2022年七年级数学列代数式;求代数式的值华东师大版知识精讲 .pdf

初一数学列代数式；求代数式的值华东师大版【本讲教育信息 】一. 教学内容：列代数式；求代数式的值二. 知识要点1. 知识点概要了解代数式、单项式、单项式的系数和次数、多项式、多项式的次数、整式的概念. 能用代数式表示简单问题的数量关系（3）能解释一些简单代数式的实际背景或几何意义. （4）通过具体例子感受“同一个代数式可以表示不同的实际意义”， “理解符号所代表的数量关系” . （5）了解代数式的值的意义，会计算代数式的值. （6）能读懂计算程序图，会按照规定的程序计算代数式的值，会按照要求设计简单的计算程序，初步感受“算法”的思想及数量的变化与联系. 2. 重点难点代数式、 单项式、 多项式的概念及单项式的系数和次数、多项式的次数与项数、将多项式升（降）幂排列. 根据简单问题的数量关系正确列出代数式. （3）读懂计算程序图，计算代数式的值. 三. 考点分析用字母表示数用字母表示数可以简明地表达现实中浩繁的数量间的关系，表达数的各种运算定律、性质和法则。 如用字母 a、b、c 表示三个数， 则加法结合律可表示为：a+b+c=a+（b+c）= （a+b）+c.在用字母表示数时，应注意：（1）同一个问题中的相同量要用同一个字母表示，不同量必须用不同字母表示.同一个字母在不同问题中的意义也是不同的.如在表示长方形的面积公式时，用 S 表示面积， a 表示长方形的长，b 表示长方形的宽，则有S=ab。在这里， S、a、b 分别表示不同的量，同样是字母a，在不同的问题中可表示不同的数。（2）应该遵循规定了的、约定俗成的、沿袭的表示习惯.如：用 C 表示周长，用表示厘米,代数式1. 代数式的定义像 n-2，3b，yx，m+3 等由运算符号连接的式子都是代数式.单独一个数或一个字母也是代数式 . 2. 写代数式（1）数与数相乘用“” ；数与字母，字母与字母相乘用“”或省略不写； （2）字母与数字相乘，数字因式应放在字母因式之前，带分数与字母相乘，带分数要化为假分数.如34a不能写成311a.（3）代数式中的除号一般用分数线表示.如 2ab 应写成ba2.（4）几个字母因数排列时，一般按字母顺序排列.如 5a2c3b 通常写成5a2bc3.（5）代数式若是和或差的形式，且结果中又有单位的，应用括号将代数式括起来，后面再带单位.如（ 2a+3）不能写成 2a+3 . 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 10 页 - - - - - - - - - - 3. 列代数式列代数式首先要确定数量与数量的运算关系，其次应抓住题中的一些关键词语，如和、差、积、商、平方、倒数以及几分之几、几成、倍等等.抓住这些关键词语，反复咀嚼，认真推敲，列好一般的代数式就不太难了. 整式1. 单项式的相关概念单项式是数字与字母的积构成的代数式，其中的数字因数是单项式的系数，单项式中所有字母的指数的和是单项式的次数.单独一个数或一个字母也是单项式. 2. 多项式的相关概念几个单项式的和叫做多项式.其中的每个单项式是多项式的一个项，次数最高项的次数是这个多项式的次数.按某个字母指数的升降可将多项式进行升幂或降幂排列. 3. 单项式和多项式统称整式. 代数式的值根据问题的需要，用具体数值代替代数式中的字母，按照代数式中的运算关系计算，所得的结果是代数式的值. 【典型例题】例 1. 用代数式表示：（1）a 与 1 的差的平方；（2）a与 1 的平方差 . 分析： 这两道题的关键词都是差和平方，但由于这两个关键词的顺序是不一样的，所以反映出来的运算顺序也是不一样的：差的平方是先算差，后平方； 平方差是要先平方，再相减. 解： （1） （a-1）2；（2）a2-12. 例 2. 读出下列代数式：（1）ab3 （2）5x2+7 （3）yxx（4）a（mn）2分析： 先弄清每式中所含的运算，明确运算顺序，再按“先算先读，后算后读”的基本原则读出即可 . 解： （1）a 与 b 的积与 3 的差；（2）x 的平方的5 倍与 7 的和； （ 3）x 与 x、y 两数的差的商；（4）m 与 n 的差的平方与a 的积. 例 3. 写出下列各式的系数与次数（1）3a （2）-mn （3）322b（4）2 分析：单项式的系数是各式的数字因数，次数是式中所有字母的指数的和. 解： （1）单项式 3a的系数是3，次数是 1； （2）单项式 -mn 的系数是 -1，次数是2；（3）单项式322b的系数是32，次数是 2； （4）单项式2 的系数是2，次数是0. 例 4. 把多项式3223446961abbababa重新排列：（1）按a的降幂排列；（2）按b的降幂排列 . 分析： 重新排列多项式的各项的位置时，要注意连同它前面的符号一起排列.