专题08圆锥曲线中的最值的问题（解析版）.docx

专题08 圆锥曲线中的最值的问题一、题型选讲题型一 与线段有关的最值问题与线段有关的最值问题关键是建立关于线段的目标函数，然后运用基本不等式或者函数有关的问题，运用基本不等式或者函数求解。线段的长度可以通过两点间的距离或者利用相交弦长公式进行求解。例1、(2019宿迁期末）如图所示，椭圆M：1(a>b>0)的离心率为，右准线方程为x4，过点P(0，4)作关于y轴对称的两条直线l1，l2，且l1与椭圆交于不同两点A，B，l2与椭圆交于不同两点D，C.(1) 求椭圆M的方程；(2) 证明：直线AC与直线BD交于点Q(0，1)；(3) 求线段AC长的取值范围 对于(2)，要求证明交于一点Q(0，1)，角度一：根据图形的对称性可设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则D(x1，y1)，C(x2，y2)，再设l1方程为ykx4，则可由一元二次方程根与系数的关系判断出点B，D，Q三点共线，同理有点A，C，Q三点共线，这个角度的逻辑是借助了给出的定点(0，1)，然后验证，有些不严谨；角度二：直接求直线AC和直线BD的方程，联立求解坐标，这个方法是逻辑严谨的首选，不过计算量稍大对于(3)，可由两点间的距离公式表示出AC的长度，将表达式的关于x1，x2的结构用含有k的式子代换掉，回归一元变量，求解最值，可直接求导. 但是解析几何中的最值，直接求导，暴力求解最值的较少，更多的是化简函数表达式，根据结构采用基本不等式(无法取等的时候就求导来解决)来求解最终的最值(或者值域)，必然要有定义域，所以寻找函数的定义域是非常重要的，而解析几何中直线和曲线联立(曲直联立)以后的关于x(或者y)的一元二次方程有解，判别式就是很重要的一个点，也就是定义域的一个重要来源，有些题目甚至是唯一来源规范解答 (1)由得a2，c2，所以b2a2c24，所以椭圆M的方程为1.(4分)(2)解法1 设直线l1：ykx4，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则由对称性可知D(x1，y1)，C(x2，y2)联立消去y得(12k2)x216kx240, 所以x1x2，x1·x2.(6分)又kBQ，kDQ， 则kBQkDQ2k2k2k2k0，(8分)知kBQkDQ，故点B，D，Q三点共线，即直线BD经过点Q(0，1)同理可得直线AC经过点Q(0，1)所以直线AC与直线BD交于点Q(0，1)(10分)解法2 设直线l1：ykx4，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则由对称性可知D(x1，y1)，C(x2，y2)，且k.联立削去y得(12k2)x216kx240，(16k)24(12k2)·2464k296>0.所以x1x2，x1·x2.(6分)直线AC的方程为y(xx1)y1(xx1)kx14.直线BD的方程为y(xx2)y2(xx2)kx24.联立直线AC和直线BD的方程并化简得k(x1x2)，即1，即11，解得x0.在直线AC的方程中，令x0，得y(x1)kx14(x1)kx144.将x1x2，x1·x2代入计算得y44341.同理可得，在直线BD的方程中，令x0，得y44341.故直线AC与直线BD交于点Q(0，1)(3)由(2)可知AC2(x1x2)2(y1y2)2(x1x2)2k2(x1x2)2(x1x2)2k2k216×16.(12分)令t6k21，则k2.又由162k24×24×(12k2)>0得k2>，所以t>8，所以AC21616(116(1)(14分)因为1>0在t(8，)上恒成立，所以t8在t(8，)上单调递增，所以t8>18, 0<<，1<1<.