统计学之概率分布与抽样分布(PPT 66页).pptx
统计学统计学STATISTICS1统计学统计学STATISTICS2统计学统计学STATISTICS3.1 随机变量随机变量(random variables)1.对对随机事件随机事件的的数值性描述数值性描述-例如：抛硬币的结果，正面定义为例如：抛硬币的结果，正面定义为1，反，反面定义为面定义为02.一般用一般用 X，Y，Z 来表示来表示3.根据取值情况的不同分为根据取值情况的不同分为离散型随机变量：离散型随机变量：数轴上可列个孤立的数轴上可列个孤立的点点连续型随机变量：连续型随机变量：数轴上一个或多个区数轴上一个或多个区间间3统计学统计学STATISTICS离散型随机变量离散型随机变量1. 随机变量随机变量 X 取有限个值或所有取值都可以取有限个值或所有取值都可以逐个列举逐个列举出来出来 x1 , x2，2. 以以确定的概率确定的概率取这些不同的值取这些不同的值3. 离散型随机变量的一些例子离散型随机变量的一些例子4统计学统计学STATISTICS连续型随机变量连续型随机变量1.连续型随机变量可以取某一区间或整个实数轴连续型随机变量可以取某一区间或整个实数轴上的任意一个值上的任意一个值2.它取任何一个特定的值的概率都等于它取任何一个特定的值的概率都等于03.不能列出每一个值及其相应的概率不能列出每一个值及其相应的概率4.通常研究它通常研究它取某一区间值的概率取某一区间值的概率5.用用概率密度函数概率密度函数和和分布函数分布函数的形式来描述的形式来描述5统计学统计学STATISTICS 定义定义 设设X是一随机变量，是一随机变量，X是任意实数是任意实数，则实值函数，则实值函数F(x)P X x， x(-(-，+)+)称为随机变量称为随机变量X的的分布函数分布函数。 有了分布函数定义，任意有了分布函数定义，任意x1，x2R， x1x2，随，随机变量机变量X落在落在( (x1, ,x2 里的概率可用分布函数来计算：里的概率可用分布函数来计算：P x1X x2PX x2PX x1 F(x2)F(x1). 在这个意义上可以说，在这个意义上可以说，分布函数完整地描述了随分布函数完整地描述了随机变量的统计规律性机变量的统计规律性，或者说，或者说，分布函数完整地表示分布函数完整地表示了随机变量的概率分布情况了随机变量的概率分布情况。 分布函数的定义6统计学统计学STATISTICS分布函数的性质 1、单调不减性单调不减性：若：若x1x2, 则则F(x1) F(x2)； 2、归一归一 性性：对任意实数：对任意实数x，0 F(x) 1，且，且 ; 1)(lim)(, 0)(lim)(xFFxFFxx)()(lim) 0(000 xFxFxFxx3、右连续性：对任意实数右连续性：对任意实数x，反之，具有上述三个性质的实函数，必是某个反之，具有上述三个性质的实函数，必是某个随机变量的分布函数。故该三个性质是分布函随机变量的分布函数。故该三个性质是分布函数的充分必要性质数的充分必要性质。7统计学统计学STATISTICS解解 )(xFx0112)()(xXPxF试求出试求出X的分布函数的分布函数。.2, 1,21,7 .0, 10, 1 .0, 1,0 xxxx8统计学统计学STATISTICS连续型随机变量与概率密度连续型随机变量与概率密度, 0)( . 1xf, 1)( . 2dxxf有也可为也可为对于任意的,b,),(, ababa,)( . 3badxxfbXaP则称则称X是是连续型随机变量连续型随机变量，f(X)称为称为X的的概率密度函概率密度函数数, ,简称概率密度简称概率密度。注意注意f(x)不是概不是概率率 设设X是随机变量，如果存在定义在整个实数轴上的函是随机变量，如果存在定义在整个实数轴上的函数数f(x)，满足条件，满足条件9统计学统计学STATISTICS 概率密度函数的性质概率密度函数的性质1)0)( xf2) 1)(dxxfaSb 1xo)(xf这两条性质是判定一这两条性质是判定一个函数个函数 f(x)是否为某是否为某个随机变量个随机变量X的概率的概率密度函数的充要条件密度函数的充要条件3) X落入区间落入区间a,b内的概率内的概率 badxxf)(10统计学统计学STATISTICS连续型随机变量的期望和方差连续型随机变量的期望和方差1. 连续型随机变量的数学期望连续型随机变量的数学期望2. 