2022年勾股定理的逆定理教案新人教版 .pdf

勾股定理的逆定的逆定理的探究方法二、过程与方法1用三边的数量关系来判断一个三角形是否为直角三角形，培养学生数形结合的思想2通过对Rt判别条件的研究，培养学生大胆猜想，勇于探索的创新精神三、情感态度与价值观1通过介绍有关历史资料，激发学生解决问题的愿望2通过对勾股定理逆定理的探究；培养学生学习数学的兴趣和创新精神教学重点探究勾股定理的逆定理，理解互逆命题，原命题、逆命题的有关概念及关系教学难点归纳、猜想出命题2的结论教具准备多媒体课件教学过程一、创设问属情境，引入新课活动 1 (1)总结直角三角形有哪些性质 (2) 一个三角形，满足什么条件是直角三角形? 设计意图：通过对前面所学知识的归纳总结，联想到用三边的关系是否可以判断一个三角形为直角三角形，提高学生发现反思问题的能力师生行为学生分组讨论，交流总结；教师引导学生回忆本活动，教师应重点关注学生：能否积极主动地回忆，总结前面学过的旧知识；能否“温故知新”生：直角三角形有如下性质：(1) 有一个角是直角；(2) 两个锐角互余，(3) 两直角边的平方和等于斜边的平方： (4) 在含30角的直角三角形中， 30的角所对的直角边是斜边的一半师：那么，一个三角形满足什么条件，才能是直角三角形呢? 生：有一个内角是90，那么这个三角形就为直角三角形生：如果一个三角形，有两个角的和是90，那么这个三角形也是直角三角形师：前面我们刚学习了勾股定理，知道一个直角三角形的两直角边a， b 斜边 c 具有一定的数量关系即a2b2c2，我们是否可以不用角，而用三角形三边的关系来判定它是否为直角三角形呢?我们来看一下古埃及人如何做? 二、讲授新课活动 2 问题：据说古埃及人用下图的方法画直角：把一根长蝇打上等距离的13个结，然后以3 个结， 4 个结、 5 个结的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，其中一个角便是直角这个问题意味着，如果围成的三角形的三边分别为3、4、5有下面的关系“324252”那么围成的三角形是直角三角形画画看，如果三角形的三边分别为2.5cm，6cm ，6.5cm，有下面的关系，“ 2.52626.52，画出的三角形是直角三角形吗?换成三边分别为4cm、7.5cm、8.5cm再试一试设计意图：由特殊到一般，归纳猜想出“如果三角形三边a，b，c 满足 a2b2c2，那精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 15 页 - - - - - - - - - - 么这个三角形就为直免三角形的结论，培养学生动手操作能力和寻求解决数学问题的一般方法师生行为让学生在小组内共同合作，协手完成此活动教师参与此活动，并给学生以提示、启发在本活动中，教师应重点关注学生：能否积极动手参与能否从操作活动中，用数学语言归纳、猜想出结论学生是否有克服困难的勇气生：我们不难发现上图中，第(1) 个结到第 (4) 个结是 3 个单位长度即AC 3；同理BC 4，AB 5因为 3242 52我们围成的三角形是直角三角形生：如果三角形的三边分别是2.5cm，6cm，6.5cm我们用尺规作图的方法作此三角形，经过测量后，发现6.5cm 的边所对的角是直角，并且2.52626.52再换成三边分别为4cm，7.5cm，8.5cm 的三角形，目标可以发现8.5cm 的边所对的角是直角，且也有427.528.52是不是三角形的三边只要有两边的平方和等于第三边的平方，就能得到一个直角三角形呢 ? 活动 3 下面的三组数分别是一个三角形的三边长a，b，c 5，12，13；7，24，25；8，15，17 (1)这三组效都满足a2b2c2吗? (2)分别以每组数为三边长作出三角形，用量角器量一量，它们都是直角三角形吗? 