专题15 以导数为背景的应用题(原卷版).docx

专题15 以导数为背景的应用题1、【2018年高考江苏】某农场有一块农田，如图所示，它的边界由圆O的一段圆弧（P为此圆弧的中点）和线段MN构成已知圆O的半径为40米，点P到MN的距离为50米现规划在此农田上修建两个温室大棚，大棚内的地块形状为矩形ABCD，大棚内的地块形状为，要求均在线段上，均在圆弧上设OC与MN所成的角为（1）用分别表示矩形和的面积，并确定的取值范围；（2）若大棚内种植甲种蔬菜，大棚内种植乙种蔬菜，且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为求当为何值时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大2、【2016年高考江苏】现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部分的形状是正四棱锥P-A1B1C1D1，下部分的形状是正四棱柱ABCD-A1B1C1D1（如图所示），并要求正四棱柱的高OO1是正四棱锥的高PO1的4倍.（1）若AB=6m,PO1=2m,则仓库的容积是多少？（2）若正四棱锥的侧棱长为6m，则当PO1为多少时，仓库的容积最大？3、【2015年高考江苏】某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，计划修建一条连接两条公路的山区边界的直线型公路，记两条相互垂直的公路为，山区边界曲线为C，计划修建的公路为l，如图所示，M，N为C的两个端点，测得点M到的距离分别为5千米和40千米，点N到的距离分别为20千米和2.5千米，以所在的直线分别为x，y轴，建立平面直角坐标系xOy，假设曲线C符合函数（其中a，b为常数）模型.（1）求a，b的值；（2）设公路l与曲线C相切于P点，P的横坐标为t.请写出公路l长度的函数解析式，并写出其定义域；当t为何值时，公路l的长度最短？求出最短长度.4、【2011年高考江苏】请你设计一个包装盒，如图所示，ABCD是边长为60cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E、F在AB上是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE=FB=xcm2（1）若广告商要求包装盒侧面积S（cm）最大，试问x应取何值？（2）若广告商要求包装盒容积V（cm）最大，试问x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值。5、【2014年全国1】为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层。某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元。该建筑物每年的能源消耗费用C（单位：万元）与隔热层厚度x（单位：cm）满足关系：C（x）=若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元。设f（x）为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和。（）求k的值及f(x)的表达式。（）隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小，并求最小值。 一、解函数应用问题的步骤(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型；(2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；(3)解模：求解数学模型，得出数学结论；(4)还原：将数学问题还原为实际问题的意义.以上过程用框图表示如下：二、在求实际问题中的最大值或最小值时，一般先设自变量、因变量、建立函数关系式，并确定其定义域，利用求函数最值的方法求解，注意结果应与实际情况相符合.用导数求解实际问题中的最大(小)值，如果函数在区间内只有一个极值点，那么根据实际意义该极值点就是最值点.题型一、含字母有关的应用题题目中含有给出函数的解析式，但是解析式中含有字母，这种题型往往是考查的分段函数，解决此题的关键就是通过分段的衔接处得到对于的函数值，进而求出河南省的解析式。