2022年三角函数的有关概念同角三角函数的关系式及诱导公式 .pdf

名师推荐精心整理学习必备第四章三角函数第 1 讲三角函数的有关概念、同角三角函数的关系式及诱导公式考纲展示命题探究考点三角函数的概念、同角三角函数的关系和诱导公式1三角函数的有关概念(1)终边相同的角所有与角 终边相同的角，连同角在内，可构成一个集合 | 2k ，kZ(2)角度与弧度的互化360 2 rad；180 rad；1 180rad；1 rad180 57.30 . (3)弧长及扇形面积公式弧长公式： l| |r；扇形面积公式： S12lr12| |r2. 其中 l 为扇形弧长， 为圆心角， r 为扇形半径(4)任意角的三角函数的定义设 是一个任意角， 的终边上任意一点P(与原点不重合 )的坐标为 (x，y)，它到原点的距离是 rx2y2. 三角函数定义定义域sinyrRcosxrRtanyx 2k ，kZ(5)三角函数在各象限的符号精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 15 页 - - - - - - - - - - 名师推荐精心整理学习必备记忆口诀：一全正，二正弦，三正切，四余弦(6)三角函数线角所在的象限第一象限第二象限第三象限第四象限图形2同角三角函数基本关系式(1)平方关系： sin2 cos2 1. (2)商数关系： tan sincos 2k ，kZ . 3诱导公式及记忆规律(1)诱导公式组数一二三四五六角2k (kZ) 22正弦sinsinsinsincoscos余弦coscoscoscossinsin正切tantantantan(2)诱导公式的记忆规律诱导公式可简记为：奇变偶不变，符号看象限“奇”“偶”指的是诱导公式k2中的整数 k 是奇数还是偶数“变”与“不变”是指函数的名称的变化，若k 为奇数，则正、余弦互变；若k 为偶数，则函数名称不变“符号看象限”指的是在k2中，将 看成锐角时 k2所在的象限注意点应用三角函数定义和平方关系求值时注意正负号选取精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 15 页 - - - - - - - - - - 名师推荐精心整理学习必备(1)利用三角函数的定义求解问题时，认清角终边所在的象限或所给角的取值范围，以确定三角函数值的符号(2)利用同角三角函数的平方关系求三角函数值，进行开方时要根据角的范围，判断符号后正确取舍 . 1思维辨析(1)120 角的正弦值是12，余弦值是32.() (2)同角三角函数关系式中的角是任意角 () (3)六组诱导公式中的角可以是任意角 () (4)诱导公式的口诀“奇变偶不变，符号看象限”中的“符号”与 的大小无关() (5)锐角是第一象限角，反之亦然() (6)终边相同的角的同一三角函数值相等() 答案(1)(2)(3)(4)(5)(6)2已知角 的终边经过点 (4,3)，则 cos () A.45B.35C35D45答案D 解析由三角函数的定义知cos 4423245.故选 D. 3(1)角870 的终边所在的象限是 () A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限(2)弧长为 3 ，圆心角为 135 的扇形半径为 _，面积为 _答案(1)C(2)46解析(1)因为 870 2360 150 ，又 150 是第三象限角，所以870 的终边在第三象限(2)弧长 l3 ，圆心角 34 ，由弧长公式 l| | r，得 rl| |3344，面积 S12lr6.精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 15 页 - - - - - - - - - - 名师推荐精心整理学习必备考法综述 对于角的概念、三角函数的定义单独命题的概率很小，多与其他知识相结合如三角恒等变换、同角关系式及诱导公式等，题型一般为选择题、填空题形式，属于中低档题目，考查学生的基本运算能力及等价转化能力命题法三角函数的概念，同角三角函数关系式，诱导公式的应用典例(1)已知 sin cos 18，且54 32，则 cos sin的值为 () A32B.32C34D.34(2)若角 的终边经过点 P(3，m)(m0)且 sin 24m，则 cos的值为 _(3)已知扇形周长为 40， 当它的半径 r_和圆心角 _分别取何值时，扇形的面积取最大值？(4)已知 cos623，则 sin 23_. 解析(1)54 32，cos 0，sin 0 且|cos |0. 又(cos sin )212sin cos 121834，cos sin 32. (2)点 P( 3， m)是角 终边上一点，由三角函数定义可知sin m3m2.又 sin 24m，m3m224m. 又 m0，m25，cos 33m264. (3)设圆心角是 ，半径是 r，则 2rr 40. 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 15 页 - - - - - - - - - - 名师推荐精心整理学习必备又 S12r212r(402r)r(20r)(r10)2100100. 当且仅当 r10 时，Smax100，此时 21010 40， 2. 当 r10， 2 时，扇形的面积最大(4)6 232， 2326，sin 23sin 26 ，cos623. 答案(1)B(2)64(3)102(4)23【解题法】同角关系式的应用技巧和诱导公式使用原则步骤(1)同角关系式的应用技巧弦切互化法：主要利用公式tan sincos化成正弦、余弦函数和积转换法：如利用 (sin cos )21 2sin cos 的关系进行变形、转化巧用“ 1” 的变换： 1sin2 cos2 cos2 (1tan2 )sin211tan2. (2)使用诱导公式的原则和步骤原则：负化正、大化小、化到锐角为终了步骤：利用诱导公式可以把任意角的三角函数转化为02之间角的三角函数，然后求值1.若 tan 2tan5，则cos 310sin 5() A1 B2 C3 D4 答案C 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 5 页，共 15 页 - - - - - - - - - - 名师推荐精心整理学习必备解析cos 310sin 5sin 3102sin 5sin 5sin 5sin cos5cos sin5sin cos5cos sin5sincoscos5sin5sincoscos5sin52sin5cos5cos5sin52sin5cos5cos5sin53sin5sin53，故选 C. 2设 asin33 ，bcos55，ctan35 ，则() AabcBbcaCcbaDcab答案C 解析asin33 ，bcos55 sin35 ，ctan35 sin35 cos35，sin35 cos35sin35 sin33 .cba，选 C. 3已知扇形的周长是4 cm，则扇形面积最大时，扇形的中心角的弧度数是() A2 B1 C.12D3 答案A 解析设此扇形的半径为r，弧长为 l，则 2rl4，面积 S12rl12r(42r)r22r(r1)21，故当 r1 时 S最大，这时 l42r2. 