所以16<AC2<24，4<AC<2，所以线段AC长的取值范围是(4，3)(16分)例2、（2016南京、盐城一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，设点M(x0，y0)是椭圆C：y21上的一点，从原点O向圆M：(xx0)2(yy0)2r2作两条切线分别与椭圆C交于点P，Q，直线OP，OQ的斜率分别记为k1，k2.(1) 若圆M与x轴相切于椭圆C的右焦点，求圆M的方程；(2) 若r.求证：k1k2；求OP·OQ的最大值 思路分析1 第(2)问，注意到直线OP，OQ与圆相切，因此，利用圆心到直线的距离等于半径可得到k1，k2与x0，y0的关系，利用点(x0，y0)在椭圆上，来求出k1k2的值由直线OP，OQ与椭圆相交，求出交点的坐标，进而将OP·OQ表示为k1，k2的代数式，根据k1k2，消去k1(或k2)后，得到关于k2(或k1)的函数，利用基本不等式或函数求最值的方法，求出OP·OQ的最大值思路分析2 对于第(2)问的第小题，由点P，Q在椭圆上以及k1k2，将OP，OQ表示为点P，Q的横坐标的形式，然后来求它的最值规范解答 (1) 因为椭圆C右焦点的坐标为(，0)，所以圆心M的坐标为，±，(2分)从而圆M的方程为(x)2y±2.(4分)(2) 因为圆M与直线OP：yk1x相切，所以，即(45x)k10x0y0k145y0，(6分)同理，有(45x)k10x0y0k245y0，所以k1，k2是方程(45x)k210x0y0k45y0的两根，(8分)从而k1k2.(10分)解法1 设点P(x1，y1)，Q(x2，y2)，联立解得x，y，(12分)同理，x，y，所以OP2·OQ2·.由可知，k1k2，所以原式··(14分)， 当且仅当k1±时取等号. 所以OP·OQ的最大值为. (16分)解法2 设点P(x1，y1)，Q(x2，y2)，由知k1k2，得，16yyxx.(*)因为y1，y1代入(*)，整理得xx4.(12分)所以OP2·OQ2(xy)·(xy)11(14分)2，当且仅当x1x2±时取等号，所以OP·OQ的最大值为.(16分)题型二 与面积有关的最值问题与面积有关的最值问题通常建立起面积的目标函数，可以通过公式求解。然后通过基本不等式或者求导研究函数的最值问题。例3、(2019无锡期末）在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 C：1(a>b>0)的离心率为，且过点，点P在第四象限， A为左顶点， B为上顶点， PA交y轴于点C，PB交x轴于点D.(1) 求椭圆 C 的标准方程；(2) 求 PCD 面积的最大值 (1) 由题意得：得a24，b21，(4分)故椭圆C的标准方程为：y21.(5分)(2) 由题意设lAP：yk(x2)，<k<0，所以C(0，2k)，由消y得(14k2)x216k2x16k240，所以xAxP，由xA2得xP，故yPk(xP2)，所以P，(8分)设D(x0，0)，因B(0，1)，P，B，D三点共，所以kBDkPB，故，解得x0，得D，(10分)所以SPCDSPADSCAD×AD×|yPyC|，(12分)因为<k<0，所以SPCD22×，令t12k，1<t<2，所以2k1t，所以g(t)22221，(14分)当且仅当t时取等号，此时k，所以PCD面积的最大值为1.(16分)题型三 与向量有关的最值问题与向量有关的最值问题关键就是表示出点坐标，通过数量积转化为函数问题，然后运用基本不等式或者求导研究最值。例4、(2018苏州暑假测试）如图，已知椭圆O：y21的右焦点为F，点B，C分别是椭圆O的上、下顶点，点P是直线l：y2上的一个动点(与y轴的交点除外)，直线PC交椭圆于另一个点M.