设计意图：本活动通过让学生按已知数据作出三角形，并测量三角形三个内角的度数来进一步获得一个三角形是直角三角形的有关边的条件师生行为：学生进一步以小组为单位，按给出的三组数作出三角形，从而更加坚信前面猜想出的结论，教师对学生归纳出的结论应给予解释，我们将在下一节给出证明本活动教师应重点关注学生：对猜想出的结论是否还有疑虑能否积极主动的操作，并且很有耐心生： (1) 这三组数都满足a2b2c2(2) 以每组数为边作出的三角形都是直角三角形师：很好，我们进一步通过实际操作，猜想结论命题 2 如果三角形的三边长a，b，c 满足 a2b2c2那么这个三角形是直角三角形同时，我们也进一步明白了古埃及人那样做的道理实际上，古代中国人也曾利用相似的方法得到直角直至科技发达的今天人类已跨人21 世纪，建筑工地上的工人师傅们仍然离不开“三四五放线法”“三四五放线法”是一种古老的归方操作所谓“归方”就是“做成直角”。譬如建造房屋，房角一般总是成90，怎样确定房角的纵横两线呢? 如下图，欲过基线MN上的一点 C 作它的垂线，可由三名工人操作：一人手拿布尺或测绳的0 和 12 尺处，固定在C 点；另一人拿4 尺处，把尺拉直，在MN上定出A点，再由一人拿9 尺处，把尺拉直，定出B点，于是连结BC ，就是 MN 的垂线建筑工人用了3，4，5 作出了一个直角，能不能用其他的整数组作出直角呢? 生：可以，例如7，24， 25；8，15，17 等据说，我国古代大禹治水测量工程时，也用类似的方法确定直角活动 4 问题：命题1 如果直角三角形的两直角边长分别为a， b，斜边长为c，那么 a2b2c2命题 2 如果三角形的三边长分别为a，b，c，满足 a2b2 c2那么这个三角形是直角三角形它们的题设和结论各有何关系? 设计意图：认识什么样的两个命题是互逆命题，明白什么是原命题，什么是逆命题?你精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 15 页 - - - - - - - - - - 前面遇到过有互逆命题吗? 师生行为：学生阅读课本，并回忆前面学过的一些命题教师认真倾听学生的分析教师在本活动中应重点关注学生；能否发现互逆命题的题设和结论之间的关系能否积极主动地回忆我们前面学过的互逆命题生：我们可以看到命题2 与命题1 的题设结论正好相反，我们把像这样的两个命题叫做互逆命题如果把其中的一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题例如把命题 1 当成原命题，那么命题2 是命题 1 的逆命题生：我们前面学过平行线的性质和判定其中“两直线平行，同位角相等”和“同位角相等，两直线平行”是互逆命题“两直线平行，内错角相等”和“内错角相等，两直线平行”也是互逆命题生：“两直线平行，同旁内角互补”和“同旁内角互补，两直线平行”也是互逆命题三、课时小结活动 5 问题：你对本节内容有哪些认识? 设计意图：这种形式的小结，激发了学生的主动参与意识，调动了学生的学习兴趣，为每一位学生都创造了在数学学习活动中获得成功体验的机会，并为程度不同的学生提供了充分展示自己的机会，尊重学生的个体差异，满足学生多极化学习的需要师生行为：教师课前准备卡片，卡片上写出三个数，让学生随意抽出，判断以这三个数为边的三角形能否构成直角三角形在活动5 中，教师应重点关注学生：(1) 不同层次的学生对本节的认知程度(2)学生再谈收获是对不同方面的感受(3) 学生独立面对困难和克服困难的能力板书设计活动与探究 Tom和 Jerry去野外宿营，在某地要确定两条互相垂直的线，而身边又未带直角尺，可利用的只有背包带，你能帮他们想一个简单可行的办法吗? 