2022年北师大版必修5高中数学第二章《正余弦定理在解决三角形问题中的应用》word典例分析素材 .pdf

名师精编优秀教案正余弦定理在解决三角形问题中的应用典型例题分析：一、判定三角形的形状例 1 根据下列条件判断三角形ABC的形状：(1) 若 a2tanB=b2tanA ；解：由已知及正弦定理得(2RsinA)2BcosBsin= (2RsinB)2AcosAsin2sinAcosA=2sinBcosBsin2A=sin2B2cos(A + B)sin(A B)=0 A + B=90o或 A B=0 所以 ABC是等腰三角形或直角三角形. (2)b2sin2C + c2sin2B=2bccosBcosC; 解: 由正弦定理得sin2Bsin2C=sinBsinCcosBcosC sinBsinC0, sinBsinC=cosBcosC, 即 cos(B + C)=0, B + C=90o, A=90o, 故 ABC是直角三角形 . (3)(sinA + sinB + sinC) (cosA + cosB + cosC)=1. 解： (sinA + sinB + sinC) (cosA + cosB + cosC)=1 2sin2BAcos2BA+ sin(A + B) 2cos2BAcos2BA+ 2cos22C- 1=0 2sin2BAcos2BA+ sin(A + B) 2cos2BAcos2BA - 2sin22BA=0 (sin2BA- cos2BA)(cos2BA- sin2BA)=0 sin(2BA - 4)sin4BCAsin4CBA=0 ABC是 Rt。二、三角形中的求角或求边长问题精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 11 页 - - - - - - - - - - 名师精编优秀教案例 2、 ABC中，已知： AB=2 ，BC=1 ，CA=，分别在边AB、BC 、CA上取点 D、E、F，使 DEF是等边三角形（如图1）。设 FEC= ，问 sin 为何值时， DEF的边长最短？并求出最短边的长。图 1 分析：要求最短边的长，需建立边长关于角的目标函数。解：设 DEF的边长为 x，显然 C=90 ， B=60，故 EC=x cos。因为 DEC= DEF+=EDB+ B，所以 EDB= 。在 BDE中，由正弦定理得，所以，因为 BE+EC=BC，所以，所以当，。注：在三角形中，已知两角一边求其它边，自然应联想到正弦定理。例 2 在 ABC中，已知 sinB=53, cosA=135, 试求 cosC的值。解：由 cosA=135，得 sinA=1312, sinBsinA, B 中能是锐角 cosB=54, 又 cosC= - cos(A + B)=sinAsinB cosAcosB=6516. 例 3 (98年高考题 ) 已知 ABC中, a 、b、c 为角 A、B、C的对边，且a + c=2b, A 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 11 页 - - - - - - - - - - 名师精编优秀教案B=60o, 求 sinB 的值 . 解：由 a + c=2b, 得 sinA + sinC=2sinB 即 2sin2CAcos2CA=2sinB 由 A + B + C=180o得 sin2CA=cos2B. 又 A C= 60o, 得2Bcos23=sinB 所以2Bcos23=2sin2Bcos2B又 0o2B90o, cos2B0，所以 sin2B=43. 从而 cos2B=413. 所以 sinB=839. 例 4 （20XX年湖北卷第18 题）在 ABC中，已知ACBAB,66cos,364边上的中线BD=5，求 sinA 的值 . 分析： 本题主要考查正弦定理、余弦定理等基础知识，同时考查利用三角公式进行恒等变形的技能和运算能力. 解法 1：设 E为 BC的中点，连接DE ，则 DE/AB，且 DE=,36221xBEAB设在 BDE中利用余弦定理可得：BD2=BE2+ED22BEEDcosBED ，,6636223852xx精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 11 页 - - - - - - - - - - 名师精编优秀教案,328cos2,2),(37, 1222BBCABBCABACBCxx从而故舍去解得.1470sin,6303212sin2,630sin,3212AABAC故又即解法 2：以 B为坐标原点，xBC为轴正向建立直角坐标系，且不妨设点A位于第一象限. ).(314, 2.5)352()634(|).352,634(),0,(),354,34()sin364,cos364(,630sin22舍去从而由条件得则设则由xxxBDxBDxBCBBBAB),354,32(CA故.1470cos1sin,141439809498091698098|cos2AACABACABAA于是解法 3：过 A作 AHBC交 BC于 H，延长 BD到 P使 BD=DP ，连接 AP 、PC ，过 P作 PN BC交 BC的延长线于N，则 HB=ABcosB=,354,34AH精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 11 页 - - - - - - - - - - 名师精编优秀教案.1470sin,6303212sin2.3212,32, 2,34,310)354()52(22222222AAHCAHACHCCNBNBCHBCNAHBPPNBPBN故由正弦定理得而例5、(20XX年天津卷第 17题) 在ABC中，CBA、所对的边长分别为cba、，设cba、满足条件222abccb和321bc，求A和Btan的值分析： 本题考查余弦定理、正弦定理、两角差的正弦公式、同角三角函数的基本关系等基础知识，考查基本运算能力. 