2022年初二数学因式分解知识点经典总结2 .pdf

1 整式乘除与因式分解概述定义： 把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫作分解因式。分解因式与整式乘法互为逆变形。因式分解的方法因式分解没有普遍的方法，初中数学教材中主要介绍了提公因式法、公式法。而在竞赛上，又有拆项和添减项法，分组分解法和十字相乘法，待定系数法，双十字相乘法，对称多项式轮换对称多项式法，余数定理法，求根公式法，换元法，长除法，除法等。注意三原则1 分解要彻底2 最后结果只有小括号3 最后结果中多项式首项系数为正（例如：-3x2+x=-x(3x-1)）基本方法提公因式法各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的公因式。如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法。具体方法：当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的；取相同的多项式，多项式的次数取最低的。如果多项式的第一项是负的，一般要提出“ -” 号，使括号内的第一项的系数成为正数。 提出 “ -” 号时，多项式的各项都要变号。例如： -am+bm+cm=-m(a-b-c)；a(x-y)+b(y-x)=a(x-y)-b(x-y)=(x-y)(a-b)。注意：把2a2+1/2变成2(a2+1/4)不叫提公因式公式法如果把乘法公式反过来，就可以把某些多项式分解因式，这种方法叫公式法。平方差公式： a2-b2=(a+b)(a-b)；完全平方公式： a2 2ab b2 (a b)2；注意：能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式，其中有两项能写成两个数 (或式 )的平方和的形式，另一项是这两个数(或式 )的积的2 倍。立方和公式： a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)；立方差公式： a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)；完全立方公式： a3 3a2b 3ab2 b3=(ab)3公式： a3+b3+c3 =(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca) 例如： a2+4ab+4b2=(a+2b)2。（ 3）分解因式技巧1. 分解因式与整式乘法是互为逆变形。2. 分解因式技巧掌握：等式左边必须是多项式；分解因式的结果必须是以乘积的形式表示；每个因式必须是整式，且每个因式的次数都必须低于原来多项式的次数；精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 5 页 - - - - - - - - - - 2 分解因式必须分解到每个多项式因式都不能再分解为止。注：分解因式前先要找到公因式，在确定公因式前，应从系数和因式两个方面考虑。3. 提公因式法基本步骤：（ 1）找出公因式；（ 2）提公因式并确定另一个因式：第一步找公因式可按照确定公因式的方法先确定系数在确定字母；第二步提公因式并确定另一个因式，注意要确定另一个因式，可用原多项式除以公因式，所得的商即是提公因式后剩下的一个因式，也可用公因式分别除去原多项式的每一项，求的剩下的另一个因式；提完公因式后，另一因式的项数与原多项式的项数相同。典型例题5. 因式分解：1.提公因式法： 式子中有公因式时，先提公因式。例 1 把2105axaybybx分解因式分析： 把多项式的四项按前两项与后两项分成两组，并使两组的项按x的降幂排列， 然后从两组分别提出公因式2a与b，这时另一个因式正好都是5xy，这样可以继续提取公因式解：21052 (5 )(5 )(5 )(2)axaybybxa xyb xyxyab说明： 用分组分解法， 一定要想想分组后能否继续完成因式分解，由此合理选择分组的方法本题也可以将一、四项为一组，二、三项为一组，同学不妨一试例 2 把2222()()ab cdabcd分解因式分析： 按照原先分组方式，无公因式可提，需要把括号打开后重新分组，然后再分解因式解：22222222()()ab cdabcdabcabda cdb cd2222()()abca cdb cdabd()()()()ac bcadbd bcadbcadacbd说明： 由例 3、例 4 可以看出，分组时运用了加法结合律，而为了合理分组，先运用了加法交换律，分组后，为了提公因式，又运用了分配律由此可以看出运算律在因式分解中所起的作用2. 公式法： 根据平方差和完全平方公式例题 1 分解因式22925xy3.配方法：例 1 分解因式2616xx解：222222616233316(3)5xxxxx(35)(35)(8)(2)xxxx说明：这种设法配成有完全平方式的方法叫做配方法，配方后将二次三项式化为两个平精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 5 页 - - - - - - - - - - 3 方式，然后用平方差公式分解当然，本题还有其它方法，请大家试验4.十字相乘法：（1） 2()xpq xpq型的因式分解这类式子在许多问题中经常出现，其特点是：(1) 二次项系数是1；(2) 常数项是两个数之积；(3) 一次项系数是常数项的两个因数之和22()()()()()xpq xpqxpxqxpqx xpq xpxpxq因此，2()()()xpq xpqxpxq运用这个公式，可以把某些二次项系数为1 的二次三项式分解因式例 1 把下列各式因式分解：(1) 276xx(2) 21336xx解： (1) 6( 1)( 6),(1)( 6)7276(1 ) (6 ) (1) (6 )xxxxxx(2) 3649,491321 33 6(4 ) (9 )xxxx说明： 此例可以看出，常数项为正数时，应分解为两个同号因数，它们的符号与一次项系数的符号相同例 2 把下列各式因式分解：(1) 2524xx(2) 2215xx解： (1) 24( 3)8,( 3)85252 4(3 ) (8 )(3 )(8 )xxxxxx(2) 15( 5)3,( 5)32221 5(5 ) (3 )(5 ) (3 )xxxxxx说明： 此例可以看出，常数项为负数时，应分解为两个异号的因数，其中绝对值较大的因数与一次项系数的符号相同例 3 把下列各式因式分解：(1) 226xxyy(2) 222()8()12xxxx分析： (1) 把226xxyy看成x的二次三项式，这时常数项是26y，一次项系数是y，把26y分解成3y与2y的积，而3( 2 )yyy，正好是一次项系数(2) 由换元思想，只要把2xx整体看作一个字母a，可不必写出，只当作分解精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 5 页 - - - - - - - - - - 4 二次三项式2812aa解： (1) 222266(3 )(2 )xxyyxyxxyxy(2) 22222()8()12(6)(2)xxxxxxxx(3)(2)(2)(1)xxxx（2）一般二次三项式2axbxc型的因式分解大家知道，2112212122112()()()a xca xca a xa ca cxc c反过来，就得到：2121221121122()()()a a xa ca c xc ca xca xc我们发现，二次项系数a分解成12a a， 常数项c分解成12c c， 把1212, , ,a a c c写成1122acac，这里按斜线交叉相乘，再相加，就得到1221a ca c，如果它正好等于2axbxc的一次项系数b， 那么2axbxc就可以分解成1122()()a xca xc， 其中11,a c位于上一行，22,ac位于下一行这种借助画十字交叉线分解系数，从而将二次三项式分解因式的方法，叫做十字相乘法必须注意， 分解因数及十字相乘都有多种可能情况，所以往往要经过多次尝试，才能确定一个二次三项式能否用十字相乘法分解例 4 把下列各式因式分解：(1) 21252xx(2) 22568xxyy解： (1) 21252(32)(41)xxxx324 1(2) 22568(2 )(54 )xxyyxyxy1 254yy说明： 用十字相乘法分解二次三项式很重要当二次项系数不是1时较困难， 具体分解时，为提高速度，可先对有关常数分解，交叉相乘后，若原常数为负数，用减法” 凑” ，看是否符合一次项系数，否则用加法” 凑” ，先 ” 凑” 绝对值，然后调整，添加正、负号精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 5 页 - - - - - - - - - - 文档编码：KDHSIBDSUFVBSUDHSIDHSIBF-SDSD587FCDCVDCJUH 欢迎下载 精美文档欢迎下载 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 5 页，共 5 页 - - - - - - - - - -