2022年人教版七年级数学第二学期第五章二元一次方程组全部教案 .pdf

第五章 二元一次方程组第1节 二元一次方程组教学目标1使学生弄懂二元一次方程、二元一次方程组和它的解的含义，并会检验一对数是不是某个二元一次方程组的解；2通过练习和讨论，进一步培养学生的观察、比较、分析问题的能力教学重点和难点重点：二元一次方程、二元一次方程组及其解的意义难点：弄懂二元一次方程组解的含义课堂教学过程设计一、从学生原有的认知结构提出问题1我们在初一时学习了一元一次方程的有关概念及其解法，谁能写出一个元一次方程，并指出它的解是多少？2为什么它 (是指学生回答问题 (1)时例举的方程 )叫一元一次方程？3方程中“元”是指什么？“次”是指什么？二、引导学生讨论二元一次方程、二元一次方程组和它的解等概念问题： (投影)一个农民有若干只鸡和兔子，它们共有 50个头和 140只脚，问鸡和兔子各多少只？教师提出：这是一个非常有意思的问题，它曾在好几个世纪里引起过人们的兴趣，我想这个问题也一定会使在坐的每一名同学感兴趣那么，现在我们怎样来解答这个问题呢？(先让学生思考一下，然后自己做出解答，教师巡视最后，在学生动手动脑的基础上，教师引导给出各种解法 )解法一： 在分析时，可提出如下问题：150只动物都是鸡，对吗？(不对，因为 50只鸡有100只脚，脚数少了 )250只动物都是兔子对吗？(不对，因为 50只兔子共有 200只脚，脚数多了 )3一半是鸡，一半是兔子对吗？(不对，因为 25只鸡，25只兔共有 150只脚，多 10只脚)怎么办？ (在学生思考后，教师指出：我们可采取逐步调整，验算的方法来加以解决 )4若增加一只鸡，减少一只兔，那么动物总只数，脚数分别怎样变化？(当增加一只鸡，减少一只兔时，动物的总只数不变，脚数比原来少两只)5现在你是否知道有几只鸡、几只兔？(若学生回答还是感到困难，教师应引导学生根据一半是鸡，一半是兔时多 10只脚，做出 5次如问题 4所述的方法进行调整，即增加5只鸡，减少5只兔，则多出的 10只脚就没有了，故答案是 30只鸡、 20只兔 )此时，教师指出：这个问题是解决了，但它在很大程度上依赖于数字，50和140比较小，比较简单，若它们相当大且又很复杂，那么像上述精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 37 页 - - - - - - - - - - 方法这样一次次的试算就很麻烦了然后提出问题：是否可有其它的方法来解决这个问题呢？ (若学生在思考后，还很茫然，则教师引导学生尝试可否用一元一次方程来解由一名学生板演，其余学生自行完成)解法二：设有x只鸡，则有(50-x)只兔 根据题意，得2x4(50-x)=140(解方程略 )追问：对于上面的问题用一元一次方程可解，是否还有其它方法可解？(若学生想不到，教师可引导学生注意，要求的是两个未知数，能否设两个未知数列方程求解呢？让学生自己设未知数，列方程然后请一名学生板演解所列的方程 )解法三： 设有x只鸡， y只兔，依题意得xy=50，2x+4y=140针对学生列出的这两个方程，提出如下问题：1结合前面的复习提问，这两个方程应该叫几元几次方程呢？2为什么叫二元一次方程呢？3什么样的方程叫二元一次方程呢？结合学生的回答， 教师板书二元一次方程的定义：含有两个未知数，且未知项次数是 1的方程，叫做二元一次方程从解法一，我们还知道，x=30， y=20， 使方程组中每一个方程成立 以我们把右两边的值都相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程组的解)将上述问题的三种解法进行优劣对比，你有哪些想法呢？(若学生回答得不全面，不确切，教师可补充归纳如下：当我们运用代数知识将问题翻译成代数语言列方程时，就可以借助代数运算来求解，从上面的问题可以看到，列二元一次方程组比列一元一次方程容易)三、课堂练习1造一个二元一次方程，一个二元一次方程组(通过提问，检查学生对这两个概念的掌握程度)2填表，使上、下每对 x，y的值满足方程 3xy=5(投影)3已知下列三对数值：哪一对是下列方程组的解？4已知满足二元一次方程组的x值是x=-1，你能求出哪个方程组的解精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 37 页 - - - - - - - - - - 四、师生共同小结首先，让学生回答以下问题：1本节课学习了哪些内容？