按某字母精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 10 页 - - - - - - - - - - 降幂排列，即将该字母的指数由高到低排列，常数项可作为该字母的指数最低的项. 解： （1）1696432234babbabaa（2）1696432234ababaabb例 5. 当 x=-0.5，y=221时，求代数式x（x-y）2的值 . 分析： 先将字母的值代入后，再将小数化为分数，带分数化为假分数，按运算顺序正确计算即可 . 解：把 x=-0.5，y=221代入，则 x（x-y ）2= -21（-21-221）2=-21（-3）2=-219=-29. 例 6. 下图是一组数值转换机，写出图a的输出结果，找出图b 的转换步骤，并完成下表. 分析：由图可知，图 a 输出的实际上是代数式3x-2 的值，而图 b 只有在第一步应填 “ -3” ，第二步填“ 2”时，输出的才是2（x-3）的值 .想求输出的数值，只要将输入的数值分别代入这两个代数式就行了. 解： 图 a 的输出结果为3x-2， 图 b 第一步应填“ -3” ，第二步填“2” ；图 a 的输出值从左至右依次为11，27，2，45，2；图 b 的输出值从左至右依次为12， 7，6，211，310. 例 7. （2008 年梅州）如下图所示，在长和宽分别是a、b的矩形纸片的四个角都剪去一个边长为x的正方形 . 用a，b，x表示纸片剩余部分的面积；当a=6，b=4，x=2 时，求剩余部分的面积. 分析：第题是根据整体与部分的关系列代数式；第题是由第题的结论求代数式的输入-3 210 0.25 34图 a的输出图 b 的输出精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 10 页 - - - - - - - - - - 值. 解： 剩余部分的面积S=24abx；当a=6，b=4，x=2 时， S=24abx=64-422=8. 例 8. 电话费与通话时间的关系如下表：通话时间 a （分）电话费 b（元）1 0.2+0.8 2 0.4+0.8 3 0.6+0.8 4 0.8+0.8 ,（1）试用含 a 的代数式表示b；（2）计算当 a=100 时， b的值 . 分析： 由图表可知电话费中都包含基本话费0.8 元，除 0.8 元外的电话费都是通话时间的 0.2 倍.故电话费 b（元）与通话时间a（分）的关系是b=0.8+0.2a. 解： （1）由题意可得，b=0.8+0.2a； （2）当 a=100 时， b=0.8+0.2 100=20.8（元） . 例 9. 观察下面一系列等式：32-12=8=81；52-32=16=82； 72-52=24=83；92-72=32=84. 你从中发现了什么规律？用代数式表述这个规律. 分析： 观察可知左边是连续奇数的平方差（大数减小数），右边是8 的倍数，发现了规律，下一步就可以用代数式表述出来了. 解： 这个规律用代数式可以表述为（2n+1）2-（2n-1）2=8n（n 为自然数）. 例 10. 你能很快算出19952吗？分析： 为了解决这个问题，我们考察个位数为5 的自然数的平方，任意一个个位数为5的自然数可用代数式表示为10n+5，问题即求（ 10n+5）2的值（ n 为自然数），试分析 n1，n2，n=3，, 这些简单情况，从中探索其中的规律，并归纳、猜想出结论（在下面横线上填上你的探索结果）. （1）通过计算，探索规律：152=225，可写成 1001（ 1+1）+25，252=625，可写成 1002（ 2+1）+25，352=1225，可写成 1003（ 3+1）+25，452=2025，可写成 1004（ 4+1）+25，752=5625，可写成 _，852=7225，可写成_，,（2）从第（ 1）题的结果，归纳、猜想得：（10n+5）2_. （3）根据上面的归纳、猜想，请算出：19952_. 解： （1）l007（ 7+1）+25，1008 （8+1）+25；（2）100n（n+1）+25，n 为自然数；（3）100199（ 199+1）+25=3980025. 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 10 页 - - - - - - - - - - 点评： 本例的实质是先用代数式表示出一般情况，再求特殊情况下代数式值的计算规律，归纳出一般性结论， 再求这个一般性结论中代数式的值，体现了“特殊一般特殊”的思想方法，这正是用字母代数（从特殊到一般）后再求代数式值（从一般到特殊）这种思想方法的反复应用. 例 11. 若 a+2004=b+2005=c+2008 ，则（ a-b）2+（b-c）2+（a-c）2= . 分析： 能否从已知条件中求出a-b、b-c、a-c 的值是解题的关键.