微分方程模型数学建模课件.pptx
数学建摸课程 微分方程建模的思想和方法微分方程建模的思想和方法 微分方程建模的简单实例微分方程建模的简单实例 微分方程的平衡点与稳定性微分方程的平衡点与稳定性案例案例22022年年4月月21日日32022年年4月月21日日42022年年4月月21日日数学的实践与认识数学的实践与认识2005.12动态动态模型模型 描述对象特征随时间描述对象特征随时间(空间空间)的演变过程的演变过程 分析对象特征的变化规律分析对象特征的变化规律 预报对象特征的未来性态预报对象特征的未来性态 研究控制对象特征的手段研究控制对象特征的手段 根据函数及其变化率之间的关系确定函数根据函数及其变化率之间的关系确定函数微分微分方程方程建模建模 根据建模目的和问题分析作出简化假设根据建模目的和问题分析作出简化假设 按照内在规律或用类比法建立微分方程按照内在规律或用类比法建立微分方程52022年年4月月21日日62022年年4月月21日日 净变化率净变化率= =输入率输入率- -输出率输出率 当我们用微观的眼光观察实际问题时一般遵循如下的模式当我们用微观的眼光观察实际问题时一般遵循如下的模式（1）根据已知规律：）根据已知规律：利用数学、物理、力学、化学等经过利用数学、物理、力学、化学等经过实践检验的规律和定理；实践检验的规律和定理；（2）利用微元法）利用微元法（3）利用模拟近似法：）利用模拟近似法：在社会科学、生物学、医学、经济在社会科学、生物学、医学、经济学的学科中一些现象的规律性我们不太清楚，需要在不同学的学科中一些现象的规律性我们不太清楚，需要在不同的假设下去模拟实际现象。如此建立的模型从数学上求解的假设下去模拟实际现象。如此建立的模型从数学上求解或分析后再与实际对比，观察看这个模型是否能够模拟、或分析后再与实际对比，观察看这个模型是否能够模拟、近似这些现象。近似这些现象。72022年年4月月21日日 1. 估计死亡时间估计死亡时间 在凌晨在凌晨1时时警察发现一具尸体，测得尸体的温度是警察发现一具尸体，测得尸体的温度是29，当，当时环境的温度是时环境的温度是21.1h后尸体温度下降到后尸体温度下降到27，若人体正常，若人体正常的体温是的体温是37，估计死亡时间。，估计死亡时间。82022年年4月月21日日 1. 估计死亡时间估计死亡时间解方程得：解方程得：21)(ktCetTT(t)=29时，时，t=2.4094这时求得的这时求得的t是死者从死是死者从死亡时间到尸体被发现所经亡时间到尸体被发现所经历的时间。因此可得，死历的时间。因此可得，死者的死亡时间大致在前一者的死亡时间大致在前一天晚上的天晚上的10：35.92022年年4月月21日日 2. 湖水的污染问题湖水的污染问题如图所示是一个容量为如图所示是一个容量为2000m3的一个小湖的示意的一个小湖的示意图，通过小河图，通过小河A，水以，水以0.1m3/s的速度流入，以相的速度流入，以相同的流量湖水经过同的流量湖水经过B流出。在上午流出。在上午11:05时，因交时，因交通事故一个盛有毒性化学物质的容器倾翻，在图通事故一个盛有毒性化学物质的容器倾翻，在图中中X点处注入湖中。在采取紧急措施后，于点处注入湖中。在采取紧急措施后，于11:35事故得到控制，但数量不详的化学物质事故得到控制，但数量不详的化学物质Z已泻入已泻入湖中，初步估计湖中，初步估计Z的量在的量在520m3之间。请建立一之间。请建立一个模型，通过它来估计湖水污染程度随时间的变个模型，通过它来估计湖水污染程度随时间的变化并估计：化并估计：（1）湖水何时到达污染高峰？）湖水何时到达污染高峰？（2）何时污染程度可降至安全水平（不大于）何时污染程度可降至安全水平（不大于0.05%）。）。ABXABX小湖示意图小湖示意图102022年年4月月21日日 2. 湖水的污染问题湖水的污染问题112022年年4月月21日日 2. 