2022年二次函数综合题 .pdf

学习好资料欢迎下载二次函数综合题考法归类探究赵兴荣甘肃省兰州市西北师范大学第二附属中学（730070）二次函数是初中数学的重要内容之一, 也是初中函数学习向高中函数学习过渡的重要纽带, 以二次函数为载体的综合题是历年各地中考命题者所青睐的“黄金考题”，更是绝大多数地区数学中考最后一道压轴题的不二选择。因此，对其考法进行归类探究十分必要。考 法 一 、 函 数 、 方 程 、 不 等 式 之 间 的 “ 串 联 问 题 ”函 数 是 一 个 变 化 过 程 ， 方 程 可 看 作 是 对 应 函 数 变 化 过 程 的 瞬 间 ， 而 不 等 式 则 可 看 作 是 对 应 函 数变 化 过 程 的 区 域 或 片 段 ， 三 者 之 间 有 着 剪 不 断 的 “ 血 脉 ” 联 系 ， 此 种 类 型 的 题 目 考 查 的 是 学 生 对 本体 知 识 的 理 解 和 掌 握 层 次 。例 1.(2015.内蒙古呼和浩特) 已知：抛物线y=x2+(2m1)x + m21 经过坐标原点，且当x 0时， y 随 x 的增大而减小 . (1) 求抛物线的解析式，并写出y 0时，对应 x 的取值范围 ; (2) 设点 A是该抛物线上位于x 轴下方的一个动点，过点A作 x 轴的平行线交抛物线于另一点D，再作 AB x轴于点 B， DC x轴于点 C. 当 BC=1时，直接写出矩形ABCD 的周长 ; 设动点 A的坐标 为(a，b)，将矩形 ABCD 的周长 L 表示为 a 的函数并写出自变量的取值范围，判断周长是否存在最大值，如果存在，求出这个最大值，并求出此时点A的坐标 ; 如果不存在，请说明理由. 分析： （1）抛物线过原点，等效于点（0，0）适合抛物线的解析式，这样就得到一个关于m 的一元二次方程，进而得到两个解析式分别为y = x2+x或 y = x23x，再由 x 0 时，y 随 x 的增大而减小，观察对应抛物线片段上的特征，即可得抛物线的解析式为y = x23x.而写出 y0时，x 的取值范围，只需将 x 轴下方图像向x 轴作正投影， x 轴上被覆盖的区域即为对应自变量x 的取值范围。（2）参考右图 ,由二次函数的对称性，OB=CH=(OHBC ) 2=1 ， B(1，0)，而 A、B 两点横坐标相同，把x=1 代入到 y = x23x 可得 y=2，AB=2矩形周长为 6。A 点和 D点互换位置，也不影响我们得出结论。L=2AD+2AB，A、D 两点的纵坐标相同，把A(a，b)代入到 y = x23x 可得：aab32，则 A、D 两点的横坐标为方程032baa的两个根，不妨设为21,aa,于是 AD=21aa=212212214)()(aaaaaa,于是由一元二次方程根与系数的关系有a1+a2=3， a1a2=b， 进而的出AD=4b9，则矩形的周长为：L=2AD+2AB=24b92b,又因为 b= a23a，所以 L=2|3 2a| 2(a23a)，显然要讨论a 的位置，即 a 与32的大小来决定如何去绝对者。这样可以得到两个函数，一个A 点在对称轴左边，另一个在对称轴右边，所以需要分别讨论。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 6 页 - - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载本题以二次函数的解析式为问题展开的起点，层层设卡，由特殊到一般，由数字到字母，由易到难，解决问题渗透了数形结合和分类讨论思想，运用了方程和不等式方法，展示了函数、方程、不等式之间的内在联系，对数学本体知识、方法和思想作到了淋漓尽致的考察。解： （1）y = x2+(2m1)x + m21 经过坐标原点0=0+0+ m21，即 m21=0 解该方程得m= 1 该二次函数解析式为y = x2+x 或 y = x23x 又当 x 0 时， y 随 x 的增大而减小二次函数解析式为y = x23x.如右图所示为函数 y = x23x 图像 该图像开口向上，且与横轴交点坐标从左至右为（0,0）和（ 3,0）y0 时， 0 xPC, 使 PB-PC的 值 最 大 ？ 若 存 在 ，求 点 P 的 坐 标 . （ 2） 在 x 轴 上 是 否 存 在 点 Q, 使 QBC 为 等 腰 三 角 形 ， 若 存 在 ， 求 出所 有 Q 点 的 坐 标 . （ 3）在 抛 物 线 上 是 否 存 在 点 R，使 RBC 是 以 BC 为 直 角 边 的 直 角 三角 形 ， 若 存 在 ， 求 出 所 有 R 的 坐 标 . (4) 点 M 是 直 线 BC 上 的 一 点 ，过 M 作 y 轴 的 平 行 线 交 抛 物 线 于 点 N，是 否 存 在 点 N, 使 M 、 N、 C、O 构 成 一 个 平 行 四 边 形 ，若 存 在 ，请 求 出 N点 的 坐 标 ， 若 不 存 在 ， 请 说 明 理 由 .