解法一：由余弦定理212cos222bcacbA，因此，60A在 ABC 中， C=180 A B=120 B. 由已知条件，应用正弦定理BBBCbcsin)120sin(sinsin321,21cot23sinsin120coscos120sinBBBB解得, 2cot B从而.21tanB解法二：由余弦定理212cos222bcacbA，因此，60A，由222abccb，得.41532133411)(1)(22bcbcba精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 5 页，共 11 页 - - - - - - - - - - 名师精编优秀教案所以.215ba由正弦定理5123152sinsinAabB. 由式知,ba故 BA，因此 B为锐角，于是152sin1cos2BB，从而.21cossintanBBB例 6、 （20XX年全国高考数学试卷三（四川理）ABC中，内角ABC、 、的对边分别是abc、 、，已知abc、 、成等比数列，且3cos4B（）求cotcotAC的值（）设32BA BC，求ac的值。解： （）由3cos4B得237sin144B由2bac及正弦定理得2sinsinsinBAC于是11cotcottantanACACcoscossinsinACACcossincossinsinsinACCAAC2sinsinACB2sinsinBB1sin B477（）由32BA BC得3cos2caB，由3cos4B可得2ca，即22b由余弦定理2222cosbacacB得2222cos5acbacB精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 6 页，共 11 页 - - - - - - - - - - 名师精编优秀教案2222549acacac3ac例 7 （20XX年浙江高考数学理工第17 题，文史第18 题， ）在ABC中，角 A、B、C所对的边分别为a、b、c，且31cos A. （）求ACB2cos2sin2的值；（）若3a，求 bc 的最大值 . 解: ( )ACB2cos2sin2 =) 1cos2()cos(1212ACB =)1cos2()cos1(212AA =)192()311(21 = 91( ) 31cos2222Abcacb2222232abcacbbc, 又3a.49bc当且仅当 b=c=23时,bc=49, 故 bc 的最大值是49. 三、解平面几何问题例 8（20XX年全国高考题）已知圆内接四边形ABCD 的边长分别为AB=2 ，BC=6 ，CD=DA=4 ，求四边形 ABCD 的面积。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 7 页，共 11 页 - - - - - - - - - - 名师精编优秀教案分析：如图2，连结对角线BD ，将四边形面积转化为三角形面积来求，而要求三角形面积，需求出 A 、 C，这可由余弦定理列方程求得。解：因为四边形ABCD 是圆内接四边形，所以A+C=180 ，所以sinA=sinC 。连结 BD ，则四边形 ABCD 的面积。由余弦定理，在 ABD中，。在 CDB中，。 所以 20�16cosA=52�48cosC, 又因为 cosC = �cosA ， 所以 64cosA= �32 ， cosA=, 所以 A=120。 所以 S=16sin120 =. 注：在应用正弦定理解题时要注意方程思想的运用。四、解实际应用问题例 9 某观测站 C在 A城的南偏西20方向，由 A城出发有一条公路定向是南偏东40，由C处测得距 C为 31km的公路上 B处有 1 人沿公路向A城以 v=5km/h 的速度走了4h 后到达 D处，此时测得C、D间距离为 21km。问这人以v 的速度至少还要走多少h 才能到达A城。解：如图 6，由已知得CD=21 ，BD=20 ，CB=31 ，CAD=60 。设 AD=x ， AC=y 。在 ACB和ACD中，分别由余弦定理得，（1）�（2）得 2x�y=6 ，将 y=2x�6 代入（ 2）得，所以 x=15，x= �9（舍去）。所以。故此人以v 的速度至少还要走3h 才能到达A城。五、证明三角恒等式例 10 在 ABC中，求证：精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 8 页，共 11 页 - - - - - - - - - - 名师精编优秀教案BcosAcosba22 +CcosBcoscb22 +AcosCcosac22=0. 解：因为BcosAcosba22=BcosAcos)BsinR2()AsinR2(22=BcosAcos)Bcos1 ()Acos1(R4222=BcosAcos)AcosB(cosR4222=4R2(cosB cosA), 同理CcosBcoscb22 =4R2(cosC cosB) AcosCcosac22=4R2(cosA cosC) . 所以左边 =4R2(cosB cosA) + 4R2(cosC cosB) + 4R2(cosA cosC)=0 得证 . 例 11（2000 年北京春季高考题）在ABC中，角 A，B，C的对边分别为a, b, c, 证明：。证明：由余弦定理知，两式相减得。所以，所以。由正弦定理，所以=。故等式成立。例 12 （1999 年全国高中数学联赛题）在ABC中，记 BC=a, CA=b, AB=c ， 若，则。精品资料 - 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