2022年历届国际物理奥林匹克竞赛试题与解答 .pdf

历届国际物理奥林匹克竞赛试题与解答第 5 届（1971 年于保加利亚的索菲亚）【题 1】质量为m1和m2的物体挂在绳子的两端，绳子跨过双斜面顶部的滑轮，如图 5.1 。斜面质量为m，与水平面的夹角为1和2。整个系统初态静止。求放开后斜面的加速度和物体的加速度。斜面保持静止的条件是什么？摩擦可以忽略。解：我们用a表示双斜面在惯性参照系中的加速度（正号表示向右的方向） 。用a0表示物体相对斜面的加速度（正号表示左边物体m下降）两个物体在惯性系中的加速度a1和a2可由矢量a和a0相加得到（如解图 5.1图 5.1 ） 。用F表示绳子中的张力。对沿斜面方向的分量应用牛顿第二定律。使物体m1加速下降的力是m1gsin1F在惯性系中，沿斜面方向的加速度分量为a0acos1所以，对此斜面分量，牛顿第二定律为：解图 5.1 m1（a0acos1）m1gsin1F同样，对于m2有m2（a0acos2）Fm2gsin2两式相加： （m1cos1m2cos2）a （m1m2）a0 （m1sin1m2sin2）g（ 1）我们用动量守恒原理来研究斜面的运动。斜面在惯性系中的速度为v（向右）。物体相对斜面的速度为v0。故斜面上两物体在惯性系中的速度的水平分量（向左）分别为：v0 cos1v和v0 cos2v利用动量守恒原理：m1（v0 cos1v）m2（v0 cos2v）m v对匀加速运动，速度与加速度成正比，因此有：m1（a0cos1a）m2（a0cos2a）m a所以0212211coscosammmmma（2）上式给出了有关加速度的信息。很明显， 只有当两物体都静止，即两个物体平衡时，斜面才静止，这是动量守恒原理的自然结果。由方程（ 1）和（ 2） ，可得到加速度为：gmmmmmmmmmmmma222112121221121)coscos()()sinsin)(gmmmmmmmmmmma22211212122112211)coscos()()sinsin)(coscos(如果m1sin1m2sin2即1221sinsinmm则两个加速度均为零。m2m1mm2m1ma2aaa1a0a0a精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 8 页 - - - - - - - - - - 【题 2】在一个带活塞的圆筒内装配着著名的托里拆利装置。在水银柱上方有氢气，在圆筒内有空气。 第一步，水银柱高度h170cm ， 空气压强pk1 1.314atm 133.4kPa 100cmHg ，温度为 00C273K。第二步，向上提升活塞，直至水银柱高度降为h240cm，这时空气压强为pk20.79atm 80kPa60cmHg 。第三步，保持体积不变，提高温度到T3，此时水银柱的高度为h350cm 。最后，第四步， 温度为T4，水银柱的高度为h445cm ，空气压强没有改变。求出最后一步中氢气的温度和压强。解：我们将空气和氢气的数据列成表。两者温度是相同的。玻璃管的长度用L表示。为了简单起见，我们以装有氢气的管子长度的厘米数来度量氢气的体积。压强全部用cmHg为单位给出（见解图5.2 第一步至第四步） 。L70cm40cm50cm45cm次数 1 2 3 4 氢气压强ph1ph2ph3ph4氢气体积V h1V h2V h3V h4空气压强100cmHg 60cmHg pk3pk4空气体积V k1V k2V k3V k4两者温度273K 273K T3T4解图 5.2 从第一步到第二步，对氢气应用玻意耳定律： （L70） （10070）（L40） （6040）由此式求得玻璃管的长度L130cm ，因此，氢气在第一步至第四步中体积分别为：V h160cm，V h2 90cm ，V h380cm，V h485cm 从第二步到第三步，氢气的状态方程为：3380)50(27390)4060(Tph对空气应用盖吕萨克定律：2736033Tpk从第三步到第四步，我们只有向上提升活塞，以便使空气压强保持不变。氢气的状态方程为：443385)45(80)50(TpTpkk解以上方程组，得：pk3pk4 80cmHg ，T3364K，T4 451K，精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 8 页 - - - - - - - - - - 所以氢气的压强为：ph330cmHg ph435cmHg 算出空气的体积比为：V k1:V k2:V k46:10:12.4 （注： cmHg为实用单位，应转换成国际单位Pa）【题 3】四个等值电阻R、四个C1F 的电容器以及四个电池分别在立方体的各边连接起来，如图5.3 所示。各电池的电压为U14V，U28V，U312V，U416V，它们的内电阻均可忽略。 （a）求每个电容器的电压和电量，（b）若H点与B点短路，求电容器C2上的电量。解： （a）将这个网络展开成平 面图（如解图5.3.1 ） 。由于电流不能通过电容器，所以只在图图 5.3 解图 5.3.1 中 A-B-C-G-H-E-A 回路的导线中有电流。在这个回路中，电压为12V，电阻为4R。因此电流为：RUUI414于是就知道了电阻和电源两端的电压。设A点的电势为零， 就能很容易地算出各点的电势。A 0 V B (U4U1)/4 3 V C (U4U1)/2 6 VG (U4U1)/2 U1 10 VH (U4U1)/2 U1(U4U1)/4 13 VE (U4U1)/2 U1(U4U1)/2 16 VD (U4U1)/2 U1(U4U1)/4 U3 1 VF (U4U1)/4 U3U2 11 V 从每个电容器两端的电势差，可以算出其电量如下：C1（1110）V1V，110-6C。C2（1611）V5V，510-6C。C3（61）V5V， 5 10-6C。C4（10）V1V， 1 10-6C。我们可以算出各电容器的储能量CU 2/2 。