2022年北师大版初一上期第五章总结 .pdf

1 第五章总结一一元一次方程概念：等式：用“ = ”符号将字母或数字连成的式子方程：含有未知数的等式方程的解（根）：使方程左右两边相等的未知数的值一元一次方程：在一个方程中，只含有一个未知数（元） ， 并且未知数的指数是1 （次） ，这样的方程叫做一元一次方程。分式方程：未知数在分母上的方程叫做分式方程。例题：1. 下列给出的方程： 3x-y=2 x+=2 =1 x2-2x-3=0 =x+1 ，其中一元一次方程有（ B） 。A. 1 个B. 2 个C. 3 个D. 4 个分析：判断一个式子是否为一元一次方程要注意：未知数个数 （1 个） 未知数指数 （1）未知数系数（不为0） 是否为分式方程（分式方程非一元一次方程）2. 在下列方程中，解为x=2 的是（D） 。A. 3x=x+3 B. x+3=0 C. 2x=3 D. 5x-2=8 二等式的性质概念： 若 a=b ，则 a+m=b+m, a-m=b-m；若 a+m=b+m, 则 a=b 若 a=b ，则 am=bm ；若 a =b ，则 a=b 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 17 页 - - - - - - - - - - 2 若 a=b ，则 a2=b 2；若 a3=b 3，则a=b 若 a=b ，则 b=a 例题：1. 下列等式变形，正确的是（C）. A. 若 m=n ，则 2-m=n-2 B. 若 m=n ，则=C. 若=，则 3n=2m D. 若 m=n ，则=1 2. 解方程： 4-2x=3x-1 解：方程两边同时减去3x，得： 4-2x-3x=3x-1-3x 化简得： 4-5x=-1 方程两边同时减去4，得：4-5x-4=-1-4 化简得： -5x=-5 x=1 三移项概念： 把方程中的项改变符号后，从方程的一边移到另一边的过程。例题：1. 对于方程 3x-2=3-2x，移项正确的是（ D）. A. 3x-2x=3-2 B. 3x-2x=-3+2 C. 3x+2x=3-2 D. 3x+2x=3+2 分析：移项就一定要改变符号，不动就不改变符号2. 解方程：-=1.5 解：原方程可化为：-=1.5 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 17 页 - - - - - - - - - - 3 方程两边同时乘以15，得： 15（-）=1.5 15 整理： 5（x-1 ）-3（2x+3 ）=22.5 去括号： 5x-5-6x-9=22.5 化简： -x-14=22.5 移项： -x=22.5+14 化简： -x=36.5 x=-36.5 分析：解含小数的分数方程步骤为：将原方程分数中的小数化为整数同乘以公倍数整理 去括号化简 移项化简 将 x 系数化为 1 3. 已知 x=3 是方程 ax+6=-4x-12的解， b 满足关系式，求 a+b 的值。解：将 x=3 代入方程 ax+6=-4x-12得：3a+6=-4 3-12 解得： a=-10 将 a=-10代入得：当 2b+ （-10 ）=14 时，解得 b=12 当 2b+ （-10 ）=-14时，解得 b=-2 当 b=12时，a+b=-10+12=2 当 b=-2时，a+b=-10+(-2)=-12 综上所述： a+b=2或-12 四 日历中的方程例题：1. 在一份日历中，用正方形圈出4 个数的和是 76，这 4 天分别是多少？解：设最小数为 x，则其它三个数为x+1 ，x+7 ，x+8 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 17 页 - - - - - - - - - - 4 由题： x+x+1+x+7+x+8=76 解得： x=15 因此：这四天分别为15 号、16 号、22 号、23 号。2有一个两位数，两个数位上的数字和是9，如果把个位上的数字与十位上的数字对调，那么所得的新两位数比原两位数大63，求原两位数。解：设个位为 x，则十位为 9-x 由题： 10 （9-x ）+x+63=10 x+（9-x ）解得： x=8 因此：个位为 8，十位为 1 这个数为 18 3. 儿子今年 13 岁，父亲今年 40 岁，是否有哪一年父亲的年龄恰好是儿子的4 倍？解：设过 x 年后父亲年龄是儿子的4 倍。由题： 40+x=4 （13-x ）解得： x=-4 因此： 4 年前父亲年龄是儿子的4 倍。五. 我变胖了例题：1. 将一个底面直径是10 厘米，高为 36 厘米的“瘦长”形圆柱锻压成底面直径为20 厘米的“矮胖”形圆柱，高变成了多少？解：设锻压后圆柱的高为x 厘米。