例1、(2018年苏北四市一模）某经销商计划销售一款新型的空气净化器，经市场调研发现以下规律：当每台净化器的利润为x(单位：元，x>0)时，销售量q(x)(单位：百台)与x的关系满足：若x不超过20，则q(x)；若x大于或等于180，则销售量为零；当20x180时，q(x)ab(a，b为实常数)(1) 求函数q(x)的表达式；(2) 当x为多少时，总利润(单位：元)取得最大值，并求出该最大值例2、(2019南京、盐城一模）盐城市政府响应习总书记在十九大报告中提出的“绿水青山就是金山银山”，对环境进行了大力整治，目前盐城市的空气质量位列全国前十，吸引了大量的外地游客某旅行社组织了一个旅游团于近期来到了黄海国家森林公园，数据显示，近期公园中每天空气质量指数近似满足函数f(x)mlnxx6(4x22，mR)，其中x为每天的时刻，若凌晨6点时，测得空气质量指数为29.6.(1) 求实数m的值；(2) 求近期每天时段空气质量指数最高的时刻(参考数值：ln61.8)题型二、几何或者几何体有关的应用题以几何为载体的应用题常见与圆、扇形等特色的图形，此类问题的关键是把各个线段表示出来，进二列出函数的解析式，与几何体有关的导数问题，常常涉及到表面积与体积的问题，解题关键就是通过引入参数表示表面积或者体积，然后运用导数进行求解。例3、如图是某设计师设计的Y型饰品的平面图，其中支架OA，OB，OC两两成120°，OC1，ABOBOC，且OA>OB.现设计师在支架OB上装点普通珠宝，普通珠宝的价值为M，且M与OB长成正比，比例系数为k(k为正常数)；在AOC区域(阴影区域)内镶嵌名贵珠宝，名贵珠宝的价值为N，且N与AOC的面积成正比，比例系数为4k.设OAx，OBy.(1) 求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围；(2) 求NM的最大值及相应的x的值例4、一栋新农村别墅，它由上部屋顶和下部主体两部分组成如图，屋顶由四坡屋面构成，其中前后两坡屋面ABFE和CDEF是全等的等腰梯形，左右两坡屋面EAD和FBC是全等的三角形点F在平面ABCD和BC上的射影分别为H，M.已知HM5 m，BC10 m，梯形ABFE的面积是FBC面积的2.2倍设FMH.(1) 求屋顶面积S关于的函数关系式；(2) 已知上部屋顶造价与屋顶面积成正比，比例系数为k(k为正的常数)，下部主体造价与其高度成正比，比例系数为16k.现欲造一栋上、下总高度为6 m的别墅，试问：当为何值时，总造价最低？,)题型三、与利润有关的应用题与利润有关的问题关键是要认真审题，只有在审题的基础上才可以正确列出函数的解析式，要特别注意函数的定义域和单位的统一。例5、（江苏省泰州中学、江都中学、宜兴中学2020届高三10月月考数学试题）某同学大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业，经过市场调 查，生产一小型电子产品需投入固定成本2万元，每生产万件，需另投入流动成本万元，当年产量小于7万件时，（万元）：当年产量不小于7万件时，（万元）.己知每件产品售价为6元，若该同学生产的产品当年全部售完.（1）写出年利润（万元）关于年产量（万件）的函数解析式；（注；年利润=年销售收人-固定成本-流动成本（2）当年产量约为多少万件时，该同学的这一产品所获年利润最大？最大年利润是多少？（取例6、某辆汽车以x km/h的速度在高速公路上匀速行驶(考虑到高速公路行车安全要求60x120)时，每小时的油耗(所需要的汽油量)为 L，其中k为常数，且60k100.(1) 若汽车以120 km/h的速度行驶时，每小时的油耗为11.5 L，欲使每小时的油耗不超过9 L，求x的取值范围；(2) 求该汽车行驶100 km的油耗的最小值例7、(2017南通、扬州、泰州、淮安三调）如图，半圆AOB是某爱国主义教育基地一景点的平面示意图，半径OA的长为1百米为了保护景点，基地管理部门从道路l上选取一点C，修建参观线路C-D-E-F，且CD，DE，EF均与半圆相切，四边形CDEF是等腰梯形设DEt百米，记修建每1百米参观线路的费用为万元，经测算（1）用表示线段的长；（2）求修建该参观线路的最低费用.OACBDlEF（第18题）1、已知照度与光的强度成正比，与光源距离的平方成反比.