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管理运筹学第四章第四章 线性规划在工商线性规划在工商 管理中的应用管理中的应用北京理工大学 韩伯棠 教授第四章线性规划在工商管理中的应用线性规划在工商管理中的应用在对线性规划的求解及灵敏度分析的基本概念、基本原理有所了解之后，我们来研究线性规划在工商管理中的应用，解决工商管理中的实际问题。 人力资源分配的问题生产计划的问题套裁下料问题配料问题本章内容本章内容1234投资问题5人力资源分配的问题生产计划的问题套裁下料问题配料问题本章内容本章内容1234投资问题5 例1某昼夜服务的公交线路每天各时间段内所需司机和乘务人员数如下： 1人力资源分配的问题人力资源分配的问题设司机和乘务人员分别在各时间段开始时上班，并连续工作八小时，问该公交线路应怎样安排司机和乘务人员，既能满足工作需要，又使配备司机和乘务人员的人数最少?班次时间所需人数16:00-10:0060210:00-14:0070314:00-18:0060418:00-22:0050522:00-2:002062:00-6:0030 x1 + x6 60（班次1所需人数） 1人力资源分配的问题人力资源分配的问题设 xi 表示第i班次时开始上班的司机和乘务人员人数, 建立如下的数学模型：Min x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 x1 + x2 70 x2 + x3 60 x3 + x4 50 x4 + x5 20 x5 + x6 30 x1,x2,x3,x4,x5,x6 0解：目标函数：约束条件：1人力资源分配的问题人力资源分配的问题 例2百货商场对售货员的需求如下表。要求售货员每周工作五天，连续休息两天。问：应该如何安排售货员，满足工作需要，同时使配备的售货员人数最少？时间时间所需售货员人数所需售货员人数星期一15星期二24星期三25星期四19星期五31星期六28星期日281人力资源分配的问题人力资源分配的问题解：设 xi ( i = 1,2,7)表示星期i开始休息的人数,建立如下的数学模型：目标函数：约束条件：Min x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 + x7 x2 + x3 + x4 + x5 + x6 15（星期一所需 售货员人数）x3 + x4 + x5 + x6 + x7 24x4 + x5 + x6 + x7 + x1 25x5 + x6 + x7 + x1 + x2 19x6 + x7 + x1 + x2 + x3 31x7 + x1 + x2 + x3 + x4 28x1 + x2 + x3 + x4 + x5 28x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7 01人力资源分配的问题人力资源分配的问题实际中，服务行业企业一周内对人力资源的需求往往像例2所描述的方式变化，而每天各时间段的需求又像例1所描述的那样变化。我们只要用例1的方法，分别求出周一到周六、周日每天的人员需求，再用例2的方法，即可求出该公司的最小编制。 注意：人力资源分配的问题生产计划的问题套裁下料问题配料问题本章内容本章内容134投资问题522生产计划的问题生产计划的问题 例3公司面临外包协作、自行生产的问题。甲、乙、丙产品都需要经过铸造、机加工和装配三道工序。铸造工序中甲、乙可外包，亦可自产，丙必须自产，其余工序必须本厂完成。 问：为获取最大利润，三种产品各生产多少件？甲、乙的铸件有多少由本公司铸造？有多少由外包协作？甲甲乙乙丙丙资源限制资源限制每件铸造工时每件铸造工时/小时小时51078000每件机械加工工时每件机械加工工时/小时小时64812000每件装配工时每件装配工时/小时小时32210000自行生产铸件每件成本自行生产铸件每件成本/元元354外包协作铸件每件成本外包协作铸件每件成本/元元56-机械加工每件成本机械加工每件成本/元元213装配每件成本装配每件成本/元元322每件产品售价每件产品售价/元元2318162生产计划的问题生产计划的问题 设 x1,x2,x3 分别为三道工序都由本公司加工的甲、乙、 丙三种产品的件数，x4 ,x5 分别为由外协铸造再由本公 司加工和装配的甲、乙两种产品的件数。 解：可得到xi，i = 1,2,3,4,5 的利润分别为 15、10、7、13、9元。求xi 的利润：利润 = 售价 - 各成本之和；产品甲全部自制的利润 =23-(3+2+3)=15；产品甲铸造外协，其余自制的利润 =23-(5+2+3)=13；产品乙全部自制的利润 =18-(5+1+2)=10；产品乙铸造外协，其余自制的利润 =18-(6+1+2)=9；产品丙的利润 =16-(4+3+2)=7；2生产计划的问题生产计划的问题通过以上分析,可建立如下的数学模型:目标函数：约束条件：Max 15x1 + 10 x2 + 7x3 + 13x4 + 9x5 5x1 + 10 x2 + 7x3 8000（铸造工时）6x1 + 4x2 + 8x3 + 6x4 + 4x5 12000 （机械加工工时）3x1 + 2x2 + 2x3 + 3x4 + 2x5 10000 （装配工时）x1,x2,x3,x4,x5 02生产计划的问题生产计划的问题例4机械厂生产、产品，均要经过A、B两道工序。