过程：确定垂线，即为确定一个直角，进而想到构造直角三角形结果：可在背包带上打结，在背包带上打13 个等距离的结，把第5 个结固定在地上，Tom拿住第 1 个和第 13 个结，而 Jerry拿住第 8 个结，拉直背包带，第5 个结处即为直角， ( 图略 ) 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 15 页 - - - - - - - - - - 18.2 勾股定理的逆定理( 二) 教学目标一、知识与技能1了解证明勾股定理逆定理的方法2理解逆定理，互递定理的概念二、过程与方法1经历证明勾股定理逆定理的过程，发展学生的逻辑思维能力和空间想象能力2经历互为逆定理的讨论，培养学生严谨的治学态度和实事求是求学精神三、情感态度与价值观1经历探索勾股定理逆定理证明的过程，培养学生克服困难的勇气和坚强的意志2培养学生与人合作、交流的团队意识教学重点勾股定理逆定理的证明，及互逆定理的概念教学难点互逆定理的概念教具准备多媒体课件教学过程一、创设问题情境，引入新课活动1 以下列各组线段为边长，能构成三角形的是_( 填序号 ) ，能构成直角三角形的是_3， 4，5 1， 3，4 4， 4，6 6， 8，10 5， 7，2 13， 5，12 7，25，24 设计意图：帮助学生回忆构成三角形的条件和判定一个三角形为直角三角形的条件师生行为：由学生自己独立完成，教师巡视学生填的结果在此活动中，教师应重点关注：学生是否熟练地完成填空；学生是否积极主动地完成任务生：能构成三角形的是：，能构成直角三角形的是；二、讲授新课活动 2 问题：命题2 是命题 1 的逆命题，命题1 我们已证明过它的正确性，命题2 正确吗 ?如何证明呢 ? 设计意图：由特例猜想得到的结论，会让一些同学产生疑虑，我们的猜想是否正确，必须有严密的推理证明过程，才能让大家用的放心通过对命题2 的证明，还可以提高学生的逻辑推理能力师生行为：让学生试着寻找解题思路；教师可引导学生发现证明的思路本活动中，教师应重点关注学生：能否在教师的引导下，理清思路能否积极主动地思考问题，参与交流、讨论师： ABC 的三边长a，b，c 满足 a2b2c2如果 ABC 是直角三角形，它应与精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 15 页 - - - - - - - - - - 直角边是 a，b 的直角三角形全等，实际情况是这样吗? 我们画一个直角三角形ABC ，使 BC a，AC b，C90( 如下图) 把画好的ABC 剪下，放在 ABC 上，它们重合吗? 生：我们所画的RtABC ， AB a2b2，又因为c2a2b2，所以 AB2c2，即 AB c ABC 和ABC 三边对应相等，所以两个三角形全等，CC90ABC为直角三角形即命题2 是正确的师：很好，当我们证明了命题2 是正确的，那么命题就成为一个定理由于命题1证明正确以后称为勾股定理，命题2 又是命题1 的逆命题，在此，我们就称定理2 是勾股定理的逆定理，勾股定理和勾股定理的逆定理称为互为逆定理师：但是不是原命题成立，逆命题一定成立吗? 生：不一定，如命题“对顶角相等”成立，它的逆命题“如果两个角相等，那么它们是对顶角”不成立师：你还能举出类似的例子吗? 生：例如：如果两个实数相等，那么它们的绝对值也相等逆命题：如果两个数的绝对值相等，那么这两个实数相等显示原命题成立，而逆命题不成立活动 3 练习： 1如果三条线段长a，b，c 满足 a2c2b2这三条线段组成的三角形是不是直角三角形 ?为什么 ? 2说出下列命题的逆命题这些命题的逆命题成立吗? (1)两条直线平行，内错角相等 (2)如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等 (3)全等三角形的对应角相等 (4)在角的平分线上的点到角的两边的距离相等设计意图进一步理解和掌握勾股定理的逆定理的本质特征，以及互为逆命题的关系及正确性；提高学生的数学应用意识和逻辑推理能力师生行为：学生独立思考，自主完成；教师巡视完成练习的情况，以不同层次的学生给予辅导在此活动中，教师应重点关注学生学生对勾股定理的逆定理的理解学生对互为逆命题的掌握情况学生面对困难，是否有克服困难的勇气师：我们先来完成练习第1 题生： a2c2b2，移项得a2b2c2，所以根据勾股定理的逆定理，这三条线段组成的三角形是直角三角形生： 2(1) 