明：必要性：对任意x0，1 ，|f（x）|11f（x） ，据此可以推出 1f（1） ，即 ab 1， ab1；对任意 x 0，1 ， |f（x）|1f（x） 1，因为 b1，可以推出f（b1） 1，即 ab111， a2b；b1 a2b充分性：因为b1，ab1，对任意 x0，1 ，可以推出： axbx2b（xx2）x x 1，即 axbx21；因为 b1，a2b，对任意 x 0，1 ，可以推出axbx22bxbx21，即 axbx21。 1f（x） 1。综上，当b 1时，对任意x 0，1 ，|f（x）|1 的充要条件是b1a2b（）解：因为a0，0b1 时，对任意x 0，1 ：f（x） axbx2 b1，即 f（x） 1；f（x） 1f（1） 1ab1，即 ab1，ab1f（x）（ b1）xbx21，即 f（x） 1。所以，当 a0，0b1 时，对任意 x0，1 ，|f（x）|1 的充要条件是ab122.解：原式（xa） （xa2） 0， x1a，x2a2。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 10 页，共 27 页 - - - - - - - - - - 当 a=a2时， a=0 或 a=1，x，当 aa2时，a1 或 a0，axa2，当 aa2时 0a1，a2xa，当 a0 时 axa2，当 0a1 时，a2xa，当 a1 时，axa2，当 a=0 或a=1 时， x。点评：此题考查不等式的证明及分类讨论思想。题型 5：课标创新题例 9 （ 06 上海理， 12）三个同学对问题“关于x的不等式2x25|3x52x|ax在1，12上恒成立，求实数a的取值范围”提出各自的解题思路。甲说： “只须不等式左边的最小值不小于右边的最大值”；乙说： “把不等式变形为左边含变量x的函数，右边仅含常数，求函数的最值”；丙说： “把不等式两边看成关于x的函数，作出函数图像”；参考上述解题思路，你认为他们所讨论的问题的正确结论，即a的取值范围是。答案： a10 。点评：该题通过设置情景，将不等式知识蕴含在一个对话情景里面，考查学生阅读能力、分析问题、解决问题的能力。例 10 （06 湖南文， 20）在 m（m2）个不同数的排列P1P2,Pn中，若 1ijm时 PiPj（即前面某数大于后面某数），则称 Pi与 Pj构成一个逆序 . 一个排列的全部逆序的总数称为该排列的逆序数. 记排列321)1()1(nnn的逆序数为an，如排列 21 的逆序数11a，排列 321 的逆序数63a。（）求a4、a5，并写出 an的表达式；（）令nnnnnaaaab11，证明32221nbbbnn，n=1,2, 。解（）由已知得15,1054aa，2) 1(12) 1(nnnnan。（）因为,2, 1,22222211nnnnnnnnnaaaabnnnnn，所以nbbbn221. 又因为,2, 1,222222nnnnnnnbn，所以)211()4121()3111(2221nnnbbbn=32221232nnnn。综上，,2 , 1,32221nnbbbnn。点评：该题创意新，知识复合到位，能很好的反映当前的高考趋势。五思维总结1不等式证明常用的方法有：比较法、综合法和分析法，它们是证明不等式的最基本的方法。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 11 页，共 27 页 - - - - - - - - - - （1）比较法证不等式有作差(商)、变形、判断三个步骤，变形的主要方向是因式分解、配方，判断过程必须详细叙述：如果作差以后的式子可以整理为关于某一个变量的二次式，则考虑用判别式法证；（2）综合法是由因导果，而分析法是执果索因，两法相互转换，互相渗透，互为前提，充分运用这一辩证关系，可以增加解题思路，开扩视野。2不等式证明还有一些常用的方法：换元法、放缩法、反证法、函数单调性法、判别式法、数形结合法等。换元法主要有三角代换，均值代换两种，在应用换元法时，要注意代换的等价性。放缩性是不等式证明中最重要的变形方法之一，放缩要有的放矢，目标可以从要证的结论中考查。有些不等式，从正面证如果不易说清楚，可以考虑反证法凡是含有“至少” 、 “惟一”或含有其他否定词的命题，适宜用反证法。证明不等式时，要依据题设、题目的特点和内在联系，选择适当的证明方法，要熟悉各种证法中的推理思维，并掌握相应的步骤、技巧和语言特点。3几个重要不等式（1）0, 0|,2aaRa则若（2）2222,2(2| 2)abRababababab若 、则或（当仅当 a=b时取等号）（3）如果 a,b 都是正数，那么.2abab（当仅当 a=b 时取等号）最值定理：若,x yRxyS xyP则： 1 如果 P 是定值 , 那么当 x=y 时， S 的值最小； 2 如果 S 是定值 , 那么当 x=y 时，P的值最大；注意：1 前提：“一正、二定、三相等”，如果没有满足前提，则应根据题目创设情境；还要注意选择恰当的公式；2 “和定积最大，积定和最小”，可用来求最值； 3 均值不等式具有放缩功能，如果有多处用到，请注意每处取等的条件是否一致。