2022年二次函数在闭区间的最值问题 .pdf

闭区间上二次函数的最值问题一. 定二次函数在定区间上的最值二次函数是给定的，给出的定义域区间也是固定的，我们称这种情况是“定二次函数在定区间上的最值”。例 1.函数在区间 0，3上的最大值是_，最小值是 _。解：函数是定义在区间0，3上的二次函数，其对称轴方程是，顶点坐标为（2，2） ，且其图象开口向下，显然其顶点横坐标在0，3上，如图1 所示。函数的最大值为，最小值为。图 1 例 2. 已知，求函数的最值。解：由已知，可得，即函数是定义在区间上的二次函数。将二次函数配方得，其对称轴方程，顶点坐标，且图象开口向上。显然其顶点横坐标不在区间内，如图2 所示。函数的最小值为，最大值为。图 2 解后反思：已知二次函数（不妨设），它的图象是顶点为、对称轴为、开口向上的抛物线。由数形结合可得在m， n上的最大值或最小值：（1）当时，的最小值是的最大值是中的较大者。（2）当时若，由在上是增函数则的最小值是，最大值是精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 6 页 - - - - - - - - - - 若，由在上是减函数则的最大值是，最小值是二. 动二次函数在定区间上的最值二次函数随着参数a 的变化而变化，即其图象是运动的，但定义域区间是固定的，我们称这种情况是“动二次函数在定区间上的最值”。例 3. 已知，且，求函数的最值。解：由已知有，于是函数是定义在区间上的二次函数，将配方得：二次函数的对称轴方程是顶点坐标为，图象开口向上由可得，显然其顶点横坐标在区间的左侧或左端点上。函数的最小值是，最大值是。图 3 例 4.已知二次函数在区间上的最大值为5，求实数 a的值。解：将二次函数配方得，其对称轴方程为，顶点坐标为，图象开口方向由a 决定。很明显，其顶点横坐标在区间上。若，函数图象开口向下，如图4 所示，当时，函数取得最大值5 即解得故精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 6 页 - - - - - - - - - - 图 4 若时，函数图象开口向上，如图5 所示，当时，函数取得最大值5 即解得故图 5 综上讨论，函数在区间上取得最大值5 时，解后反思：例3 中，二次函数的对称轴是随参数a 变化的，但图象开口方向是固定的；例4 中，二次函数的对称轴是固定的，但图象开口方向是随参数a 变化的。三. 定二次函数在动区间上的最值二次函数是确定的，但它的定义域区间是随参数t 而变化的，我们称这种情况是“定函数在动区间上的最值” 。例 5. 如果函数定义在区间上，求的最小值。解：函数，其对称轴方程为，顶点坐标为（1，1） ，图象开口向上。如图 6 所示，若顶点横坐标在区间左侧时，有。当时，函数取得最小值。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 6 页 - - - - - - - - - - 图 6 如图 7 所示，若顶点横坐标在区间上时，有，即。当时，函数取得最小值：。图 7 如图 8 所示，若顶点横坐标在区间右侧时，有，即。当时，函数取得最小值综上讨论，图 8 例 6. 设函数的定义域为，对任意，求函数的最小值的解析式。解：将二次函数配方得：其对称轴方程为，顶点坐标为，图象开口向上若顶点横坐标在区间左侧，则，即。当时，函数取得最小值：若顶点横坐标在区间上，则，即。当时，函数取得最小值：若顶点横坐标在区间右侧，则，即。当时，函数取得最小值：综上讨论，得精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 6 页 - - - - - - - - - - 四. 动二次函数在动区间上的最值二次函数是含参数的函数，而定义域区间也是变化的，我们称这种情况是“动二次函数在动区间上的最值” 。例 7. 已知，且当时，的最小值为4，求参数a 的值。解：将代入S 中，得则 S 是 x 的二次函数，其定义域为，对称轴方程为，顶点坐标为，图象开口向上。若，即，则当时， ，此时，或若，即，则当时，此时，或（因舍去）综上讨论，参变数a 的取值为，或，或例 8.已知，且当时，的最小值为1，求参变数a 的值。解：将代入P 中，得则 P 是 x 的二次函数，其定义域为，对称轴方程为，顶点坐标为，图象开口向上。若，即则当时，此时，若，即，则当时，此时，或（因舍去）综上讨论，解后反思：例7中，二次函数的对称轴是变化的；例8 中，二次函数的对称轴是固定的。另外，若函数图象的开口方向、对称轴均不确定，且动区间所含参数与确定函数的参数一致，可采用先斩后奏的方法。二次函数在闭区间上的最值只可能在区间端点、顶点处取得，不妨令之为最值，验证参数的资格，进行取舍。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 5 页，共 6 页 - - - - - - - - - - 文档编码：KDHSIBDSUFVBSUDHSIDHSIBF-SDSD587FCDCVDCJUH 欢迎下载 精美文档欢迎下载 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 6 页，共 6 页 - - - - - - - - - -