2什么叫二元一次方程？3什么叫二元一次方程组？4什么叫二元一次方程组的解？然后，教师结合学生的回答，用投影仪将预先制作好的投影胶片打出，以此培养学生归纳小结的能力五、作业(1)是方程 y=2x-3的解有( )；(2)是方程 3x+2y=1的解有 ( )；(1)用含x的代数式表示 y；(2)分别求出方程和的四个解，其中x=0，1，2，3；(3)方程组的解是什么？3利用一元一次方程 2x1=x+2解二元一次方程组课堂教学设计说明本课的设计是从提出鸡兔同笼的求解问题入手，以试算的方法衬托出方程解法的优越性，以列一元一次方程解法衬托出列二元一次方程组解法的优越性以使学生感到二元一次方程组的引入顺理成章教学过程中用了“试算的方法”，即在解决某一问题时，经过一连串的试验，使后者不断地终止前者试验中产生的误差从而使问题得到解决它体现了数学中“逐次逼近”的思想这种“试一试”，“碰一碰”的思想方法常常能诱发学生创造性思维的发展，对培养学生的能力大有好处第2节 用代入法解二次一次方程组(一)教学目标1使学生会用代入消元法解二元一次方程组；2理解代入消元法的基本思想体现的“化未知为已知”，“变陌生为熟悉”的化归思想方法；3在本节课的教学过程中，逐步渗透朴素的辩证唯物主义思想教学重点和难点重点：用代入法解二元一次方程组难点：代入消元法的基本思想课堂教学过程设计精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 37 页 - - - - - - - - - - 一、从学生原有的认知结构提出问题1谁能造一个二元一次方程组？为什么你造的方程组是二元一次方程组？2谁能知道上述方程组 (指学生提出的方程组 )的解是什么？什么叫二元一次方程组的解？3上节课我们提出了鸡兔同笼问题：(投影)一个农民有若干只鸡和兔子，它们共有 50个头和 140只脚，问鸡和兔子各有多少？设农民有 x只鸡， y只兔，则得到二元一次方程组对于列出的这个二元一次方程组，我们如何求出它的解呢？(学生思考)教师引导并提出问题：若设有x只鸡，则兔子就有 (50-x)只，依题意，得2x+4(50-x)=140从而可解得， x=30，50-x=20，使问题得解出它的解法 )(1)在一元一次方程解法中，列方程时所用的等量关系是什么？(2)该等量关系中，鸡数与兔子数的表达式分别含有几个未知数？(3)前述方程组中方程所表示的等量关系与用一元一次方程表示的等量关系是否相同？(4)能否由方程组中的方程求解该问题呢？(5)怎样使方程中含有的两个未知数变为只含有一个未知数呢？(以上问题，要求学生独立思考，想出消元的方法)结合学生的回答，教师作出讲解由方程可得 y=50-x，即兔子数 y用鸡数 x的代数式 50-x表示，由于方程中的 y与方程中的 y都表示兔子的只数， 故可以把方程中的 y用(50-x)来代换，即把方程代入方程中，得2x+4(50-x)=140，解得x=30将x=30代入方程，得 y=20本节课，我们来学习二元一次方程组的解法二、讲授新课例1解方程组分析： 若此方程组有解，则这两个方程中同一个未知数就应取相同的值，因此，方程中的y就可用方程中的表示 y的代数式来代替解： 把代人，得精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 37 页 - - - - - - - - - - 3x+2(1-x)=5，3x+2-2x=5，所以x=3把x=3代入，得y=-2(本题应以教师讲解为主，并板书，同时教师在最后应提醒学生，与解一元一次方程一样，要判断运算的结果是否正确，需检验其方法是将所求得的一对未知数的值分别代入原方程组里的每一个方程中，看看方程的左、右两边是否相等检验可以口算，也可以在草稿纸上验算)教师讲解完例 1后，结合板书，就本题解法及步骤提出以下问题：1方程代入哪一个方程？其目的是什么？2为什么能代入？3只求出一个未知数的值，方程组解完了吗？4把已求出的未知数的值， 代入哪个方程来求另一个未知数的值较简便？