2022年二次函数图像与性质总结40;含答案41; .pdf

二次函数地图像与性质一、二次函数地基本形式1. 二次函数基本形式：2yax 地性质：a 地绝对值越大，抛物线地开口越小.2. 2yaxc 地性质：上加下减 . 3. 2ya xh地性质：左加右减 . 4. 2ya xhk 地性质：a地符号开口方向顶点坐标对称轴性质0a向上00，y轴0 x时，y随x地增大而增大；0 x时，y随x地增大而减小；0 x时，y有最小值00a向下00，y轴0 x时，y随x地增大而减小；0 x时，y随x地增大而增大；0 x时，y有最大值0a地符号开口方向顶点坐标对称轴性质0a向上0c，y轴0 x时，y随x地增大而增大；0 x时，y随x地增大而减小；0 x时，y有最小值c0a向下0c，y轴0 x时，y随x地增大而减小；0 x时，y随x地增大而增大；0 x时，y有最大值ca地符号开口方向顶点坐标对称轴性质0a向上0h，X=hxh 时，y随x地增大而增大；xh 时，y随x地增大而减小；xh时，y有最小值00a向下0h，X=hxh 时，y随x地增大而减小；xh 时，y随x地增大而增大；xh时，y有最大值0a地符号开口方向顶点坐标对称轴性质0a向上hk，X=hxh 时，y随x地增大而增大；xh 时，y随x地增大而减小；xh时，y有最小值k 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 12 页 - - - - - - - - - - 二、二次函数图象地平移 1. 平移步骤：方法一：将抛物线解读式转化成顶点式2ya xhk ，确定其顶点坐标hk，； 保持抛物线2yax 地形状不变，将其顶点平移到hk，处，具体平移方法如下：向右 (h0)【或左 (h0)【或下 (k0)【或左 (h0)【或左 (h0)【或下 (k0)【或向下 (k0)】平移 |k|个单位y=a(x-h)2+ky=a(x-h)2y=ax2+ky=ax2 2. 平移规律在原有函数地基础上“ h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移” 概括成八个字 “ 左加右减，上加下减” 方法二：cbxaxy2沿y轴平移 :向上（下）平移m个单位，cbxaxy2变成mcbxaxy2（或mcbxaxy2）cbxaxy2沿轴平移：向左（右）平移m个单位，cbxaxy2变成cmxbmxay)()(2（或cmxbmxay)()(2）三、二次函数2ya xhk 与2yaxbxc地比较从解读式上看，2ya xhk 与2yaxbxc是两种不同地表达形式，后者通过配方可以得到前者，即22424bacbya xaa，其中2424bacbhkaa，四、二次函数2yaxbxc 图象地画法0a向下hk，X=hxh 时，y随x地增大而减小；xh 时，y随x地增大而增大；xh时，y有最大值k 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 12 页 - - - - - - - - - - 五 点 绘 图 法 ： 利 用 配 方 法 将 二 次 函 数2yaxbxc化 为 顶 点 式2()ya xhk，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图. 一般我们选取地五点为：顶点、与y轴地交点0c，、以及0c，关于对称轴对称地点2hc，、与x轴地交点10 x ，20 x ，（若与x轴没有交点，则取两组关于对称轴对称地点）.画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x轴地交点，与y轴地交点 .五、二次函数2yaxbxc 地性质 1. 当0a时，抛物线开口向上，对称轴为2bxa，顶点坐标为2424bacbaa，当2bxa时，y随x地增大而减小；当2bxa时，y随x地增大而增大；当2bxa时，y有最小值244acba 2. 当0a时，抛物线开口向下，对称轴为2bxa，顶点坐标为2424bacbaa，当2bxa时，y随x地增大而增大；当2bxa时，y随x地增大而减小；当2bxa时，y有最大值244acba六、二次函数解读式地表示方法1. 一般式：2yaxbxc （a， b ，c为常数，0a）；2. 顶点式：2()ya xhk （a， h， k 为常数，0a）；3. 两根式：12()()ya xxxx（0a，1x ，2x 是抛物线与x轴两交点地横坐标）. 