逆命题：如果内错角相等，那么两直线平行，此逆命题成立 (2)逆命题：如果两个数的绝对值相等，那么这两个实数也相等，此逆命题不成立 (3)逆命题：如果两个三角形的对应角相等，那么这两个三角形全等，此逆命题不成立 (4)逆命题：到角两边距离相等的点在这个角的角平分线上，此逆命题成立三、巩固提高活动 4 例 1 一个零件的形状如下图所示，按规定这个零件中A和DBC 都应为精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 5 页，共 15 页 - - - - - - - - - - 直角工人师傅量出了这个零件各边尺寸，那么这个零件符合要求吗? 例 2(1) 判断以 a10，b8，c6 为边组成的三角形是不是直角三角形解：因为a2b210064164c2，即 a2b2c2，所以由a，b，c 不能组成直角三角形请问：上述解法对吗?为什么 ? (2)已知：在 ABC 中， AB 13cm，BC 10cm，BC边上的中线AD 12cm求证： AB AC 设计意图：这是利用勾股定理的逆定理解决实际问题的例子，可以使学生进一步理解勾股定理的逆定理，体会数学与现实世界的联系学生只要能用自己的语言表达清楚解决问题的过程即可师生行为：先由学生独立完成，然后小组交流，讨论；教师巡视学生完成问题的情况，及时给予指导在此活动中，教师应重点关注学生：能否进一步理解勾股定理的逆定理，能否用语言比较规范地书写过程，说明理由能否从中体验到学习的乐趣。生：例 1：分析：这是一个利用直角三角形的判定条件解决实际问题的例子解：在 ABD 中， AB2AD291625 BD2，所以 ABD 是直角三角形，A是直角在BCD 中， BD2BC225144169 132 CD2，所以 BCD 是直角三角形，DBC是直角因此这个零件符合要求例 2： (1) 解：上述解法是不对的因为a10，b8， c 6，b2 c2 6436100102a2，即 b2c2a2所以由a，b， c 组成的三角形两边的平方和等于第三边的平方，利用勾股定理的逆定理可知a，b，c 可构成直角三角形，其中a 是斜边， b，c 是两直角边评注：在解题时，我们不能简单地看两边的平方和是否等于第三边的平方，而应先判断哪一条边有可能作为斜边往往只需看最大边的平方是否等于另外荫边的平方和(2) 证明：根据题意，画出图形，AB 13cm， BC 10cm AD 是 BC 边上的中线 BD CD 5cm，在 ABD 中 AD 12cm， BD 5cm，AB13cm， AB2 169 ， AD2 BD2 122 52 169 所 以AB2 AD2 BD2 则 ADB90ADC 180ADB 1809090在 RtADC中， AC2AD2CD212252 132所以 AC AB 13cm四；课时小结活动 5 问题：你对本节的内容有哪些认识，掌握勾股定理的逆定理及其应用，熟记几组精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 6 页，共 15 页 - - - - - - - - - - 勾股数设计意图：这种形式的小结，激发了学生主动参与意识，调动了学生的学习兴趣为每一位学生都创造了在数学学习活动中获得成功的体验机会小结活动既要注重引导学生将数学知识体系化，又要从能力、情感态度等方面关注学生对课堂的整体感受师生行为：教师可准备好写有勾股数的卡片，让学生随机抽取，让学生说明如果将直角三角形的三条边长同时扩大一个相同的倍数，得到的三角形还是直角三角形吗? 在活动 5，教师应重点关注学生：不同层次的学生对本节知识的认识程度学生再谈收获是对不同方面的感受学生独立面对困难和克服困难的能力，板书设计 18.2 勾股定理的逆定理(二) 勾股定理的逆定理的证明构造RtABC ，使两直角边为a， b，C90，从而得斜边AB c，得到ABC ABC ，所以 CC90， ABC为直角三角形活动与探究给出一组式子：324252，8262102，152 82172，242102262 (1)你能发现上面式子的规律吗?