抽样与抽样分布概论.pptx
4.1.1 总体分布总体分布4.1.2 样本分布样本分布4.1.3 抽样分布抽样分布总体中各单位的观测值所形成的相对频数分布总体中各单位的观测值所形成的相对频数分布 。分布通常是未知的分布通常是未知的可以假定它服从某种分布可以假定它服从某种分布 从总体中抽取一个容量为从总体中抽取一个容量为 的的样本，由这样本，由这 个个观测值观测值 形成形成的相对的相对频数分布，称为样本分布，也频数分布，称为样本分布，也称称经验分经验分布。布。 当样本容量当样本容量n逐渐增大时，样本分布逐渐接近总体的逐渐增大时，样本分布逐渐接近总体的分布分布 样样本本nn计算样本统计量计算样本统计量如：均值、比例如：均值、比例、方差等。、方差等。4.2.1 大数定律大数定律1. 独立同分布大数定律独立同分布大数定律2. 伯努利大数定律伯努利大数定律4.2.2 中心极限定理中心极限定理 设独立设独立随机变量随机变量 服从同一分布，且存服从同一分布，且存在数学期望在数学期望 和方差和方差 ，对于任意给定的，对于任意给定的 有有u个别现象受到偶然因素的影响，对总体的大量观察个别现象受到偶然因素的影响，对总体的大量观察后进行平均，能使偶然因素的影响相互抵消，样本后进行平均，能使偶然因素的影响相互抵消，样本平均数会稳定在附近，为样本平均数估计总体均值平均数会稳定在附近，为样本平均数估计总体均值提供理论依据。提供理论依据。11lim()1niniPxn12,nx xx20在独立试验序列中，在独立试验序列中， 是事件是事件 在在 次试验中发生次试验中发生的次数，的次数， 是事件是事件 发生的概率，对于任意给定的发生的概率，对于任意给定的 有有当多次重复观察某个现象时，该现象发生的频率当多次重复观察某个现象时，该现象发生的频率与该现象发证的概率之间的差距是非常小的，是与该现象发证的概率之间的差距是非常小的，是用频率去代替概率提供理论依据。用频率去代替概率提供理论依据。lim()1nmPpnmAnpA0设总体均值为设总体均值为 ，且存在有限方差，且存在有限方差 ，从中抽取，从中抽取样本容量为样本容量为n n的样本。当样本容量足够大时的样本。当样本容量足够大时（n30），），样本平均数样本平均数 的抽样分布近似地服的抽样分布近似地服从正态分布，这就是著名的从正态分布，这就是著名的中心极限定理中心极限定理。2(,)xNn2x4.3.1 Z4.3.1 Z分布及其特点分布及其特点 4.3.2 t4.3.2 t分布及其特点分布及其特点 4.3.3 4.3.3 分布及其特点分布及其特点4.3.4 F4.3.4 F分布及其特点分布及其特点2当当连续型随机变量连续型随机变量X的密度函数为的密度函数为时，称时，称X服从正态分布服从正态分布 ，有时也称有时也称X为正态随机变量。为正态随机变量。设设 则则Z是一个服从标准正态分布是一个服从标准正态分布 的的连续型连续型随机变量，其随机变量，其密度函数为密度函数为22()21( )()2xf xex XZ(0,1)N221( )()2zf zez 2( ,)N E(z)=0 D(z)=1E(z)=0 D(z)=11 1、z z分布以分布以Y Y轴为中心，左右对称轴为中心，左右对称2 2、服从标准正态分布的随机变量、服从标准正态分布的随机变量Z Z的概率，与一的概率，与一般的正态随机变量原理相同。般的正态随机变量原理相同。标准正态分布标准正态分布概率密度函数图概率密度函数图若随机变量若随机变量 ，随机变量，随机变量 ，且随机变量且随机变量X与与Y相互独立，则随机变量相互独立，则随机变量 服从自由度为服从自由度为 的的t分布，记分布，记为为其密度函数为其密度函数为(0,1)XN2( )Yn/XtY nn( )tt n12212( )(1)( )2nnnxf xxnn E(t)=0 D(t)=n/(n-2) (n2)1 1、t t分布是对称分布，均值为分布是对称分布，均值为0 02 2、当自由度、当自由度n n ，方差极限为，方差极限为1 1t t分布的形状和自由度分布的形状和自由度n n有关系，自由度越小，有关系，自由度越小，t t分布曲分布曲线较为扁平，与标准正态分布差异越大；自由度越大，线较为扁平，与标准正态分布差异越大；自由度越大，t t分布曲线与标准正态分布曲线的差异逐渐缩小。