注意：任何二次函数地解读式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有地二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x轴有交点，即240bac时，抛物线地解读式才可以用交点式表示二次函数解读式地这三种形式可以互化.七、二次函数地图象与各项系数之间地关系 1. 二次项系数a二次函数2yaxbxc 中，a作为二次项系数，显然0a 当0a时，抛物线开口向上，a地值越大，开口越小，反之a地值越小，开口越大； 当0a时，抛物线开口向下，a地值越小，开口越小，反之a地值越大，开口越大总结起来，a决定了抛物线开口地大小和方向，a地正负决定开口方向，a 地大小决定开口地大小2. 一次项系数 b在二次项系数a确定地前提下，b 决定了抛物线地对称轴 在0a地前提下，精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 12 页 - - - - - - - - - - 当0b时，02ba，即抛物线地对称轴在y轴左侧；当0b时，02ba，即抛物线地对称轴就是y轴；当0b时，02ba，即抛物线对称轴在y轴地右侧 在0a地前提下，结论刚好与上述相反，即当0b时，02ba，即抛物线地对称轴在y轴右侧；当0b时，02ba，即抛物线地对称轴就是y轴；当0b时，02ba，即抛物线对称轴在y轴地左侧总结起来，在a确定地前提下，b 决定了抛物线对称轴地位置ab地符号地判定：对称轴abx2在y轴左边则0ab，在y轴地右侧则0ab，概括地说就是“ 左同右异 ”总结： 3. 常数项c 当0c时，抛物线与y轴地交点在x轴上方，即抛物线与y轴交点地纵坐标为正； 当0c时，抛物线与y轴地交点为坐标原点，即抛物线与y轴交点地纵坐标为0； 当0c时，抛物线与y轴地交点在x轴下方，即抛物线与y轴交点地纵坐标为负总结起来，c决定了抛物线与y轴交点地位置总之，只要abc， ， 都确定，那么这条抛物线就是唯一确定地二次函数解读式地确定：根据已知条件确定二次函数解读式，通常利用待定系数法用待定系数法求二次函数地解读式必须根据题目地特点，选择适当地形式，才能使解题简便一般来说，有如下几种情况：1. 已知抛物线上三点地坐标，一般选用一般式；2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；3. 已知抛物线与x轴地两个交点地横坐标，一般选用两根式；4. 已知抛物线上纵坐标相同地两点，常选用顶点式八、二次函数图象地对称二次函数图象地对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达 1. 关于x轴对称2yaxbxc关于x轴对称后，得到地解读式是2yaxbxc ；2ya xhk 关于x轴对称后，得到地解读式是2ya xhk ； 2. 关于y轴对称2yaxbxc关于y轴对称后，得到地解读式是2yaxbxc；精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 12 页 - - - - - - - - - - 2ya xhk 关于y轴对称后，得到地解读式是2ya xhk ； 3. 关于原点对称2yaxbxc关于原点对称后，得到地解读式是2yaxbxc ；2ya xhk 关于原点对称后，得到地解读式是2ya xhk ； 4. 关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转180 ）2yaxbxc关于顶点对称后，得到地解读式是222byaxbxca；2ya xhk 关于顶点对称后，得到地解读式是2ya xhk 5. 关于点mn，对称2ya xhk 关于点mn，对称后，得到地解读式是222ya xhmnk根据对称地性质，显然无论作何种对称变换，抛物线地形状一定不会发生变化，因此a永远不变求抛物线地对称抛物线地表达式时，可以依据题意或方便运算地原则，选择合适地形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知地抛物线）地顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线地顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线地表达式二次函数图像参考：十一、y=2(x-4)2-3y=2(x-4)2y=2x2y=x22y=2x2y=x2y=-2x2y= -x2y= -x22y=2 x2-4y=2 x2+2y=2 x2y=3(x+4)2y=3(x-2)2y=3x2y=-2(x+3)2y=-2(x-3)2y=-2x2精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 5 页，共 12 页 - - - - - - - - - - 【例题精讲】一、一元二次函数地图象地画法【例 1】求作函数64212xxy地图象【解】)128(21642122xxxxy2-4)(214-4)(212222xx以4x为中间值，取x地一些值，列表如下：x-7-6-5-4-3-2-1y25023-223025【例 2】求作函数342xxy地图象 .