2022年华东师范大学数学分析历年真题 .pdf

华东师范大学数学分析考研真题精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 32 页 - - - - - - - - - - 华东师范大学1997 年攻读硕士学位研究生入学试题一（12 分）设 f(x) 是区间 I 上的连续函数。证明：若f(x) 为一一映射，则 f(x)在区间 I 上严格单调。二（12 分）设1,( )0 xD xx为有理数， 为无理数证明：若 f(x), D(x)f(x) 在点 x=0处都可导，且 f(0)=0,则(0)0f三（16 分）考察函数 f(x)=xlnx 的凸性，并由此证明不等式：2()(0,0)a baba babab四（16 分）设级数1nnan收敛，试就1nnd为正项级数和一般项级数两种情况分别证明1nnann也收敛。五（20 分）设方程(,)0Fxy满足隐函数定理条件，并由此确定了隐函数y=f(x) 。又设(,)Fxy具有连续的二阶偏导数。（1）求( )fx精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 32 页 - - - - - - - - - - （2）若0000(,)0,()F xyyfx为 f(x) 的一个极值，试证明：当00(,)yFxy与00(,)xxFxy同号时，0()fx为极大值；当00(,)yFxy与00(,)xxFxy异号时，0()fx为极小值。（3）对方程2227xxyy， 在隐函数形式下（不解出 y） 求 y=f(x)的极值，并用（ 2）的结论判别极大或极小。六（12 分）改变累次积分4204842(4)xxxIdxydy的积分次序，并求其值。七 （12 分） 计算曲面积分222(coscoscos)sIxyzds其 中s为 锥 面22zxy上 介 于0zh的 一 块 ，c o s, c o s, c o s为 s 的下侧法向的方向余弦。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 32 页 - - - - - - - - - - 华东师范大学1998 年攻读硕士学位研究生入学试题一简答题（ 20分）（1）用定义验证：22323lim212nnnn；（2）2cos ,0( ),( )ln(1),0 x xf xfxxx求；（3）计算32.1xdxx二（12分）设f(x)有连续的二阶导函数，且0()2,()()sin5,ffxfxxdx求 f(0). 三（20 分）（1）已知1nna为发散的一般项级数，试证明11(1)nnan也是发散级数。（2）证明112sin3nnnx在 0,上处处收敛，而不一致收敛。四（12 分）设2222:,Dxyzt222( )(),DF tf xyzdxdydz其中 f 为连续函数， f(1)=1.证明(1) 4 .F精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 32 页 - - - - - - - - - - 五 （12 分） 设 D为由两抛物线21yx与21yx所围成的闭域。试在 D内求一椭圆，22221,xyab使其面积为最大。六（12分）设(,)uxy有连续二阶偏导数，(, )Fu t有连续一阶偏导数，且满足(,)0,xyFuu22()()0,stFF证明：2()0.xxyyxyuuu七（12 分）设()fx为(,)的周期函数，其周期可小于任意小的正数。证明若()fx在(,)上连续，则()fx常数。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 5 页，共 32 页 - - - - - - - - - - 华东师范大学1999 年攻读硕士学位研究生入学试题一设0,a10 xa，1(2),nnnxxxanN，证明：nx收敛，并求其极限。二. 证明：若函数f在区间 I 上处处连续，且为一一映射，则f在 I 上为严格单调. 三. 用条件极值的方法证明不等式：22221212.nnxxxxxxnn(0,1,2,.,)kxkn四. 设()fx在(,)a上可导，且lim()xfx，证明()fx在(,)a上不一致连续。五. 设()fx在,a b上二阶可导，且()0fx，()0fx，证明：2()( ),bafxft dtba,xa b. 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 6 页，共 32 页 - - - - - - - - - - 六. 设(,)fxy在,Da bc d上有二阶连续偏导数。（1）通过计算验证：(,)(,)xyyxDDfx y dxdyfx y dxdy（2）利用（ 1）证明：(,)(,),xyyxfx yfx y(,)x yD. 七 . 