从题设中找到这三个代数式的值显然是比较容易的. 解： 由 a+2004=b+2005=c+2008 知， a-b=1，b-c=3，a-c=4.代入原式 =12+32+42=26. 例 12. 已知代数式132xx的值是 8，那么代数式201242xx的值是. 分析： 要求代数式201242x的值，我们会自然想到求x 的值 .而由已知条件132xx=8，同学们根据已学的知识，是没办法求出x 的值的 .如果我们细心地观察所求代数式与已知条件间的关系，我们就能发现201242xx=20)3(42xx，而（x2+3x）的值从条件式中是可以通过结构改造的方法求得的.因此，我们只要将（x2+3x）整体代入，问题就能迎刃而解了. 解： 由132xx=8 得：xx32=7.则201242xx=20)3(42xx=47-20=8. 数学思想方法的学习1. 字母表示数的思想引入字母表示数， 是从算术进入代数的重要标志之一，正确地理解用字母表示数的意义，是学好数学基础知识的基本要求. 2. “特殊与一般”的思想方法从几个简单的、 个别的、 特殊的情况去研究、探索、 归纳出一般的规律和性质，反过来，应用一般的规律和性质去解决特殊的问题，这是数学中经常使用的思想方法，列代数式和求代数式的值，就体现了这种思维方法. 3. 整体思想从大处着眼， 由整体入手， 通过细心的观察和深入的分析，找出整体与局部的有机联系，从整体上把握问题，从而在客观上寻求解决问题的途径的一种常用的方法. 【模拟试题】（答题时间： 90 分钟）一、细心选一选（每题2 分，共 20 分）1. 用字母表示加法交换律，错误的是（）. A. a+b=b+a B. m+n=n+m C. pq=qp D. x+y=y+x 2. 如果 m 表示奇数， n 表示偶数，则m+n 表示（）. A. 奇数B. 偶数C. 合数D. 质数3. 已知一个三位数，它的百位数字是a，十位数字是b， 个位数字是c，则这个三位数字是（）. A. abc B. a+b+c C. 100a+10b+c D. 100c+10b+a 4. 下列代数式的意义是a，b 的平方和的是（） . A.（a+b）2B. a+b2C. a2+b D. a2+b2 5. 用语言叙述1a-2 表示的数量关系中，表达不正确的是（） . A. 比 a 的倒数小 2 的数B. 比 a 的倒数大2的数精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 5 页，共 10 页 - - - - - - - - - - C. a 的倒数与 2的差D. 1 除以 a的商与 2 的差6. 下列说法： a 与bac均是代数式，cab表示a 除以 c 再乘b，%60ab表示a 与 b 的和的 60%，2)(ba表示ba、的差的平方其中正确的有（）. A. B. C. D. 7. 已知 a-b=5， c+d=-3， 则（ b+c）-（a-d）的值为（）. A. 2 B. 2 C. 8 D. 8 8. 当的值是时，代数式221121xxxxx（）. A. 3 B. 37C. 23D. 2 *9. 当的值为，那么的值是时，代数式a062323axxxx（）. A. 1 B. 13 C. 0 D. 6 *10. 已知 -x+2y=6 ，则 3（x-2y）2-5（x-2y）+6 的值是（） . A. 84 B. 144 C. 72 D. 360 二、仔细填一填（每题2 分，共 20 分）11. 小明跑步速度为v 米/秒，问他的百米成绩为_秒. 12. 用代数式表示比m 的 4 倍大 2 的数为 _. 13. 小彬上次数学成绩80 分，这次成绩提高了a%，这次数学成绩为_. 14. 三个连续的自然数，中间的一个为n，则第一个为，第三个为. 15. 矩形的一边长为a2b，另一边比第一边大2a+b，则矩形的周长为_. *16. 如果 a=2b， b=4c，那么代数式._354的值为bca.*17. 细胞在分裂过程中，一个细胞第一次分裂成两个，第二次分裂成4 个，第三次分裂成 8 个，那么第n 次时细胞分裂的个数为个. 18. 当 x=7，y=4，z=0 时，代数式x（2xy+3z）的值为 _. *19. 某人骑自行车走了0.5 小时，然后乘汽车走了1.5 小时，最后步行a 千米，已知骑自行车与汽车的速度分别为v1千米 /秒和 v2千米 /秒，则这个人所走的全部路程为_. 20. 教学楼大厅面积S m2， 如果矩形地毯的长为a 米， 宽 b 米， 则大厅需铺这样的地毯_块. 三、认真算一算： （每小题 6 分，共 24 分）21. （1）在式子2021gttus中，已知80u米秒，20t秒，8.9g米/秒2，求s. （2）已知321cba，求代数式abccba222. *（3）已知 a是最小的正整数，b、c 是有理数， 且 3+b+（2a-c）2=0，求2244abcab的值 . *（4）如图所示，根据图中标明的尺寸，?