两种规格的设备A1、A2能完成 A 工序；三种规格的设备B1、B2、B3能完成 B 工序。可在A、B的任何规格的设备上加工； 可在任意规格的A上加工，B工序只能在B1上加工；只能在A2与B2上加工。问：为获得最大利润，应如何制定最优的产品加工方案？设备设备产品单件工时产品单件工时设备的有效设备的有效台时台时满负荷时的满负荷时的设备费用设备费用IIIIIIA15106000300A2791210000321B1684000250B24117000783B374000200原料（元/件）0.25 0.35 0.50 售价（元/件）1.25 2.00 2.80 2生产计划的问题生产计划的问题解：设xijk表示产品 i 在工序 j （工序 A 用 1 表示，工序 B 用 2 表示）的设备 k 上加工的数量，建立如下的数学模型:5x111 + 10 x211 6000 （ 设备 A1 ）7x112 + 9x212 + 12x312 10000 （ 设备 A2 ）6x121 + 8x221 4000 （ 设备 B1 ）4x122 + 11x322 7000 （ 设备 B2 ）7x123 4000 （ 设备 B3 ）x111+ x112- x121- x122- x123 = 0 （产品在A、B工序加工 的数量相等）x211+ x212 - x221 = 0 （产品在A、B工序加工 的数量相等）s.t. x312 - x322 = 0 （产品在A、B工序加工 的数量相等）xijk 0 , i = 1,2,3; j = 1,2; k = 1,2,32生产计划的问题生产计划的问题利润 = （销售单价-原料单价）* 产品件数之和 -（每台时的设 备费用*设备实际使用的总台时数）之和.目标函数为计算利润最大化，利润的计算公式为：目标函数：整理得：Max (1.25-0.25)(x111+x112)+(2-0.35) (x211+x212 ) +(2.80-0.5)x312 300/6000(5x111+10 x211)-321/10000(7x112+9x212+12x312)- 250/4000(6x121+8x221)-783/7000(4x122+11x322)-200/4000(7x123).Max 0.75x111+0.7753x112+1.15x211+1.3611x212+1.9148x312-0.375x121-0.5x221-0.4474x122-1.2304x322-0.35x1232生产计划的问题生产计划的问题1. 合并同类项，自行完成；2. 移项问题；3. 变量下标的转换问题； 把变量设定中两维和三维下标将为一维； 例： xijk： x111 x1 x112 x2 。 需要注意的问题：人力资源分配的问题生产计划的问题套裁下料问题配料问题本章内容本章内容1234投资问题53套裁下料问题套裁下料问题 解：列出所有可能下料方案：例5工厂要做100套钢架，每套用长为2.9 m,2.1 m,1.5 m的圆钢各一根。已知原料每根长7.4 m，问：应如何下料，可使所用原料最省？方案方案1方案方案2方案方案3方案方案4方案方案5方案方案6方案方案7方案方案82.9m120101002.1m002211301.5m31203104合计/m7.47.37.27.16.66.56.36料头/m00.10.20.30.80.91.11.43套裁下料问题套裁下料问题设按上述方案下料的原材料根数分别为 x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7,x8建立如下的数学模型：目标函数：约束条件：Min x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 + x7 + x8 x1 + 2x2 + x4 + x6 100 （2.9m 圆钢）2x3 + 2x4 + x5 + x6 + 3x7 100 3x1 + x2 + 2x3 + 3x5 + x6 + 4x8 100 x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7,x8 03套裁下料问题套裁下料问题用“管理运筹学”软件计算得出最优下料方案：按方案1下料30根；按方案2下料10根；按方案4下料50根。 即 x1=30; x2=10； x3=0； x4=50；x5= x6= x7= x8= 0； 只需90根原材料就可制造出100套钢架。 