由题： 900 =100 x 解得： x=9 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 17 页 - - - - - - - - - - 5 2. 一个长方形水箱，从里面量长40 厘米，宽 40 厘米，高 24 厘米。水箱里水深 20 厘米，现放进一个棱长为20 厘米的正方形铁块后，水面上升了多少厘米？解：设水面上升高度为x 厘米。由题： 40 40 x=20 3解得： x=5 因为水面高为 25 厘米，大于 24 厘米，故有水溢出，水面上升高度实际为4 厘米。六. 浓度问题概念：溶质：溶液中被溶剂溶解的物质。溶质=溶液浓度溶液：由溶质和溶剂组成的混合物。溶液=溶质+溶剂溶剂：溶化溶质的液体。溶剂=溶液-溶质=溶液-溶液浓度=溶液（1- 浓度）浓度：溶质在溶液中所占的百分比。浓度=溶质溶液100% 例题：1. (1) 现在含盐 16% 的盐水 30 斤，要配制成含盐10% 的盐水，需要加水多少斤？解：设加水 x 斤。由题： 16% 30=10% （30+x ）解得： x=18 (2)现有含盐 16% 的盐水 30 斤，要配制成含盐 20% 的盐水，需要蒸发掉多少斤水？解：设蒸发掉 y 斤水。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 5 页，共 17 页 - - - - - - - - - - 6 由题： 30 16%=20% （30-x ）解得： x=6 (3)现有含盐 16% 的盐水 30 斤，要配制成含盐 20% 的盐水，需要加盐多少斤？解：设加盐 x 斤。由题： 30（1-16% ）= （30+x ）（1-20% ）解得： x=1.5 2. 有甲乙两种不同浓度的盐水，甲种盐水的浓度是30% ，乙种盐水的浓度是6%，现准备配成浓度为 10% 的盐水溶液 60 千克，问应取这两种浓度的盐水各多少千克？解：设取甲 x 千克，则取乙（ 60-x ）千克。由题： 30%x+6% （60-x ）=60 10% 解得： x=10 因此：取甲 10 千克，取乙 50 千克。七.打折销售概念：进价：指商店进货的价格，即成本价。售价：指商店出售时的实际价格。售价=标价折率=利润+成本=成本利润率+ 成本=成本（1+ 利润率）标价：指在商店出售时所标明的价格。利润率：利润占成本的百分比。利润率=利润成本100% 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 6 页，共 17 页 - - - - - - - - - - 7 例题：1. 某商店经销一种商品，由于进货价格比原来进价降低6.4% ，从而使利润率增加了8 个百分点，求这种商品原来的利润率。解：设原来进货价格为a 元，利润率为 x。由题： a+ax=a （1-6.4% ） （x+8% ）+a （1-6.4% ）解得： x=17% 2. 某商场展开促销活动，凡一次性购物不超过200 元的一律九折优惠。超过200 元的，其中 200 元按九折算，超过200 元的部分按八折算。小华第一次去购物付款72 元，第二次又去购物享受了八折优惠，他查看所卖物品的定价，发现这两次购物总共节省了34 元，请问小华第二次购物实际付款多少元？解：设第二次购物实际付款x 元。由题： 34- （72 90%-72 ）=（x-200 90% ）80%+200-x 解得： x=204 八.“希望工程”义演例题：1. 某文艺团体为 “希望工程” 募捐组织了一场义演， 共售出 1000 张票，筹得票款 6950 元，其中成人票 8 元，儿童票 5 元。问成人票与儿童票共售出多少张？解：设儿童票售出x 张，成人票售出（ 1000-x ）张。由题： 5x+8 （1000-x ）=6950 解得： x=350 因此：儿童票售出350 张，成人票售出650 张。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 7 页，共 17 页 - - - - - - - - - - 8 2. 六一儿童节，幼儿园为学生发放小红花，如果每人3 朵则剩下 23 朵，若每人 4 朵则还少2 朵，问该幼儿园有多少个学生？共有多少朵小红花？解：设该幼儿园有x 名学生，则共有小红花（3x+23 ）朵。由题： 3x+23=4x-2 解得： x=25 因此：该幼儿园有25 名学生，共有小红花98 朵。3.某车间 22 名工人生产螺母和螺钉，每人每天平均生产螺钉1200 个或螺母 2000 个，一个螺钉要配两个螺母，为使每天的产品刚好配套，应该分配多少工人去生产螺钉，多少名工人生产螺母？解：设分配 x 人生产螺钉，（22-x ）人生产螺母。由题： 1200 x 2=2000 （22-x ）解得： x=10 因此：应分配 10 人生产螺钉， 12 人生产螺母。九.