2022年《随机信号处理》重点题目题型及相关知识点简介 .pdf

第一组上台讲解题目（第2、7 题）2. 复随机过程0()( )jtZ te，式中0为常数，是在(0, 2 )上均匀分布的随机变量。求： (1)()( )E Z tZt和()( )E Z tZ t；(2) 信号的功率谱。解：(1) 0000()201()( )212jtjtjjE Z tZteedede0000()2(2)202(2)201()( )212120jtjtjtjtjE Z tZ teededeed(2) 00( )( )()( )2()ZZjSF RF E Z tZtF e备注: 主要考察第二章 P37,功率谱计算 , 第一步求期望用数学积分方法, 得到()( )E Z tZt即输出的自相关 , 对其进行傅里叶变换就得信号的功率谱。7. 一零均值 MA(2)过程满足 Yule-Walker 方程：试求 MA 参数：0b ，1b ，2b解：由于对于零均值MA(q)过程而言，均值为0，令方差为1，其自相关函数220(0)qxkkrb2220120 11 202321bbbb bbbb b精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 12 页 - - - - - - - - - - 220(0)qxkkrb（公式： 3.2.5）2,0( )0,qkk lk lxb blqrllq( )(),1xxr lrlql（公式： 3.2.6）则可得：222010 11210(0)(1)( )qxqqxqxbbbrb bbbbbrb br q故由题意知， MA(2)过程的自相关函数为(0)3, (1)( 1)2,(2)( 2)12xxxxxrrrrrk由此不难求得 MA(2)过程的功率谱22122( )( )232kxxks zrk zzzzz（公式： 2.4.14）其因式分解为：122( )(1)(1)xs zzzzz根据功率谱分解定理2*( )( )(1/)xszQ z QZ（公式： 2.5.2a） ，比较得传输函数：12( )1Q zzz即0121,1,1bbb备注：本题主要考察MA模型满足 Yule-Walker 方程的模型参数求解，根据P54页 3.2.6求得自相关函数值，由P38 页 2.4.14求得复功率谱密度，因式分解，与 P39页 2.5.2a 比较得出结果。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 12 页 - - - - - - - - - - 第二组上台讲解题目（第1、2、5、7 题）1. 某离散时间因果LTI 系统，当输入) 1()31(41)()31(x(n)1nnnn时，输出)()21()(ynnn（1）确定系统的函数H(Z) （2）求系统单位序列相应h（n）（3）计算系统的频率特性H（ej）（4）写出系统的差分方程解：（1）)41)(21()31(31413121)()()(1ZZZZZZZZZZZZXZYZH|Z|21(2) 41972192)41)(21(31)(ZZZZZZZH|Z| 21)()41(97)()21(92)(hnnnnn(3) 因为 H（z）收敛域为|Z| 21，包含单位圆 ,所以 H（ej）存在 : 41972192|)()(jjjjeZjeeeeZHeHj（4）21121281-41131-181-4131)()()(ZZZZZZZZXZYZH=121)(31)()(81)(41)(ZZXZXzzYzzYzY)1(31)()2(81)1(41)(nxnxnynyny精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 12 页 - - - - - - - - - - 备注:考察第一章数字信号基础,比较完整。2. 一个方差为 1 的白噪声激励一个线性系统产生一个随机信号,该随机信号的功率谱为 : ，求该系统的传递函数，差分方程。解：由给定信号的功率谱，得（公式： 2.5.8）其中，因此 与之对应的最小相位系统为：（公式： 2.5.7）系统的传递函数为：差分方程为：（公式： 2.5.9）备 注 ： 参 考P41 页 例2.5.1。 题 目 会 有 改 动 ， 谱 分 解 + 一 个 系 统21( )( )( )( )h nx nh ny n再对输出求功率谱，( )h n：P39页，新息滤波器去噪。1( )h n：最优线性滤波器或最小二乘滤波等。再根据 P38页 2.4.22 式对输出求功率谱。5. 有一个自相关序列为( )0.8lsr l的信号 s(n) ，被均值为零、噪声方差为1的加性白噪声v(n) 干扰，白噪声与信号不相关。用维纳滤波器从被污染的信号x(n) = s(n)+v(n) 中尽可能恢复 s(n) ，求出一阶 FIR 滤波器的系数和最小均方误差。