注意：建立此类型数学模型时，约束条件用大于等于号优于用等于号。3套裁下料问题套裁下料问题 面裁面裁问题如何解决？ 体裁体裁问题又如何解决？3套裁下料问题套裁下料问题零件1 x1：2件 零件2 x2：2件 零件3 x3：3件 零件4 x4：1件 零件5 x5：3件 零件6 x6：2件 零件7 x7：2件 零件8 x8：1件 人力资源分配的问题生产计划的问题套裁下料问题配料问题本章内容本章内容1234投资问题54配料问题配料问题例6工厂要用三种原料1、2、3混合调配出不同规格的产品甲、乙、丙。问：该厂应如何安排生产，使利润最大？产品名称产品名称规格要求规格要求单价（元单价（元/kg）甲原材料1不少于50%，原材料2不超过25%50乙原材料1不少于25%，原材料2不超过50%35丙不限25原材料名称原材料名称每天最多供应量每天最多供应量单价（元单价（元/kg）110065210025360354配料问题配料问题解：设 xij 表示第 i 种（我们分别用1,2,3表示产品甲、乙、丙）产品中原料 j 的含量。建立数学模型时，要考虑：甲产品的数量为： x11 + x12 + x13；乙产品的数量为： x21 + x22 + x23；丙产品的数量为： x31 + x32 + x33；原料1的总需求量为： x11 + x21 + x31；原料2的总需求量为： x12 + x22 + x32； 原料3的总需求量为： x13 + x23 + x33；目标函数： 利润最大，利润 = 收入 - 原料支出 约束条件： 规格要求 4 个； 供应量限制 3 个。4配料问题配料问题 利润=总收入-总成本=甲乙丙三种产品的销售单价*产品数量-甲乙丙使用的原料单价*原料数量，故有：目标函数：约束条件：Max 50（x11+x12+x13）+35（x21+x22+x23）+25（x31+x32+x33）-65（x11+x21+x31）-25（x12+x22+x32）-35（x13+x23+x33）= -15x11+25x12+15x13-30 x21+10 x22-40 x31-10 x33 从第1个表中有：x110.5(x11+x12+x13) （甲含原材料1的比例）x120.25(x11+x12+x13)x210.25(x21+x22+x23)x220.5(x21+x22+x23)4配料问题配料问题 从第2个表中， 生产甲乙丙的原材料不能超过原材料的供应限额，故有：(x11+x21+x31)100 （原材料1的供应限额）(x12+x22+x32)100(x13+x23+x33)604配料问题配料问题通过整理，得到以下模型：目标函数：约束条件：Max z = -15x11+25x12+15x13-30 x21+10 x22-40 x31-10 x33 0.5 x11-0.5 x12 -0.5 x13 0 （原材料1不少于50%）-0.25x11+0.75x12 -0.25x13 0 （原材料2不超过25%） 0.75x21-0.25x22 -0.25x23 0 （原材料1不少于25%）-0.5 x21+0.5 x22 -0.5 x23 0 （原材料2不超过50%）x11+ x21 + x31 100 (供应量限制）x12+ x22 + x32 100 (供应量限制）x13+ x23 + x33 60 (供应量限制）xij 0 , i = 1,2,3; j = 1,2,34配料问题配料问题例7.汽油混合问题。汽油的特性用“辛烷数”描述点火特性，用“蒸汽压力”描述挥发性。炼油厂有1、2、3、4种标准汽油，性能与库存信息如表1.将这四种混合，可得到标号为1，2的两种飞机汽油，性能指标如表2。问：如何根据库存情况适量混合各种标准汽油，既满足飞机汽油的性能指标，又使2号汽油满足需求，并使得1号汽油产量最高？标准汽油标准汽油辛烷数辛烷数蒸汽压力蒸汽压力(g/cm2)库存量库存量(L)1107.57.1110-2380000293.011.38 10-2265200387.05.6910-24081004108.028.45 10-2130100飞机汽油飞机汽油辛烷数辛烷数蒸汽压力蒸汽压力(g/cm(g/cm2 2) )产量需求产量需求1不小于91不大于9.96 10-2越多越好2不小于100不大于9.96 10-2不少于250000表14配料问题配料问题表24配料问题配料问题库存量和产量约束为：112112221323142421222324380000265200408100130100250000 xxxxxxxxxxxx解：设xij为飞机汽油i中所用标准汽油j的数量(L)。 