(1) 当直线PM经过椭圆的右焦点F时，求FBM的面积；(2) 记直线BM，BP的斜率分别为k1，k2，求证：k1k2为定值；求·的取值范围 第(2)问中有两个动点，点M和点P，思路1，把点P作为主动点，点M作为被动点，故可设P(m，2)，且m0，进而求出点M坐标，表示出k1，k2和·后运算即可；思路2，把点M作为主动点，点P作为被动点，故可设M(x0，y0)(x00)，进而求出点P坐标，表示出k1，k2和·后运算即可规范解答 (1) 由题意B(0，1)，C(0，1)，焦点F(，0)，当直线PM过椭圆的右焦点F时，则直线PM的方程为1，即yx1，联立解得或(舍)，即M.(2分)连结BF，则直线BF：1，即xy0，而BFa2，点M到直线BF的距离为d.故SMBF·BF·d×2×.(4分)(2) 解法1(点P为主动点) 设P(m，2)，且m0，则直线PM的斜率为k，则直线PM的方程为yx1，联立化简得x2x0，解得M，(6分)所以k1m，k2，(8分)所以k1·k2·m为定值(10分)由知，(m，3)，(m，2)，所以·(m，3)·，(12分)令m24t>4，故·t7，(14分)因为yt7在t(4，)上单调递增，所以·t7>479，即·的取值范围为(9，)(16分)解法2(点M为主动点) 设点M(x0，y0)(x00)，则直线PM的方程为yx1，令y2，得P.(6分)所以k1，k2，(8分)所以k1·k2·(定值)(10分)由知，(12分)所以·3(y02)3(y02)3(y02).(14分)令ty01(0，2)，则·t7，因为yt7在t(0，2)上单调递减，所以·t7>279，即·的取值范围为(9，)(16分)题型四 与坐标或参数有关的最值问题与坐标或参数有关的最值问题关键是建立目标函数，然后运用基本不等式或者求导或者通过简单的函数问题进行求解。例5、(2019泰州期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：1(a>b>0)的左顶点为A，点B是椭圆C上异于左、右顶点的任一点，P是AB的中点，过点B且与AB垂直的直线与直线OP交于点Q.已知椭圆C的离心率为，点A到右准线的距离为6.(1) 求椭圆C的标准方程；(2) 设点Q的横坐标为x0，求x0的取值范围 (1)根据题意，建立关于a，c的方程组，求出a，c的值，进而确定b的值，得到椭圆的s标准方程(2)设出点B的坐标为(m，n)，用m，n表示x0，然后再减元转化为关于m的一元函数求求其值域也可以设出直线AB的方程，并与椭圆方程联立，结合根与系数的关系，得到点B和P的坐标，进而求得直线BQ和PQ的方程，由两直线方程联立求得交点Q的横坐标x0，根据函数的值域求得x0的取值范围规范解答 (1) 由题意得，a6，解得a2，c1，所以b，所以椭圆C的标准方程为1.(4分)(2) 解法1设B(m，n)，则1.因为A(2，0)，ABBQ，所以直线BQ的方程为y(xm)n，因为P是AB的中点，所以P(，)，所以直线OP的方程为yx，联立直线BQ，OP的方程得(xm)nx，(8分)解得x0，由1得n2(m24)，代入上式化简得x0m6，(14分)因为2<m<2，所以4<x0<8.(16分)解法2 设直线AB的方程为yk(x2)，k0.将yk(x2)代入椭圆方程1得(4k23)x216k2x16k2120，解得xB，所以yBk，则直线BQ的方程为y(x)，因为P是AB的中点，则xP，yPyB，所以直线OP的斜率为，则直线OP的方程为yx，(8分)联立直OP，BQ的方程得x04，(14分)因为4k23>3，所以0<<4，4<4<8，即4<x0<8.(16分) 直线和椭圆相交求范围(最值)问题，第(2)问解法1设出关键点B的坐标(m，n)，建立关于点中参数m，n的目标函数，进一步转化为函数法或不等式法来解决；解法2通常设出直线的方程，并与椭圆方程联立，进而转化关于x或y的一元二次方程，通过根与系数关系，运用设而不求的思想，得到点的坐标，建立关于线中参数m的目标函数，进一步转化为函数法或不等式法来解决. 