2022年南京大学和数学分析考研试题及解答 .pdf

南京大学数学分析考研试题一 设( )f x为1R上的周期函数，且lim( )0 xf x，证明f恒为 0。二 设定义在2R上的二元函数( , )f x y关于x，y的偏导数均恒为零，证明f为常值函数。三 设( )nfx(1,2,.)n为nR上的一致连续函数，且lim( )( )nnfxf x，1xR，问：( )f x是否为连续函数？若答案为“是”，请给出证明；若答案为“否”，请给出反例。四 是否存在0,1区间上的数列nx，使得该数列的极限点（即聚点）集为0,1，把极限点集换成(0,1)，结论如何？请证明你的所有结论。五 设( )f x为0,)上的非负连续函数，且0( )f x dx，问( )f x是否在0,)上有界? 若答案为“是” ，请给出证明；若答案为“否”，请给出反例。六 计算由函数211( )2fxx和22( )1fxx的图像在平面2R上所围成区域的面积。七 计算积分222(22)xxyyRedxdy。八 计算积分xyzdxdydz，其中为如下区域：3( , , ):0,0,0,x y zRxyzxyza，a为正常数。九 设0na(1,2,.)n，1nnkkSa，证明：级数21nnnaS是收敛的。十方 程2232327xyzx yz在(1, 2,1)附 近 决 定 了 隐 函 数( ,)zz x y， 求2(1,2 )zx y的值。十一求函数333( , , )f x y zxyz在约束条件2xyz，22212xyz下的极值，并判断极值的类型。十二设10,1fC，且(0)(1)0ff，证明：1122001( )( )4f xdxfxdx。十三设( )f x为0,上的连续函数，且对任意正整数1n，均有0( )cos0f xnxdx，证明：f为常值函数。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 10 页 - - - - - - - - - - 南京大学数学分析考研试题解答一 证明设( )f x的周期为T，0T，则有()( )f xnTf x，由条件知，( )lim()0nf xf xnT，结论得证。二 证明因为0fx，0fy，fx，fy在2R上连续，对任意2( , )x yR，有( , )(0,0)f x yf(,)(,)ffxyxxyyxy0，所以( ,)(0,0)f x yf，即( ,)f x y为常值函数。三 解( )f x未必为连续函数。反例：( )1nnnxfxx，( )nfx在1R上连续，又lim( )1nxfx，所以( )nfx在(,)上一致连续，0,11lim( )( ),121,1nxxfxf xxx，显然( )f x在(,)上不连续。四解（1）存在。取0,1中的有理数形成的点集nIr，则有0,1I。（2）不存在。假若存在nIx，使得(0,1)I，由于I是闭集，而(0,1)为开集，矛盾，所以这样的点列不存在。五 未必有( )fx在0,)上有界，未必有lim( )0 xf x。六 解 显然两曲线的交点横坐标为123x，223x，2223231(1)2Sxxdx精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 10 页 - - - - - - - - - - 223032(1)2xdx3212()320 xx31222()2334 69。七 解 显然这个二重广义积分是收敛的。由2xedx，222(22)xxyyRedxdy22()xyxdxeedy22()xyxedxedy2xedx。八 解xyzdxdydz000aa xax ydxdyxyzdz十 解22920 xxxz zyz，24920yyz zxz，218920yxxyxyzz zz zz。十一解333222()(2)(12)Lxyzxyzxyz2320Lxxx，2320Lyyy，精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 10 页 - - - - - - - - - - 2320Lzzz，2223()32 ()0 xyzxyz，3 123220，36340。十二证明00( )(0)( )( )xxf xfft dtft dt，1122200( )( )( )xxfxftdtxftdt，122200( )( )( )xf xxftdtxftdt，于是112222001 1( )( )( )2 2f xdxfxdx，11( )(1)( )( )xxf xfft dtft dt，1111222( )( )(1) ( )xxfxftdtxftdt，1220( )(1)( )f xxftdt，112221021 1( )( )( )2 2fxdxfxdx，故有111122222100021( )( )( )( )4f xdxf xdxf xdxfxdx。十三证明 作函数( )F x，( )F x是周期为2的偶函数，当(0,)x时，( )( )F xf x，则( )F x在(,0)(0,)上连续，在,可积。012( )cos( )cos0naF xnxdxF xnxdx，(1,2,.)n002( )af x dx，1( )sin0nbF xnxdx，01(cossin)( )2nnnaanxbnxF x，001( )(cossin)22NNnnnaaSxanxbnx，( )NSx在2, L中收敛于( )F x，精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 10 页 - - - - - - - - - - 2lim( )( )0NNF xSxdx，20( )02aF xdx，200( )02af xdx，由( )fx在0,上连续，知20( )02af x，即得0( )2af x，( )f x在0,上为常值函数。