设 对 每 个,()nnfx在,a b上 有 界 ， 且 当n时 ，()() ,nfxfxx,a b证明：（1）()fx在,a b上有界；（2）limsup()sup()nnaxbaxbfxfx,(sup lim()nnaxbfx八设2000,(,)SRPxy为 S的内点，111(,)Pxy为 S 的外点，证明：直线段01P P至少与 S的边界S有一个交点。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 7 页，共 32 页 - - - - - - - - - - 华东师范大学2000 年攻读硕士学位研究生入学试题一 （24分）计算题：（1）011lim();ln( 1)xxx（2）32cossin;1xxdxcosx（3）设(,)zz xy是由方程222(,)0Fxyzxyz, 所确定的可微隐函数，试求gradZ. 二 （14分）证明：（1）111nn为递推数列；（2）111ln(1)1nnn，n=1,2, . 三 （12 分）设f在,a b中任意两点之间都具有介值性，而且f在,a b内可导，|() |fxK（正常数）, (,).xa b证明f在点 a 右连续（同理在点 b 左连续） . 四 （14分）设120(1).nnIxdx证明: （1）1221nnnIIn,n=2,3 ; 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 8 页，共 32 页 - - - - - - - - - - （2）2,3nInn=1,2,3 . 五（12分）设 S为一旋转曲面，由平面光滑曲线0( ), , ( ( )0)zyfx xa bf x饶x轴旋转而成。试用二重积分计算曲面面积的方法，导出S的面积公式为22()1()baAfxfx dx（提示：据空间解几知道S的方程为222()yzfx）六（24 分）级数问题：（1）设sin,0( )1,0 xxfxxx, 求()(0)kf。（2）设1nnna收敛，lim0nnna证明: 111()nnnnnnnn aaa（3）设()nfx为,a b上的连续函数序列，且()(),nfxfxxa b证明：若()fx在,a b上无零点。则当n充分大时()nfx在,a b上也无零点，并有11,()()nxa bfxfx精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 9 页，共 32 页 - - - - - - - - - - 华东师范大学2001 年攻读硕士学位研究生入学试题一 （30分）简单计算题 . 1）验证：当x时，202xtxedt与2xe为等价无穷大量 . 2）求不定积分2ln(1)xdxx。3）求曲线积分 :2()sin,OAIycosydxxydy其中有向曲线 OA 如图所示 . 4）设f为可微函数，222()ufxyz和方程23326(*)xyzxyz试对以下两种情形，分别求ux在点0(1,1,1)P处的值：（1）由方程(*)确定了隐函数 :(,);zz xy（2）由方程(*)确定了隐函数 :(,).yy x z二.（12分）求由椭球面2222221xyzabc与锥面2222220.(0)xyzzabc所围立体的体积。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 10 页，共 32 页 - - - - - - - - - - 三. （12分）证明：若函数()fx在有限区间,a b内可导，但无界，则其导函数()fx在,a b内亦必有界 . 四.（12 分）证明：若1nna绝对收敛，则121(.)nnnnaaaa亦必绝对收敛 . 五（17 分）设()fx在 0,1上连续，(1)0.f证明：1）nx在 0,1上不一致收敛；2）()nfx x在0,1上一致收敛。六（17 分）设函数()fx在闭区间,a b上无界 , 证明：1）,nxa b使；lim()nnfx；2）,ca b使得：0,()fx在(,),cca b上无界。（若能用两种不同方法证得2） ，奖励 5 分）精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 11 页，共 32 页 - - - - - - - - - - 华东师范大学2002 年攻读硕士学位研究生入学试题一. （12分）计算：1.222sin()lim.2100nnnnn；2.20sin1lim().1xxxxe3. 设 F为3R上的可微函数，由方程23(,)0Fxyyzzx确定了z为x与y的函数，求,xyzz在点(1,1)的值. 二.（15 分）设函数,fg均在,a b 内有连续导数，且对于任何,xa b，有()()()()()0Fxfx gxgxfx，求证：1.,fg 不可能有相同的零点；2.f的相邻点之间必有g的零点；3. 在()fx的每个极值点0,xa b，存在0 x的某邻域，使得()gx在该邻域中是严格单调的 . 