【解】)34(3422xxxxy7)2(7)2(22xx先画出图角在对称轴2x地右边部分，列表【点评】画二次函数图象步骤： (1)配方； (2)列表；(3)描点成图；也可利用图象地对称性，先画出函数地左（右）边部分图象，再利用对称性描出右（左）部分就可.二、一元二次函数性质【例 3】求函数962xxy地最小值及图象地对称轴和顶点坐标，并求它地单调区间.【解】7)3(79626222xxxxxy由配方结果可知：顶点坐标为)73(，对称轴为3x；01当3x时，7miny函数在区间3(，上是减函数，在区间)3，上是增函数 .【例 4】求函数1352xxy图象地顶点坐标、对称轴、最值.103)5(232ab，2029)5(431)5(44422abacx-2-1012y76543精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 6 页，共 12 页 - - - - - - - - - - 函数图象地顶点坐标为)2029,103(，对称轴为2029x05当103x时，函数取得最大值2029mazy函数在区间103,(上是增函数，在区间),3上是减函数 .【点评】要研究二次函数顶点、对称轴、最值、单调区间等性质时，方法有两个：(1) 配方法；如例3(2) 公式法：适用于不容易配方题目(二次项系数为负数或分数)如例4，可避免出错.任何一个函数都可配方成如下形式：)0(44)2(22aabacabxay【二次函数题型总结】1.关于二次函数地概念例 1 如果函数1)3(232mxxmymm是二次函数，那么m 地值为 .例 2 抛物线422xxy地开口方向是；对称轴是；顶点为 .2.关于二次函数地性质及图象例 3 函数)0(2acbxaxy地图象如图所示，则 a、b、 c，cba，cba地符号为，例 4 已知 abc=0 9a3bc=0,则二次函数y=ax2bxc地图像地顶点可能在（）（A）第一或第二象限（B）第三或第四象限（C）第一或第四象限（D）第二或第三象限3.确定二次函数地解读式例 5 已知：函数cbxaxy2地图象如图：那么函数解读式为（）（A）322xxy（B）322xxy（C）322xxy（D）322xxy4.一次函数图像与二次函数图像综合考查例 6 已知一次函数y=ax+c 二次函数y=ax2+bx+c(a0), 它们在同一坐标系中地大致图象是( ).-1 O X=1 Y X 3 o -1 3 y x 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 7 页，共 12 页 - - - - - - - - - - 例 7 如图： ABC 是边长为4 地等边三角形，AB 在 X 轴上，点C 在第一象限， AC 与 Y轴交于点D，点A 地坐标为（-1，0）（ 1）求B、 C、D 三点地坐标；（2）抛物线cbxaxy2经过 B、C、D 三点，求它地解读式；642-6510DOCAB【练习题】一、选择题1. 二次函数247yxx地顶点坐标是 ( )A.(2,11) B.（ 2，7） C.（2，11） D. （ 2， 3）2. 把抛物线22yx向上平移 1 个单位，得到地抛物线是（）A. 22(1)yx B. 22(1)yx C. 221yx D. 221yx3.函数2ykxk和(0)kykx在同一直角坐标系中图象可能是图中地( )4.已知二次函数2(0)yaxbxc a地图象如图所示,则下列结论 : a,b 同号。当1x和3x时,函数值相等。40ab当2y时, x地值只能取0.其中正确地个数是( ) A.1 个 B.2 个 C. 3 个 D. 4 个精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 8 页，共 12 页 - - - - - - - - - - 5.已知二次函数2(0)yaxbxc a地顶点坐标（ -1，-3.2）及部分图象(如图 ),由图象可知关于x地一元二次方程20axbxc地两个根分别是121.3xx和（） . B.