2022年北师大版选修2-1充分条件与必要条件教案 .pdf

2 充分条件与必要条件21充分条件22必要条件23充要条件三维目标1知识与技能通过具体实例中条件之间关系的分析，理解充分条件、必要条件和充要条件的含义2过程与方法(1)通过判定定理、性质定理，帮助学生抓住充分条件、必要条件等概念的本质，更好地理解概念(2)通过充分条件、必要条件的学习，培养学生进行简单推理的技能，发展学生的思维能力3情感、态度与价值观(1)在日常生活和学习中，养成说话准确、做事有条理的良好习惯(2)在探求未知、认识客观世界的过程中，能运用数学语言合乎逻辑地进行讨论和质疑，提高思维的逻辑性重点难点重点： 1.理解充分条件、必要条件的含义2充分条件、必要条件、充要条件的判断难点：对必要条件的理解在教学过程中，注重把教材内容与生活实际结合起来，加强数学教学的实践性，在教学方法上采用“合作探索”的开放式教学模式，在合作中去领会充分条件、必要条件的含义；在探索中，体会充分条件、必要条件的判断方法(教师用书独具) 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 19 页 - - - - - - - - - - 教学建议教学必须遵循学生的认知规律，尽可能地让学生去经历知识的形成与发展过程，引导学生分析实例，让学生从实例中抽象出数学概念在巩固练习时，选题内容尽量涉及几何、代数较广领域，但不可拔高要求，追求一步到位，而要在今后的教学中滚动式逐步深化，使之与学生的知识结构同步发展完善教学流程创设情境，激发兴趣引导归纳，给出定义深入探究，获得新知反馈练习，形成方法总结反馈，拓展引申课标解读1.理解充分条件、必要条件与充要条件的意义(重点 ) 2充分条件、必要条件与充要条件的判断(难点 ) 3利用条件关系求字母的取值范围(难点 )充分条件与必要条件【问题导思】已知直线 l1：yk1xb1，l2：yk2xb2. (1)由 k1k2能推出 l1l2吗？【提示】当 k1k2，b1b2时， l1与 l2重合，故由k1k2不能推出l1l2. (2)由 l1l2能推出 k1k2吗？精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 19 页 - - - - - - - - - - 【提示】由 l1l2能推出 k1k2. 1推断符号 “? ”的含义“若 p，则 q”为真，是指由条件p 经过推理可以得到结论q，记作p? q，读作“ p推出 q”2充分条件与必要条件推式“若 p，则 q”真，即 p? q “若 p，则 q”的逆命题真，即 q? pp 是 q 的充分条件必要条件q 是 p 的必要条件充分条件充要条件【问题导思】一天，你与你的妈妈到她的同事家做客，你的妈妈向她的同事介绍：“这是我的女儿”，请问：你还需要介绍：“这是我的妈妈”吗？为什么？【提示】不需要，因为由A 是 B 的女儿，可推出B 是 A 的妈妈，反之亦然精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 19 页 - - - - - - - - - - 如果 p? q，且 q? p，那么称 p 是 q 的充分必要条件，简称充要条件，记作p? q. 充分条件、必要条件、充要条件的判断(1)“b24ac0”是“一元二次不等式ax2bx c 0 的解集为R”的 () A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件(2)对于数列 an ，“an1|an|(n1,2，)”是“ an为递增数列”的() A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【思路探究】着眼点分清条件p 与结论 q 分别判断 “若 p，则 q”与 “若 q，则 p”的真假【自主解答】(1)当 ac 1，b0 时，不等式ax2bxc0 的解集为 ?. 反过来，由一元二次不等式ax2bxc0 的解集为R，得a0 b24ac0，因此， b24ac0 是一元二次不等式ax2bxc0 的解集为R 的必要不充分条件(2)由 an1|an|an，得 an1an，an是递增数列反过来，由 an 是递增数列，知an1an，但不一定有an1|an|，如递增数列 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 19 页 - - - - - - - - - - (12)n 中，a112，a214，a2|a1|不成立因此， “an1|an|(n1,2， )”是“an为递增数列 ”的充分不必要条件【答案】(1)B(2)A 除了用定义判断充分条件与必要条件外，还可以利用集合间的关系判断：已知集合A x|p(x) ，Bx|q(x) ，若 A? B，则 p 是 q 的充分条件，q 是 p 的必要条件提醒：在判断充分条件与必要条件时，要注意分清条件和结论(1)“|x|1 且|y|1”是“点P(x，y)在圆 x2y21 内”的 () A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件(2)设 an是等比数列，则“a1a2a3”是“数列 an是递增数列”的() A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【解析】(1)当 xy32时，x2y2321，所以点P(x， y)不在圆内；反过来，当点 P(x，y)在圆内时， x2y21，所以 x21，y21，所以 |x|1，|y|1. 