例 1 图 1 例 1 图 2 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 6 页 - - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载分析： （1）一般的，在已知直线上求一点，使其到两点（在已知直线的同侧）的距离和最小或在已知直线上求一点，使其到两点（在已知直线的异侧）的距离差最大的问题，其解答策略就是作其中一点的对称点，与另一点连线与已知直线的交点即为所求. （2）按等三角形顶点不同可分三种情况讨论.若 P 为顶点， PB、PC 为腰，则作BC 的中垂线与x 轴的交点即为所求；若 C 为顶点， CP、CD 为腰，则以C 为圆心， CB 为半径作圆与x 轴交点即为所求；第三种情况与第二种情况同理解答 . （3）由于所探求的直角三角形是以BC 为直角边的，所以C、B 两点均有可能成为直角顶点，故可分两种情况分类解答 . （4）可分点 M 在 N 的下方和上方分类讨论. 解： (1)如图 1，点 A 与点 B 关于对称轴x=1 对称，连结AC 并延长，交对称轴x=1于点 P,此时 PB-PC的 值 最 大 , PB-PC= PA-PC=AC=10,易 知 直 线 AC 的 解 析 式 为y=3x+3,得 P(1,6).(2)若 QB=QC, 则 Q1(0,0). 若 CQ=CB, 则 OQ=OB=3, 故 Q2(-3,0). 若 BQ=BC=23,则 Q3(3+23,0)，Q4(3-23,0). 综上所述，存在四个这样的Q 点，Q1(0,0)，Q2(-3,0)，Q3(3+23,0)，Q4(3-23,0). （3）如图 2，若 BCR=90, R1即为抛物线的顶点，故R1（ 1，4）. 若 CBR=90 ,则易得 OBR=45 ,进而得到直线BR 的解析式为：y=x-3.由方程组3232xxyxy得，52,032211yxyx于是 R2(-2,-5).满足条件的R 点有两个， R1（1，4） ，R2(-2,-5). （4）直线 BC 的解析式为：3xy,可设 M(m,-m+3) ，N(32,2mmm),要使四边形 MNCO 为平行四边形， 则须有 MN=OC, 当 N 在 M 的上方如图3 时， MN=mm32,（30m） ， 此时应有mm32=3， 该方程无解 .当当 N 在 M 的下方时，MN=mm32,（0m或3m） ，此时应有mm3-2=3，解得2213m，于是N1(2213,2213),N2(2213,2213). 综上，满足条件的点N 有两个， N1(2213,2213),N2(2213,2213).考法三、函数为背景的“几何图形变换问题”以 二 次 函 数 为 背 景 的 几 何 图 形 的 变 换 问 题 是 近 年 来 全 国 各 地 数 学 中 考 的 热 点 题 型 。 几 何 图 形 的变 换 是 指 几 何 图 形 的 平 移 、 翻 折 和 旋 转 ， 解 这 类 问 题 的 关 键 就 是 把 几 何 图 形 变 换 的 性 质 与 函 数 的 相关 知 识 有 机 地 融 合 起 来 ,借 助 勾 股 定 理 、 面 积 公 式 、 全 等 、 相 似 等 数 学 工 具 ， 探 寻 题 中 蕴 含 的 数 学 思想 ,挖 掘 题 中 潜 在 的 数 学 规 律 ， 进而 完 成 有 关 的 计 算 推 理 或 几 何 证 明 。 由 于 此 类 题 目 是 在 直 角 坐 标 系下 创 设 了 几 何 图 形 的 变 换 情 景 ， 从 知 识 格 局 上 形 成 了 代 数 与 几 何 的 综 合 ， 这 给 学 生 思 维 设 置 了 较 大的 跨 度 ， 所 以 解 决 此 类 问 题 对 阅 读 理 解 能 力 、 收 集 处 理 信 息 能 力 以 及 综 合 运 用 知 识 解 决 问 题 的 能 力等 方 面 都 要 求 较 高 。例 2 图 2 例 2 图 3 例 2 图 1 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 6 页 - - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载例 3.（2014?黔西南州） 如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c 经过 A（ 3，0） 、B（1，0） 、C（0，3）三点，其顶点为D，连接 AD ，点 P 是线段 AD 上一个动点（不与A、D 重合） ，过点 P 作 y 轴的垂线，垂足点为 E，连接 AE（1）求抛物线的函数解析式，并写出顶点D 的坐标；（2）如果 P 点的坐标为（ x，y） ，PAE 的面积为 S，求 S 与 x 之间的函数关系式，直接写出自变量x 的取值范围，并求出S 的最大值；（3）在（ 2）的条件下，当S取到最大值时，过点P 作 x 轴的垂线，垂足为F，连接 EF，把 PEF 沿直线 EF 折叠，点 P的对应点为点P ，求出 