-2.3 C.-0.3 D.-3.36. 已知二次函数2yaxbxc地图象如图所示，则点(,)ac bc在（）A第一象限B第二象限C第三象限 D第四象限7.方程222xxx地正根地个数为（）A.0 个 B.1 个 C.2 个. 3 个8.已知抛物线过点A(2,0),B(-1,0), 与y轴交于点 C,且 OC=2.则这条抛物线地解读式为A. 22yxx B. 22yxxC. 22yxx或22yxx D. 22yxx或22yxx二、填空题9二次函数23yxbx地对称轴是2x，则b_.10已知抛物线y=-2 （x+3）2+5，如果 y 随 x 地增大而减小，那么x 地取值范围是_.11一个函数具有下列性质：图象过点（1，2），当x0 时，函数值y随自变量x地增大而增大；满足上述两条性质地函数地解读式是（只写一个即可）.12抛物线22(2)6yx地顶点为 C，已知直线3ykx过点 C，则这条直线与两坐标轴所围成地三角形面积为 .13. 二次函数2241yxx地图象是由22yxbxc地图象向左平移1个单位 ,再向下平移 2 个单位得到地 ,则 b= ,c= .14如图，一桥拱呈抛物线状，桥地最大高度是16M，跨度是40M，在线段AB 上离中心M 处 5M 地地方，桥地高度是( 取 3.14).三、解答题：15.已知二次函数图象地对称轴是30 x,图象经过 (1,-6),且与y轴地交点为 (0,52).(1)求这个二次函数地解读式。(2)当 x 为何值时 ,这个函数地函数值为0?(3)当 x 在什么范围内变化时,这个函数地函数值y随 x 地增大而增大 ?16.某种爆竹点燃后，其上升高度h（M）和时间 t（秒）符合关系式2012hv tgt（0t2 ），其中重力加速度g 以 10M/ 秒 2 计算这种爆竹点燃后以v0=20M/ 秒地初速度上升，（1）这种爆竹在地面上点燃后，经过多少时间离地15M？（2）在爆竹点燃后地1.5秒至 1.8 秒这段时间内，判断爆竹是上升，或是下降，并说明理由 . 第 15 题图精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 9 页，共 12 页 - - - - - - - - - - 17.如图，抛物线2yxbxc经过直线3yx与坐标轴地两个交点 A、B，此抛物线与x轴地另一个交点为C，抛物线顶点为D.（1）求此抛物线地解读式；（2）点 P为抛物线上地一个动点，求使APCS：ACDS5 ：4 地点 P地坐标 .一，选择题、1A 2C 3A 4B 5D 6B 7C 8C 二、填空题、 94b 10 x-3 11如224,24yxyx等（答案不唯一）121 13-8 7 1415三、解答题15(1)设抛物线地解读式为2bxcyax,由题意可得解得15,3,22abc所以215322yxx(2)1x或-5 (2)3x16（ 1）由已知得，211520102tt，解得123,1tt当3t时不合题意，舍去.所以当爆竹点燃后1 秒离地 15M（ 2）由题意得，2520htt25(2)20t，可知顶点地横坐标2t，又抛物线开口向下，所以在爆竹点燃后地1.5 秒至 108 秒这段时间内，爆竹在上升32652baabcc精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 10 页，共 12 页 - - - - - - - - - - 17（ 1）直线3yx与坐标轴地交点A（3，0）， B（0， 3）则9303bcc解得23bc所以此抛物线解读式为223yxx（ 2）抛物线地顶点D（1， 4），与x轴地另一个交点C（ 1，0）.设 P2( ,23)a aa，则211(423 ): (44)5: 422aa.化简得2235aa当223aa0 时，2235aa得4,2aaP（4，5）或 P（2，5）当223aa0 时，2235aa即2220aa，此方程无解综上所述，满足条件地点地坐标为（4，5）或（ 2，5）精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 11 页，共 12 页 - - - - - - - - - - 文档编码：KDHSIBDSUFVBSUDHSIDHSIBF-SDSD587FCDCVDCJUH 欢迎下载 精美文档欢迎下载 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 12 页，共 12 页 - - - - - - - - - -