在学生回答完上述问题的基础上，教师指出：这种通过代入消去一个未知数，使二元方程转化为一元方程，从而方程组得以求解的方法叫做代入消元法，简称代入法例2解方程组分析：例1是用y=1-x直接代入的例 2的两个方程都不具备这样的条件(即用含有一个未知数的代数式表示另一个未知数)， 所以不能直接代入为此，我们需要想办法创造条件，把一个方程变形为用含x的代数式表示y(或含 y的代数式表示 x)那么选用哪个方程变形较简便呢？通过观察，发现方程中 x的系数为 1，因此，可先将方程变形，用含有y的代数式表示 x，再代入方程求解解： 由，得 x=8-3y，把代入，得 (问：能否代入中？ )2(8-3y)+5y=-21，-y=-37，所以y=37(问：本题解完了吗？把 y=37代入哪个方程求 x较简单？ )把y=37代入，得x=8-337，所以x=-103(本题可由一名学生口述，教师板书完成)三、课堂练习用代入法解下列方程组：精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 5 页，共 37 页 - - - - - - - - - - 四、师生共同小结在与学生共同回顾了本节课所学内容的基础上，教师着重指出，因为方程组在有解的前提下，两个方程中同一个未知数所表示的是同一个数值，故可以用它进行等量代换，即使“代入”成为可能而代入的目的就是为了消元，使二元方程转化为一元方程，从而使问题最终得到解决五、作业用代入法解下列方程组：5x+3y=3x+2y=7课堂教学设计说明本课的设计是通过上节课的鸡兔同笼问题入手，将设未知数列一元一次方程的求解过程与二元一次方程组相比较，从而得到二元一次方程组的代入 (消元)解法这种比较，可使学生在复习旧知识的同时，使新知识得以掌握，这对于学生体会新知识的产生和形成过程是十分重要的第3节 用代入法解二元一次方程组(二)教学目标1使学生熟练地掌握用代入法解二元一次方程组；2使学生进一步理解代入消元法所体现出的化归意识教学重点和难点重点：学会用代入法解未知数系数的绝对值不为1的二元一次方程组难点：进一步理解在用代入消元法解方程组时所体现出的化归意识课堂教学过程设计一、从学生原有的认知结构提出问题(本题为小测验，教师把题抄在黑板上， 学生准备数学作业纸完成 其目的是检查并督促学生复习巩固所学知识，时间为3分钟)2结合第 1小题的解答，教师引导学生归纳总结出用代入消元法解方程组的一般步骤 (先提问，后教师用投影打出)(1)从方程组中选一个系数比较简单的方程，将这个方程中的一个未知数，如 y，用含 x的的代数式表示，即 y=ax+b；(2)将y=ax+b代入另一个方程中，消去y，得到一个关于 x的一元一次方程；(3)解这个一元一次方程，求出x的值；(4)把求得的 x的值代入 y=ax+b中，求出y的值，从而得到方程组的解二、讲授新课分析： 该方程组中的每一个方程都不是以含有一个未知数的代数式精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 6 页，共 37 页 - - - - - - - - - - 表示另一个未知数的形式，因此不能直接代入应先将其中的某个方程变形是用含 x的代数式表示 y，还是用含 y的代数式表示 x呢？引导学生通过观察得出，由于方程中y的系数的绝对值是 2，较小故由方程得出用含 x的代数式表示 y把代入，得8x-5(3x-11)=6，-7x=-49，所以x=7把x=7代入，得y=5(本题的解答过程由学生口述， 教师板书完成； 通过师生的共同探讨，得出选择未知数的系数的绝对值比较小的一个方程进行变形，可使解题较为简便 )例2解方程组分析： 未知数的系数是分数的方程组，在求解时一般先将分数系数化为整数系数，然后求解解： 方程两边同乘以 12，得4x+3y=12，方程两边同乘以 6，得2y-3x=6将代入，得8x+9x+18=24，17x=6，(本题的解答过程，可由学生口述，教师板书完成)例3解方程组精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 7 页，共 37 页 - - - - - - - - - - 其中x，y是未知数分析： 解含有字母系数的方程组时，首先要分清哪些字母表示未知数，哪些字母表示已知数 (即常量 )解： 由，得 y=2a+b-3x， 将代入，得x-3(2a+b-3x)=2b-a，10 x-6a-3b=2b-a，10 x=5a+5b，三、课堂练习1已知方程组：对于每一个方程组，分别指出下列方法中比较简捷的解法是 