因此， “|x|1 且|y|1”是“点 P(x，y)在圆 x2y21 内”的必要不充分条件(2) an 是递增数列，可得a1 a2a3；反过来，由a1a2a3，得 a1a1qa1q2，当 a10 时， q1；当 a1 0 时， 0q1. an1ana1qn1(q1)0，an1an，an是递增数列精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 5 页，共 19 页 - - - - - - - - - - 因此， “a1a2a3”是“数列 an是递增数列 ”的充要条件【答案】(1)B(2)C 充分条件、必要条件的应用已知 p：4xk0，q：x2x 20，且 p 是 q 的充分条件，求k 的取值范围【思路探究】求出 p、q 对应的集合A、B 充分条件A? Bk 满足的条件 解不等式k的取值范围【自主解答】由 4xk0，得 xk4. 由 x2x20，得 x 1 或 x2. 设 Ax|xk4，B x|x1 或 x2 由 p 是 q 的充分条件，得A? Bk4 1，k4. 即 k 的取值范围为 (4， )1涉及与充分、必要条件有关的求参数取值范围问题，常借助集合的观点来处理2解决本题的关键是把p、q 之间的关系转化为p、q 所表示集合之间包含关系，然后，建立关于参数的不等式(组 )求解已知 p：4xk0，q：x2x20，且 p 是 q 的必要条件，求k 的取值范围【解】由 4xk0，得 xk4；由 x2x20，得 1x2. 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 6 页，共 19 页 - - - - - - - - - - 设 Ax|xk4，B x|1x2，由 p 是 q 的必要条件，得A? Bk42，k8. 即 k 的取值范围为 (， 8. 充要条件的证明已知数列 an的前n 项和为Sn，求证：“对任意nN， Sna1ann2”是“数列 an是等差数列”的充要条件【思路探究】分清条件和结论，证明充分性即证“条件 ? 结论 ”，证明必要性即证“结论 ? 条件 ”【自主解答】必要性：由等差数列的前n 项和计算公式，得Sna1ann2. 充分性：由Sna1ann2，得 Sn1a1an1n12. 两式相减得，an1a12n1 an12nan2整理得 (n1)an1nana1，nan2(n1)an1a1，两式相减得，nan2(n1)an1(n1)an1nan整理得 2nan1nan2nan2an1an2an，数列 an是等差数列精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 7 页，共 19 页 - - - - - - - - - - 1首先分清条件和结论本例中条件是“对任意nN，Sna1ann2”，结论是“数列 an是等差数列 ”2分两步证明，既要证明充分性，又要证明必要性(证明先后顺序不作要求)3证明充分性时，把条件当已知去推证结论的正确性；证明必要性时，结论当已知去推证条件的正确性已知数列 an满足 anan1 2n1(nN)，求证：数列 an为等差数列的充要条件是 a11. 【证明】必要性：由anan12n1，得a23a1，a35a22a1，由数列 an是等差数列，得2a2a3a1，2(3a1)(2a1) a1，解得 a11. 充分性：由anan12n1，得 an1an22(n 1)12n3，两式相减得an2an2，数列 a2n1 是首项为 a11，公差为 2 的等差数列a2n112(n1)2n1，即当 n 为奇数时， ann. 当 n 为偶数时， n1 是奇数，an1n1，an(2n1)an1(2n 1)(n1)n. 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 8 页，共 19 页 - - - - - - - - - - 综上得 ann，an1an(n1)n1. 因此，数列 an是等差数列 . 充分、必要条件颠倒致误已知 p：x2x20，q：x(1，m)，且 p 是 q 的充分不必要条件，则 () Am2Bm 2 C 1m2 D 1m2 【错解】由 x2x20，得 x( 1,2)p 是 q 的充分不必要条件，(1，m)( 1,2)m 1m2即1m2，故选 C. 【答案】C 【错因分析】颠倒了充分条件和必要条件，把充分条件当成必要条件致误【防范措施】在求解与充分条件、必要条件有关的问题时，要分清条件p 和结论 q.