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 12 页，共 32 页 - - - - - - - - - - 三.（15 分） 设初始值1aR给定，用递推公式3142(1, 2.)1nnnaana得到数列na。1. 求证数列 na收敛；2. 求na所有可能的极限值；3. 试将实数轴 R分成若干个小区间， 使得当且仅当在同一区间取初始值，na都收敛于相同的极限值 . 四. （12分）设0ac，求椭球体222221xyzac的表面积 . 五. （18分）设数列na有界但不收敛，求证：1. 对于任何10,nxnnxa e收敛；2. 对于任何10,nxnna e在,)上一致收敛；3.1nxnna e在(0,)上不一致收敛 . 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 13 页，共 32 页 - - - - - - - - - - 六. （12分）设函数()fx在 0,1上连续，求证：12200( )lim(0)2xxftdtftx。七.（16 分）设函数f在0, a上严格递增，且有连续导数，(0)0.f设g是f的反函数，求证：1. 对于任何0,xa，都有()00()( )fxxxg uduft dt2. 当0,0()xayfa时，下列不等式成立00()( )yxxyg u duft dt, 其中当且仅当()yfx时，等式成立 . 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 14 页，共 32 页 - - - - - - - - - - 华东师范大学2003 年攻读硕士学位研究生入学试题一（30 分）简答题（只需写出正确答案） 。1.221sin(1)lim(1) (2)xxxx；2.211yarcx，则y3.2lnxdx4.sinxxzyy，则dz5.22(,) |1Dx yxy，则22xyDedxdy6.22(,) |1Lxyxy方向为顺时针方向，则Lxdyydx二. （20分）判别题（正确的说明理由，错误的举出反例）1. 若lim0nnx则lim0nnnx. 2. 若()fx在(0,)上可导，且导函数()fx有界， 则()fx在(0,)上一致连续。3. 若()fx在,a b上可积，()( )xaFxft dt在0,xa b上可导，则00()().Fxfx精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 15 页，共 32 页 - - - - - - - - - - 4. 若2121()nnnaa收敛，且lim0nna则1nna收敛。三. （17 分）求极限sinsinsinlimsinxtxtxtx, 记此极限为()fx，求函数()fx的间断点，并判别间断点类型. 四 . （ 17分 ） 设()fx在0, a上 连 续 ， 且( 0 )0f证 明20|()|2aMafx dx, 其中0max|() |xaMfx。五 . （ 17 分） 若 函数(,)fxy在2R上 对x连 续， 且存在0L， 对 ,x yyR，|(,)(,) |fxyfx yLyy. 求证：(,)fxy在2R上连续 . 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 16 页，共 32 页 - - - - - - - - - - 六. （17分）求下列积分 :(,), (0)SIfxy z dSa其中2222(,) |,Sxy zxyza222222,0,(,)xyzxyzxyfx y z. 七（17 分）设01,rxR（1）求证：221112cos12nnrrnxrcsxr；（2）求证：20ln( 12cos)0rxrdx八（15 分）120,0.,.abaa ab2221112,1,2,.nnnanaa求证：na收敛。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 17 页，共 32 页 - - - - - - - - - - 华东师范大学2004 年攻读硕士学位研究生入学试题一. （30分）计算题（1）求2120limcos2xxxx；（2）若2lnsin(arctan),xyexx求y. （3）求2(1)xxedxx. （4）求幂级数1nnnx的和函数()fx. （ 5 ） L为 过( 0 , 0O和(0,)Aa的 曲 线s i n(0yaxa，求:3()(2).Lxydxy dy（6）求曲面积分(2),Sxz dydzzdxdy其中22,(01),zxyz取上侧 . 二（30 分）判别题（正确的证明，错误的举反例）1 . 若,1,2,.,nxn是互不相等的非无穷大数列，则nx至少存在一个聚点0(,).x2. 