南京大学数学分析考研试题1 开区间(0,1)内的有理数能否按照从小到大的顺序排成一列，请说明理由。2 若级数1nna收敛，则是否有21nna收敛，是请证明；否请举反例。3 设,0a b，求limnnnnab。4 求2011lim()sinxxxx。5 若函数( )f x在0,1上可导，则( )fx是否一定有界，是请证明；否请举反例。6 函数:fRR连续，且有唯一的极值点，证明：这个唯一的极值点一定是最值点。7 函数( )f x在0,1上有二阶导数，(0)0f，(1)1f，( )0fx，求证：( )fxx，0,1x。8 函数( ,)f x y是一个2C函数，000(,)zxy，计算020020(, )1lim( , )(,)hB zhhf x y dxdyf xyh。9 计算xdydzydzdxzdxdy，其中是八分之一球面2222( , , ) : , ,0,x y zx y zxyzR，方向朝外。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 5 页，共 10 页 - - - - - - - - - - 10 、已知( )fx是,上有界变差函数，求证：1,()nna bOn，其中,nna b是( )f x的傅里叶系数。南京大学数学分析考研试题解答1 解 尽管(0,1)中的有理数的个数是可数的，但(0,1)中的有理数不能按从小到大的顺序排成一列，理由如下：（1）由于(0,1)中无最小的有理数，也无最大的有理数；（2）用反证法，假若(0,1)中的有理数按由小到大的顺序排成了一列123.rrr，12( ,)r r中应没有有理数了，而12( ,)r r中仍有有理数122rr，矛盾。2 解 由级数1nna收敛，未必退出21nna收敛。反例：设1( 1)nnan，显然1nna收敛，但21nna发散。3 解 设max , Ma b则有2nnnnMabM，lim2nnMM，由夹逼定理，知limnnnnabmax , Ma b。4 解2011lim()sinxxxx20sinlimsinxxxxx30sinlimxxxx20cos1lim3xxx精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 6 页，共 10 页 - - - - - - - - - - 0sinlim6xxx16。5 解 由( )f x在0,1上可导，即( )fx在0,1上存在，但( )fx未必在0,1上有界。反例：221sin,(0,1( )0,0 xxf xxx，1()2( 1)nfnn，( )fx在0,1上无界。6 证明不妨设0 x是( )f x的唯一的极小值点，则存在0，当00 xx时，有0( )()f xf x，我们要断言，对所有xR，0( )()f xf x。用反证法，假若存在1xR，使得10()()f xf x，不妨设10 xx，由连续函数的介值性，存在01(,)x x，使得0( )()ff x，( )f x在0, x的内部达到最大值，因而也是极大值，这与有唯一性的极值点相矛盾，所以0()f x是最小值，结论得证。7 证明由( )0fx，知( )f x在0,1上是上凸函数，对任意12,0,1x x，01，有1212(1)(1) ()()fxxf xf x，对0,1x，有( )(1) 01)f xfxx(1)(0)(1)x fxfx。8 解0002(, )1( , )(,)B zhf x y dxdyf xyh精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 7 页，共 10 页 - - - - - - - - - - 0002(, )1( , )(,)B zhf x yf xydxdyh200002001(cos ,sin)(,)hdrf xryrfxyrdh，200000040(cos ,sin)(,)limhhdrf xryrf xyrdh20000020(cos ,sin)(,)lim4hf xhyhf xydh200cossinlim8hffdxyh2222222001lim(cossin )cos(cossin )sin8hffffdxy xx yy22222200022001lim()cos2()sincos()sin8hfffzzzdxx yy2200221()()8ffzzxy2200221()()8ffzzxy。9 解1( , , )nx y zR，xdydzydzdxzdxdy2221()xyzdSRRdS2148RR32R。10 证明( )f x是,上有界变差函数，所以( )fx在,上可积，1( )sinnaf xnxdx精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 8 页，共 10 页 - - - - - - - - - - 111 ( ) co s)() c o sfxn xfxn x d xnn，所以1naMn，对1( )cosnbf xnxdx，同理有1nbMn结论得证。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 9 页，共 10 页 - - - - - - - - - - 文档编码：KDHSIBDSUFVBSUDHSIDHSIBF-SDSD587FCDCVDCJUH 欢迎下载 精美文档欢迎下载 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 10 页，共 10 页 - - - - - - - - - -