函数的单调性-知识点与题型归纳(共16页).doc

精选优质文档-倾情为你奉上1.单调函数的定义2.单调性、单调区间的定义若函数f(x)在区间D上是增函数或减函数，则称函数f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D叫做f(x)的单调区间.注意：关于函数单调性的定义应注意哪些问题？(1)定义中x1，x2具有任意性，不能是规定的特定值(2)函数的单调区间必须是定义域的子集；(3)定义的两种变式：设任意x1，x2a，b且x1<x2，那么f(x)在a，b上是增函数； f(x)在a，b上是减函数 (x1x2)f(x1)f(x2)>0f(x)在a，b上是增函数； (x1x2)f(x1)f(x2)<0f(x)在a，b上是减函数单调区间的表示注意哪些问题？单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示；如有多个单调区间应分别写，不能用并集符号“”联结，也不能用“或”联结知识点二 单调性的证明方法：定义法及导数法(1) 定义法: 利用定义证明函数单调性的一般步骤是：任取x1、x2D，且x1<x2；作差f(x1)f(x2)，并适当变形 (“分解因式”、配方成同号项的和等)；依据差式的符号确定其增减性(2) 导数法: 设函数yf(x)在某区间D内可导如果f (x)>0，则f(x)在区间D内为增函数；如果f (x)<0，则f(x)在区间D内为减函数注意：(补充) （1）若使得f (x)=0的x的值只有有限个， 则如果f (x)，则f(x)在区间D内为增函数； 如果f (x) ，则f(x)在区间D内为减函数（2）单调性的判断方法： 定义法及导数法、图象法、 复合函数的单调性(同增异减)、 用已知函数的单调性等(补充)单调性的有关结论1若f(x)，g(x)均为增(减)函数， 则f(x)g(x)仍为增(减)函数2若f(x)为增(减)函数， 则f(x)为减(增)函数，如果同时有f(x)>0， 则为减(增)函数，为增(减)函数3互为反函数的两个函数有相同的单调性4yfg(x)是定义在M上的函数， 若f(x)与g(x)的单调性相同， 则其复合函数fg(x)为增函数； 若f(x)、g(x)的单调性相反， 则其复合函数fg(x)为减函数 简称”同增异减”5. 奇函数在关于原点对称的两个区间上的单调性相同； 偶函数在关于原点对称的两个区间上的单调性相反二、例题分析：（一) 函数单调性的判断与证明判断下列说法是否正确(1)函数f(x)2x1在(，)上是增函数()(2)函数f(x)在其定义域上是减函数()(3)已知f(x)，g(x)2x，则yf(x)g(x)在定义域上是增函数()答案：×例1.(2014·北京卷)下列函数中，在区间(0，)上为增函数的是()Ay By(x1)2Cy2x Dylog0.5(x1)答案：A.例2. 判断函数f(x)在(1，)上的单调性，并证明法一：定义法设1<x1<x2，则f(x1)f(x2)1<x1<x2，x1x2<0，x11>0，x21>0.当a>0时，f(x1)f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)，函数yf(x)在(1，)上单调递增同理当a<0时，f(x1)f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，函数yf(x)在(1，)上单调递减法二：导数法1.判断函数的单调性应先求定义域；2.用定义法判断(或证明)函数单调性的一般步骤为： 取值作差变形判号定论， 其中变形为关键，而变形的方法有因式分解、配方法等；3.用导数判断函数的单调性简单快捷，应引起足够的重视（二）求复合函数、分段函数的单调性区间例1 求函数yx|1x|的单调增区间 yx|1x|作出该函数的图象如图所示由图象可知，该函数的单调增区间是(，1例2. 求函数ylog (x24x3)的单调区间解析:令ux24x3，原函数可以看作ylogu与ux24x3的复合函数令ux24x3>0.则x<1或x>3.