从而 lr212. 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 6 页，共 15 页 - - - - - - - - - - 名师推荐精心整理学习必备4已知角 的顶点为坐标原点， 始边为 x 轴的正半轴， 若 P(4，y)是角 终边上一点，且 sin 2 55，则 y_. 答案8 解析若角 终边上任意一点P(x，y)，|OP|r，则 sin yr，cos xr，tan yx.P(4，y)是角 终边上一点，由三角函数的定义知sin y16y2，又 sin 2 55，y16y22 55，且 y0，sin2sin2 4cos22sin cossin2 4cos22tan4tan22tan 4tan12，当且仅当 tan 2 时取等号6在平面直角坐标系xOy 中，已知向量 m22，22，n(sinx， cosx)，x 0，2. (1)若 mn，求 tanx 的值；(2)若 m 与 n 的夹角为3，求 x 的值解(1)mn，m n0. 故22sinx22cosx0，tanx1. (2)m 与 n 的夹角为3，cos m，nm n|m| |n|22sinx22cosx1112，故 sin x412. 又 x 0，2，x4 4，4，x46，即 x512，故 x 的值为512. 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 7 页，共 15 页 - - - - - - - - - - 名师推荐精心整理学习必备已知角 的终边在直线 2xy0 上，求角 的正弦、余弦和正切值错解错因分析 直接在直线上取特殊点的方法，导致漏解正解在直线 2xy0 上取点(m,2m)(m0) 则 r5|m|，当 m0 时，r5m，sin yr2m5m2 55，cos xrm5m55，tan yx2mm2. 当 m0时， 角 的终边过点 (1， 3)， 利用三角函数的定义可得sin 3 1010；当 a0 时，角 的终边过点 (1,3)，利用三角函数的定义可得sin 3 1010.故选 D. 2. 2016衡水中学仿真 若 sin cos 713(0 ) ，则 tan等于() A13B.125C125D.13答案C 解析由 sin cos 713，两边平方得12sin cos 49169，2sin cos 120169，又 2sin cos 0,0 .2 0. (sin cos )212sin cos 289169，sin cos 1713. 由sin cos 713，sin cos 1713，得sin 1213，cos 513，tan 125. 32016 枣强中学预测 设集合 M x xk2 180 45 ，kZ ，Nxxk4 180 45 ，kZ，那么 () AMNBM? NCN? MDMN?答案B 解析M x| xk2 180 45 ，kZ x| x2k4180 45 ，kZ ，故当集合N 中的 k 为偶数时， MN，当 k 为奇数时，在集合M 中不存在，故 M? N. 42016 冀州中学一轮检测 已知角 的顶点在坐标原点， 始边与 x 轴非负半轴重合，精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 9 页，共 15 页 - - - - - - - - - - 名师推荐精心整理学习必备终边在直线 2xy0 上，则sin32cos sin2sin () A2 B2 C0 D.23答案B 解析由角 的终边在直线 2xy0 上， 可得 tan 2， 原式cos coscos sin21tan2. 52016 武邑中学一轮检测 已知 sin cos 2， (0，)，则 tan () A1 B22C.22D1 答案A 解析解法一：由 sin cos 2sin 42， (0，)，解得 34，tan tan341. 解法二：由 sin cos 2及 sin2 cos2 1，得(sin cos )212sin cos 2，即 2sin cos 10，故 tan 0，cosA0，cosA0，所以 |sinA|cos A|，所以2A34，所以 tanA0，cos 0，所以 cos1|cos |sin1|sin |110，即原式等于 0. 11. 2016 武邑中学猜题 设 f( )2sin cos cos 1sin2 cos32sin22sin 12，则f 236_. 答案3 解析f( )2sin coscos1sin2 sin cos22sin cos cos2sin2 sincos12sinsin12sin1tan，f 2361tan 2361tan 4 61tan63. 能力组12.2016 冀州中学仿真 已知扇形的面积为316，半径为1，则该扇形的圆心角的弧度数是() 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 12 页，共 15 页 - - - - - - - - - - 名师推荐精心整理学习必备A.316B.38C.34D.32答案B 解析S扇12| |r212| |1316，所以 | |38. 132016 武邑中学预测 已知 sin(3 )2sin2，则 sin cos等于() A25B.25C.25或25D15答案A 解析因为 sin(3 )sin( )2sin2，所以 sin 2cos ，所以 tan 2，所以 sin cos sin cossin2 cos2tantan2 125. 142016 衡水二中模拟 已知 (0，)且 sin cos m(0m1)，则 cos sin的值() A为正B为负C为零D为正或负答案B 解析若 0 OP1.若 2，则 sin cos 1.由已知 0m1，故 2，所以 cos sin 90 ，即 A90 B，则 sinAsin(90 B)cosB，sinAcosB0，同理 cosAsinC0，所以点 P 在第四象限，sin|sin |cos|cos |tan|tan |1111，故选 B. 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 14 页，共 15 页 - - - - - - - - - - 文档编码：KDHSIBDSUFVBSUDHSIDHSIBF-SDSD587FCDCVDCJUH 欢迎下载 精美文档欢迎下载 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 15 页，共 15 页 - - - - - - - - - -