湖水的污染问题湖水的污染问题0)0(6302000CCZdtdCZ Z取不同值时的浓度取不同值时的浓度C C（3030）和时间）和时间T TZ/m3C(30)/m3T/min50.00239552100.00478738150.00717918200.009561014132022年年4月月21日日 微分方程所描述的是物质系统的运动规律，实际中，人微分方程所描述的是物质系统的运动规律，实际中，人们只能考虑影响该过程的主要因素，而忽略次要的因素，这们只能考虑影响该过程的主要因素，而忽略次要的因素，这种次要的因素称为种次要的因素称为干扰因素干扰因素。干扰因素在实际中可以干扰因素在实际中可以瞬时瞬时地起作用，也可地起作用，也可持续持续地起作地起作用。用。 问题问题：在干扰因素客观存在的情况下，即干扰因素引起：在干扰因素客观存在的情况下，即干扰因素引起初值条件或微分方程的微小变化，是否也只引起对应解的微初值条件或微分方程的微小变化，是否也只引起对应解的微小变化？小变化？ 有限区间的稳定性、无限区间的稳定性、渐进稳定性、有限区间的稳定性、无限区间的稳定性、渐进稳定性、扰动下的稳定性。扰动下的稳定性。 实际中，对于很多问题的微分方程模型并不需要求实际中，对于很多问题的微分方程模型并不需要求其一般解，而是需要求其某种理想状态下的解，这种解其一般解，而是需要求其某种理想状态下的解，这种解称为称为平衡点平衡点。142022年年4月月21日日 平衡点的概念平衡点的概念152022年年4月月21日日 平衡点的概念平衡点的概念问题：如何来断别平衡点的稳定性呢问题：如何来断别平衡点的稳定性呢？162022年年4月月21日日 平衡点的概念平衡点的概念172022年年4月月21日日 2. 一阶方程的平衡点及稳定性一阶方程的平衡点及稳定性为什么？为什么？182022年年4月月21日日 3.平面方程的平衡点及稳定性平面方程的平衡点及稳定性192022年年4月月21日日 3.平面方程的平衡点及稳定性平面方程的平衡点及稳定性202022年年4月月21日日 问题的提出问题的提出 由于国与国之间和地区之间的种族歧视、民族由于国与国之间和地区之间的种族歧视、民族矛盾、利益冲突、历史遗留问题等原因造成了局部矛盾、利益冲突、历史遗留问题等原因造成了局部战争和地区性武装冲突时有发生，有的长期处于敌战争和地区性武装冲突时有发生，有的长期处于敌对状态，必然会导致敌对双方的军备竞赛，军事装对状态，必然会导致敌对双方的军备竞赛，军事装备现已成为决定战争胜负的重要因素备现已成为决定战争胜负的重要因素军事装备军事装备: 军事实力的总和，主要包括武器装军事实力的总和，主要包括武器装备、电子信息装备、军事兵力、军事费用等备、电子信息装备、军事兵力、军事费用等 现代战争的特点是多兵种的协同作战，根据不现代战争的特点是多兵种的协同作战，根据不同兵种的特点同兵种的特点, ,在不同的区域参加战斗，都对战争的在不同的区域参加战斗，都对战争的结果产生一定的影响结果产生一定的影响212022年年4月月21日日 问题的提出问题的提出现在要求建立数学模型讨论的问题：现在要求建立数学模型讨论的问题： (1) (1) 分析研究引起军备竞赛的因素，并就诸多分析研究引起军备竞赛的因素，并就诸多因素之间的相互关系进行讨论；因素之间的相互关系进行讨论； (2) (2) 在多兵种的作战条件下，对作战双方的战在多兵种的作战条件下，对作战双方的战势进行评估分析势进行评估分析. . （3 3）分析研究作战双方的兵力消耗，并预测初）分析研究作战双方的兵力消耗，并预测初始总兵力和战斗力变化对作战结果的影响。始总兵力和战斗力变化对作战结果的影响。222022年年4月月21日日 2. 模型的假设模型的假设232022年年4月月21日日 3. 模型的建立与求解模型的建立与求解242022年年4月月21日日 3. 