A利用，用含 x的代数式表示 y，再代入；B利用，用含 y的代数式表示 x，再代入；C利用，用含 x的代数式表示 y，再代入；D利用，用含 y的代数式表示 x，再代入；2用代入法解方程组：四、师生共同小结在师生共同回顾了本节课所学内容的基础上，教师指出，对于用代入法解未知数系数的绝对值不是1的二元一次方程组， 解题时，应选择未知数的系数绝对值比较小的一个方程进行变形，这样可使运算简便五、作业用代入法解下列方程组：课堂教学设计说明代入消元法的消元思想体现了数学学习中“化未知为已知”的化归思想方法，它是极重要的数学思想方法它的核心就是将待解的问题转化为既定解决方法和程序的问题，以便应用已知的理论、方法和技术来解决问题其思想方法蕴含着深刻的辩证观点因此在教学时，应加强精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 8 页，共 37 页 - - - - - - - - - - 化归思想的总结和提炼，这对于提高学生的能力，发展学生的思维极有好处第4节 用加减法解二元一次方法组(一)教学目标1使学生正确掌握用加减法解二元一次方程组；2使学生理解加减消元法的基本思想所体现的“化未知为已知”的化归思想方法教学重点和难点重点：用加减消元法解二元一次方程组难点：明确用加减法解二元一次方程组的关键是必须使两个方程中同一未知数的系数绝对值相等课堂教学过程设计一、从学生原有的认知结构提出问题1用代入法解方程组：2代入消元法解方程组的基本思想是什么？在学生回答完上述问题的基础上，教师指出，我们学习了“代入消元法”解方程组，代入法的核心是代入“消元”，通过“消元”，使“二元”转化为“一元”，从而问题得以解决，那么除了代入可“消元”外，是否还有其它方法也能达到“消元”的目的呢？本节课我们就来解决这一问题二、讲授新课1用加减法解某一未知数的系数的绝对值相等的二元一次方程组首先，引导学生观察上面练习1中的方程组的特点，不难发现：方程组的两个方程中，未知数 x的系数相等，都是 2因此可利用等式的性质，把这两个方程两边分别相减，就可以消去一个未知数，得到一元一次方程，从而实现化“二元”为“一元”的目的然后，指导学生写出本题的解答过程解： -，得 10y=30，所以y=3把y=3代入，得x=2(问：把 y=3代入求 x值，可以吗？ )(解答完本题后，应让学生口算检验)随后，教师进一步追问消未知数x是由 -达到目的，那么 -可以吗？怎样做更简捷？学生一试即知再次引导学生观察方程组构成特点，并提出问题：能否通过消去未知数y，得到关于 x的一元一次方程，从而使问题得解呢？怎样消去未知数y呢？(请学生通过观察、思考后求解，让一名学生板演，其余学生自己完成，最后教师讲评 )精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 9 页，共 37 页 - - - - - - - - - - 解： +，得 4x=8，所以x=2把x=2代入，得 y=3解答完本题后，教师指出，从上面的解答过程来看，对某些二元一次方程组可通过两个方程两边分别相加或相减，消去其中一个未知数，得到一个一元一次方程，从而求出它的解这种解二元一次方程组的方法叫做加减消元法，简称加减法例1解方程组分析：方程组中两个方程的同一未知数x的系数相等， 因此可直接由-或 -消去未知数 x解： -，得 12y=-36，所以y=-3把y=-3代入，得6x-5(-3)=17，6x+15=17，此时，教师需强调以下两点：(1)解题时，-或 -都可以消去未知数 x，不过在 -得到的方程中， y的系数是负数，所以在上面解法中应选择-；(2)把y=-3代入或，最后结果是一样的但我们通常的作法是将所求出的一个未知数的值代入系数简单的方程中求出另一个未知数的值问题：若直接将上面方程组中的两个方程两边相加或相减可以消去y吗？启发学生得出以下结论：在方程组的两个方程中，若某个未知数的系数是相反数，则可直接把这两个方程的两边分别相加，消去这个未知数；若某个未知数的系数相等，则可直接把这两个方程的两边分别相减，消去这个未知数2用加减法解某一未知数的系数成整数倍数关系的二元一次方程组例2 解方程组分析： 该方程组中同一未知数的系数的绝对值均不相等，将这两个方程直接相加减都不能消去未知数那么怎样使方程组中某一未知数系数的绝对值相等呢？