3,3abcabcRabc(4) 若 、 、则（当仅当 a=b=c 时取等号）；0,2baabab(5) 若则（当仅当a=b 时取等号）。普通高中课程标准实验教科书数学人教版 高三新 数学第一轮复习教案（讲座32）不等式解法及应用精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 12 页，共 27 页 - - - - - - - - - - 一课标要求：1不等关系通过具体情境，感受在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，了解不等式（组）的实际背景；2一元二次不等式经历从实际情境中抽象出一元二次不等式模型的过程；通过函数图像了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系；会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，尝试设计求解的程序框图。3 二元一次不等式组与简单线性规划问题从实际情境中抽象出二元一次不等式组；了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组；从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决。二命题走向分析近几年的高考试题，本将主要考察不等式的解法，综合题多以与其他章节（如函数、数列等）交汇。从题型上来看，多以比较大小，解简单不等式以及线性规划等，解答题主要考察含参数的不等式的求解以及它在函数、导数、数列中的应用。预测 2007 年高考的命题趋势：1结合指数、对数、三角函数的考察函数的性质，解不等式的试题常以填空题、解答题形式出现；2以当前经济、社会、生活为背景与不等式综合的应用题仍是高考的热点，主要考察考生阅读以及分析、解决问题的能力；3在函数、不等式、数列、解析几何、导数等知识网络的交汇点命题，特别注意与函数、导数综合命题这一变化趋势；4对含参数的不等式，要加强分类讨论思想的复习，学会分析引起分类讨论的原因，合理分类，不重不漏。三要点精讲1不等式的解法解不等式是求定义域、值域、参数的取值范围时的重要手段，与“等式变形”并列的“不等式的变形” ，是研究数学的基本手段之一。高考试题中，对解不等式有较高的要求，近两年不等式知识占相当大的比例。（1）同解不等式（(1)fxg x( )( )与fxF xg xF x( )( )( )( )同解；（ 2 ）mf xg x0， ( )( )与mfxmg x( )( )同 解 ，mf xg x0， ( )( )与mf xmg x( )( )同解；（3）fxg x( )( )0与f xg xg x( )( )( ( )00同解） ；2一元一次不等式精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 13 页，共 27 页 - - - - - - - - - - 解一元一次不等式（组）及一元二次不等式（组）是解其他各类不等式的基础，必须熟练掌握，灵活应用。axbaaa分( )( )( )102030情况分别解之。3一元二次不等式axbxca200()或axbxca200()分a0及a0情况分别解之， 还要注意bac24的三种情况， 即0或0或0，最好联系二次函数的图象。4分式不等式分式不等式的等价变形：)()(xgxf0f(x) g(x)0 ，)()(xgxf00)(0)()(xgxgxf。5简单的绝对值不等式绝对值不等式适用范围较广，向量、复数的模、距离、极限的定义等都涉及到绝对值不等式。高考试题中，对绝对值不等式从多方面考查。解绝对值不等式的常用方法：讨论法：讨论绝对值中的式于大于零还是小于零，然后去掉绝对值符号，转化为一般不等式；等价变形：解绝对值不等式常用以下等价变形：|x|ax2a2ax0)，|x|ax2a2xa 或 x0)。一般地有：|f(x)|g(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g (x) 或 f(x)0 的解集为（）A. x|x3 C. x|x3 D. x|1x0，x3. 故原不等式的解集为x|x3。点评：简单的分式不等式的解法是高中数学中常用到的求范围问题工具，分式不等式的解题思路是：分式化整式（注意分母不为零）。题型 2：简单的绝对值、涉及指数、对数和三角的不等式的求解问题例 3 （1） （2002 全国， 3）不等式（ 1x） （1 x） 0 的解集是（）A x0 x 1B.xx0 且 x1精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 16 页，共 27 页 - - - - - - - - - - C x 1x1D.xx1 且 x1（2） （1997 全国， 14）不等式组|22|330 xxxxx的解集是（）A.x0 x2B.x0 x2.5C.x0 x6 D.x0 x3解析：（1）答案： D；解法一： x0 时，原不等式化为： （1x） （1x） 0，（ x1） （x1） 0，011xx0 x1。