2022年北师大版必修5高中数学第二章《应用性问题》word典例分析素材 .pdf
名师精编优秀教案应用性问题1三角形中的有关公式（正弦定理、余弦定理、三角形内角和定理、三角形面积公式等）；2正弦定理和余弦定理解三角形的常见问题有：测量距离问题、测量高度问题、测量角度问题、计算面积问题、航海问题、物理问题等；3实际问题中有关术语、名称（1）仰角和俯角：在目标视线和水平视线所成的角中，目标视线在水平视线上方的角叫仰角；在水平视线下方的角叫俯角（2）方位角：指正北方向顺时针转到目标方向线水平角典例分析例 1(1) 某人朝正东方走xkm后，向左转1500，然后朝新方向走3km ，结果它离出发点恰好3km，那么x等于（）（A）3（B ）32（C）3或32（D） 3 解： C 提示：利用余弦定理（2）甲、乙两楼相距20m，从乙楼底望甲楼顶的仰角为060，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为030，则甲、乙两楼的高分别是（）A 40 320 3,3mm B 10 3 ,20 3mmC 10( 32),20 3mm D 15 320 3,23mm解： A （3）一只汽球在2250m的高空飞行， 汽球上的工件人员测得前方一座山顶上A点处的俯角为018，汽球向前飞行了2000m后，又测得A点处的俯角为082，则山的高度为（）A 1988m B 2096m C 3125m D 2451m解： B （4）已知轮船A和轮船 B同时离开 C岛， A向北偏东025方向， B向西偏北020方向，若A的航行速度为25 nmi/h ，B的速度是 A的35，过三小时后，A、B的距离是解： 90.8 nmi 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 7 页 - - - - - - - - - - 名师精编优秀教案(5) 货轮在海上以40km/h 的速度由 B到 C航行，航向为方位角0140NBC，A处有灯塔，其方位角0110NBA，在 C处观测灯塔A的方位角035MCA，由 B到 C需航行半小时，则 C到灯塔 A的距离是解：10(62)km 提示：由题意知075BCA，利用余弦定理或解直角三角形可得。变式训练 1：如图，当甲船位于A处时获悉，在其正东方向相距20 海里的 B处有一艘渔船遇险等待营救甲船立即前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西30 ，相距 10 海里 C处的乙船，试问乙船应朝北偏东多少度的方向沿直线前往B处救援（角度精确到1 ）？解：连接 BC,由余弦定理得BC2=202+10222010cos120=700.于是 ,BC=107. sinsin1202010 7ACB, sin ACB=73, ACB90 ACB=41 乙船应朝北偏东71方向沿直线前往B处救援 . 例 2. 在某海滨城市附近海面有一台风，据检测，当前台风中心位于城市O(如图 ) 的东偏南2(cos)10方向 300 km 的海面 P处，并以 20 km / h的速度向西偏北45的方向移动，台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60 km ，并以 10 km / h的速度不断增加，问几小时后该城市开始受到台风的侵袭？持续多长时间？解：设在时刻t(h) 台风中心为Q,此时台风侵袭的圆形区域半径为10t+60(km) 若在时刻 t 城市 O受到台风的侵袭, 则6010tOQ由余弦定理知OPQPOPQPOPQOQcos2222由于 PO=300,PQ=20t 5445coscosOPQ故2222203009600OQtt21060t北20 10 A B ?C 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 7 页 - - - - - - - - - - 名师精编优秀教案即2362880tt解得2412t答： 12 小时后该城市受到台风的侵袭，侵袭的时间将持续12 小时变式训练 2：如图所示 , 海岛 A周围 38 海里内有暗礁，一艘船向正南方向航行，在B处测得岛 A在船的南偏东030方向上，船航行30 海里后，在C处测得岛A在船的南偏东045方向上，如果此船不改变航向，继续向南航行，有无触礁危险？解：由题意得，在 ABC 中， BC=30 ，030B，0135ACB所以015A，由正弦定理可知：sinsinBCACAB0030sin15sin30AC所以060cos15AC，于是 A到 BC所在直线的距离为000sin4560cos15sin45AC40.9838所以船继续向南航行无触礁危险。