这两种解法都较常见. 解法1参量多一点，但运用得当，也很方便，这里解法1在建立目标函数后就显得很简单，解法2参量少目标集中例6、(2019扬州期末）在平面直角坐标系中，椭圆M：1(ab0)的离心率为，左、右顶点分別为A，B，线段AB的长为4.P在椭圆M上且位于第一象限，过点A，B分别作l1PA，l2PB，直线l1，l2交于点C.(1) 若点C的横坐标为1，求点P的坐标；(2) 若直线l1与椭圆M的另一交点为Q，且，求的取值范围规范解答 由题意得解得所以b2a2c23，所以椭圆M的方程是1且A(2，0)，B(2，0)(3分)解法1(点参数法) (1)设P(x0，y0)，kPA，因为l1PA，所以直线AC的方程为y(x2)同理直线BC的方程为y(x2)联立方程组解得.又因为点P(x0，y0)在椭圆上，故1，所以y0，所以点C的坐标为.(6分)因为点C的横坐标为1，所以x01.又因为P为椭圆M上第一象限内一点，所以y0，所以点P的坐标为.(8分)(2)解法1 设Q(xQ，yQ)，因为，所以解得 因为点Q在椭圆M上，所以1.又y3，整理得7x36(1)x0721000，解得x02或x0.(14分)因为P为椭圆M上第一象限内一点 所以0<<2，解得<<，故的取值范围是.(16分)解法2 P为椭圆M上第一象限内由(1)可知直线AC的斜率为k，直线AC的方程为yk(x2)，联方方程组得(4k23)x216k2x16k2120，所以xAxQ(2)xQ，故xQ，故.因为0<x0<2，所以.解法2(线参数法) (1) 设直线AP的斜率为k，P(x0，y0)因为P为椭圆M上第一象限内一点，所以0<k<，所以kAP·kBP·，所以直线BP的斜率为.故直线AP，BP的方程分别为yk(x2)，y(x2)联立方程组解得即P.因为l1PA，所以kAC，则直线AC的方程为y(x2)因为l2PB，所以kBCk，则直线BC的方程为yk(x2)联立言程组得即C.(6分)因为点C的横坐标为1，所以1，解得k±.因为0<k<，所以k，所以点P的坐标为.(8分)(2)设Q(xQ，yQ)，C(xC，yC)，又直线AC的方程为y(x2)联立方程组得(3k24)x216x1612k20，所以2·xQ，解得xQ.因为，所以1.(14分)因为0<k<，所以.(16分) 解析几何题的解题思路一般很容易觅得，实际操作时，往往不是因为难于实施，就是因为实施起来运算繁琐而被卡住，最终放弃此解法，因此方法的选择特别重要从思想方法层面讲，解析几何主要有两种方法：一是设线法；二是设点法此题的两种解法分属于设点法和设线法一般地，设线法是比较顺应题意的一种解法，它的参变量较少，目标集中，思路明确；而设点法要用好点在曲线上的条件，技巧性较强，但运用得好，解题过程往往会显得很简捷解析几何大题肩负着对计算能力考查的重任，所以必要的计算量是少不了的，不要一遇到稍微有一点计算量的题目就想放弃，坚持到底才是胜利二、达标训练1、(2018无锡期末） 已知双曲线C：1(a>0，b>0)与椭圆1的焦点重合，离心率互为倒数，设F1，F2分别为双曲线C的左、右焦点，P为右支上任意一点，则的最小值为_【答案】 8【解析】设椭圆的长半轴长为a1，短半轴长为b1，半焦距为c，则c2，故椭圆的离心率e1，从而双曲线的离心率e2，可得a1，根据双曲线的定义有PF1PF22a，即PF1PF22，故PF24，由双曲线的范围可得PF2ca1，根据基本不等式可得PF24248，当且仅当PF2，即PF22时取“”，所以的最小值为8.2、(2017镇江期末）已知椭圆C：1(ab0)的离心率为，且点在椭圆C上(1) 求椭圆C的标准方程；(2) 若直线l交椭圆C于P，Q两点，线段PQ的中点为H，O为坐标原点，且OH1，求POQ面积的最大值 思路分析 第2问，处理本题有两处需要思考一下：一是“线段PQ的中点为H”的刻画方式，另一个是POQ面积的表示形式由于OH1，所以直线PQ的斜率不能为0，但斜率不存在情形符合题意，故直线PQ的方程可设为xmyn，中点H用中点公式刻画，此时POQ面积可用割补法表示，即SPOQSPODSQOD.