P的坐标，并判断 P 是否在该抛物线上分析 （1）由抛物线y=ax2+bx+c 经过 A（3，0） 、B（1，0） 、C（0，3）三点，则代入求得a，b，c，进而得解析式与顶点D（2）由 P在 AD 上，则可求AD 解析式表示P点由 SAPE=?PE?yP，所以 S可表示，进而由函数最值性质易得S 最值（3）把 PEF 沿直线 EF 折叠，得到一对图形成轴对称，于是熟练应用轴对称的性质即为解答本问的出发点，而由S 取到最大值时，P 为（，3） ，则 E 与 C重合，欲求点P 的对应点为点P 的坐标，则很容易想到过P作 PM y 轴，设边长通过解直角三角形可求各边长度，进而得 P坐标判断P 是否在该抛物线上，只要将xP坐标代入解析式，判断是否为yP即可解： （1）抛物线y=ax2+bx+c 经过 A（ 3，0） 、B（1，0） 、C（0，3）三点，解得，解析式为y=x22x+3 x22x+3=（ x+1）2+4，抛物线顶点坐标D 为（ 1，4） （2） A（ 3，0） ， D（ 1，4） ，设 AD 为解析式为y=kx+b ，有，解得， AD 解析式：y=2x+6 ， P 在 AD 上， P（x，2x+6） ， SAPE=?PE?yP=?（ x）?（ 2x+6）=x23x（ 3x 1） ，当x=时， S取最大值（3）如图 1，设 PF 与 y 轴交于点 N，过 P 作 P My 轴于点 M， PEF 沿 EF 翻折得 PEF， 且 P （， 3） ， PFE=PFE， PF=P F=3， PE=P E=，PFy 轴， PFE=FEN， PFE= PFE， FEN= P FE， EN=FN，设EN=m，则 FN=m，PN=3m在 RtPEN 中， （3m）2+ （）2=m2， m= SPEN=?P N?P E=?EN ?PM，P M=在 RtEMP 中， EM=，OM=EO EM=， P（，） 当 x=时， y=（）22?+3= ，点 P 不在该抛物线上综 上 ， 每 年 二 次 函 数 综 合 题 虽 然 花 样 翻 新 、 面 目 “ 狰 狞 ” ， 给 应 试 的 老 师 和 同 学 们 的 复 习 备 考带 来 了 无 形 的 压 力 和 挑 战 ，但 若 我 们 对 试 题 进 行 一 些 归 类 探 究 就 会 发 现 ，它 们 的 创 编 仍 然 有 章 可 循 ，解 决 问 题 也 是 有 法 可 依 。 此 类 试 题 一 般 设 计 三 问 ， 第 一 问 为 送 分 点 ， 第 二 问 为 攻 坚 点 ， 第 三 问 为 主例 3 图例 3 图 1 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 6 页 - - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载打 的 区 分 度 点 。 在 面 对 二 次 函 数 综 合 题 时 ， 首 先 在 战 略 上 要 藐 视 “ 敌 人 ” ， 虽 然 有 三 问 ， 并 且 经 常是 阅 读 量 较 大 ， 题 目 条 件 代 数 几 何 交 错 ， 会 给 考 生 带 来 强 烈 的 压 迫 感 和 恐 慌 的 心 理 体 验 ， 但 若 将 其视 为 小 题 的 “ 叠 加 ” ， 即 无 非 是 三 道 填 空 题 的 集 结 ， 这 样 ， 就 会 在 心 理 准 备 减 缓 紧 张 ， 增 强 自 信 。其 次 在 战 术 上 还 要 重 视 “ 敌 人 ” ， 要 仔 细 审 题 ， 明 了 各 问 之 间 的 逻 辑 关 系 ， 是 相 互 关 联 ， 还 是 各 自独 立 ， 是 方 法 迁 移 ， 还 是 各 自 为 政 。 在 次 基 础 上 ， 充 分 理 解 题 目 散 射 的 各 类 信 息 ， 特 别 是 几 何 图 形或 几 何 变 换 的 信 息 ， 以 此 作 为 思 维 的 出 发 点 展 开 联 想 ， 就 可 轻 松 从 中 捕 捉 到 解 题 的 方 向 。 在 解 决 方略 上 ， 要 注 意 步 步 为 营 ， 严 谨 推 理 ， 规 范 书 写 ， 谨 防 一 着 不 慎 ， 全 盘 皆 输 。 当 打 胜 第 二 问 的 攻 坚 战后 ， 一 定 要 克 服 第 三 问 可 能 出 现 运 算 量 较 大 和 分 类 讨 论 情 况 较 多 带 来 的 心 理 障 碍 ， 坚 持 仔 细 演 算 ，一 鼓 作 气 ， 克 敌 制 胜 。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 5 页，共 6 页 - - - - - - - - - - 文档编码：KDHSIBDSUFVBSUDHSIDHSIBF-SDSD587FCDCVDCJUH 欢迎下载 精美文档欢迎下载 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 6 页，共 6 页 - - - - - - - - - -