2022年东北师大附属中学高三第一轮复习教案不等式选讲 .pdf

一、基本知识点： 阅读选讲4-5 (1). 含有参数不等式的解法例 1: 解关于x的不等式34422mmmxx解：原不等式等价于3|2|mmx当03m即3m时)3(232mmxmmx或333mxmx或当03m即3m时0|6| xx6 当03m即3m时xR。例 2、解关于x的不等式)20( , 1)(cot232xx解：当1cot即(0,4) 时0232xxx2或x1 当1cot即 =4时x 当)1 , 0(cot即(4,2) 时0232xx1x0，即)(xf在（ -1，1）上是增函数。(5)、能成立问题 (部分成立 )（存在性问题）若在区间D上存在实数x使不等式 f(x)A 成立, 即 f(x)A 在区间D上能成立 , f(x)m ax A ；若在区间D上存在实数x使不等式 f(x)A 成立, 即 f(x)A 在区间D上能成立 , f(x)min1 axax110或，若 0a1 时mx221mx2log210当 m=1 时0)12(22xx当 0m1 时122xm0log212xm当 m0 时x0 （8） 、反证法：但对于一些较复杂的不等式，有时很难直接入手求证，这时可考虑采用间接证明的方法。所谓间接证明即是指不直接从正面确定论题的真实性，而是证明它的反论题为假，或转而证明它的等价命题为真，以间接地达到目的。其中，反证法是间接证明的一种基本方法。反证法在于表明：若肯定命题的条件而否定其结论，就会导致矛盾。具体地说，反证法不直接证明命题“若p 则 q” ，而是先肯定命题的条件p，并否定命题的结论q，然后通过合理的逻辑推理，而得到矛盾，从而断定原来的结论是正确的。利用反证法证明不等式，一般有下面几个步骤：第一步分清欲证不等式所涉及到的条件和结论；第二步作出与所证不等式相反的假定；第三步从条件和假定出发，应用证确的推理方法，推出矛盾结果；第四步断定产生矛盾结果的原因，在于开始所作的假定不正确，于是原证不等式成立。例 1、设二次函数qpxxxf2)(，求证：)3(, )2(, ) 1 (fff中至少有一个精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 10 页，共 19 页 - - - - - - - - - - 不小于21. 证明：假设)3(, )2(, )1 (fff都小于21，则. 2)3()2(2) 1(fff（1）另一方面，由绝对值不等式的性质，有2)39()24(2)1 ()3()2(2)1 ()3()2(2)1 (qpqpqpffffff（2）（1） 、 （2）两式的结果矛盾，所以假设不成立，原来的结论正确。注意 ：诸如本例中的问题，当要证明几个代数式中，至少有一个满足某个不等式时，通常采用反证法进行。议一议 ：一般来说， 利用反证法证明不等式的第三步所称的矛盾结果，通常是指所推出的结果与已知公理、定义、定理或已知条件、已证不等式，以及与临时假定矛盾等各种情况。试根据上述两例，讨论寻找矛盾的手段、方法有什么特点？例 2、设 0 a, b, c 41, (1 b)c 41, (1 c)a 41, 则三式相乘： ab (1 a)b?(1 b)c?(1 c)a 641又 0 a, b, c 1 412)1()1(02aaaa同理：41)1(bb, 41)1(cc以上三式相乘：(1 a)a?(1 b)b?(1 c)c641与矛盾原式成立（9） 、不等式的证明方法之四：放缩法与贝努利不等式所谓放缩法，即是把要证的不等式一边适当地放大（或缩小），使之得出明显的不等量关系后，再应用不等量大、小的传递性，从而使不等式得到证明的方法。这种方法是证明不等式中的常用方法，尤其在今后学习高等数学时用处更为广泛。下面我们通过一些简单例证体会这种方法的基本思想。例 1、若n是自然数，求证. 213121112222n精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 11 页，共 19 页 - - - - - - - - - - 证明：.,4, 3,2,111) 1(112nkkkkkknnn)1(13212111113121112222=)111()3121()2111(11nn=.212n注意 ：实际上，我们在证明213121112222n的过程中，已经得到一个更强的结论nn1213121112222，这恰恰在一定程度上体现了放缩法的基本思想。例 2、求证：. 332113211211111n证 明 ： 由,212221132111kk（k是 大 于2 的 自 然 数 ） 得n32113211211111.3213211211121212121111132nnn（10）柯西不等式定理 1： （柯西不等式的代数形式）设dcba,均为实数，则22222)()(bdacdcba，其中等号当且仅当bcad时成立。证明：几何意义：设，为平面上以原点O 为起点的两个非零向量，它们的终点分别为 A（ba,） ，B（dc,） ，那么它们的数量积为bdac?，而22|ba，22|dc，所以柯西不等式的几何意义就是：|?，精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 12 页，共 19 页 - - - - - - - - - - 其中等号当且仅当两个向量方向相同或相反（即两个向量共线）时成立。定理 2： （柯西不等式的向量形式）设，为平面上的两个向量，则|?，其中等号当且仅当两个向量方向相同或相反（即两个向量共线）时成立。定理 3： （三角形不等式）设332211,yxyxyx为任意实数，则：231231232232221221)()()()()()(yyxxyyxxyyxx分析：思考：三角形不等式中等号成立的条件是什么？