若()fx在(,)a b上连续有界，则()fx在(,)a b上一致连续 . 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 18 页，共 32 页 - - - - - - - - - - 3. 若(),()fxgx在0,1上可积，则 : 10111lim()()()()nniiifgfx gx dxnnn4 . 若1nna收敛，则21nna收敛. 5. 若在2R上定义的函数(,)fxy存在偏导数(,),(,)xyfx yfxy，且(,),(,)xyfx yfxy在(0, 0)上连续，则(,)fx y在(0, 0)上可微 . 6 .(,)fxy在2R上连续，2220000(,)(,) | ()()rDxyx yxxyyr若00(,),0,(,)0,rDxyrfxy dxdy则2(,)0,(,)fxyx yR. 三. （15 分）函数()fx在(,)上连续且lim()xfxA，求证：()fx在(,)上有最大值或最小值 . 四（15 分）求证不等式：221,0,1 .xxx精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 19 页，共 32 页 - - - - - - - - - - 五（15分）设(),1,2.nfxn在,a b上连续且()nfx在,a b上一致收敛于()fx, 若,()0 xa bfx, 求证：,0,N使,().nxa bnNfx六（15 分）设na满足：（1）0100,1,2.;knaankk（2）级数1nna收敛。求证：lim0nnna. 七（15 分）若函数()fx在1,)上一致连续， 求证：()fxx在1,)上有界. 八（15 分）设(,),(,),(,)PxyzQxyzRxyz在3R有连续偏导数，而且对以任意点为000(,)xyz中心，以任意正数r为半径的上半球面2222000: ()()(),rSxxyyzzr0,zz恒有: (,)(,)rSPx y z dydzQxy z dzdxR( , )0 x y z dxdy求证：(,),(,)0,x y zR xyz( , , )( , , )0 xyP x y zQx y z精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 20 页，共 32 页 - - - - - - - - - - 华东师范大学2005 年攻读硕士学位研究生入学试题一（24 分）判断下列命题的真伪（正确就证明，错误举反例）1.limnnaA的一个充要条件是：存在正整数N，对于任意正数，当nN 时均有|naA. 2. 设()fx在,)a上连续，()fx在,)a上一致连续，那么2()fx在上一致连续 . 3. 设0,lim01nnnaan那么正项级数1nna收敛. 4.(,)fx y在 点00(,)xy沿 任 意 方 向 的 方 向 导 数 都 存 在 ， 则 函 数(,)fxy在点00(,)xy连续. 二（64 分）计算下列各题。1. 求极限22011limsinxxx2. 求极限22limsin2cos.nnnn精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 21 页，共 32 页 - - - - - - - - - - 3. 求曲线2yxx y在 (1,1) 处的切线方程。4. 设()fx在 R上连续，2( )()tetg tfx dx，求( )gt. 5. 求221| 34|.xyxydxdy6. 设(1,1)1,(1,1),(1,1),xyffafb()(,(,(,),gxfxfxfx x求(1)g. 7. 设 S是有向曲面2222221xyzabc，外侧。求第二型曲面积分.Szdxdy8. 求椭球面2222221,0,0,xyzxyabc0z的切平面与三个坐标平面所围成的几何体的最小体积. 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 22 页，共 32 页 - - - - - - - - - - 三（62 分，1-4 / （12 分） ，5（14分） ）证明以下各题 : 1. 设()fx在有限区间(,)a b上一致连续。求证：()fx在区间 (,)a b上有界. 2. 已知121211,nnnnaadxnx。求证：1(1)nnna条件收敛 . 3. 设()fx在区 间,a b连续 ，()0.fx求证：函数列()nfx在,a b上一致连续于 1. 4. 设(,)fxy在,a bc d上连续，求证：,()max(,)xa bgyfxy在,c d上连续 . 5. 设()fx为在区间,)a上的有界连续函数，并且对于任意实数c，方程()fxc至多只有有限个解。求证：lim()xfx存在. 