方差方差xxxfXEd)()(22d)()()(xxfXDXEx11统计学统计学STATISTICS3.2 正态分布正态分布(normal distribution)1.正态分布是最重要的一种正态分布是最重要的一种概率分布概率分布。正态分布。正态分布概念是由德国的数学家概念是由德国的数学家(Carl Friedrich Gauss，17771855)和天文学家和天文学家Moivre于于1733年首次年首次提出的，但由于提出的，但由于Gauss率先将其应用于天文学率先将其应用于天文学家研究，故正态分布又叫高斯分布。家研究，故正态分布又叫高斯分布。2.描述连续型随机变量的最重要的分布描述连续型随机变量的最重要的分布3.许多现象都可以由正态分布来描述许多现象都可以由正态分布来描述 4.可用于可用于近似离散型随机变量的分布近似离散型随机变量的分布例如：例如： 二项分布当二项分布当n越来越大，越近似服从正态分越来越大，越近似服从正态分布布5.经典统计推断的基础经典统计推断的基础正态分布是许多统计方法的理论基础：正态分布是许多统计方法的理论基础：如如t分布、分布、F分布、分布、2分布都是在正态分分布都是在正态分布的基础上推导出来的，此外，布的基础上推导出来的，此外，t分布、分布、二项分布、二项分布、Poisson分布的极限为正态分布的极限为正态分布，在一定条件下，可以按正态分布分布，在一定条件下，可以按正态分布原理来处理。原理来处理。 12统计学统计学STATISTICSxxfx,e21)(X22212的概率密度函数为如果随机变量 = 正态随机变量正态随机变量X的均值的均值 = 正态随机变量正态随机变量X的方差的方差 = 3.1415926; e = 2.71828x = 随机变量的取值随机变量的取值 (- x )则称则称X服从参数为服从参数为 、 的正态分布，记作的正态分布，记作XN( , )正态分布正态分布13统计学统计学STATISTICS正态分布函数的性质正态分布函数的性质1.图形是关于图形是关于x= 对称对称钟形曲线，且峰值在钟形曲线，且峰值在x= 处处2.均值均值 和标准差和标准差 一旦确定，分布的具体形式也惟一确一旦确定，分布的具体形式也惟一确定，不同参数正态分布构成一个完整的定，不同参数正态分布构成一个完整的“正态分布族正态分布族” 3.均值均值 可取实数轴上的任意数值，决定正态曲线的具可取实数轴上的任意数值，决定正态曲线的具体位置；标准差决定曲线的体位置；标准差决定曲线的“陡峭陡峭”或或“扁平扁平”程度程度。 越大，正态曲线扁平；越大，正态曲线扁平； 越小，正态曲线越高陡峭越小，正态曲线越高陡峭4.当当X X的取值向横轴左右两个方向无限延伸时，曲线的的取值向横轴左右两个方向无限延伸时，曲线的两个尾端也无限渐近横轴，两个尾端也无限渐近横轴，理论上永远不会与之相交理论上永远不会与之相交5.正态随机变量在特定区间上的取值概率由正态曲线下正态随机变量在特定区间上的取值概率由正态曲线下的面积给出，而且的面积给出，而且其曲线下的总面积等于其曲线下的总面积等于1 14统计学统计学STATISTICS正态概率密度函数的几何特征正态概率密度函数的几何特征;)1(对称对称曲线关于曲线关于x ;21)(,)2(xfx取得最大值取得最大值时时当当 ; 0)(,)3(xfx时时当当;)4(处有拐点处有拐点曲线在曲线在x 15统计学统计学STATISTICS;,)(,)6(轴作平移变换轴作平移变换着着只是沿只是沿图形的形状不变图形的形状不变的大小时的大小时改变改变当固定当固定xxf;)5(轴轴为为渐渐近近线线曲曲线线以以 x16统计学统计学STATISTICS.,)(,)7(图形越矮越胖图形越矮越胖越大越大图形越高越瘦图形越高越瘦越小越小而形状在改变而形状在改变不变不变图形的对称轴图形的对称轴的大小时的大小时改变改变当固定当固定xf17统计学统计学STATISTICS )1 , 0(2N)8 . 0 , 1(2N)2 . 1 , 1 (2N决定曲线的位置，决定曲线的位置，决定曲线的决定曲线的“胖瘦胖瘦”统计学统计学STATISTICS正态分布下的概率计算正态分布下的概率计算txFxtde21)(222)( xXP ? 