定理 4： （柯西不等式的推广形式）：设n为大于 1 的自然数，iiba ,（i1，2，n）为任意实数，则：211212)(niiiniiniibaba，其中等号当且仅当nnababab2211时成立（当0ia时，约定0ib，i1，2，n） 。证明：构造二次函数：2222211)()()()(nnbxabxabxaxf即构造了一个二次函数：niiniiiniibxbaxaxf121212)(2)()(由于对任意实数x，0)(xf恒成立，则其0，即：0)(4)(4121221niiniiniiibaba，即：)()(121221niiniiniiibaba，等号当且仅当02211nnbxabxabxa，精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 13 页，共 19 页 - - - - - - - - - - 即等号当且仅当nnababab2211时成立（当0ia时，约定0ib，i1，2，n） 。如果ia（ni1）全为 0，结论显然成立。柯西不等式有两个很好的变式：变式 1 设),2, 1(0,nibiRaiiiniiibaba212)(，等号成立当且仅当)1(niabii变式 2 设 ai，bi同号且不为0（i=1，2， n） ，则：iiiniiibaaba21)(，等号成立当且仅当nbbb21。（11）排序不等式排序不等式的一般情形一般地，设有两组实数：1a，2a，3a，na与1b，2b，3b，nb，且它们满足：1a2a3ana，1b2b3bnb，若1c，2c，3c，nc是1b，2b，3b，nb的任意一个排列，则和数nncacaca2211在1a，2a，3a，na与1b，2b，3b，nb同序时最大，反序时最小，即：112122112211bababacacacabababannnnnnn，等号当且仅当naaa21或nbbb21时成立。分析：用逐步调整法例 1、已知cba,为正数，求证：abccbaaccbba222222。例 2、设1a，2a，3a，na为正数，求证：精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 14 页，共 19 页 - - - - - - - - - - nnnnaaaaaaaaaaa211221322221。（12）数学归纳法数学归纳法 : 是一个递推的数学论证方法，论证的第一步是证明命题在n1( 或n0) 时成立，这是递推的基础；第二步是假设在nk 时命题成立，再证明nk1时命题也成立，这是递推的依据。实际上它使命题的正确性突破了有限，达到无限。证明时，关键是k1 步的推证，要有目标意识。例 1、证明：23333)321(321nn。例 2、设1x，*Nn，证明贝努利不等式：nxxn1)1(。二、 方法提升：三、 反思感悟：四、 课时作业：1、利用不等式的图形解不等式：111xx; 2、解下列不等式： （1）2132x（2） 1743x3解不等式：（1）112xx4解不等式：（1）321xx精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 15 页，共 19 页 - - - - - - - - - - 5利用绝对值的几何意义，解决问题：要使不等式34xxa有解，a要满足什么条件？6.解关于 x 的不等式34422mmmxx解：原不等式等价于3|2|mmx当03m即3m时)3(232mmxmmx或333mxmx或当03m即3m时0|6| xx6 当03m即3m时x R。7、若 a, b, c, dR+，求证：21caddbdccacbbdbaa证：记 m =caddbdccacbbdbaaa, b, c, dR+ 1cbaddbadccacbabdcbaam2cdddccbabbaam1 m 2 时，求证：1)1(log) 1(lognnnn证： n 2 0)1(log,0)1(lognnnn2222)1(log2) 1(log)1(log)1(log)1(lognnnnnnnnnn12log22nnn 2 时, 1)1(log)1(lognnnn9、已知122ba，122yx，求证：1|byax。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 16 页，共 19 页 - - - - - - - - - - 10、设Rdcba,，求证：222222)()(dbcadcba。11、在 ABC 中，ha , hb ,hc 为边长 a,b,c 上的高，求证：asinA+bsinB+csinCha +hb +hc12、若 a0,b0，则2222332266babababa13、在 ABC 中，求证：abccbacbacbacba3)()()(22214、设ba,为正数，*Nn，证明：nnnbaba)2(2。15、设数列 an 的前 n 项和为 Sn，若对于所有的自然数n，都有 Sn2)(1naan，证明 an 是等差数列。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 17 页，共 19 页 - - - - - - - - - - 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 18 页，共 19 页 - - - - - - - - - - 文档编码：KDHSIBDSUFVBSUDHSIDHSIBF-SDSD587FCDCVDCJUH 欢迎下载 精美文档欢迎下载 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 19 页，共 19 页 - - - - - - - - - -