只有分清条件和结论才能正确判断p 与 q 的关系，才能利用p 与 q 的关系解题在由条件p 与结论q 之间的关系求字母的取值范围时，将p 与 q 之间的关系转化为集合之间的关系，是求解这一类问题的常用方法【正解】由 x2x20，得 x( 1,2)p 是 q 的充分不必要条件，(1,2)(1，m)，m2.故选 A. 【答案】A 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 9 页，共 19 页 - - - - - - - - - - 1判断 p 是 q 的什么条件，其实质是判断p? q 与 q? p 两个命题的真假2当不易判断p? q 与 q? p 的真假时，可从集合的角度入手首先建立与p、q 相应的集合，即p：Ax|p(x) ，q：Bx|q(x). 若 A? B，则 p 是 q 的充分条件，若AB，则 p 是 q 的充分不必要条件精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 10 页，共 19 页 - - - - - - - - - - 若 B? A，则 p 是 q 的必要条件，若BA，则 p 是 q 的必要不充分条件若 AB，则 p，q 互为充要条件若 AB，且 BA，则 p 既不是 q 的充分条件，也不是q 的必要条件3.命题“若 p，则 q”为真、 p? q、p 是 q 的充分条件、q 是 p 的必要条件，这四种形式表达的是同一逻辑关系，只是说法不同而已. 1“ x4”是“函数ysin 2x 取得最大值”的() A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【解析】当 x4时， ysin 2x 取最大值 1；但当 ysin 2x 取最大值1时， x 不一定等于4，比如 x54.因此“x4”是“函数 ysin 2x 取得最大值 ”的充分不必要条件【答案】A 2(2013 福建高考 )已知集合A1 ，a ，B 1,2,3 ，则“ a 3”是“ A? B”的() A充分而不必要条件B必要而不充分条件精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 11 页，共 19 页 - - - - - - - - - - C充分必要条件D既不充分也不必要条件【解析】A1，a ，B1,2,3 ，A? B，aB 且 a1，a2 或 3，“ a3”是“A? B”的充分而不必要条件【答案】A 3用符号“ ? ”、“ ?”、“ ? ”填空：(1)x0_x1；(2)整数 a 能被 2 整除 _整数 a 是偶数；(3)MN_log2Mlog2N. 【解析】利用这三种符号的意义求解【答案】(1)?(2)?(3)?4直线 xym0 与圆(x1)2(y1)22 相切的充要条件是什么？【解】由直线 xym0 与圆(x1)2(y1)22 相切，得|11m|12122. 解得 m0 或4. 又当 m0 或 4 时，直线xym0 与圆 (x1)2 (y 1)22 相切因此，直线xym0 与圆 (x1)2(y1)22 相切的充要条件是m 0或 4. 一、选择题1设集合 M1,2 ，Na2 ，则“ a1”是“ N? M”的 () A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【解析】当 a1 时， N 1 ? M；但当 N? M 时，推不出a1，比如 a2.故选精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 12 页，共 19 页 - - - - - - - - - - A. 【答案】A 2“ sin Acos B”是 ABC 为锐角三角形的() A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【解析】当 A120 ，B45 时， ABC 为钝角三角形；当ABC 是锐角三角形时， AB90 ，A90 B，又 0 A,90 B90 ，则 sin Asin(90 B)cos B【答案】B 3已知 p：lg x0，那么命题p 的一个必要不充分条件是() A0 x1 B 1x1 C.12x23D12x2 【解析】由 x2 lg x0，得 0 x1.设 p 的一个必要不充分条件为q，则 p? q，但 q? /p.故选 B【答案】B 4(2012 天津高考 )设 xR，则“ x12”是“ 2x2x10”的 () A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分又不必要条件【解析】不等式2x2x 10 的解集为x12或 x 1，所以 “x12” 是“2x2 x10”成立的充分不必要条件，选A. 