启发学生仔细观察方程组的结构特点，得出：2，得4x+6y=32精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 10 页，共 37 页 - - - - - - - - - - 由-即可消去 x，从而使问题得解解： 2，得4x+6y=32，-，得18y=36，(问： -可以吗？怎样更好 )所以y=2把y=2代入，得x=5此时，教师应进一步提问：能否通过消去未知数y，得出关于 x的一元一次方程，使问题得解呢？怎样更好呢？三、课堂练习下列方程组中(1)先消去哪个未知数较简单，怎样消？(2)用加减法解下列方程组：四、师生共同小结首先，应向学生提出以下问题：1当方程组的某一方程中某一未知数的系数的绝对值是1时，用何种方法解较好？2当方程组中某一未知数系数的绝对值相等时，用何种方法解较好？例如解方程组：3当方程组中某一未知数系数绝对值不相等，但成整倍数关系时，用何种方法较好？然后，教师结合学生的回答情况指出，对于问题1，常用代入消元法求解；对问题 2，3，常用加减消元法求解五、作业用加减法解下列方程组：课堂教学设计说明精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 11 页，共 37 页 - - - - - - - - - - 在学习加减法解题之前，学生们已经知道了代入法解二元一次方程组的核心是代入“消元”，以使二元方程转化为一元方程求解因此本节课是从提出问题，“除了代入可“消元”，是否还有其它方法可达到“消元”目的”入手的其目的是不轻易地告诉学生加减法解题的过程，而通过引导学生观察方程组的结构特点，让学生自己探索发现解题的方法这样可使学生在积极参与的学习中不仅能感受到学习的兴趣，更重要的是在这种积极求索的学习中，促使其能力得到充分的发挥、提高第5节 用加减法解二元一次方程组(二)教学目标1使学生熟练地掌握用加减法解二元一次方程组；2进一步使学生理解加减消元法的基本思想所体现的“化未知为已知”的化归思想方法教学重点和难点重点：学会用加减法解同一未知数的系数绝对值不相等，且不成整数倍的二元一次方程组难点：怎样将方程组化成某个未知数系数绝对值相等的方程组课堂教学过程设计一、从学生原有的认知结构提出问题1解二元一次方程组有哪些方法？2下列方程组中，用哪种方法解较为简捷？(投影)(只分析不求解 )(结合学生的回答， 教师作小结： 第(1)小题由方程得 x=4y+1，因此用代入法较好或者 -5，消去 x，用加减法；第 (2)题未知数 y的系数绝对值相等，第 (3)题未知数 y的系数成整倍关系因此，第(2)，(3)题用加减法较好 )二、讲授新课上节课，我们学习了用加减法解二元一次方程组，本节课我们继续学习利用加减法解二元一次方程组例1 解方程组在分析本例题时，可向学生提出以下问题：1方程组中两方程是否可通过直接相加或相减消元？2为什么两方程直接相加或相减消不了元？3怎样可使方程组中某一未知数的系数绝对值相等呢？4怎样可使方程组中某一未知数的系数绝对值相等，且方程系数又都是整数呢？让学生自己思考，分析得出解题方法：通过由3，2，使关于 y的系数绝对值相等，从而可用加减法解得解： 3，得9x12y=48，2，得10 x-12y=66，精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 12 页，共 37 页 - - - - - - - - - - ，得19x=144，所以x=6把x=6代入，得364y=16，4y-2，(上述例题，有的学生可能选择消未知数x，再求解教师可让用不同消元过程解题的两名学生板演通过对比，使学生自己总结出应选择方程组中同一未知数系数绝对值的最小公倍数较小的未知数消元)教师结合例 1的解答过程， 引导学生总结出用加减法解二元一次方程组的一般步骤 (利用投影逐一打出 )1方程组的两个方程中，某一未知数的系数绝对值相等时：(1)把两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数，得到一个一元一次方程；(2)解这个一元一次方程；(3)将求出的未知数的值代入原方程组的任意一个方程中，求出另一个未知数的值，从而得到方程组的解2方程组中同一未知数的系数绝对值均不相等时，把一个(或两个 )方程的两边乘以适当的数， 使两个方程中某一未知数的系数绝对值相等，从而化为第一类型方程组求解例2 解方程组分析： 当方程组比较复杂时，应先化简，利用去括号、去分母、合并同类项等解： 化简方程组，得+5，得27x=17550，所以x=650把x=650代入中，得56503y3400，所以y=50三、课堂练习精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 13 页，共 37 页 - - - - - - - - - - 1 下列各题中，消去哪个未知数比较合理？