函数ylog (x24x3)的定义域为 (，1)(3，)又ux24x3的图象的对称轴为x2，且开口向上，ux24x3在(，1)上是减函数，在(3，)上是增函数而函数ylogu在(0，)上是减函数，ylog (x24x3)的单调递减区间为(3，)，单调递增区间为(，1)注意： 求函数的单调区间的常用方法(1)利用已知函数的单调性， 即转化为已知函数的和、差或复合函数，求单调区间(2)定义法：先求定义域，再利用单调性定义(3)图象法：如果f(x)是以图象形式给出的，或者f(x)的 图象易作出，可由图象的直观性写出它的单调区间(4)导数法：利用导数的正负确定函数的单调区间例2.（2）(补充)答案：增区间：；减区间：练习:答案：增区间：；减区间：（三）利用单调性解（证）不等式及比较大小已知函数f(x)log2x，若x1(1,2)，x2(2，)，则()Af(x1)<0，f(x2)<0 Bf(x1)<0，f(x2)>0Cf(x1)>0，f(x2)<0 Df(x1)>0，f(x2)>0【规范解答】函数f(x)log2x在(1，)上为增函数，且f(2)0，当x1(1,2)时，f(x1)<f(2)0，当x2(2，)时，f(x2)>f(2)0，即f(x1)<0，f(x2)>0.例1.（2）已知函数f(x)则不等式f(a24)>f(3a)的解集为()A(2,6) B(1,4) C(1,4) D(3,5)【规范解答】作出函数f(x)的图象，如图所示，则函数f(x)在R上是单调递减的由f(a24)>f(3a)，可得a24<3a，整理得a23a4<0，即(a1)(a4)<0，解得1<a<4，所以不等式的解集为(1,4) 注意:本例分段函数的单调区间可以并!（四）已知单调性求参数的值或取值范围例1.已知函数满足对任意的实数x1x2，都有成立，则实数a的取值范围为()A(，2) B. C(，2 D.【规范解答】函数f(x)是R上的减函数，于是有由此解得a，即实数a的取值范围是.例2.(1) （补充）如果函数f(x)ax22x3在区间(，4)上单调递增，则实数a的取值范围是_答案，0解析(1)当a0时，f(x)2x3，在定义域R上单调递增，故在(，4)上单调递增；(2)当a0时，二次函数f(x)的对称轴为直线x，因为f(x)在(，4)上单调递增，所以a<0，且4，解得a<0.综上所述a0. 例2.(2) （补充）若f(x)x36ax的单调递减区间是(2,2)，则a的取值范围是( )A(，0B2,2 C2 D2，)答案C解析f (x)3x26a，若a0，则f (x)0，f(x)单调增，排除A；若a>0，则由f (x)0得x±，当x<和x>时，f (x)>0，f(x)单调增，当<x<时，f(x)单调减，f(x)的单调减区间为(，)，从而2，a2.变式：若f(x)x36ax在区间(2,2)单调递减， 则a的取值范围是？点评f(x)的单调递减区间是(2,2)和f(x)在(2，2)上单调递减是不同的，应加以区分本例亦可用x±2是方程f (x)3x26a0的两根 解得a2.例2.(3) （补充）若函数上单调递减，则实数的取值范围是（ ）A9，12 B4，12 C4，27 D9，27答案：A温故知新P23 第9题若函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是 8、设函数在区间上是增函数,那么的取值范围是 答案: 10、设函数（2）若且在区间内单调递减,求的取值范围.答案: （五）抽象函数的单调性例1.（补充）已知f(x)为R上的减函数，那么满足f(|)<f(1)的实数x的取值范围是( )A(1,1) B(0,1)C(1,0)(0,1) D(，1)(1，)答案：C解析：因为f(x)为减函数，f(|)<f(1)，所以|>1，则|x|<1且x0，即x(1,0)(0,1)练习：是定义在上的增函数， 解不等式答案：注意： 解抽象函数的不等式通常立足单调性定义或借助图像求解例2.函数的定义域为，且对一切都有，当时，有。（1） 求的值；（2） 判断的单调性并加以证明；（3） 若，求在上的值域.答案:单调增; 注意：有关抽象函数单调性的证明通常立足定义练习: 函数的定义域为，且对一切都有，当时，有.(1)求证: 在上是减函数；(2)求在上的最大值与最小值.答案: 专心-专注-专业