规范解答 (1) 由已知得，1, 解得a24，b21，(2分)所以椭圆C的方程是y21.(4分)(2) 设l与x轴的交点为D(n,0)，直线l：xmyn，与椭圆交点为P(x1，y1)，Q(x2，y2)联立得(4m2)y22mnyn240，所以，y1y2，所以，即H，.(6分)由OH1，得221，即n2，(10分)则SPOQOD|y1y2|n|y1y2|.令Tn2(y1y2)2n2(y1y2)24y1y212×16×.(12分)设t4m2(t4)，则，(14分)当且仅当t，即t12时，(SPOQ)max1.(15分)所以POQ面积的最大值为1.(16分)3、(2017苏北四市期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：1(ab0)的离心率为，且右焦点F到左准线的距离为6.(1) 求椭圆C的标准方程；(2) 设A为椭圆C的左顶点，P为椭圆C上位于x轴上方的点，直线PA交y轴于点M，过点F作MF的垂线，交y轴于点N.当直线PA的斜率为时，求FMN的外接圆的方程；设直线AN交椭圆C于另一点Q，求APQ的面积的最大值 规范解答 (1) 由题意，得解得则b2，所以椭圆C的标准方程为1.(4分)(2) 由题可设直线PA的方程为yk(x4)，k0，则M(0,4k)，所以直线FN的方程为y(x2)，则N.当直线PA的斜率为，即k时，M(0,2)，N(0，4)，F(2，0)因为MFFN，所以圆心为(0，1)，半径为3，所以FMN的外接圆的方程为x2(y1)29.(8分)联立消去y并整理得，(12k2)x216k2x32k2160，解得x14或x2，所以P，(10分)直线AN的方程为y(x4)，同理可得，Q，所以P，Q关于原点对称，即PQ过原点所以APQ的面积SOA·(yPyQ)2×8，(14分)当且仅当2k，即k时，取“”所以APQ的面积的最大值为8.(16分)4、(2016南通、扬州、泰州、淮安三调）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆1(a>b>0)的离心率为，长轴长为4，过椭圆的左顶点A作直线l，分别交椭圆和圆x2y2a2于相异两点P，Q.(1) 若直线l的斜率为，求的值；(2) 若，求实数的取值范围 第(1)问，首先根据条件求出椭圆的方程，由于点P是直线l与椭圆的交点，所以由直线方程与椭圆的方程联立成方程组，求出点P的坐标，进而求出AP的长度而AQ为圆的弦，所以求出圆心到直线l的距离d，就可求出AQ的长度，进而得到的值；或者，注意到等于点P，Q的纵坐标之比，故由直线l的方程与椭圆、圆的方程联立成方程组，求出交点的纵坐标即可；第(2)问，注意到，两个向量同向共线，所以.根据(1)的分析，方法一，由1可知，只需求出点P，Q的纵坐标则可，从而就能将表示为k的函数，由此求出它的取值范围；方法二，是将AP，AQ表示为直线l的斜率的形式，从而将表示为k的函数，由此求出它的取值范围规范解答 (1) 由条件知解得所以椭圆的方程为1，圆的方程为x2y24.(3分)解法1 直线l的方程为y(x2)，由消去y得3x24x40.解得xA2，xP，所以P.所以AP.(5分)又因为原点O到直线l的距离为d，所以AQ2，所以.(7分)解法2 由得3y24y0，所以yP.