方程两边同乘以什么数，怎样相加减以达到消元目的？(只分析，不求解 )(本题利用投影打在屏幕上 )2把下列方程组化成标准形式：(只整理成标准形式，不解出)3解下列方程组：四、师生共同小结首先，向学生提出问题： 用加减法解二元一次方程组的步骤是什么？然后，结合学生的回答，教师指出，解二元一次方程组，可以用代入法，也可以用本节课学习的加减法今后解题时，如果没有提出具体要求，应该根据方程组的特点，选用其中一种比较简便的解法五、作业1解下列方程组：课堂教学设计说明加减法解二元一次方程组的基本思想与代入法相同，仍是“消元”化归思想，通过代入法、加减法这些手段，使二元方程转化为一元方程，从而使“消元”化归这一转化思想得以实现因此在设计教学过程时，注重化归意识的点拨与渗透，使学生在学习中逐步体会理解这种具有普遍意义的分析问题、解决问题的思想方法由于本节课是用加减法解方程组的第二节，因此，选用了一道运算较复杂的方程组作为例子，目的是通过该例题的讲解，提高学生解较复杂方程组的能力第6节三元一次方程组的解法 (一)教学目标1使学生了解三元一次方程组的概念，会用消元法解简单的三元一次方程组；2理解用消元法解三元一次方程组时体现的“三元”化“二元”、“二元”化“一元”的化归思想方法教学重点和难点精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 14 页，共 37 页 - - - - - - - - - - 重点：应用消元法解三元一次方程组难点：选择恰当的方法消元，解方程组课堂教学过程设计一、新课引入前面我们学习了用代入法、加减法解二元一次方程组，这两种方法的实质都是消元，即把“二元”转化为“一元”，从而使问题得以解决但在实际中，我们所需要解决的问题往往涉及到3个或多个未知数，因而求解多元方程组的问题是我们继续讨论的课题引例甲、乙、丙三数之和是 26，甲数比乙数大 1，甲数的两倍与丙数的和比乙数大 18求这三个数(由学生设未知数，列方程组并提问学生，让其板演列方程组)设甲数是 x，乙数是 y，丙数是 z，根据题意，可以得到下列几个方程xy+z=26，x-y=1，2x+z-y=18这个问题的解必须同时满足上述三个方程，因此，我们把上述三个方程合在一起写成这就构成了方程组，该方程组中含有三个未知数，且组成方程组的每个方程的未知数项的次数都是1，这就是我们要学习的三元一次方程组本节课我们主要学习三元一次方程组的解法二、师生共同探讨三元一次方程组的解法提问：怎样求解由引例列出的三元一次方程组呢？(先由学生自己做，教师巡视，在学生动手动脑的基础上，教师给予适当引导 )首先引导学生思考：三元一次方程组与二元一次方程组的不同之处是什么？然后，教师指出：我们知道二元一次方程组可以利用代入法或加减法消去一个未知数，化成一元一次方程求解利用它们的解题思想和方法，我们是否会求解三元一次方程组呢？(通过以上的启发工作，引导学生自然地想到通过代入法或加减法消元，化“三元”为“二元”，化“二元”为“一元”，从而方程组得以求解)例1 解方程组分析： 仿照前面学过的代入法，将变形后代入、中消元，再求解解法一： 由，得x=y+1将分别代入、得解这个方程组，得精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 15 页，共 37 页 - - - - - - - - - - 把y=9代入，得x=10此时，教师进一步提出如下问题：1上面方程组中方程只含有未知数x、y，是一个二元一次方程，由它可以直接求出 x与y的值吗？那么怎样可以求出x与y的值呢？2怎样得出关于 x，y的第二个二元一次方程呢？(由学生独立思考，自己找出解题方法 )解法二： -，得x-2y=-8由，组成方程组把x=10，y=9代入中，得z=7此时，教师进一步追问：本题是否还有更简捷方法求解？