2022年十堰市中考满分作文-《数学周报》杯全国初中数学竞赛试题参考答案2 .pdf

下列资源由江阴市山观中学王丙诚收集与整理中国教育学会中学数学教学专业委员会“ 数学周报杯”2010 年全国初中数学竞赛试题参考答案一、选择题（共 5小题，每小题 7 分，共 35 分.其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0 分）1若2010abbc，则abbc的值为（） （A）1121（B）2111（C）11021（D）21011解： D由题设得120 12101111110aabbcbcb2若实数 a，b 满足21202aabb，则 a 的取值范围是（） （A）a 2（B）a4 （C）a 2或 a4 （D） 2a4 解C因为 b 是实数，所以关于b 的一元二次方程21202baba的判别式21()4 1(2)2aa0, 解得 a2或 a43如图，在四边形 ABCD 中，B135 ，C120 ，AB=2 3，BC=422，CD 4 2 ，则 AD 边的长为（） （A）2 6（B）64（C）64（D）622解：D 如图，过点 A，D 分别作 AE，DF 垂直于直线 BC，垂足分别为 E，F由已知可得BE=AE=6，CF2 2 ，DF26，于是 EF46过点 A 作 AGDF，垂足为 G在 RtADG 中，根据勾股定理得（第 3 题）（第 3 题）精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 9 页 - - - - - - - - - - AD222(46)( 6)(224)22 64在一列数123xxx，中， 已知11x，且当 k2 时，1121444kkkkxx（取整符号a表示不超过实数a的最大整数，例如2.62，0.20） ，则2010 x等于（） (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 解：B由11x和1121444kkkkxx可得11x，22x，33x，44x，51x，62x，73x，84x，因为 2010=4 502+2，所以2010 x=25如图，在平面直角坐标系xOy 中，等腰梯形ABCD 的顶点坐标分别为A（1，1） ，B（ 2，1） ，C（ 2， 1） ，D（ 1，1） y 轴上一点P（ 0，2）绕点 A 旋转 180 得点 P1，点 P1绕点 B 旋转 180 得点 P2，点 P2绕点 C 旋转 180 得点 P3，点 P3绕点 D 旋转 180 得点 P4， ，重复操作依次得到点P1， P2， ，则点 P2010的坐标是（） （A） （2010，2） （B） （2010，2）（C） （2012， 2）（D） （0，2）解：B 由已知可以得到，点1P，2P的坐标分别为（ 2，0） ， （2， 2） 记222)P ab（，其中222,2ab根据对称关系，依次可以求得：322( 42)Pab，422(2)Pab， 4，522(2)Pab，622(4)Pab，令662(,)P ab， 同样可以求得，点10P的坐标为 （624,a b） ， 即10P（2242,ab） ，由于 2010=4 502+2，所以点2010P的坐标为（ 2010， 2） 二、填空题（第 5 题）精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 9 页 - - - - - - - - - - 6已知 a51，则 2a37a22a12 的值等于解：0 由已知得(a1)25，所以 a22a4，于是2a37a22a122a34a23a22a123a26a1207一辆客车、一辆货车和一辆小轿车在一条笔直的公路上朝同一方向匀速行驶在某一时刻，客车在前，小轿车在后，货车在客车与小轿车的正中间过了10 分钟，小轿车追上了货车；又过了5 分钟，小轿车追上了客车；再过t 分钟，货车追上了客车，则t解：15 设在某一时刻，货车与客车、小轿车的距离均为S千米，小轿车、货车、客车的速度分别为 abc， ， （千米 /分） ，并设货车经 x 分钟追上客车，由题意得10 abS，152acS，x bcS由，得30 bcS（），所以，x=30故30 10515t（分） 8如图， 在平面直角坐标系xOy 中，多边形 OABCDE 的顶点坐标分别是O（0，0） ，A（ 0，6） ，B（4，6） ，C（4，4） ， D（ 6，4） ， E（6，0） 若直线l 经过点 M（2， 3） ，且将多边形 OABCDE 分割成面积相等的两部分，则直线l 的函数表达式是解：11133yx+如图，延长 BC 交 x 轴于点 F；连接 OB，AF；连接CE，DF，且相交于点 N由已知得点 M（2，3）是 OB，AF 的中点，即点 M 为矩形 ABFO 的中心，所以直线 l 把矩形 ABFO 分成面积相等的两部分 又因为点 N （5， 2） 是矩形 CDEF的中心，所以，过点 N（5，2）的直线把矩形CDEF 分成面积相等的两部分（第 8 题）（第 8 题精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 9 页 - - - - - - - - - - 于是，直线 MN 即为所求的直线 l 设直线 l 的函数表达式为ykxb，则2352k bkb+，解得1311.3kb，,故所求直线l的函数表达式为11133yx+9如图，射线AM ，BN 都垂直于线段AB，点 E 为 AM 上一点，过点A 作 BE 的垂线 AC分别交BE，BN 于点 F，C，过点C 作 AM 的垂线CD，垂足为D若 CDCF，则AEAD解：215见题图，设,FCmAFn因为 RtAFBRtABC，所以2ABAFAC又因为 FCDCAB，所以2()mn nm ，即2()10nnmm，解得512nm，或512nm（舍去） 又 Rt