例 3. 如图所示，公园内有一块边长2a的等边 ABC 形状的三角地，现修成草坪，图中DE把草坪分成面积相等的两部分，D在 AB上，E在 AC上. （1）设 AD()x xa，EDy，求用x表示y的函数关系式；（2）如果 DE是灌溉水管，为节约成本希望它最短，DE的位置应该在哪里？如果DE是参观线路，则希望它最长，DE的位置又在哪里？请给予证明. 解： （1）在ABC中，D在 AB上，2axaSADE=12SABC 02011sin 60sin 6024x AEAB22aAEx，在 ADE 中，由余弦定理得：4222242ayxax422242(2 )ayxaaxax（2）令2xt，则224ata则4242aytat令42224( )2,4af ttataat，精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 7 页 - - - - - - - - - - 名师精编优秀教案则4242222244(2)(2)( )1atatataftttt22(,2) ( )0taaft当时,；22(2,4) ( )0taaft当时,222222()3,(2)2,(4)3f aafaafaa又22,2taxa当即时,y有最小值2a，此时 DE BC，且2ADa224,2taaxaay当或即或时,有最大值3a，此时 DE为 ABC的边 AB或 AC的中线上 . 变式训练 3：水渠道断面为等腰梯形，如图所示，渠道深为h，梯形面积为S，为了使渠道的渗水量达到最小，应使梯形两腰及下底之和达到最小，此时下底角应该是多少？解：设CDa，则2,sintanhhCDaCBABa则，所以12()2tantanhShSaahah设两腰与下底之和为l，则22cos2tansinsinShhSlaCBhhh2221 2sin3sincos2222sincos2sincos2222SShhhh31tan222tan2Shh312tan3222tan2SShhhh当且仅当31tan222tan2时，上式取等号，即当3tan23时，上式取等号0030 ,602即，所以下角060时，梯形两腰及下底之和达到最小例 4. 如图，半圆 O的直径为 2，A为直径延长线上的一点，OA=2 ，B为半圆上任意一点，以AB为一边作等边三角形ABC 。问：点 B在什么位置时，四边形OACB 面积最大？解：设AOB，在AOB中，由余弦定理得：2222cosABOAOBOAOBAOB22122 12 cos54cos精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 7 页 - - - - - - - - - - 名师精编优秀教案于是，四边形OACB 的面积为 S=SAOB+ SABC213sin24OA OBAB132 1 sin(54cos)245 35 3sin3 cos2sin()434因为0，所以当32，56，即56AOB时，四边形 OACB 面积最大变式训练 4：如图所示，某海岛上一观察哨A上午 11 时测得一轮船在海岛北偏东060的 C处， 12 时 20 分测得船在海岛北偏西060的 B处， 12 时 40 分轮船到达位于海岛正西方且距海岛 5 km 的 E港口，如果轮船始终匀速直线前进，问船速多少？解：轮船从C到 B用时 80 分钟，从 B到 E用时 20 分钟，而船始终匀速前进，由此可见：BC=4EB ，设 EB=x，则则 BC=4x，由已知得0030 ,150BAEEAC在AEC中，由正弦定理得：sinsinsinsinECAEAEEACCEACCEC05sin150152xx在ABC中，由正弦定理得：0sin120sinBCABC014sin2sin12032xBCCxAB4 33在ABE中，由余弦定理得：22202cos30BEABAEAB AE164 333131252 5,33233BE故所以船速3139313BEvt答：该船的速度为93 km/h 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 5 页，共 7 页 - - - - - - - - - - 名师精编优秀教案精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 6 页，共 7 页 - - - - - - - - - - 文档编码：KDHSIBDSUFVBSUDHSIDHSIBF-SDSD587FCDCVDCJUH 欢迎下载 精美文档欢迎下载 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 7 页，共 7 页 - - - - - - - - - -