【答案】A 5(2013 江浙高考 )已知函数f(x)Acos(x )(A0， 0， R)，则“ f(x)是奇函数”是“ 2”的 () A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 13 页，共 19 页 - - - - - - - - - - 【解析】若 f(x)是奇函数，则f(0)0，所以 cos 0，所以 2 k( k Z)，故 2不成立；若 2，则 f(x)Acos(x 2) Asin(x )， f(x)是奇函数所以f(x)是奇函数是 2的必要不充分条件【答案】B 二、填空题6关于 x 的不等式 ax2bxc0 的解集为 R 的充要条件是 _【解析】对 a 分 a0 和 a0 两种情况讨论【答案】a0b24ac0或ab0c07在“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”中选出一种填空：(1)“a0”是“函数f(x)x2ax(xR)为偶函数”的_；(2)“sin sin ”是“ ”的 _；(3)“xMN”是“ xMN”的_；(4)对于实数a，b，c，“ab”是“ ac2bc2”的 _【解析】利用定义求解【答案】(1)充要条件 (2)既不充分也不必要(3)充分不必要 (4)必要不充分8若命题“若p，则 q”为真，则下列说法正确的是_p 是 q 的充分条件；p 是 q 的必要条件；q 是 p 的充分条件；q 是 p 的必要条件【解析】由充分条件与必要条件的定义知， 正确【答案】三、解答题9已知： p：x1，q：1x1，试判断 p 是 q 的什么条件？精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 14 页，共 19 页 - - - - - - - - - - 【解】由1x1，得1xx0，x(x1)0，x1 或 x0. x|x1x|1x1，p 是 q 的充分不必要条件10已知 p、q 都是 r 的必要条件， s 是 r 的充分条件，q 是 s 的充分条件，试问：(1)s是 q 的什么条件； (2)r 是 q 的什么条件； (3)p 是 q 的什么条件【解】p、q、r、s 的关系可以用右图表示：(1)s? r，r? q，s? q，又 q? s，s是 q 的充要条件(2)q? s，s? r，q? r，又 r? q，r 是 q 的充要条件(3)q? s，s? r，r? pq? p，p 是 q 的必要条件11已知 p：x2x 3a10，q：xa22xa0，若 q 是 p 的必要条件，求实数a 的取值范围【解】由 q 是 p 的必要条件，可知 x|x2x 3a 1 0 ? x|xa22xa0精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 15 页，共 19 页 - - - - - - - - - - 由 a22a，得 x|xa22xa 0 x|axa2 2，当 3a12，即 a13时， x|x2x 3a10 x|2x3a1 ，a2a2c3a1，解得13a352；当 3a12，即 a13时， x|x2x 3a10 ?，符合题意；当 3a12，即 a13时， x|x2x 3a10 x|3a1x2 ，a3a1a222，解得12a13. 综上得，a12，352.(教师用书独具) 设 nN，一元二次方程x2 4xn0有整数根的充要条件是n_. 【思路探究】先由必要性求出n 值，再验证所求得的n 值满足充分性精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 16 页，共 19 页 - - - - - - - - - - 【自主解答】x24xn0 有整数根，x4 164n22 4n，4n 为某个整数的平方且4n0，n3 或 n4. 当 n3 时， x24x30，得 x1 或 x3；当 n4 时， x24x40，得 x2. n3 或 n4. 【答案】3 或 4 在一些充要条件的命题中往往是“A 的充要条件是B”，这种情况下的条件实际是B，结论是A，因此其充分性是B? A，必要性是A? B在寻求 A 成立的充要条件时，可先由 A? B，再验证 B? A. 函数 f(x)cos2axsin2ax 的最小正周期是的充要条件是a_. 【解析】f(x)cos 2ax，由 f(x)的最小正周期是 ，得2|2a| ，a 1. 当 a1 时， f(x)cos 2x；当 a1 时， f(x)cos(2x)cos 2x. 当 a 1 时， f(x)的最小正周期都是22.a 1. 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 17 页，共 19 页 - - - - - - - - - - 【答案】 1 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 18 页，共 19 页 - - - - - - - - - - 文档编码：KDHSIBDSUFVBSUDHSIDHSIBF-SDSD587FCDCVDCJUH 欢迎下载 精美文档欢迎下载 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 19 页，共 19 页 - - - - - - - - - -