方法一方法一:利用统计软件计算利用统计软件计算方法二方法二:转化为转化为查表计算查表计算19统计学统计学STATISTICS).1, 0(,1, 0),(2NN记为记为态分布态分布的正态分布称为标准正的正态分布称为标准正这样这样时时中的中的当正态分布当正态分布 标准正态分布的概率密度表示为标准正态分布的概率密度表示为,e21)(22 xxx 标准正态分布的分布函数表示为标准正态分布的分布函数表示为xtxxt,de21)(22标准正态分布标准正态分布(standardize the normal distribution)(1)(xx xx20统计学统计学STATISTICS标准正态分布的图形标准正态分布的图形21统计学统计学STATISTICS查表标准正态分布函数表查表标准正态分布函数表.225. 1),1 , 0( XPNX求求已已知知解解225. 1 XP)25. 1()2( 8944. 09772. 0 例例1 .0828. 022统计学统计学STATISTICS解查标准正态分布表),5 . 02 . 0()1( XP),2 . 1()2( XP)34. 0|(|)( XP求设练习) 1 , 0( NX)5 . 02 . 0()( XP)2 . 0()5 . 0( 5793. 06915. 0 1122. 0 )2 . 1( )2 . 1()( XP)2 . 1(1 1151. 08849. 01 1151. 0 34. 034. 0 XP)34.0|(|)( XP )34. 0()34. 0( )34. 0(1)34. 0( 16331. 02 1)34. 0(2 2662. 0 23统计学统计学STATISTICS正态分布的转换正态分布的转换1.任何一个一般的正态分布，可通过下面的线性任何一个一般的正态分布，可通过下面的线性变换转化为标准正态分布变换转化为标准正态分布)1 ,0( NXZX-表示将一般正态分布的曲线平衡到标准正态分布的位置表示将一般正态分布的曲线平衡到标准正态分布的位置除以除以表示将一般正态分布的曲线形状转换为标准正态分布表示将一般正态分布的曲线形状转换为标准正态分布)()()( abbxaP)()( bbXP24统计学统计学STATISTICS正态分布正态分布(例题分析例题分析)02275. 097725. 01)2(1)105070(1)70(1)70(XPXP6826. 018413. 021) 1 (2) 1() 1 ()105040()105060()6040(XP25统计学统计学STATISTICS求设练习),60,500(2NX)( XP)1( XP解解 XP 6050056060500XP 605005601 )1(1 1587. 08413. 01 26统计学统计学STATISTICS27统计学统计学STATISTICS简单随机抽样简单随机抽样(simple random sampling)1.从总体从总体N个单位中随机地抽取个单位中随机地抽取n个单位作为样本，个单位作为样本，使使得每一个总体单位都有相同的机会得每一个总体单位都有相同的机会( (概率概率) )被抽中被抽中 2.抽取元素的具体方法有抽取元素的具体方法有重复抽样和不重复抽样重复抽样和不重复抽样3.特点特点简单、直观，在抽样框完整时，可直接从中抽取样本简单、直观，在抽样框完整时，可直接从中抽取样本用样本统计量对目标量进行估计比较方便用样本统计量对目标量进行估计比较方便但是当但是当N很大时，不易构造抽样框很大时，不易构造抽样框抽出的单位很分散，给实施调查增加了困难抽出的单位很分散，给实施调查增加了困难没有利用其他辅助信息以提高估计的效率没有利用其他辅助信息以提高估计的效率也称纯随机抽样，是应用最多、也称纯随机抽样，是应用最多、最基本的抽样方法之一最基本的抽样方法之一28统计学统计学STATISTICS简单随机抽样的优缺点 优点：优点：简单随机抽样是最符合随机原则的简单随机抽样是最符合随机原则的抽样方法，能保证总体的每个成员具有已抽样方法，能保证总体的每个成员具有已知的且同等的被选为样本单位的机会，因知的且同等的被选为样本单位的机会，因此，产生的样本，不论其多大都是总体的此，产生的样本，不论其多大都是总体的一个有效代表。一个有效代表。 缺点：缺点：不论使用哪种抽样方法，都需要预不论使用哪种抽样方法，都需要预先设定每个总体成员，要为每个总体成员先设定每个总体成员，要为每个总体成员提供一个标志值，而且要有一个完整的总提供一个标志值，而且要有一个完整的总体情况表，这往往是难以获得的。体情况表，这往往是难以获得的。