x0 时，原不等式化为： （ 1x） （1x） 0（1x）20，x 1，x0 且 x 1。综上，不等式的解集为x1 且 x1。解法二：原不等式化为：0|101xx或0|101xx解得1|1xx1x1，解得1|1xx即 x 1，原不等式的解集为x1 且 x 1。点评：该题体现了对讨论不等式与不等式组的转化及去绝对值的基本方法的要求。（2）答案： C 解法一：当x2 时，原不等式化为2233xxxx，去分母得（ x+2） （3x）（ x+3） （x2） ，即 x2x6 x2x6，2x2120，66x。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 17 页，共 27 页 - - - - - - - - - - 注意 x2，得 2x6；当 0 x2 时，原不等式化为xxxx2233，去分母得 x2x6 x2x6。即 2x0 注意 0 x2，得 0 x2。综上得 0 x6，所以选 C。解法二：特殊值法.取 x=2，适合不等式，排除A；取 x=2.5，不适合不等式，排除D；再取 x=6，不适合不等式，所以排除B；选 C。点评：此题考查不等式的解法、直觉思维能力、估算能力。例 4 （1） （1995 全国理， 16）不等式（31）82x32x的解集是 _。（2）（2002 全国文 5， 理 4） 在 （0， 2） 内，使 sinxcosx 成立的 x 取值范围为 （）A.（4，2）（ ，45）B.（4，）C.（4，45）D.（4，）（45，23）（3） （06 山东理， 3）设 f(x)=,2),1(log,2,221xxxttx则不等式 f(x)2 的解集为 （）(A) （1，2）（3，+）(B) （10，+）(C)（ 1，2）（10，+）(D) （1，2）解析：（1）答案：x|2x4将不等式变形得xx28332则 x28 2x，从而x22x80， （x2） （ x4） 0，2x4，所以不等式的解集是x|2x4 评述：此题考查指数不等式的解法；（2）答案： C 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 18 页，共 27 页 - - - - - - - - - - 解法一： 作出在（0，2）区间上正弦和余弦函数的图象，解出两交点的横坐标4和45，由图 46 可得 C 答案。图 46 图 47 解法二：在单位圆上作出一、三象限的对角线，由正弦线、余弦线知应选C.（如图47） 。（3）C；点评：特殊不等式的求解，转化是一方面，借助于函数的性质和图象也是解决问题的有效手段。题型 3：含参数的不等式的求解问题例 5 （1）设不等式x22ax+a+20 的解集为M，如果 M1，4 ，求实数a 的取值范围？（2）解关于x 的不等式2) 1(xxa1( a1) 。分析：该题实质上是二次函数的区间根问题，充分考虑二次方程、二次不等式、二次函数之间的内在联系是关键所在；数形结合的思想使题目更加明朗。解析：（1）M1，4有两种情况：其一是M=，此时 0；其二是 M，此时 =0 或0，分三种情况计算a 的取值范围。设 f(x)=x22ax+a+2，有 =(2a)2(4a+2)=4(a2a2) 当0 时， 1a2，M=1，4 ；当=0 时， a=1 或 2；当 a=1 时 M= 11，4 ；当 a=2 时， m=21，4 。当0 时， a 1 或 a2。设方程 f(x)=0 的两根 x1，x2，且 x1x2，那么 M=x1，x2 ，M1，41x1x240, 410)4(,0)1(且且aff，精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 19 页，共 27 页 - - - - - - - - - - 即210071803aaaaa或，解得 2a718，M 1，4时， a 的取值范围是 ( 1，718)。（2）原不等式可化为：2)2()1(xaxa0，当 a1 时，原不等式与(x12aa)(x2)0 同解。由于2111211aaa，原不等式的解为(，12aa) (2，+)。当 a1 时，原不等式与(x12aa)(x2) 0 同解。由于21111aaa，若 a0，211211aaa，解集为 (12aa，2)；若 a=0 时，211211aaa，解集为；若 0a1，211211aaa，解集为 (2，12aa)。综上所述：当a1 时解集为 (，12aa)(2，+)；当 0a1 时，解集为 (2，12aa)；当 a=0 时，解集为；当 a0 时，解集为 (12aa，2)。点评：考查二次不等式的解与系数的关系及集合与集合之间的关系。本题主要涉及一元二次不等式根与系数的关系及集合与集合之间的关系，以及分类讨论的数学思想。M=是符合题设条件的情况之一，出发点是集合之间的关系考虑是否全面，易遗漏；构造关于 a 的不等式要全面、合理，易出错。例 6 （1） （06 重庆理， 15）设a0,n1,函数 f(x)=alg(x2-2n+1)有最大值 .则不等式logn(x2-5x+7)0 的解集为 _ _；（2） （06 重庆文， 15）设0,1aa，函数2( )log (23)af xxx有最小值，则不等式log (1)0ax的解集为。