写出求图中阴影部分的面积S 的公式，并求当 x=3 时，阴影部分的面积（取 3.14）. 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 6 页，共 10 页 - - - - - - - - - - 四、努力解一解（共36 分）22. 按如图所示方式在餐桌上摆碗：（1）一张餐桌上放6 个碗， 3 张餐桌上放 _个碗；（2）按照上图继续排列餐桌，完成下表. 桌子的张数3 4 5 6 ,n ,摆碗数23. 某校举办跳绳比赛，第一组有男生m 人，女生 n 人，男生平均每分钟跳105 次，女生平均每分钟跳110 次，一分钟第一组学生共跳绳多少次？当m=5，n=5 时，结果是多少？24. 今年初共青团中央发出了“保护母亲河的捐款活动”，某校初一两个班的115 名学生积极参加，已知甲班31的学生每人捐款10 元，乙班52的学生每人捐款10 元，两班其余学生每人捐 5 元，设甲班有学生x 人，试用代数式表示两班捐款的总额. *25. 某商店进货价降低8%，而售价保持不变，结果使商店的利润可提高10%，问原来利润是百分之几？26. 已知 a=3，b=2，计算：（1）a2+2ab+b2； （2） （a+b）2. （3）当 a=2，b=1 或 a=4，b=3 时，分别计算两式的值，从中可发现怎样的规律？*27. 一根弹簧原来的长度是10 厘米，当弹簧受到的拉力为F 千克（F 在一定范围内） 时，弹簧的长度用l 表示，测得有关数据如下表：拉力 F（kg）弹簧长度 l（cm）1 10+0.5 2 10+1 3 10+1.5 4 10+2 思考：（1）写出当 F=7 kg 时，弹簧的长度l 为多少厘米？（2）写出拉力为F 时，弹簧长度l 与 F 的关系式 . （3）计算当拉力F=100 kg 时弹簧的长度l 为多少厘米？精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 7 页，共 10 页 - - - - - - - - - - 试题答案1. C 2. A 3. C 4. D 5. B 6. D 7. C 8. B 9. B 10. B 11. v10012. 4m+2 13. 80（1+ a%）14. n-1，n+1 15. 8a6b 16. 4917. 2n18. 70 19. （0.5 v1+1.5 v2+a）千米20. abS21. （1）2021gttus=8 20+219.8202=160+1960=2120（米）；（2）abccba222=37614321321222；（3） 由题目条件知： a=1，b=-3，c=2，2244abcab= 274144)3(12)3(1422；（4） S=12x2-x2=13.53314.32122. 22. （1）18； （2）18，24，30，36，, 6n,23. 105m+110n ，当 m=5，n=5 时，105m+110n =105 5+1105=1075（次） . 24.310 x+52（115x） 10+32x+53（115x） 5=3x+805. 25. 设原进价为a，利润为 x，依题意知： a+x=（1-8%）a+（ 1+10%）x，因为 x=0.8a，所以原利润率为：xa100%=0.8aa100%=80%. 26. （1） a2+2ab+b2 =32+23 2+22=25， （2） （ a+b）2=（ 2+3）2=25， （3） 当 a=2，b=1 时，a2+2ab+b2=22+221+12=9， （a+b）2=（1+2）2=9， 当 a=4，b=3 时，a2+2ab+b2=42+24（ -3）+（-3）2=1， （ a+b）2=4+（-3） 2=1，由此可发现（a+b）2=a2+2ab+b2. 27. （1）10+0.57=13.5（厘米）， （2） 弹簧长度 l 与 F 的关系式：弹簧长度l=10+0.5F ，（3）10+0.5100=60（厘米） . 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 8 页，共 10 页 - - - - - - - - - - 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 9 页，共 10 页 - - - - - - - - - - 文档编码：KDHSIBDSUFVBSUDHSIDHSIBF-SDSD587FCDCVDCJUH 欢迎下载 精美文档欢迎下载 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 10 页，共 10 页 - - - - - - - - - -