(若有学生发现简捷方法，教师应及时给予表扬，并请学生板演若不然，教师应引导学生观察这三个方程中未知数系数间的对应关系从而发现所得的方程中 x与z的系数与方程中 x与z的系数分别对应相等，因此可由+-直接得到关于 y的一元一次方程，求出 y值后再代回，即可得到关于 x、y的二元一次方程组 )解法三： 由 -，得y=9把y=9代入，得x=10把x=10，y=9代入，得z=7(解答完本题后， 应提醒学生不要忘记检验， 但检验过程一般不写出 )从上述问题的一题多解，使我们体会到，灵活运用代入法或加减法消元，将有助于我们迅速求解方程组例2 解方程组分析： 在这个方程组中，方程只含有两个未知数x、z，所以只要由消去 y，就可以得到只含有 x，z的二元一次方程组解： 3，得11x7z=29，把方程，组成方程组精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 16 页，共 37 页 - - - - - - - - - - 三、课堂练习解下列方程组：四、师生共同小结在师生共同回顾了本节课所讲内容的基础上，教师着重指出：(1)解三元一次方程组的基本思想仍然是通过代入法或加减法消元；(2)当三元一次方程组中某个方程缺少一个未知数时，由另两个方程消去与前述方程中所缺未知数相同的未知数，从而组成二元一次方程组求解五、作业解方程组：课堂教学设计说明由于学生已熟练地掌握了代入法、加减法解二元一次方程组的基本消元思想，对解三元一次方程组的问题，很自然地会联想到是否可运用此法求解本节设计时，以学生自己探求解题方法为主，在“三元”化为“二元”的基本解题思想指导下，让学生自己观察，分析，摸索出达到消元目的的途径第7节 三元一次方程组的解法(二)教学目标1使学生熟练地掌握用消元法解简单的三元一次方程组的一般方法；2通过对问题的一题多解，培养学生观察、分析问题及灵活地解题的能力；3进一步理解消元法解方程组时体现的化归意识教学重点和难点精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 17 页，共 37 页 - - - - - - - - - - 重点：灵活地用代入法或加减法解三元一次方程组难点：正确地选择消元的方法课堂教学过程设计一、从学生原有的认知结构提出问题不解方程组，指出下列方程组中先消去哪个未知数，使得求解方程组较为简便？ (投影)结合学生的回答情况，教师指出，第1题由 2 7，消去 z，得到方程，由与组成关于x、y的二元一次方程组；第 2题由 -消去y，得方程，与组成关于x、z的二元一次方程组，或由 -消去x，得方程，与组成关于y、z的二元一次方程组，或由-消z，得方程，与组成关于x，y的二元一次方程组教师进一步追问：对上述方程组是否还有简便方法求解呢？先由学生思考回答，然后教师补充小结：通过观察方程组的构成特点，发现第 1题方程、中 x与y的系数对应相等，因此可由-消去 x与y项，求出 z值，再将 z值代入得方程，与组成关于x，y的二元一次方程组第 2题由 +，得xy+z=30，再由 -， -， -分别求出 x，y，z二、讲授新课本节课，我们继续来学习三元一次方程组的解法例1 解方程组分析时，引导学生观察方程组中每一个方程的构成情况，并提出以下问题：1每个方程是否有缺项？2怎样通过消元，使“三元”转化为“二元”？用代入法解行吗？(由于方程组中每个方程中的每一未知数的系数绝对值都不是1，因此将某一方程变形用代入法解较繁，用加减法解较好)3用加减法解消哪个未知数求解较为简捷呢？(用加减法解，应选择消去系数绝对值的最小公倍数最小的未知数)解： ，得5x+5y=25 2，得 5x+7y=31由与组成方程组把x=2，y=3代入，得32+23z=13，精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 18 页，共 37 页 - - - - - - - - - - 所以z=1此时，结合上述例题的解答过程，教师应再次提出问题：1先消未知数 x或y可以吗？比较上述三种不同的消元选择，哪种消元选择更好呢？