分布曲线与标准正态分布曲线的差异逐渐缩小。图图4-24-2标准正态分布以及各种自由度的标准正态分布以及各种自由度的t t分布的密度函数的曲线分布的密度函数的曲线若随机变量若随机变量 独立且同为独立且同为标准正态分布标准正态分布 ，则，则它们的平方和它们的平方和 服从自由度为服从自由度为n n的的 分布，记分布，记为为 。其其概率密度函数为：概率密度函数为： 21,nXX(0,1)N221niiX2221( )niiXn122210( )2()200nxnxexnf xx E(x)=n D(x)=2nE(x)=n D(x)=2n自由度自由度增大，期望和方差随之增大。增大，期望和方差随之增大。 是一种不对称偏峰分布，值域区间（是一种不对称偏峰分布，值域区间（0 0，+ + ）随自由度增大，曲线的最高点逐渐下移并向右移随自由度增大，曲线的最高点逐渐下移并向右移动，趋于对称。动，趋于对称。22图图4-3 不同自由度的不同自由度的 分布分布2若随机变量若随机变量 、 相互独立，且分别服从自由度为相互独立，且分别服从自由度为 、 的的 分布，则随机变量分布，则随机变量 服从第一自由度为服从第一自由度为 ，第二自由度，第二自由度为为 的的F F分布，记分布，记为为其密度函数为：其密度函数为：XY1n2n212/XnFYn1n2n12( ,)FF n n1112121112221222()2()(1)0( )() ()2200nnnnnnnnxxxnnf xnnx E(F)=nE(F)=n2/( /(n2-2) D(F)=2n) D(F)=2n22(n(n1+n+n2-2)/n-2)/n1(n(n2-2)-2)2(n(n2-4)-4)非对称的正偏分布，值域非对称的正偏分布，值域（0 0，+ + ）F F分布的极限是正态分布，随第一自由度分布的极限是正态分布，随第一自由度n n1 1的增大，的增大，分布曲线逐渐趋于对称，随两个自由度的增大，分布曲线逐渐趋于对称，随两个自由度的增大，分布曲线逐渐趋于正态分布。分布曲线逐渐趋于正态分布。F(2,50)F(4,100)F(8,200)0.2.4.6.81012345xF_2_50F_4_100F_8_200图图4-4 4-4 不同自由度的不同自由度的F F分布分布4.4.1 样本均值的抽样分布样本均值的抽样分布 4.4.2 样本比率的抽样分布样本比率的抽样分布 在重复选取容量为在重复选取容量为n的样本时，由样本均值的所有的样本时，由样本均值的所有可能取值形成的相对可能取值形成的相对频数分布，一频数分布，一种理论种理论概率分概率分布。布。推断总体均值推断总体均值 的理论基础的理论基础【例例4-1】设一个总体，含有设一个总体，含有4个元素个元素(个体个体) ，即总体，即总体单位数单位数N=4。4 个个体分别为个个体分别为X1=1，X2=2，X3=3，X4=4 。从总体中采取重复抽样方法抽取容量为。从总体中采取重复抽样方法抽取容量为2的随的随机样本，写出样本均值的抽样分布。机样本，写出样本均值的抽样分布。 总体分布总体分布均值和方差均值和方差现从总体中抽取现从总体中抽取n2的简单随机样本，在重复抽的简单随机样本，在重复抽样条件下，共有样条件下，共有42=16个样本。所有样本的结果为个样本。所有样本的结果为3,43,33,23,132,42,32,22,124,44,34,24,141,441,33211,21,11第二个观察值第二个观察值第一个第一个观察值观察值所有可能的所有可能的n = 2 的样本（共的样本（共16个）个）计算出各样本的均值，如下表。