请你用发现的规律，给出第5 个式子； (2)请你证明你所发现的规律过程：观察式子，要注意这些式子中不变的形式，如等式两边每一项的指数为2，等式左边是平方和的形式，右边是一个数的平方很显然，我们发现的规律一定是“( )2( )2( )2”的形式然后再观察每一项与序号的关系，如32，82，152，242与序号有何关系，可知32(221)2，82(321)2，152(421)2，242 (521)2；所以我们可推想，第项一定是(n21)2( 其 n1，n 为整数 ) ，同理可得第二项一定是 (2n)2，等式右边一定是(n2 1)2( 其中 n1，n 为整数 ) (1)解：上面的式于是有规律的，即(n21)2(2n)2 (n21)2(n为大于1 的整数) 第 5 个式子是n6 时，即 (621)2(26)2(621)2化简，得 352122372 (2)证明：左边(n2 1)2(2n)2 (n4 2n21) 4n2n42n21(n21)2右边，证毕精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 7 页，共 15 页 - - - - - - - - - - 18.2 勾股定理的逆定理( 三) 教学目标一、知识与技能能运用勾股定理的逆定理解决简单的实际问题二、过程与方法1经历将实际问题转化为敷学模型的过程，体会用勾股定理的逆定理解决实际问题的方法，发展学生的应用章识2在解决实际问题的过程中，体验解决问题的策略，发展学生的实践能力和创新精神3在解决实际问题的过程中，学会与人合作，并能与他人交流思维过程和结果，形成反思的意识三、情感态度与价值观1在用勾股定理的逆定理探索解决实际问题的过程中获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立学习数学的自信心2在解决实际问题的过程中，形成实事求是的态度以及进行质疑和独立思考问题的习惯教学重点运用勾股定理的逆定理解决实际问题教学难点将实际问题转化成用勾股定理的逆定理解决的数学问题教具准备多媒体课件教学过程一、创设问题情境，引入新课活动 1 问题 1：小红和小军周日去郊外放风筝，风筝飞得又高又远，他俩很想知道风筝离地面到底有多高，你能帮助他们吗? 问题 2：如下图所示是一尊雕塑的底座的正面，李叔叔想要检测正面的AD边和 BC边是否垂直于底边AB ，但他随身只带了卷尺 (1)你能替他想想办法完成任务吗? (2)李叔叔量得AD的长是 30 厘米， AB的长是 40 厘米， BD的长是 50 厘米， AD边垂直于 AB边吗? (3)小明随身只有一个长度为20 厘米的刻度尺，他能有办法检验AD边是否垂直于AB边吗 ?BC边与 AB边呢? 设计意图：通过对两个实际问题的探究，让学生进一步体会到勾股定理和勾股定理的逆定理在实际生活中的广泛应用，提高学生的应用意识，发展学生的创新精神和应用能力在将实际问题转化为数学问题时，肯定要有一定的困难，教师要给学生充分的时间和空间去思考，从而发现解决问题的途径师生行为：先由学生自主独立思考，然后分组讨论，交流各自的想法教师应深入到学生的讨论中去，对于学生出现的问题，教师急时给予引导在此活动中，教师应重点关注学生，能否独立思考，寻找解决问题的途径能否积极主动地参加小组活动，与小组成员充分交流，且能静心听取别人的想法能否由此活动，激发学生学习数学的兴趣生：对于问题1，我们组是这样考虑的：小红拉着风筝站在原地，小军到风筝的正下方也就是说小军的头顶就是风筝小红放线，使线端到达他所站的位置，然后在线端做一记号，最后收回风筝，量出放出的风筝线的总长度AB，再量出小明和小军所站位置的两点间的距离BC ，利用勾股定理便可以求出AB的长度 ( 如下图所示 ) 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 8 页，共 15 页 - - - - - - - - - - 