工程问题概念：工作效率时间 =工作总量工作效率 = 工作总量工作时间（设工作总量为“1” ，则工作效率 =工作时间）工作时间 = 工作总量工作效率例题：1. 一项工程，甲独立完成要20 天，乙独立完成要 12 天，先让甲做 4 天，再让甲、乙合作。问：甲、乙合作多少天完成。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 8 页，共 17 页 - - - - - - - - - - 9 解：设甲、乙合作x 天完成。由题：4+ （+）x=1 解得： x=6 十.追及问题概念：速度差追及时间 =追及路程甲路程乙路程 =追及时相差的路程例题：1. 小明每天早上要在7： 50 之前赶到离家 1000 米的学校上学。小明以 80 米/分的速度出发，5 分钟后，小明的爸爸发现他忘了带语文书。于是，爸爸立即以180 米/ 分的速度去追小明，并且在途中追上了他。（1）爸爸追上小明用了多长时间？解：设用了 x 分钟。由题： 180 x-80 x=80 5 解得： x=4 （2）追上小明时，离学校还有多远？解：设离学校还有x 米。由题： 80（5+4 ）+x=1000 解得： x=280 （3）小明爸爸要在小明到校之前追上，则他速度至少为多米米/分？解：设速度为 x 米/分。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 9 页，共 17 页 - - - - - - - - - - 10 由题： 1000=x （）解得： x=133十一.相遇问题概念：相遇路程速度和 =相遇时间速度和相遇时间 =相遇路程相遇路程相遇时间 =速度和例题：1.A,B 两地相距 480km ，一列慢车从 A 地开出，每小时走60km ；一列快车从 B 地开出，每小时走 65km 。（1）两车同时开出，相向而行，请问他们几小时后相遇？解：设 x 小时两车相遇。由题： 60 x+65x=480 解得： x=384 （2） 若慢车开出一小时后， 快车才出发，两车相向而行，请问快车开出几小时后与慢车相遇？解：设快车出发 y 小时后与慢车相遇。由题： 60y+65y=480-601 解得： y=3.36 十二.环形追及、相遇问题概念：相遇问题：甲路程 +乙路程 =一圈长精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 10 页，共 17 页 - - - - - - - - - - 11 追及问题：甲路程 -乙路程 = 一圈长例题：1.小红和小明绕周长为1000 米的湖晨练，小红的速度为100 米/分，小明比她快50 米/分。（1）如果两人同时背向开炮，多少分钟两人会相遇？解：设 x 分钟两人相遇。由题： 100 x+ （100+50 ）x=1000 解得： x=4 （2）如果两人同时同向同一地点开跑，多少分钟后两人会相遇？解：设 x 分钟后两人会相遇。由题： （100+50 ）x-100 x=1000 解得： x=20 十三.船行问题概念：顺水速度 = 船速+水速逆水速度 = 船速-水速船速 =（顺水速度 + 逆水速度）水速 =（顺水速度 -逆水速度）例题：1.一艘船航行在两城市之间，水流速度为24 千米/时，该船顺水航行时需要2 小时 50 分，逆水航行时需要 3 小时，请问两个城市间的航程为多少千米？解：设航程为 x 千米。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 11 页，共 17 页 - - - - - - - - - - 12 由题：- =2 24 解得： x=288 2.一小船由 A 港到 B 港顺流需行 6 小时，由 B 港到 A 港逆行恤行 8 小时。一天，小船从早晨 6 点由 A 港出发顺流航行到 B 港时，发现一救生圈在途中掉落在水中，立刻返回，1 小时后找到救生圈，问：（1）若小船按水流速度从A 港漂流到 B 港需要多少小时？解： 设 A 到 B 的距离为 a 千米，则逆水速度为km/h ， 逆水速度为km/h ， 水流速度为（+）km/h=km/h ，故从 A 到 B 的时间为=48 小时。（2）救生圈是在何时掉入水中的？解：设出发后 y 小时落水。由题： y+（6-y+1 ）+ 1=a 解得： y=5 十四.火车行驶问题概念：错车：甲车长 + 乙车长 =车长和超车：甲车长 -乙车长 = 车长和例题：1.一列火车匀速通过一个隧道， 火车从开始进入隧道到完全开出隧道共用了30 秒，整列火车完全在隧道里的时间是20 秒，隧道长 500 米，求这列火车的长度。解：设这列火车长x 米。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 12 页，共 17 页 - - - - - - - - - - 13 由题：=解得： x=250 2.