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 20 页，共 27 页 - - - - - - - - - - 解 析 ：（ 1 ） 由 于 函 数 有 最 大 值 ， 则10a。 所 以 原 不 等 式 可 转 化 为17502xx，又因为043)25(7522xxx恒成立， 由1752xx解得32x；（2）由于函数有最小值，故1a。原不等式化为01x，即1x。点评：含参数指数、对数不等式的处理原则是转化为一般的不等式，兼顾到底数的分类标准为10, 1aa两种情况，这也是分类的标准。题型 4：线性规划问题例 7 （1） （06 安徽， 10）如果实数xy、满足条件010101yxyyx， 那么2xy的最大值为（） A2 B1 C2 D3（2）（06 天津理，3） 设变量x、y满足约束条件632xyyxxy， 则目标函数yxz2的最小值为（）A2B3C4D9解析：（1）当直线2xyt过点 (0 ，-1) 时，t最大，故选B；（2）B 点评：近年来线性规划的一些基本运算问题成为出题的热点，该部分知识大多都属于基础题目，属于中低档题目。例 8 （1） （06 四川理， 8）某厂生产甲产品每千克需用原料A和原料B分别为11,a b，生产乙产品每千克需用原料A和原料B分别为22,ab千克，甲、乙产品每千克可获利润分别为12,d d元，月初一次性够进本月用原料,A B各12,c c千克，要计划本月生产甲产品和乙产品各多少千克才能使月利润总额达到最大；在这个问题中，设全月生产甲、乙两种产品分别为x千克，y千克，月利润总额为z元，那么，用于求使总利润12zd xd y最大的数学模型中，约束条件为（）精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 21 页，共 27 页 - - - - - - - - - - （A）12112200a xa ycbxb ycxy（B）11122200a xb yca xb ycxy（C）12112200a xa ycbxb ycxy（D）12112200a xa ycb xb ycxy（2） （06 浙江理， 3）在平面直角坐标系中，不等式组2,02,02xyxyx表示的平面区域的面积是（）(A)21(B)23(C)81(D)89（3） （06 北京理， 13）已知点P（x，y）的坐标满足条件4,1,xyyxy点 O 为坐标原点，那么 |PO |的最小值等于_，最大值等于_。解析：（1）约束条件为12112200a xa ycb xb ycxy，选 C；（2）A；（3）2、10。点评：线性规划的应用题也是高考的热点，诸如求面积、距离、参数取值的问题经常出现。题型 5：不等式的应用例 9 （06 湖南理， 20）对 1 个单位质量的含污物体进行清洗，清洗前其清洁度(含污物体的清洁度定义为：）物体质量（含污物）污物质量1为8 .0，要求清洗完后的清洁度为99.0。有两种方案可供选择，方案甲：一次清洗；方案乙: 分两次清洗。该物体初次清精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 22 页，共 27 页 - - - - - - - - - - 洗后受残留水等因素影响，其质量变为)31 (aa。设用x单位质量的水初次清洗后的清洁度是18.0 xx)1(ax，用y单位质量的水第二次清洗后的清洁度是ayacy，其中c)99.08 .0(c是该物体初次清洗后的清洁度。( ) 分别求出方案甲以及95.0c时方案乙的用水量, 并比较哪一种方案用水量较少；( ) 若采用方案乙，当a为某固定值时，如何安排初次与第二次清洗的用水量，使总用水量最小? 并讨论a取不同数值时对最少总用水量多少的影响。解析： ( ) 设方案甲与方案乙的用水量分别为x 与 z, 由题设有0.81xx=0.99, 解得x=19。由0.95c得方案乙初次用水量为3, 第二次用水量y 满足方程：0.950.99,yaya解得 y=4a, 故 z=4a+3.即两种方案的用水量分别为19 与 4a+3。因为当13,4(4)0,axzaxz时即,故方案乙的用水量较少。（ II ）设初次与第二次清洗的用水量分别为x与y，类似（I）得545(1)cxc，(99100 )yac（*） ，于是545(1)cxyc+(99100 )ac1100 (1)15(1)acac，当a为定值时 ,12100 (1)14 515(1)xyacaaac，当且仅当1100 (1)5(1)acc时等号成立。此时111()1(0.8,0.99),10 5105ccaa不合题意 , 舍去 或将1110 5ca代入（ *）式得2 511,2 5.xaayaa精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 23 页，共 27 页 - - - - - - - - - - 故1110 5ca时总用水量最少, 此时第一次与第二次用水量分别为：2 512 5aaa与, 最少总