(5分)由消去x得5y28y0，所以yQ.所以×.(7分)(2) 解法1 因为，且，同向，则1，设直线l：yk(x2)，由得(2k21)x28k2x8k240，即(x2)0，所以xA2, xP，得P.所以AP222，即AP.(10分)同理AQ.(12分)所以111.因为k2>0，所以0<<1.(14分)解法2 由消去x得(k21)y24ky0，所以yQ，同理yP，由解法1知，1111.因为k2>0，所以0<<1.(14分) 直线与椭圆相交的问题，最为常用的解法就是将直线方程与椭圆的方程联立成方程组，通过求出交点的坐标，然后再将所要研究的问题转化为交点的坐标来进行研究5、(2016苏州暑假测试）如图，已知椭圆C1：1(a>b>0)的右焦点为 F，上顶点为 A，P为椭圆C1上任一点，MN是圆C2：x2(y3)21的一条直径，在y轴上截距为3的直线l与AF平行且与圆C2相切(1) 求椭圆C1的离心率；(2) 若椭圆C1的短轴长为 8，求·的最大值规范解答 (1) 由题意得F(c,0)，A(0，b)，则kAF.(2分)因为在y轴上截距为3的直线l与AF平行，所以直线l：yx3，即bxcy(3)c0.(4分)因为圆C2的圆心C2(0,3)，半径r1，直线l与圆C2相切，所以1，即1，所以e.(6分)(2) 因为椭圆C1 的短轴长为 8，所以2b8，即b4.因为a2b2c2，1，所以ac,2c2b2c2.(8分)所以cb4，a4，所以椭圆方程是1.(10分)设P(x，y)，则·()·()()2·()·()2·x2(y3)2132(y3)21y26y40(y3)249，又y4,4，所以当y3时，·的最大值是49.(16分)6、(2016苏北四市期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：1(a>b>0)的离心率e，左顶点为A(4,0)，过点A作斜率为k(k0)的直线l交椭圆C于点D，交y轴于点E.(1) 求椭圆C的方程；(2) 已知点P为AD的中点，是否存在定点Q，对于任意的k(k0)都有OPEQ？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由(3) 若过点O作直线l的平行线交椭圆C于点M，求的最小值思路分析 第(1)小题是基本量的计算，属于容易题；第(2)小题需根据题目条件求出点D、点P和点E的坐标运用待定系数法求解；第(3)小题求的最小值，直接求解难度大，需根据OMl将其转化为，再代入坐标借助基本不等式求解规范解答 (1) 因为左顶点为A(4,0)，所以a4，又e，所以c2. (2分)又因为b2a2c212，所以椭圆C的标准方程为1.(4分)(2) 直线l的方程为yk(x4)，由消元得1.化简得(x4)(4k23)x16k212)0，所以x14，x2.(6分)当x时，yk，所以D.因为点P为AD的中点，所以P的坐标为，则kOP(k0). (8分)因为直线l的方程为yk(x4)，令x0，得E点坐标为(0,4k)，假设存在定点Q(m，n)(m0)，使得OPEQ，则kOPkEQ1，即·1恒成立，所以(4m12)k3n0恒成立，所以即因此定点Q的坐标为(3,0)(10分)(3) 因为OMl，所以OM的方程可设为ykx，由得M点的横坐标为x±，(12分)由OMl，得·，(14分)2，当且仅当即k±时取等号，所以当k±时，的最小值为2.(16分)解后反思 圆锥曲线解答题的特点是思路清晰，计算量大，本题也不例外，都需要考生具有扎实的数学基本运算能力，才能适应当前的考试要求，同时本题又有两个特色：第(2)小题的待定系数法求定点坐标，另外有的考题会涉及用待定系数法因式分解求根等；第(3)小题将斜线段的比值转化为水平或竖直线段的比值，这种转化的优点是可以优化数学运算，节约答题时间，请考生认真体会