2022年双曲线知识点归纳总结 .pdf
第二章 2.3 双曲线双曲线标准方程（焦点在 x轴）)0,0(12222babyax标准方程（焦点在y 轴）)0,0( 12222babxay定义第一定义：平面内与两个定点1F ，2F 的距离的差的绝对值是常数（小于12F F ）的点的轨迹叫双曲线。这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点的距离叫焦距。aMFMFM221212FFa第二定义：平面内与一个定点F 和一条定直线l的距离的比是常数 e，当1e时，动点的轨迹是双曲线。定点F 叫做双曲线的焦点，定直线叫做双曲线的准线，常数e（1e）叫做双曲线的离心率。范围xa ，yRya ，xR对称轴x轴 ， y 轴；实轴长为2a, 虚轴长为2b对 称 中心原点(0,0)O焦 点 坐标1(,0)Fc2( ,0)F c1(0,)Fc2(0, )Fc焦点在实轴上，22cab ；焦距：122F Fc顶 点 坐标（a,0 ） ( a,0) (0, a,) (0， a) xyP1F2FxyPxyP1F2FxyxyP1F2FxyxyP1F2FxyP精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 6 页 - - - - - - - - - - 离心率eace(1) 准 线 方程cax2cay2准线垂直于实轴且在两顶点的内侧；两准线间的距离：ca22顶 点 到准 线 的距离顶点1A （2A ）到准线1l（2l）的距离为caa2顶点1A （2A ）到准线2l （1l ）的距离为aca2焦 点 到准 线 的距离焦点1F （2F ）到准线1l （2l ）的距离为cac2焦点1F （2F ）到准线2l （1l ）的距离为cca2渐近线方程xabyxbay共 渐 近线 的 双曲 线 系方程kbyax2222（0k）kbxay2222（0k）1. 双曲线的定义当| MF1| | MF2|=2 a 时，则表示点 M 在双曲线右支上；当aMFMF212时，则表示点 M 在双曲线左支上；注意定义中的 “ （小于12F F ） ”这一限制条件，其根据是“三角形两边之和之差小于第三边” 。若 2a=2c时，即2121FFMFMF, 当2121FFMFMF，动点轨迹是以2F为端点向右延伸的一条射线； 当2112FFMFMF时，动点轨迹是以1F为端点向左延伸的一条射线；若 2a2c时，动点轨迹不存在 . 2. 双曲线的标准方程判别方法是：如果2x项的系数是正数，则焦点在x 轴上；如果2y项的系数是正数，则焦点在y 轴上. 对于双曲线， a 不一定大于 b，因此不能像椭圆那样，通过比较分母的大小来判断焦点在哪一条坐标轴上. 3. 双曲线的内外部 (1)点00(,)P xy在双曲线22221(0,0)xyabab的内部2200221xyab. (2)点00(,)P xy在双曲线22221(0,0)xyabab的外部2200221xyab. 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 6 页 - - - - - - - - - - 4. 形如)0( 122ABByAx的方程可化为11122ByAx当01,01BA，双曲线的焦点在 y 轴上；当01,01BA，双曲线的焦点在 x轴上；5. 求双曲线的标准方程，应注意两个问题：正确判断焦点的位置；设出标准方程后，运用待定系数法求解 . 6. 离心率与渐近线之间的关系222222221ababaace1）21abe 2）12eab7. 双曲线的方程与渐近线方程的关系(1 ）若双曲线方程为12222byax渐近线方程：22220 xyabxaby. (2) 若渐近线方程为xaby0byax双曲线可设为2222byax. (3) 若双曲线与12222byax有公共渐近线， 可设为2222byax（0，焦点在 x轴上，0，焦点在 y 轴上） . (4) 与双曲线12222byax共渐近线的双曲线系方程是2222byax) 0(5) 与双曲线12222byax共焦点的双曲线系方程是12222kbykax(6) 当时ba离心率2e两渐近线互相垂直，分别为y=x，此时双曲线为等轴双曲线，可设为22yx；8. 双曲线的切线方程(1) 双曲线22221(0,0)xyabab上一点00(,)P xy处的切线方程是00221x xy yab. （2）过双曲线22221(0,0)xyabab外一点00(,)P xy所引两条切线的切点弦方程是00221x xy yab. 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 6 页 - - - - - - - - - - A2F24（ 3 ） 双 曲 线22221(0,0)xyabab与 直 线0A xB yC相切的条件是22222A aB bc. 9. 直线与双曲线的位置关系直线l：)0(mmkxy双曲线 C ：12222byax（ a0，b0）12222byaxmkxy02)(222222222bamamkxaxkab1) 当0222kab，即abk时，直线l与双曲线的渐进线 _平行_，直线与双曲线 C相交于一点；2) 当 b2-a2k20，即abk时， =(-2a2mk)2-4(b2-a2k2)(-a2k2)(-a2m2-a2b2) 0时，直线l与双曲线 相交，有两个公共点0时，直线 l 与双曲线 相切 ，有且仅有一个公共点0时，直线 l 与双曲线 相离，无公共点3) 直线与双曲线只有一个公共点, 则直线与双曲线必相切吗 ?为什么 ?（不一定）10. 关于直线与双曲线的位置关系问题常用处理方法直线l：)0(mmkxy双曲线 C ：12222byax（ a0，b0）联立方程法：12222byaxmkxy02)(222222222bamamkxaxkab设交点坐标为),(11yxA,),(22yxB，则有0, 以及2121,xxxx，还可进一步求出mxxkmkxmkxyy2)(212121，2212122121)()(mxxkmxxkmkxmkxyy在涉及弦长，中点，对称，面积等问题时，常用此法，比如a.相交弦 AB的弦长2122122124)(11xxxxkxxkABak21精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 6 页 - - - - - - - - - - 或2122122124)(1111yyyykyykABak21b. 中点),(00yxM, 2210 xxx，2210yyy点差法：设交点坐标为),(11yxA，),(22yxB，代入双曲线方程，得1221221byax1222222byax将两式相减，可得2212122121)()(byyyyaxxxx)()(2122122121yyaxxbxxyya.在涉及斜率问题时，)()(212212yyaxxbkABb.在 涉 及 中 点 轨 迹 问 题 时 ， 设 线 段AB 的 中 点 为),(00yxM，02020202212122yaxbyaxbxxyy，即0202yaxbkAB，11. 焦点三角形面积公式：)( ,2tan21221PFFbSPFF。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 5 页，共 6 页 - - - - - - - - - - 文档编码：KDHSIBDSUFVBSUDHSIDHSIBF-SDSD587FCDCVDCJUH 欢迎下载 精美文档欢迎下载 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 6 页，共 6 页 - - - - - - - - - -