生：对于问题2，我们组是这样考虑的：李叔叔随身只带卷尺检测AD ，BC 是否与底边垂直，也就是要检测DAB 90，CBA 90，连接BD 或 AC ，也就是要检测DAB和CBA 是否为直角三角形很显然，这是一个需要用勾股定理的逆定理来解决的实际问题根据我们的分析，用勾股定理的逆定理来解决，要检测DA月是否为直角三角形，即 DAB 90，李叔叔只需用卷尺分别量出AB ，BD 、 DA的长度，然后计算AB2DA2和 BD2，看他们是否相等，若相等，则说明AD AB ，同理可检测BC 是否垂直于AB 师：很好，对于问题2 中的第 (2) 个小问题，李叔叔已量得AD，AB ，BD 的长度，根据他量出的长度能说明DA和 AB垂直吗 ? 生：可以，因为AD2 AB2 302402 2500，而BD2 2500，所以AD2 AB2BD2可得 AD与 AB垂直师：小明带的刻度尺长度只有20 厘米，他有办法检验AD与 AB边的垂直吗 ? 生：可以利用分段相加的方法量出AD ，AB ，BD的长度生：这样做误差太大，可以AB ，AD 上各量一段较小的长度例如在AB 边上量一小段AE 8cm，在AD 边上量一小段AF6cm，而AE2 AF282 62 6436100102，这时只要量一下EF是否等于 10cm即可如果 EF 10cm，EF2100，则有 AE2AF2EF2，根据勾股定理的逆定理可知AEF是 直 角 三 角 形 ， EAF 90 即 DAB 90 所 以AD AB； 如 果EF 10cm， 则EF2100，所以 AE2AF2EF2，AEF不是直角三角形，即AD不垂直于AB 师：看来，同学们方法还真多，没有被困难吓倒，祝贺你们接下来，我们继续用勾股定理的逆定理解决几个问题二、讲授新课活动 2 问题： 例 1 判断由线段a、b、c 组成的三角形是不是直角三角形 (1)a15，b8，c17； (2)a13，b14，c 15； (3)求证： m2n2，m2n2，2mn(m n，m ，n 是正整数 ) 是直角三角形的三条边长设计意图：进一步让学生体会用勾股定理的逆定理，实现数和形的统一，第(3) 题又让学生从一次从一般形式上去认识勾股数，如果能让学生熟记几组勾股数，我们在判断三角形的形状时，就可以避开很麻烦的运算师生行为：先由学生独立完成，然后小组交流教师应巡视学生解决问题的过程，对成绩较差的同学给予指导在此活动中，教师应重点关注学生：能否用勾股定理的逆定理判断三角形的形状。能否发现问题，反思后及时纠正能否积极主动地与同学交流意见生：根据勾股定理的逆定理，判断一个三角形是不是直角三角形，只要看两条较精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 9 页，共 15 页 - - - - - - - - - - 小边长的平方和是否等于最大边长的平方解： (1) 因为 1528222564 289， 172289，所以 15282172，这个三角形是直角三角形 (2)因为 132142169 196365 152225 所以 132142152这个三角形不是直角三角形生：要证明它们是直角三角形的三边，首先应判断这三条线段是否组成三角形，然后再根据勾股定理的逆定理来判断它们是否是直角三角形的三边长 (3)证明： m n、m 、n 是正整数 (m2n2) (m2n2) 2m22mn ，即(m2n2)(m2n2) 2mn 又因为 (m2n2) 2mn m2n(2mn) ，而 2m n m (m n) 0，所以 (m2n2) 2mn m2 n2这三条线段能组成三角形又因为 (m2n2)2m4n42m2n2 (m2n2)2m4n42m2n2 (2mn)2 4m2n2，所以 (m2n2)2(2mn)2m4n42m2n24m2n2m4n42m2n2(m2n2)2 所以，此三角形是直角三角形，m2 n2、 2mn 、 m2n2(mn、 m 、 n 是正整数 ) 这三边是直角三角形的三边师：我们把像15、8、7 这样，能够成为三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数而且我们不难发现m2n2、m2n2、2mn 也是一组勾股数，而且这组勾股数由于m可取值的不同会得到不同的勾股数，例如m 2，n1 时， m2n222123， m2 n2 22 125，2mn 221 4，而 3、4、5 就是一组勾股数你还能找到不同的勾股数吗? 