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 23 页，共 32 页 - - - - - - - - - - 华东师范大学2006 年攻读硕士学位研究生入学试题一（30）判别题（正确证明，错误举反例或说理由）1. 设数列na满足条件：0,N使,|,nNnNaa，则na收敛。2. 设()fx在(,)a b上可导。若()fx在(,)a b上有界，则()fx在(,)a b上有界 . 3. 设正数列na满足条件lim0nna则1(1)nnna收敛。4. 设()fx在,a b上可积，且()0bafx dx， 则存在,c da b，使得:,()0.xc dfx5. 设(,)fxy在00(,)xy的某邻域内连续，且在00(,)xy处 有 偏 导 数0000(,),(,),xyfxyfxy则(,)fxy在00(,)xy处可微 . 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 24 页，共 32 页 - - - - - - - - - - 二. 计算题（ 30分）6. 求lim,nnnnab其中0ab. 7. 求01cos()xtfxdtt的麦克劳林级数展开式。8. 求1220ln.xxdx9.设(),zfu方 程()()xyuuPtdt定 义 了 隐 函 数(,)uux y， 其中(),()fuu可微，( ),()P tu连续，且()1u求()().zzPyPxxy10. 求22(),yzds其中222(,) :1xy zxyz精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 25 页，共 32 页 - - - - - - - - - - 三. 证明题（ 90分）11. 设0,()fx在(,)上 具 有 连 续 的 二 阶 导 函 数(),(0)0.fxf若(0),0()(),0fxgxfxxx, 求证：()gx在 (,) 上有连续的导函数 . 12. 设()nfx是0,1 上连续函数，且在0,1 上一致收敛于()fx, 求证：11100lim()().nnnfx dxfx dx13. 设()fx在0,)上一致连续，且0， lim()0.nfn求证：lim()0 xfx. 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 26 页，共 32 页 - - - - - - - - - - 14. 设()fx在0,)上连续有界，求证：0lim|() |sup|() |:0,nnnnfxdxfxx15. 设(,)fx y z是定义在开区域D 上的有连续的偏导数的三元函数，且( , , )x y zD，222( ,)( ,)(,)0,xyzfx y zfx y zfx y zS 是 由(,)0fxyz定义的封闭的光滑曲面。 若,P QS且 P与 Q之间的距离是S中任意两点之间距离的最大值, 求证：过 P的 S 的切平面与过 Q的 S 的切平面互相平行，且垂直于过P与 Q的连线 . 华东师范大学2007 年攻读硕士学位研究生入学试题考试科目代码及名称 ：数学分析招生专业：考生注意：无论以下试题中是否有答题位置，均应将答案做在考场另发的答题纸上（写明题号）一、判别题（ 5*6=30 分） （正确的说明理由，错误的举出反例）1 设)(xf在0 x的领域)(0 xU内有定义且有界。若)(lim0 xfxx不存在，则存在数列)(),(00 xUyxUxnn，使得0limlimxyxnnnn，而)(limnnxf和)(limnnyf都存在但不相等。2设)(xf在),(ba上可导，且)(xf在),(ba上有界，则)(xf在),(ba上有界。3设数项级数1nna收敛，则级数12nna亦收敛。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 27 页，共 32 页 - - - - - - - - - - 4 设)(xf在ba,上 有 连 续 的 导 函 数 ，.0)()(,bfafba若banbannnxdxxfBnnxdxxfA,2 ,1,sin)(1;2, 1 , 0,cos)(1则 对 任 意. )sincos(2)(,10nnnnxBnxAAxfbax5设),(yxf在),(00yx上 连 续 ， 且, 0),(),(0000yxfyxfyx则),(yxf在),(00yx上可微。二、计算题（8*5=40 分） （计算应包括必要的计算步骤）1.2sinsin1tan1lim20 xxxxx2202222cossinxbxadx，其中ba,为非零常数。3求幂级数11212) 1(nnnnx的收敛域与和函数。4 设)(xf在),(上有连续的二阶导函数，).()(xyyfyxxfz求：.,2yxzyzxz5求SzdS，其中S是球面2222azyx被平面)0( ,ahhz截得的球冠部分。三、证明题（ 16*5=80 分）1设na是一列有界的正实数列，.,sup21aaa求证：.)