解：由白噪声与信号不相关，因此有精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 12 页 - - - - - - - - - - ( )( )( )0.8( )lxsvrlrlrll并且有( ) ( ) ()( )0.8lxdsrlE x n s nlr l对于一阶 FIR 维纳滤波器，自相关矩阵和互相关分量分别为(0)(1)20.8(1)(0)0.82xxxxxrrRrr（公式： 5.3.12）(0)1(1)0.8xdxdxdrrr（公式： 5.3.11）解 Wiener-Hopf方程，得10.4350.238optxxdhRr（公式： 5.3.13）维纳滤波器的最小均方误差：2min0.435110.810.65240.37460.238TdxdoptJr h（公式： 5.2.16）备注：典型例题，本题出自第五章。考察最优线性滤波器设计方法。参考 P97页例 5.3.1 。 根据 P97页 5.3.12,5.3.13。 计算上有点麻烦，复习数学逆阵算法。可能改动：需求解自相关序列，白噪声方差。系统评估：从均分误差和信噪比分析。7. 已知信号的 4 个样值为( )x n（2,4,1,3）,试用自相关法估计AR(1)模型参数。解：AR(1) 的参数(1)a就是一阶预测误差滤波器的预测系数。 一阶预测误差滤波器的结构如图所示。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 5 页，共 12 页 - - - - - - - - - - 一阶预测误差滤波器滤波器的输出是预测误差( )( )*( )e nx na n， 其中( )x n的长度是 N=4, ( )a n的长度是 2，所以( )e n的长度是 4+2-1=5(n=0,1,2,3,4)，有10( )( )*( )() ()me nx na na m x nm=(0) ( )(1) (1)ax nax n=( )(1) (1)x nax n(0)(0)( 1) (1)exxa(1)(1)(0) (1)exxa(2)(2)(1) (1)exxa(3)(3)(2) (1)exxa(4)(4)(3) (1)exxa上面各式中，(0), (1), (2), (3)2,4,1,3xxxx为已知数据，( 1)x和(4)x是未知数据。(1)a的选择应使预测误差功率达最小。自相关法：自相关法认为假定已知数据段之外的数据为0，预测误差功率为：( )n=420( )nen=22222(0)(1)(2)(3)(4)eeeee=22222242 (1)14 (1)3(1)3 (1)aaaa=23030 (1)30(1)aa令( )0(1)na，得3060 (1)0a，所以(1)0.5a。备注：主要考察第5，7 章。线性预测误差滤波器+AR模型+自相关法（ P137页式 7.2.2 ）。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 6 页，共 12 页 - - - - - - - - - - 改动：将题中使用到的自相关法换成协方差法（P139页）第三组上台讲解题目（第2、6 题）2. 已知随机信号0X tsintA，0为常数，是 0,2)的均匀分布随机变量，讨论当 A 满足系列条件时， X t 的广义平稳性。（1）A为常数；（2）A为时间常数 AA t ；解：（1） 当 A 为常数时：20001X tsintsint02EE AAd；（公式： 2.2.1）2120 10220120 10220,sintsintcoscostt22cos2xRt tEAAEttA（公式： 2.2.2）其中12tt，故此时X t是广义平稳的；（广义平稳 =宽平稳，指随机过程的 1 阶矩和 2 阶矩与起始参考时间无关）（2）当AA t为时间函数时：20001X tsintsint02EE A tA td；12120 10 2120120 10 2120,sintsintcoscostt22cos2xRt tEA tA tA tA tEttA tA t其中12tt，此时Xt不是广义平稳的。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 7 页，共 12 页 - - - - - - - - - - 备注：本题出自第二章随机信号分析基础，主要考查的是该章第二节（随机过程） 中的随机信号平稳性问题。 其中用到的公式（2.2.1/2）在书上 P30页。其中用到的概念主要来自式2.2.4以及 P31页中的内容。判断平稳性的两个关键性指标是：信号均值等于常数， 与时间无关； 信号的自相关主要取决于时间间隔，与长短和起始位置无关。6. 用下列的数据矩阵和期望响应信号解LS问题：已知1 112213 13101x和1243y。