生：当m 3，n2 时， m2n2 3222 5，m2n213， 2mn 232 12，所以5、12、13 也是一组勾股数，当m 4， n2 时， m2 n2 42 22 12，m2n220， 2mn 242 16，所以12、16、20 也是一组勾股数师：由此我们发现，勾股数组有无数个，而上面介绍的就是寻找勾股数组的一种方法 17世纪，法国数学家费马也研究了勾股数组的问题，并且在这个问题的启发下，想到了一个更一般的问题，1637 年，他提出了数学史上的一个著名猜想费马大定理，即当n2 时，找不到任何的正整数组，使等式xn ynzn成立，费马大定理公布以后，引起了各国优秀数学家的关注，他们围绕着这个定理顽强地探索着，试图来证明它 1995 年，英籍数学家怀尔斯终于证明了费马大定理，解开了这个困惑世间无数智者 300 多年的谜活动 3 问题： 例 2 “远航”号，“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16 海里，“海天”号每小时航行12 海里，它们离开港口一个半小时后相距30 海里，如果知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 10 页，共 15 页 - - - - - - - - - - 沿哪个方向航行吗? 设计意图：让学生体会勾股定理的逆定理在航海中的应用，从而树立远大理想，更进一步体会数学的实用价值，师生行为：教师先鼓励学生根据题意画出图形，然后小组内交流讨沦，教师需巡视，对有困难的学生一个启示，帮助他们寻找解题的途径在此活动中，教师应重点关注：学生能否根据题意画出图形学生能否积极主动地参与活动学生是否充满信心解决问题生：我们根据题意画出图形，( 如下图 ) ，可以看到，由于“远航”号的航向已知，如果求出两艘轮船的航向所成的角，就能知道“海天”号的航向了解：根据题意画出下图 PQ 161.5 24， PR121.5 18，QA 30因为 242182302，即 PQ2PR2QR2所以QPR 90由“远航”号沿东北方向航行可知，QPS 45，所以 RPS 45，即“海天”号沿西北或东南方向航行三、巩固提高活动 4 问题： A 、B、C 三地两两距离如下图所示，A 地在 B 地的正东方向，C 地在 B 地的什么方向 ? 设计意图：进一步熟练掌握勾股定理的逆定理的应用师生行为：由学生独立完成后，由一个学生板演，教师讲解解： BC2AB252122169， AC2132169，所以 BC2AB2AC2，即 BC的方向与BA方向成直角， ABC 90，C地应在B地的正北方向四，课时小结活动 5 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 11 页，共 15 页 - - - - - - - - - - 问题：谈谈这节课的收获有哪些?掌握勾股定理及逆定理，来解决简单的应用题，会判断一个三角形是直角三角形设计意图：这种形式的小结，激发了学生的主动参与意识，调动了学生的学习兴趣，为每一位学生都创造了在数学学习活动中获得成功体验的机会师生行为：教师课前可准备一组小卡片，卡片上写上针对这节课内容不同形式的小问题，请同学们抽签回答板书设计 182 勾股定理的逆定理( 三) 1勾股定理的逆定理一实际问题( 判定直角三角形的形状) 2勾股数组3在实际生活中的应用活动与探究如下图，在正方形ABCD 中E是 BC的中点， F 为 CD上一点，且CF14 CD求证： AEF 是直角三角形过程：要证 AEF 