电容器C1和C4各有 0.5 10-6 J ，电容器C2和C3各有 12.5 10-6 J 。（b）H点与B点连接，我们得到两个分电路。如解图5.3.2 。在下方的分电路中，电流为RU24，E点相对 A点的电势是U416 V ，H点与B点的电势是U428 V。F点的电ABCDEFGHC2U2C3U3C1U1C4U4RRRR+_+_+_+_RRC4C3U2+_U3+_RRC1C2U1+_U4+_ABCDEFGHRRRRU1+_U4+_ABCEGHU2+_C2精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 8 页 - - - - - - - - - - 势为242UU16 V 于是，电容器C2两极板的电势均为16 V ，结果C2上无电量。解图 5.3.2 【题 4】在直立的平面镜前放置一个半径为R的球形玻璃鱼缸，缸壁很薄，其中心距离镜面 3R，缸中充满水。 远处一观察者通过球心与镜面垂直的方向注视鱼缸。一条小鱼在离镜面最近处以速度v沿缸壁游动。求观察者看到的鱼的两个像的相对速度。水的折射率为34n。如图 5.4 （a） ，5.4 （b）解：鱼在 1 秒钟内游过的距离为v。图 5.4 （a）我们把这个距离当作物，而必须求出两个不同的像。在计算中， 我们只考虑近轴光线和小角度，并将角度的正弦用角度本身图 5.4 （b）去近似。在T1点游动的鱼只经过一个折射面就形成一个像，如图5.4 （a）所示。从T1点以角度rA T1O发出的光线，在A点水中的入射角为r，在空气中的折射角为n r。把出射光线向相反方向延长，给出虚像的位置在K1，显然K1A T1n rr（n1）r从三角形K1 T1 A，有：1)1(111nrrnAKTK利用通常的近似：K1AK1OR，K1AT1K1OR于是111nROKROK所以这个虚像与球心的距离为RnnOK21水的折射率34n，从而K1O2R。若折射率大于2，则像是实像。有像距与物距之商得到放大率为nnOTOK211对水来说，放大率为2。以与速度v相应的线段为物，它位于在E处的平面镜前的距离为2R处，它在镜后2R远的T2处形成一个与物同样大小的虚像。T2离球心的距离为5R。在一般情形下，我们假设T2OkR。T2处的虚像是我们通过球作为一个透镜观察时的（虚）物。因此，我们只要确定T2的实像而无需再去考虑平面镜。如图5.4 （b）所示。我们需要求出以r角度从T2发出的光线在C点的入射角，其中rCT2F。v2vABK1T1OvT2BCDEFOK2r精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 8 页 - - - - - - - - - - 在三角形T2OC中，kRkRCOOTr2k r玻璃中的折射角为：CDODCOnkrn需要算出DOB。因为：COF rk r rr（k1）而且COD与C点和D点的两角之和相加，或与COF和DOB之和相加，两种情况都等于 1800，因此nkrkrDOB2)1(即)12(knkrDOB从三角形DOK2，有12) 12(22knkkknkrDKOK此外1222knkkROKOK，因此像距为：RkknnkOK2)12(2若k5，n34，得ROK3102放大率为kknnOTOK2) 12(22若k5，n34，则放大率为32综合以上结果，如鱼以速度v向上运动，则鱼的虚像以速度v向上运动，而鱼的实像以速度32v向下运动。两个像的相对速度为v32v38v，是原有速度的38倍。我们还必须解决的最重要的问题是：从理论上已经知道了像是如何运动的，但是观察者在做此实验时，他将看到什么现象呢？两个像的速度与鱼的真实速度值，从水中的标尺上的读数来看，是一致的， 实际上观察到两个反向的速度，其中一个是另一个的三倍，一个像是另一个像的三倍。我们应当在远处看，因为我们要同时看清楚鱼缸后远处的一个像。两个像的距离8.33R。用肉眼看实像是可能的，只要我们在比明视距离远得多的地方注视它即可。题目中讲到“在远处的观察者”，是指他观察从两个不同距离的像射来光线的角度变化。只要观察者足够远，尽管有距离差，但所看到的速度将逐渐增加而接近38。他当然必须具有关于鱼的实际速度（v）的一些信息。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 5 页，共 8 页 - - - - - - - - - - 两个像的相对速度与物的原始速度之比的普遍公式为：nnknknn) 1(2)1)(1(22用一个充满水的圆柱形玻璃缸，一面镜子和一支杆，这个实验很容易做到。沿玻璃缸壁运动的杆代表一条鱼。【实验题】测量作为电流函数的给定电源的有用功率。确定电源的内阻Rb和电动势U0。画出作为外电阻R函数的有用功率，总功率以及效率的曲线。解答：端电压为bRRRUU0电流为RURRUIb0总功率为P0U0I 有用功率为：P UI效率为 0PP利用以上公式，得到要求的六个函数，如解图5.4 （a）（f）所示。PI（a）PR（b）PU0IRbI2P220)(RRRUbP0I（c）R（d）P0P0U0IP0RRUb20I（e）R（f）精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 6 页，共 8 页 - - - - - - - - - - 1IURb0RRRb测出适当选择的两个值，由以上公式便可求出Rb和U0。这些数据应该是独立于外负载，所以这样的测量并不可靠，大负载时尤其如此。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 7 页，共 8 页 - - - - - - - - - - 文档编码：KDHSIBDSUFVBSUDHSIDHSIBF-SDSD587FCDCVDCJUH 欢迎下载 精美文档欢迎下载 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 8 页，共 8 页 - - - - - - - - - -