解：首先计算正则方程的系数矩阵和互相关向量：15813?86613612R20?918d（公式： 6.2.12/13）接着对?R进 行RL DL分解（ 参 考 例 6.4.1）。利 用 MATLAB函数 L ,D =l d l ( R)，可以得到：1000.5333100.86670.53851L150001.7330000.2308D由LDkr式（公式： 6.4.26）可得解向量k和 LSE为：3.01.51.0k1.5lsE w=？（公式： 6.4.25）备注：本题出自第六章最小二乘滤波和预测，主要考查的是该章第四节（最小二乘线性预测） 的相关问题。 其中用到的公式分布在书上 P117-P130页。本题参考的是P131页的例 6.4.2 题。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 8 页，共 12 页 - - - - - - - - - - 本题的主要难点在于，求解正则方程、对系数矩阵进行LDL分解。其中正则方程的式6.2.14 在 P117页，三角分解的例题 6.4.1 在 P130页。第四组上台讲解题目（第2、3 题）2. 一个广义平稳随机信号(n)x的自相关函数|k|0.8xrk，该信号通过一个系统函数为11(z)10.9Hz的LTI 系统，其输出为(n)y。试求： （1） 输入随机信号(n)x的功率谱(w)xS和复功率谱(z)xS。（2） 输出随机信号(n)y的功率谱(z)yS解：（1）功率谱：（公式： 2.4.13）(w)xS=(e)(k)ejwjwkxxkSr=|k|0.8jwkke000.80.8kjwkkjwkkkee000.80.8kjwkkjwkkkee1110.810.8jwjwee复功率谱：（公式： 2.4.14）(z)xs=(k)zkxkr=|k|0.8 zkk11110.810.8zz(2) 功率谱： （公式： 2.4.18）(z)yS=1(z)H*()S (z)*xHZ=1110.9z110.9z111()10.810.8zz备注：本题出自第二章随机信号分析基础，主要考查的是关于功率谱的计算问题。其中用到的公式（2.4.13/14/18 ）都在书上精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 9 页，共 12 页 - - - - - - - - - - P38页。3. 一个 AR （2） 过程满足如下的差分方差：。其中，是一个均值为 0，方差为 0.5 的白噪声。（1）写出该过程的Yule-Walker方程（2）求解自相关函数值和（3）求出的方差解：（1）由于，实二阶 AR （2）过程的 Yule-Walker方程为： （公式： 3.1.27、3.1.32）（2）解上述 Yule-Walker方程可得：；（可扩展点：依照已知模型对自相关函数进行递推求解，如求、等。 此时用到的公式是P53页的 3.1.30 式中 L0 的情况。）（3）因为均值为 0，所以的均值为零 （因为 AR模型为线性模型，其输入与输出的均值满足线性关系） ， 其方差等于平均功率，即。备注：本题出自第三章随机信号的线性模型，主要考查的是关于AR 模型的计算问题。其中用到的公式（3.1.27/32）在书上P52-53 页。该类题目还可以衍变为简答题，如“对经典谱估计和现代谱估计这两种方法进行比较” 、“现代谱估计相比于经典谱估计的优点” （该类谱估计问题的解答请关注P62/P134页的章节简介部分）第五组上台讲解题目（第6 题）6. 我们希望从观察矢量和中估计序列。 确定最优滤波器系数、误差矢量e。解：最优滤波器系数：精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 10 页，共 12 页 - - - - - - - - - - （公式： 6.2.12）（公式： 6.2.13）由，得：（公式： 6.2.14/15）误差矢量 e：投影矩阵为：（公式： 6.2.28）（公式： 6.2.29）备注：本题出自第六章最小二乘滤波和预测，主要考查的是该章第二节（线性最小二乘估计）的相关问题。其中用到的公式（6.2.12/13、6.2.14/15、6.2.28/29）在书上 P115-P120页。本题参考的是 P119页的例 6.2.1 题。注：上述题目中的相关知识点及概念如果遗漏或错误欢迎指正。请大家认真复习准备，祝你好运！精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 11 页，共 12 页 - - - - - - - - - - 文档编码：KDHSIBDSUFVBSUDHSIDHSIBF-SDSD587FCDCVDCJUH 欢迎下载 精美文档欢迎下载 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 12 页，共 12 页 - - - - - - - - - -