2022年利用二次函数求几何图形面积的最值问题 .pdf

学习好资料欢迎下载利用二次函数求几何图形面积的最值问题构造二次函数来确定几何图形中的有关面积最大值的问题是近年来常考的题型，求解这类问题，实际上，只要我们能充分运用条件，根据图形的特点，综合运用所学知识，如，勾股定理、全等三角形、相似三角形、解直角三角形、图形的面积公式等等来寻求等量关系 ，从而 构造出二次函数 ，再利用二次函数的性质即可求解 .现举例说明 . 方法：1、用含有自变量的代数式分别表示出与所求几何图形相关的量（如周长、长、宽、半径等）。2、根据几何图形的特征，列出其面积的计算公式，用函数表示这个面积。3、根据函数关系式求出最大值及取得最大值的自变量的值，当的值不在自变量的取值范围内时，应根据取值范围来确定最大值。例 1（2006 年旅顺口区中考试题）已知边长为4 的正方形截去一个角后成为五边形 ABCDE（如图 1） ，其中 AF2，BF1试在 AB 上求一点 P，使矩形 PNDM 有最大面积 . 简析设矩形 PNDM 的边 DNx，NPy，则矩形 PNDM 的面积 Sxy（2x4） ，易知 CN4x，EM4y. 且有NPBCCNBFAF（作辅助线构造相似三角形） ，即34yx12，所以 y12x+5，Sxy12x2+5x（2x4） ，此二次函数的图象开口向下，对称轴为x5，所以当 x5 时，函数的值是随 x 的增大而增大，对2x4 来说，当 x4 时，S有最大值S最大12 42+5 412. 说明本题是一道代数几何综合题，把相似三角形与二次函数的知识有机的结合在一起，能很好考查学生的综合应用能力.同时，也给同学们探索解题思路留下了思维空间 . 图 2 图 1 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 5 页 - - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载例 2（2006 年南京市中考试题）如图2，在矩形 ABCD 中，AB2AD，线段EF10.在 EF 上取一点 M， 分别以 EM、 MF 为一边作矩形 EMNH、 矩形 MFGN，使矩形 MFGN矩形 ABCD.令 MNx，当 x 为何值时，矩形 EMNH 的面积 S有最大值？最大值是多少？简析因为矩形MFGN矩形 ABCD，所以MNADMFAB，因为 AB2AD，MNx，所以MF2x，所以 EMEFMF102x，所以 Sx(102x)2x2+10 x2(x52)2+252，所以当 x52时，S有最大值为252. 说明本题是利用相似多边形的性质，求出矩形的边之间的关系，再运用矩形的面积构造出二次函数的表达式，使问题求解. 例 3（2006 年泉州市中考试题）一条隧道的截面如图3 所示，它的上部是一个以 AD 为直径的半圆 O，下部是一个矩形ABCD. （1）当 AD4 米时，求隧道截面上部半圆O 的面积；（2）已知矩形 ABCD 相邻两边之和为8 米，半圆 O 的半径为 r 米. 求隧道截面的面积S（米）关于半径 r（米）的函数关系式（不要求写出r 的取值范围）；若 2 米CD3 米，利用函数图象求隧道截面的面积S 的最大值 .（取3.14，结果精确到 0.1米）简析（ 1）当 AD4 米时， S半圆=12 22AD12 222 (米2). （2）因为 AD2r，AD+CD8，所以 CD8AD82r，所以 S12 r2+AD CD12 r2+2r(82r)(12 4)r2+16r；由知 CD82r，又因为 2 米CD3 米，所以 282r3，所以2.5r3，由知S(12 4)r2+16r(12 3.14-4)r2+16r2.43r2+16r2.43(r82.43)2+642.43，因为 2.430，所以函数图象为开口向下的抛物线，因为函数图象对称轴 r82.433.3.又 2.5r33.3，精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 5 页 - - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载由函数图象的性质可知，在对称轴左侧S随 r 的增大而增大，故当r3时，S有最大值，S最大值(12 4) 32+16 3(12 3.144) 9+4826.1326.1(米2). 即隧道截面面积 S的最大值约为 26.1米2. 说明本题是一道典型的代数与几何的综合题，集图形的面积、不等式与二次函数的知识有机的结合在一起，有助于培养同学们的综合应用能力. 例 4（2006 年陕西中考课改试题）王师傅有两块板材边角料，其中一块是边长为 60cm的正方形板子；另一块是上底为30cm，下底为 120cm，高为 60cm的直角梯形板子（如图4） ，王师傅想将这两块板子裁成两块全等的矩形板材.他将两块板子叠放在一起，使梯形的两个直角顶点分别与正方形的两个顶点重合，两块板子的重叠部分为五边形ABCDE 围成的区域（如图5） ，由于受材料纹理的限制，要求裁出的矩形要以点B 为一个顶点 . （1）求 FC 的长；（2）利用如图 5 求出矩形顶点B 所对的顶点到 BC 边的距离 x(cm)为多少时，矩形的面积最大？最大面积时多少？（3）若想使裁出的矩形为正方形，试求出面积最大的正方形的边长. 简析（1）由题意，得 DEFCGF，FCDFCGDE，即603060FCFC，所以 FC40(cm).（2）如图 5，图 3 图 4 图 5 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 5 页 - - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载设矩形顶点 B 所对顶点为 P，则当顶点 P 在 AE 上时， x60，y 的最大值为 60301800(cm2)；当顶点 P 在 EF 上时，过点 P 分别作 PNBG 于点 N，PMAB 于点 M. 根据题意，得 GFC GPN，所以CGFGNGDF，所以 NG23x，所以 BN12023x，所以 yx(12023x)23(x40)2+2400，所以当 x40 时，y 的最大值为 2400(cm2)；当顶点 P 在 FC 上时，y 的最大值为 60402400(cm2). 综合，得x40cm 时，矩形的面积最大，最大面积为2400cm2. （3）根据题意，正方形的面积y(cm2)与边长 x(cm)满足的函数表达式为：y23x2+120 x. 当 yx2时，正方形的面积最大，所以 x223x2+120 x.解之，得x10（舍去），x248(cm). 所以面积最大得正方形得边长为48 cm. 说明本题是一道典型的二次函数与几何综合应用的问题，在解第（2）小题时，一定不要忽视分类讨论来求出每一种情况的最大值后，再进行比较得出结论，第（ 3）小题只需根据题意列出方程就能解决. 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 5 页 - - - - - - - - - - 文档编码：KDHSIBDSUFVBSUDHSIDHSIBF-SDSD587FCDCVDCJUH 欢迎下载 精美文档欢迎下载 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 5 页，共 5 页 - - - - - - - - - -