(lim121aaaannnnnn2 设)(xf是定义在ba,上的函数，满足条件：对任意bax,0， 存在0, 000 xx使得在baxxxx,0000上有0)(xxf求证：存在0使得在ba,上有.)(xf3设)(xf是定义在),(上的连续函数，且0)(dxxf收敛，若含参量反常积分0)()(dxyxfyI在),(上一致收敛。求证：对任意),(x，.0)(xf精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 28 页，共 32 页 - - - - - - - - - - 4设)(xfn是定义在1 , 1上的连续函数列，且（1）; 1)(lim11dxxfnn（2）对任意)(,0 xfn在1 , 1上一致收敛于零。求证：对任意1 , 1上连续函数)(xg，).0()()(lim11gdxxgxfnn5设),(yxf在1:),(22yxyxD上有连续的偏导数，且在1: ),(22yxyxT上恒为零。求证：.max3),(2122),(yfxfdxdyyxfDyxD华东师范大学2008 年攻读硕士学位研究生入学试题考试科目代码及名称 ：数学分析招生专业：考生注意：无论以下试题中是否有答题位置，均应将答案做在考场另发的答题纸上（写明题号）一、判别题（ 6*6=30 分） （正确的说明理由，错误的举出反例）1数列1nna收敛的充要条件是对任意0，存在正整数N使得当Nn时，恒有nnaa2。2若),(yxf在),(00yx处可微，则在),(00yx的某个邻域内yfxf,存在。3设)(xf在ba,上连续且0dxxfba，则)(xf在ba,上有零点。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 29 页，共 32 页 - - - - - - - - - - 4设级数1nna收敛，则1nnna收敛。5设),(yxf在),(00yx的某个邻域内有定义且00,limlim,limlim0000yxfyxfyxfxxyyyyxx，则),(yxf在),(00yx处连续。6. 对任意给定的Rx0， 任意给定的严格增加正整数列, 2, 1,knk， 存在定义在R上的函数)(xf使得, 2, 1, 0)(0)(kxfkn，（)(0)(xfk表示)(xf在点0 x处的k阶导数） 。二、计算题（10*3=30 分） （计算应包括必要的计算步骤）1求.11sin) 1(1lim410 xxexx2设yxzz,为由方程组uvzveyvexuusincos所确定的隐函数。求.,2yxzyzxz3计算,321333dxdyrzdzdxrydydzrxiS其中222321zyxr，1321:2221zyxS，1332211:2222zyxS，积分沿曲面的外侧。三、证明题（ 14*6=84 分）1设级数1nna收敛于A（有限数）。证明：.)1(2(1lim121Aaanaannnn2设)(xf在ba,上的不连续点都是第一类间断点。证明：)(xf在ba,上有界。求证：存在0使得在ba,上有.)(xf3已知在ba,上，函数列)(xfn一致收敛于)(xf，函数列)(xgn一致收敛于)(xg。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 30 页，共 32 页 - - - - - - - - - - 证明：函数列)(),(maxxgxfnn一致收敛于)(),(maxxgxf。4设数列1nna为ba,中互不相同的点列，na为函数)(xfn在ba,上的唯一间断点。设, 2, 1:)(nxfn在ba,上一致有界，即存在正数M使得Mxfn)(对所有的n与所有bax,均成立。证明：函数12nnnxfxh在ba,内的间断点集为,2 , 1: nan。5设2,0,cos1xnxnexfnn，证明：（1）)(xf在2, 0上连续；（2）)(xf在2, 0上存在且连续；（3）2201maxeexfx。6 （1）设)(xF在,上可导。若存在nnyx,使,limlimcyFxFnnnn，证明存在,使得0)(F。（ 2 ） 设)(xf，)(xg在,上 可 导 ， 设 存 在nnyx,，nnyx,使,lim,limAyfBxfnnnn,lim,limaygbxgnnnn. 设, 0)(xxg，证明：存在,使abABgf。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 31 页，共 32 页 - - - - - - - - - - 文档编码：KDHSIBDSUFVBSUDHSIDHSIBF-SDSD587FCDCVDCJUH 欢迎下载 精美文档欢迎下载 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 32 页，共 32 页 - - - - - - - - - -