模型的建立与求解模型的建立与求解特征方程为：特征方程为：0)(2abcddcabcdqdcpp0,q0稳稳定，定，q10ti 11-1/ i0t 1di/dt 1/ i(t)先升后降至先升后降至0P2: s01/ i(t)单调降至单调降至01/阈阈值值P3P4P2S02022年年4月月21日日42ssss00lnlnSIR模型模型预防传染病蔓延的手段预防传染病蔓延的手段 (日接触率日接触率) 卫生水平卫生水平 (日日治愈率治愈率) 医疗水平医疗水平 传染病不蔓延的条件传染病不蔓延的条件s01/ 的估计的估计0ln1000sssis0i忽略 降低降低 s0提高提高 r0 1000ris 提高阈值提高阈值 1/ 降低降低 (= / ) , 群体免疫群体免疫2022年年4月月21日日43SIR模型模型被传染人数的估计被传染人数的估计0ln1000sssis记被传染人数比例记被传染人数比例ssx00)211 (200sxsx0)1ln(10sxx)1(200ssx2xxs0i0s/1P10ssi0 0, s0 1 小小, s0 1提高阈值提高阈值1/降低降低被传染人数比例被传染人数比例 xs0 - 1/ = 2022年年4月月21日日44452022年年4月月21日日SARSSARS的传播问题的传播问题 问题的提出问题的提出 请你对请你对SARS 的传播建立数学模型，的传播建立数学模型，要求说明怎样才能建立一个真正能够预要求说明怎样才能建立一个真正能够预测，以及能为预防和控制提供可靠、足测，以及能为预防和控制提供可靠、足够信息的模型，这样做的困难在哪里？够信息的模型，这样做的困难在哪里？并对疫情传播所造成的影响做出估计并对疫情传播所造成的影响做出估计.462022年年4月月21日日 实际中，实际中，SARS的传染过程为：的传染过程为： “易感人群易感人群病毒潜伏人群病毒潜伏人群 发病人群发病人群退出者退出者” 通过分析各类人群之间的转化关系，可通过分析各类人群之间的转化关系，可以建立微分方程模型来刻画以建立微分方程模型来刻画SARS传染规律传染规律 将将SARS传播过程分为控前和控后两个阶传播过程分为控前和控后两个阶段段 SARSSARS的传播问题的传播问题 2问题的分析问题的分析472022年年4月月21日日 在控前阶段，在控前阶段，SARS按自然传播规律按自然传播规律传播传播 ； 在控后阶段，随着人们防范措施的在控后阶段，随着人们防范措施的增强促使日传染率减小，主要有两方面增强促使日传染率减小，主要有两方面的原因：的原因：（1）来自于因对疫情的恐慌心理；）来自于因对疫情的恐慌心理；（2）来自于防预政策、法律法规的）来自于防预政策、法律法规的颁布等颁布等SARSSARS的传播问题的传播问题 2问题的分析问题的分析482022年年4月月21日日SARSSARS的传播问题的传播问题 3模型的建立与求解模型的建立与求解具体模型详见教材。具体模型详见教材。参考文献：参考文献：1姜启源、谢金星、叶俊，数学模型（第三版），姜启源、谢金星、叶俊，数学模型（第三版），高等教育出版社；高等教育出版社；2箫树铁、姜启源等，大学数学（第二版）数学实箫树铁、姜启源等，大学数学（第二版）数学实验。高等教育出版社；验。高等教育出版社；3韩中庚、郭晓丽等，实用运筹学模型方法与计算，韩中庚、郭晓丽等，实用运筹学模型方法与计算，清华大学出版社；清华大学出版社；492022年年4月月21日日相关的问题数学模型相关的问题数学模型1. 传染病理论模型：传染病理论模型： SI模型、模型、SIS模型、模型、SIR模型、模型、SIER模型。模型。2. 人口理论模型：人口理论模型： Malthus模型、模型、Logistic模型、人模型、人口的发展方程。（口的发展方程。（2007年全国建年全国建模竞赛题）模竞赛题）辛苦了，辛苦了，下次再见！下次再见！休息一会休息一会