一列快车和一列慢车相向行驶在平行的两条轨道上，快车长150m ，慢车长 200m ，坐在慢车上的乘客见快车驶过窗口的时间为6 秒，问坐在快车上的乘客见慢车驶过窗口的时间是几秒？解：设时间为 x 秒。由题：=解得： x=8 3.甲、乙两人分别后，沿着铁轨反向而行，此时，一列火车匀速地向甲迎面驶来，列车在甲身旁开过，用了 15 秒；然后在乙身旁开过，用了17 秒。已知两人的步行速度都是3.6 千米/时，问这列火车有多长？解： 3.6km/h=1m/s 设火车速度为 x 米/秒，则火车长为（ 15x+15 ）米。由题： 15x+1 15=17x-117 解得： x=16 因此：火车速度为16 米/秒，火车长度为255 米。十五.储蓄问题概念：本金：存入银行或贷与他人以带来利息的钱。利息：因存款、放款而得到的本金以外的钱。税前利息 = 本金利率期数；税后利息 = 税前利息 -利息税精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 13 页，共 17 页 - - - - - - - - - - 14 = 税前利息（ 1- 利息税）本息和 = 本金+税后利息= 本金+本金利率期数（1- 税率）= 本金 1+ 利率期数（1- 税率） 期数：存入的时间。利率：每个期数内的利息与本金的比。利率=利息本金100% 利息税：指对个人储蓄存款利息所征收个人所得税。征收利息税是一种国际惯例。例题：1.两年期定期储蓄的年利率为2.25% ，所得利息要缴纳20% 的利息税，王大爷于2010 年 6月存入一笔钱，两年到期后，共得税后利息540 元，则王大爷 2010 年 6 月的存款为（ C） 。A.20000 元B.18000 元C.15000 元D.16000 元2.为了准备小刚 6 年后上大学的学费10000 元，他的父母现在想参加教育储蓄，下面有两种储蓄方式：直接存一个6 年期，年利率为2.88% ；先存一个 3 年期， 3 年后将本息和自动转存一个 3 年期， 3 年级年利率为 2.70% 。比较两种储蓄方式，你认为小刚的父母最好采用哪种储蓄方式？为什么？解：设本金为 x 元。方案一： x+2.88%x 6=10000 解得： x 8527 方案二： x+2.70% 3+（x+2.70% 3）2.70% 3=10000 解得： x 8558 8527 8558 最好采取第一种储蓄方式精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 14 页，共 17 页 - - - - - - - - - - 15 3.王先生分别向银行申请了甲、乙两种贷款，共13 万元，王先生每年要付利息6075 元，甲种贷款的年利率是6%，乙种贷款的年利率是3.5% ，则甲、乙两种贷款分别是多少？解：设甲种贷款为x 元，则乙种贷款为（ 130000-x ）元。由题： 6%x+3.5% （130000-x ）=6075 解得： x=61000 因此：甲种贷款为61000 元，乙种贷款为 69000 元。十六.用方程解几何问题例题：1.如图， AE=5 ，AD=AB，BC=AB，若 E为 CD 中点，求 AB。 A C E D B 解：设 AB 长度为 x。 AD=AB，BC= AB AD=x，BC= x AC=AB-BC AC=x-x=x CD=AD+BC-AB CD=x+x-x= E为 CD 中点 CE= CD= = AE=AC+CE 5=x+即：x=12 故：AB=12 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 15 页，共 17 页 - - - - - - - - - - 16 2.如图，已知点 A,O,C 三点共线， OD 是AOB 的角平分线，OE 为BOC 的三等分线，DOE=108 ，求 EOC。解：设EOC=x 。 OE 为BOC 的三等分线 BOE=2 EOC=2x DOB= DOE- BOE DOB=108 -2x OD 是 AOB 的角平分线 AOD= BOD=108 -2x 点 A,O,C 三点共线 AOC=180 AOC= DOB+ AOD+ BOE+ EOC 即：x=36 故：EOC=36 B D A O E C 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 16 页，共 17 页 - - - - - - - - - - 文档编码：KDHSIBDSUFVBSUDHSIDHSIBF-SDSD587FCDCVDCJUH 欢迎下载 精美文档欢迎下载 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 17 页，共 17 页 - - - - - - - - - -