现有强度分别为8，1的两个光源A，B间的距离为3，线段上有一点受光源的照度之和为总照度，则AP= 时，总照度最小. 2、如图1所示，某地打算在一块长方形地块上修建一个植物园（ABCDEF围成的封闭区域），其中AB长12百米，BC长4百米，百米，AF长0.5百米，DEF是一段曲线形公路该植物园的核心区为等腰直角三角形MPQ所示区域，且，植物园大门位于公路DEF上的M处，音乐广场P位于AB的中点处，为了能够让游客更好地观赏园中的景观，现决定修建一条观光栈道，起点位于距离音乐广场P处2百米的O点所示位置，终点位于美食广场Q处如图2所示，建立平面直角坐标系，若满足（1）求的解析式；（2）求观光栈道OQ的长度的最小值3、近年来，我国多地区遭遇了雾霾天气，引起口罩热销某品牌口罩原来每只成本为6元，售价为8元，月销售5万只(1)据市场调查，若售价每提高0.5元，月销售量将相应减少0.2万只，要使月总利润不低于原来的月总利润(月总利润月销售总收入月总成本)，该口罩每只售价最多为多少元？(2)为提高月总利润，厂家决定下月进行营销策略改革，计划每只售价x(x9)元，并投入(x9)万元作为营销策略改革费用据市场调查，每只售价每提高0.5元，月销售量将相应减少万只，则当每只售价x为多少时，下月的月总利润最大？并求出下月最大总利润4、如图，ABCD是正方形空地，边长为30m，电源在点P处，点P到边AD，AB距离分别为m，m某广告公司计划在此空地上竖一块长方形液晶广告屏幕，线段MN必须过点P，端点M，N分别在边AD，AB上，设AN=x（m），液晶广告屏幕MNEF的面积为S(m2)(1) 用x的代数式表示AM；（2）求S关于x的函数关系式及该函数的定义 域；（3）当x取何值时，液晶广告屏幕MNEF的面积S最小？ 5、(2018苏锡常镇调研（二）下图（I）是一斜拉桥的航拍图，为了分析大桥的承重情况，研究小组将其抽象成图（II）所示的数学模型索塔，与桥面均垂直，通过测量知两索塔的高度均为60m，桥面上一点到索塔，距离之比为，且对两塔顶的视角为（1）求两索塔之间桥面的长度；（2）研究表明索塔对桥面上某处的“承重强度”与多种因素有关，可简单抽象为：某索塔对桥面上某处的“承重强度”与索塔的高度成正比（比例系数为正数），且与该处到索塔的距离的平方成反比（比例系数为正数）问两索塔对桥面何处的“承重强度”之和最小？并求出最小值PDCBA 6、(2018南京、盐城一模）有一矩形硬纸板材料(厚度忽略不计)，一边AB长为6分米，另一边足够长现从中截取矩形ABCD(如图甲所示)，再剪去图中阴影部分，用剩下的部分恰好能折卷成一个底面是弓形的柱体包装盒(如图乙所示，重叠部分忽略不计)，其中OEMF是以O为圆心、EOF120°的扇形，且弧，分别与边BC，AD相切于点M，N.(1) 当BE长为1分米时，求折卷成的包装盒的容积；(2) 当BE的长是多少分米时，折卷成的包装盒的容积最大？,甲),乙) 7、(2018苏州暑假测试）某公司设计如图所示的环状绿化景观带，该景观带的内圈由两条平行线段(图中的AB，DC)和两个半圆构成，设ABx m，且x80.(1) 若内圈周长为400 m，则x取何值时，矩形ABCD的面积最大？(2) 若景观带的内圈所围成区域的面积为 m2，则x取何值时，内圈周长最小？8、(2017苏北四市期末）如图，已知A，B两镇分别位于东西湖岸MN的A处和湖中小岛的B处，点C在A的正西方向1 km处，tanBAN，BCN.现计划铺设一条电缆连通A，B两镇，有两种铺设方案：沿线段AB在水下铺设；在湖岸MN上选一点P，先沿线段AP在地下铺设，再沿线段PB在水下铺设，预算地下、水下的电缆铺设费用分别为2万元/km、4万元/km.(1) 求A，B两镇间的距离；(2) 应该如何铺设，使总铺设费用最低？9、(2016苏北四市期末）如图，OA是南北方向的一条公路，OB是北偏东45°方向的一条公路，某风景区的一段边界为曲线C.为方便游客观光，拟过曲线C上某点P分别修建与公路OA，OB垂直的两条道路PM，PN，且PM，PN的造价分别为5万元/百米、40万元/百米建立如图所示的平面直角坐标系xOy，则曲线C符合函数yx(1x9)模型，设PMx，修建两条道路PM，PN的总造价为f(x)万元题中所涉及长度单位均为百米(1) 求f(x)的解析式；(2) 当x为多少时，总造价f(x)最低？并求出最低造价