并给出样本均值计算出各样本的均值，如下表。并给出样本均值的抽样分布的抽样分布3.53.53.03.02.52.52.02.03 33.03.02.52.52.02.01.51.52 24.04.03.53.53.03.02.52.54 42.52.54 42.02.03 32 21 11.51.51.01.01 1第二个观察值第二个观察值第一个第一个观察值观察值16个样本的均值（个样本的均值（x）样本均值的抽样分布样本均值的抽样分布1. 样本均值的均值样本均值的均值(数学期望数学期望) 等于等于总体均值总体均值 2. 样本均值的方差等于总体方差的样本均值的方差等于总体方差的1/n = 2.5 2 =1.25总体分布总体分布抽样分布抽样分布x两个重要结论：两个重要结论：1. 1.样本统计量抽样分布的平均数等于总体平均数样本统计量抽样分布的平均数等于总体平均数, ,即即2. 2.样本统计量抽样分布的标准差等于总体标准差除以样本统计量抽样分布的标准差等于总体标准差除以样本单位数的平方根。样本单位数的平方根。即即又又称为抽样称为抽样标准误差，用标准误差，用 表示表示。x以上以上两个结论具有普遍两个结论具有普遍意义意义这一等式可以看出一项重要事实这一等式可以看出一项重要事实抽样平均误差比总体标准差小的多，仅为其抽样平均误差比总体标准差小的多，仅为其 。例如一个县的粮食亩产高低悬殊，亩产标准差为例如一个县的粮食亩产高低悬殊，亩产标准差为8080公公斤斤，如果随机抽取，如果随机抽取100100亩求平均亩产，那么样本亩求平均亩产，那么样本平均亩平均亩产量产量的差异就显著减小，平均误差只及总体亩产的差异就显著减小，平均误差只及总体亩产标准标准差的差的 ，即，即8 8斤。斤。1n1110n 样本均值的抽样分布样本均值的抽样分布X样本抽样分布样本抽样分布原总体分布原总体分布xX = 50 =10X总体分布总体分布n = 4抽样分布抽样分布x当总体服从正态分布当总体服从正态分布N(,2)时，来自该总体的所有时，来自该总体的所有容量为容量为n的样本的均值的样本的均值 x也服从正态分布，也服从正态分布， x 的数的数学期望为学期望为，方差为，方差为2/n。即即 xN(,2/n)当样本容量足够当样本容量足够大时大时，样本均值的抽样样本均值的抽样分布逐渐趋于正分布逐渐趋于正态分布态分布中心极限定理：设从均值为中心极限定理：设从均值为 ，方差为，方差为 2的一个任意的一个任意总体中抽取容量为总体中抽取容量为n的样本，当的样本，当n充分大时，样本均值充分大时，样本均值的抽样分布近似服从均值为的抽样分布近似服从均值为、方差为、方差为2/n的正态分布的正态分布一个任意分一个任意分布的总体布的总体xx 的分布趋的分布趋于正态分布于正态分布的过程的过程总体分布总体分布正态分布正态分布非正态分布非正态分布大样本大样本小样本小样本正态分布正态分布正态分布正态分布非正态分布非正态分布样本均值的样本均值的数学期望数学期望样本均值样本均值的方差的方差重复重复抽样抽样不重复不重复抽样抽样总体总体(或样本或样本)中具有某种属性的单位与全部单位中具有某种属性的单位与全部单位总数之比总数之比,称为比率称为比率。不不同性同性别的人与全部人数之比别的人与全部人数之比合格品合格品( (或不合格品或不合格品) ) 与全部产品总数之与全部产品总数之比比总体总体比率可表示比率可表示为为样本样本比率可表示比率可表示为为在重复选取容量为在重复选取容量为n n的样本时，由样本比率的所的样本时，由样本比率的所有可能取值形成的相对有可能取值形成的相对频数分布，一频数分布，一种理论种理论概率概率分布。分布。当样本容量很大时，样本比率的抽样分布可用正当样本容量很大时，样本比率的抽样分布可用正态分布态分布近似。近似。推断推断总体比率总体比率 的理论基础的理论基础样本比率的数学期望样本比率的数学期望样本比率的方差样本比率的方差重复抽样重复抽样不重复抽样不重复抽样謝謝觀賞謝謝觀賞