是直角三角形，由勾股定理的逆定理，只要证AE2EF2 AF2即可利用代数方法( 即勾股定理的逆定理) 计算三角形的三边长，看它们是否是勾股数，以判断三角形是否是直角三角形，这是解决几何问题常用的方法之一结果：设正方形ABCD的边长是a，则BE CE 12 a ，CF14 a ，DF34 a ，在RtABE中，由勾股定理得 AE2AB2BF2a2(12 a)254 a2同理，在 RtADF中， AF2AD2DF2a2(34 a)22516 a2，在 RtCEF中， EF2CE2 CF2 (12 a)2(14 a)2516 a2所以， AF2AE2EF2所以， AEF 是直角三角形习题详解习题 182 1解： (1)a249，b2576，c2625 a2b249576625c2625 所以， a2b2c2，根据勾股定理的逆定理，得由线段a7， b24， c25 能组成精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 12 页，共 15 页 - - - - - - - - - - 直角三角形 (2)a22.25 ，b24，c26.25 ，而 a2b22.25 46.25 ，所以， a2b2c2，根据勾股定理的逆定理，得由线段a1.5 ，b2，c2.5 可组成直角三角形(3)a22516，b21，c2916，b2c21916即， a2b2c2，所以，以 a54，b1， c34为边可组成直角三角形 (4)a21600，b22500，c23600而 a2b241003600，即a2b2c2，不能构成直角三角形2，(1) 逆命题：两直线平行，同旁内角互补此逆命题成立 (2)逆命题：如果两个角相等，那么这两个角走直角此逆命题不成立 (3)逆命题：如果两个三角形三边对应相等，那么这两个三角形全等此逆命题成立 (4)逆命题：已知两个数，如果它们的平方相等，则这两个数也相等此逆命题不成立3解：根据题意，如下图所示AB80m ， BC 60m ，CA 100m 因为， 802 6021002，即 AB2BC2AC2，所以 ABC 为 Rt，即小明向东走了80m 后又向北或向南走了 60m ，最后回到原地(A 点 ) 4解： a24m2，b2(m21)2m42m21，c2(m21)2m42m21，而 a2b2m2m42m21m42m21所以 a2 b2c2，即 a、b、c 为勾股数当 m 2 时，可得一组勾股数：4、3、5；当 m 3 时，可得一组勾股数：6、8、lO；当 m 4 时，可得一组勾股数，8、15、17，5解： AD是 BC迫上的中线，且BC 10cm，所以 BD DC 12 BC5cm， AB13cm，AD 12cm 13212252，所以 AB2 AD2BD2ABD为 Rt且ADB 90，所以 ADC 90， ACAD2DC21225213 63、4、5 是一组勾股数，那么3k，4k，5k(k是正整数 ) 也是一组勾股数，因为精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 13 页，共 15 页 - - - - - - - - - - (3k)2 (4k)2(5k)2；同样 a， b、c 是一组勾股数，则a2b2c2，而 (ak)2a2k2，(bk)2 b2k2，(ck)2(c2k2，所以 a2k2b2k2c2k2，则 ak，bk， ck，(k 为正整数 ) 也是一组勾股数精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 14 页，共 15 页 - - - - - - - - - - 文档编码：KDHSIBDSUFVBSUDHSIDHSIBF-SDSD587FCDCVDCJUH 欢迎下载 精美文档欢迎下载 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 15 页，共 15 页 - - - - - - - - - -