目标函数为飞机汽油1的总产量越多越好 11121314 Max xxxx由物理中的分压定律， 可得有关蒸汽压力的约束条件：1njjjP Vp v11121314212223242.851.424.2718.4902.851.424.2718.490 xxxxxxxx 辛烷数的约束条件为：111213141112131416.52.04.017.007.57.013.08.00 xxxxxxxx4配料问题配料问题辛烷数和蒸汽压力的约束条件为：4配料问题配料问题 综上所述，得该问题的数学模型为：111213142122232411211222132314241112131421222324111213142122m ax2500003800002652004081001301002.851.424.2718.4902.851.424.2718.49016.5241707.57xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx232413800, (1, 2;1, 2, 3, 4)ijxxxij4配料问题配料问题 由管理运筹学软件求解得：111213141112131421222324max()933 399.938261966.078265200315672.21990561.688118033.906092427.75839538.309xxxxxxxxxxxx人力资源分配的问题生产计划的问题套裁下料问题配料问题本章内容本章内容1234投资问题55投资问题投资问题 例8现有资金200万元，今后五年内考虑给以下的项目投资。项目A：从第一年到第五年每年年初都可投资，当年末能收回本利110%；项目B：从第一年到第四年每年年初都可投资，次年末能收回本利125%，但规定每年最大投资额不能超过30万元；项目C：需在第三年年初投资，第五年末能收回本利140%，但规定最大投资额不能超过80万元；项目D：需在第二年年初投资，第五年末能收回本利155%，但规定最大投资额不能超过100万元。问：问：a）应如何确定这些项目的每年投资额，使得第五年 年末拥有资金的本利金额为最大？ b）应如何确定这些项目的每年投资额，使得第五年 年末拥有资金的本利在330万元的基础上使得其 投资总的风险系数为最小？据测定每万元每次投资的风险指数如表：5投资问题投资问题项目项目风险指数（次风险指数（次/万元）万元）A1B3C4D5.55投资问题投资问题 设 xij 表示第 i 年初投资于A(j=1)、B(j=2)、C(j=3)、D(j=4)项目的金额。这样我们建立如下的决策变量： A x11 x21 x31 x41 x51 B x12 x22 x32 x42 C x33 D x24解：1）确定决策变量：连续投资问题2）约束条件：第一年：A项目当年末可收回投资，故第一年年初应把全部资金投出去，于是 x11+ x12 = 200；第二年：B项目次年末才可收回投资，故第二年年初有资金1.1 x11，于是 x21 + x22+ x24 = 1.1x11；B、C、D的投资限制： xi2 30 ( i =1、2、3、4 ) x33 80 x24 100 第四年：同上分析，年初有资金 1.1x31+ 1.25x22，于是 x41 + x42 = 1.1x31+ 1.25x22；5投资问题投资问题第五年：同上分析，年初有资金 1.1x41+ 1.25x32，于是 x51 = 1.1x41+ 1.25x32；第三年：第三年年初的资金是从项目A第二年投资和项目B第一年投资所回收的本息总和 1.1x21+ 1.25x12，于是 x31 + x32+ x33 = 1.1x21+ 1.25x12；5投资问题投资问题b)所设变量与问题a相同，目标函数为风险最小，有 Min f =x11+x21+x31+x41+x51+3(x12+x22+x32+x42)+4x33+5.5x24 a) Max z = 1.1x51+ 1.25x42+ 1.4x33 + 1.55x24 s.t. x11+ x12 = 200 x21 + x22+ x24 = 1.1x11； x31 + x32+ x33 = 1.1x21+ 1.25x12； x41 + x42 = 1.1x31+ 1.25x22； x51 = 1.1x41+ 1.25x32； xi2 30 ( i =1、2、3、4 )，x33 80，x24 100 xij 0 ( i = 1、2、3、4、5；j = 1、2、3、4） 3）目标函数及模型：5投资问题投资问题Min f = (x11+x21+x31+x41+x51)+3(x12+x22+x32+x42)+4x33+5.5x24 s.t. x11+ x12 = 200 x21 + x22+ x24 = 1.1x11； x31 + x32+ x33 = 1.1x21+ 1.25x12； x41 + x42 = 1.1x31+ 1.25x22； x51 = 1.1x41+ 1.25x32； xi2 30 ( i =1、2、3、4 )，x33 80，x24 100 1.1x51 + 1.25x42+ 1.4x33+ 1.55x24 330 xij 0 ( i = 1、2、3、4、5；j = 1、2、3、4）即在问题a的约束条件中加上“第五年末拥有资金本利在330万元”的条件，得模型：谢谢 谢！谢！