AFE RtCFB ，所以AEAEAFnADBCFCm512，即AEAD=51210对于i=2，3， k，正整数n 除以i 所得的余数为i 1若n的最小值0n满足020003000n，则正整数k的最小值为解：9因为1n为2 3kL，的倍数，所以n的最小值0n满足012 3nkL，其中2 3kL，表示2 3kL，的最小公倍数由于2 3 88402 3 92520LL， ，2 3 1025202 3 1127720LL， ，（第 9 题）精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 9 页 - - - - - - - - - - 因此满足020003000n的正整数k的最小值为9三、解答题（共4 题，每题 20 分，共 80 分）11如图， ABC 为等腰三角形，AP 是底边 BC 上的高，点D 是线段 PC 上的一点，BE 和 CF 分别是 ABD 和ACD 的外接圆直径，连接EF . 求证：tanEFPADBC证明：如图，连接 ED，FD. 因为 BE 和 CF 都是直径，所以EDBC，FDBC，因此 D，E，F 三点共线 . （ 5 分）连接 AE，AF，则AEFABCACBAFD ，所以， ABCAEF. （ 10分）作 AHEF，垂足为 H，则 AH=PD. 由ABCAEF 可得EFAHBCAP，从而EFPDBCAP，所以tanPDEFPADAPBC. （ 20 分）（第 11 题）（第 11 题）精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 5 页，共 9 页 - - - - - - - - - - 12如图，抛物线2yaxbx（a0）与双曲线kyx相交于点A，B. 已知点 A 的坐标为（1，4） ，点 B 在第三象限内，且AOB 的面积为3（O 为坐标原点） . （1）求实数 a，b，k 的值；（2）过抛物线上点A 作直线 ACx 轴，交抛物线于另一点 C，求所有满足EOC AOB 的点 E 的坐标 . 解： （1）因为点 A（1，4）在双曲线kyx上，所以 k=4. 故双曲线的函数表达式为xy4. 设点 B（t，4t） ，0t，AB 所在直线的函数表达式为ymxn，则有44mnmtnt，解得4mt，4(1)tnt. 于是，直线AB 与 y 轴的交点坐标为4(1)0,tt，故141132AOBtStt（），整理得22320tt，解得2t，或 t21（舍去）所以点B 的坐标为（2，2） 因为点 A，B 都在抛物线2yaxbx（a0）上，所以4422abab，解得13.ab，（ 10 分）（2）如图，因为 ACx 轴，所以 C（4，4） ，于是 CO42. 又 BO=22，所以2BOCO.设抛物线2yaxbx（a0） 与 x轴负半轴相交于点D，则点 D 的坐标为（3，0）. 因为 COD BOD45，所以 COB=90. （i）将BOA绕点 O 顺时针旋转90，得到1B OA.这时，点B(2，2)是 CO 的（第 12 题）（第 12 题）精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 6 页，共 9 页 - - - - - - - - - - 中点，点1A的坐标为（ 4，1） . 延长1OA到点1E，使得1OE=12OA，这时点1E（8，2）是符合条件的点. （ii） 作BOA关于 x 轴的对称图形2B OA， 得到点2A（1，4） ； 延长2OA到点2E，使得2OE22OA，这时点 E（ 2，8）是符合条件的点所以，点E的坐标是（ 8，2） ，或（ 2，8）. （ 20 分）13求满足22282ppmm的所有素数 p 和正整数 m. 解：由题设得(21)(4)(2)ppmm，所以(4)(2)pmm，由于 p 是素数，故(4)pm，或(2)pm. （ 5 分）（1）若(4)pm，令4mkp，k 是正整数，于是2mkp，2223(21)(4)(2)pppmmk p，故23k，从而1k. 所以4221mpmp，解得59.pm，（ 10 分）（2）若(2)pm，令2mkp，k 是正整数 . 当5p时，有46(1)mkpkppp k，223(21)(4)(2)(1)pppmmk kp，故(1)3k k，从而1k，或 2. 由于(21)(4)(2)ppmm是奇数，所以2k，从而1k. 于是4212mpmp，这不可能 . 当5p时，2263mm，9m；当3p，2229mm，无正整数解；当2p时，2218mm，无正整数解 . 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 7 页，共 9 页 - - - - - - - - - - 综上所述，所求素数p=5，正整数 m=9. （ 20 分）14从 1，2，2010这 2010 个正整数中， 最多可以取出多少个数，使得所取出的数中任意三个数之和都能被33 整除？解： 首先，如下61 个数： 11，11 33，112 33，11 60 33（即 1991）满足题设条件 . （ 5 分）另一方面，设12naaaL是从 1，2，2010 中取出的满足题设条件的数，对于这 n 个数中的任意4 个数ijkmaaaa，因为33 ()ikmaaa，33 ()jkmaaa，所以33 ()jiaa. 因此，所取的数中任意两数之差都是33 的倍数 . （ 10 分）设133iiaad，i=1，2，3， n. 由12333 ()aaa，得12333 (33333)add，所以133 3a，111 a，即1a11. （ 15 分）133nnaad2010 116133，故nd60. 所以， n61. 综上所述， n 的最大值为61. （ 20 分）精品资料 - 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