例2解方程组将，代入，得所以y=45把y=45分别代入、，得x=30，z=36本题也可作以下分析：yx=32，即xy=23=1015，而yz=54=1512，故有 xyz=101512因此，可设 x=10k，y=15k，z=12k将它们一起代入中求出 k值，从而求出 x、y、z的值解法二： 由，得xy=23，即 xy=1015由，得yz=54，即 yz=1512所以xyz=101512设，x=10k，y=15k，z=12k，代入中得10k+15k+12k=111，所以k=3故x=30，y=45，z=36精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 19 页，共 37 页 - - - - - - - - - - 三、课堂练习A先消去 x；B先消去 y；C先消去 z；D以上说法都不对3解下列方程组：四、师生共同小结在师生共同回顾本节课所学内容的基础上，教师指出，一般地，用消元法解三元一次方程组，要先观察方程组中未知数的系数情况，然后再决定是用代入法还是用加减法来解对于方程组中方程间系数成比例，或具有一定联系的特殊情况，可采取观察、分析，巧解的程序来求解五、作业解下列方程组：第8节堂习题课第9节一次方程组的应用 (一)教学目标1使学生初步掌握布列二元一次方程组解应用题；2通过将实际问题转化为纯数学问题的训练，培养学生分析问题的能力教学重点和难点根据题目中的已知量与未知量间的相等关系，布列方程组课堂教学过程设计一、从学生原有的认知结构提出问题第一学期我们学习了运用一元一次方程解决实际问题请看下精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 20 页，共 37 页 - - - - - - - - - - 例(投影)例1小华买了 10分与20分的邮票共 16枚，花了2元5角求10分与20分的邮票各买了多少枚？问：怎样求解这个问题呢？引导学生分析，提问：题目中的已知量是什么？未知量是什么？已知量与未知量的相等关系是什么？(结合学生的回答，教师将分析依次写在黑板上 )分析：已知量 未知量10分与20分邮票共 16枚 10分邮票买多少枚这两种邮票共花了 2元5角20分邮票买多少枚相等关系：(1)10分邮票的枚数 +20分邮票的枚数 =总枚数；(2)10分邮票的总价 +20分邮票的总价 =全部邮票的总价(请学生在笔记本上设未知数，并布列方程，教师请一名学生板演)解： 设10分邮票买了 x枚，则 20分邮票买了 (16-x)枚依题意，得10 x+20(16-x)=250(解方程略 )二、讲授新课结合例 1的分析与解答过程，教师指出：对于该题，我们是通过列一元一次方程求解的，是否还可用其它方法求解呢？(有的学生若刚才列的就是二元一次方程组，则可请这名学生板演若没有，可引导学生思考：要求的是两个数，可否设两个未知数列方程组求解呢？由学生自己设未知数，布列方程组，同时，教师请一名学生板演所列的方程组部分)解： 设10分邮票共买了 x枚，20分邮票共买了 y枚依题意，得答：10分邮票买了 7枚，20分邮票买了 9枚(本题在解答时，应提醒学生要统一单位)在讲评本例的基础上，师生共同作出如下小结(1)布列一元一次方程解应用题与布列二元一次方程组解应用题的区别仅在于，前者是设一个未知数，列一个方程求解而后者是设两个未知数，列二元一次方程组求解；(2)设两个未知数，需列两个方程；(3)解应用题应按以下步骤进行操作：(投影)审题，设未知数并列出有关代数式，找出相等关系列出方程，解方程，检验 代入原方程及原应用题检验， 不用写出，写出答案简记：审、设、列、解、检、答精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 21 页，共 37 页 - - - - - - - - - - 分析： 从第二车间调 10人到第一车间，即是第二车间减少10人，同时第一车间增加 10人(让学生说出本题的已知量和未知量间的相等关系，教师板书在黑板上)答：第一、二车间的人数各为170人，250人(本题应请一名学生板演解答过程，其余学生在练习本上自己完成，教师巡视，及时纠正学生们在解题时出现的错误，并帮助他们克服在解题时遇到的困难 )三、课堂练习 (只列方程，不解出 (投影)1小兰在玩具厂劳动，做 4个小狗、 7个小汽车用 3小时42分，做 5个小狗、 6个小汽车用去 3小时37分求平均做 1个小狗与 1个小汽车各用多少时间？2一条货船的载重量是