29统计学统计学STATISTICS分层抽样分层抽样(stratified sampling)1. 将总体单位按某种特征或某种规则划分为将总体单位按某种特征或某种规则划分为不同的层，然后从不同的层中独立、随机不同的层，然后从不同的层中独立、随机地抽取样本地抽取样本2. 优点优点保证样本的结构与总体的结构比较相近，从保证样本的结构与总体的结构比较相近，从而提高估计的精度而提高估计的精度组织实施调查更方便组织实施调查更方便既可以对总体参数进行估计，也可以对各层既可以对总体参数进行估计，也可以对各层的目标量进行估计的目标量进行估计分层或分类时，应使层内各分层或分类时，应使层内各单位的差异尽可能小，而使单位的差异尽可能小，而使各层之间的差异尽可能大。各层之间的差异尽可能大。30统计学统计学STATISTICS系统抽样系统抽样(systematic sampling)1. 将总体中的所有单位将总体中的所有单位(抽样单位抽样单位)按一定顺按一定顺序排列，在规定的范围内随机地抽取一个序排列，在规定的范围内随机地抽取一个单位作为初始单位，然后按事先规定好的单位作为初始单位，然后按事先规定好的规则确定其他样本单位规则确定其他样本单位先从数字先从数字1到到k之间随机抽取一个数字之间随机抽取一个数字r作为作为初始单位，以后依次取初始单位，以后依次取r+k，r+2k等单位等单位2. 优点：操作简便，可提高估计的精度优点：操作简便，可提高估计的精度3. 缺点：对估计量方差的估计比较困难缺点：对估计量方差的估计比较困难也称等距抽样或机械抽样也称等距抽样或机械抽样31统计学统计学STATISTICS例例3-13-1：从：从1000010000户中抽取户中抽取200200户进行抽样调查。户进行抽样调查。把把1000010000户按一定标志（如家庭人口、收入水户按一定标志（如家庭人口、收入水平、地址等）排列编号平、地址等）排列编号110000110000号；号；求出抽样间隔求出抽样间隔k kN/nN/n10000/20010000/2005050在第一个间隔在第一个间隔1-501-50号内任意选取一个单位作号内任意选取一个单位作为抽样起点，如为抽样起点，如3838号；号；从从3838号开始，每隔号开始，每隔5050户抽取一户户抽取一户3838、8888、138138、18899881889988，共，共200200户。户。系统抽样系统抽样（例题）（例题）32统计学统计学STATISTICS整群抽样整群抽样(cluster sampling)1. 将总体中若干个单位合并为组将总体中若干个单位合并为组(群群),抽样时抽样时直接抽取群，然后对中选群中的所有单位直接抽取群，然后对中选群中的所有单位全部实施调查全部实施调查2. 特点特点抽样时只需群的抽样框，可简化工作量抽样时只需群的抽样框，可简化工作量调查的地点相对集中，节省调查费用，方便调查的地点相对集中，节省调查费用，方便调查的实施调查的实施缺点是估计的精度较差缺点是估计的精度较差33统计学统计学STATISTICS34统计学统计学STATISTICS 研究总体与所抽取的样本之间的关系是统研究总体与所抽取的样本之间的关系是统计学的中心内容计学的中心内容 。对这种关系的研究从两方面。对这种关系的研究从两方面着手：着手： 一是从总体到样本一是从总体到样本 ，这就是研究，这就是研究抽样分布抽样分布(sampling distribution)的问题；的问题； 二是从样本到总体，这就是二是从样本到总体，这就是统计推断统计推断(statistical inference)问题。问题。抽样分布抽样分布 (sampling distribution)35统计学统计学STATISTICS抽样分布抽样分布 (sampling distribution) 从一个给定的总体中抽取从一个给定的总体中抽取（不论是否有放（不论是否有放回）回）容量容量（或大小）（或大小）为为n n的所有可能的样本，的所有可能的样本，对于每一个样本，计算出某个统计量对于每一个样本，计算出某个统计量（如样本如样本均值或标准差均值或标准差）的值，不同的样本得到的该统的值，不同的样本得到的该统计量的值是不一样的，由此得到这个计量的值是不一样的，由此得到这个统计量统计量的概率分布，称之为抽样分布的概率分布，称之为抽样分布。 样本统计量与总体参数之间的差异称为样本统计量与总体参数之间的差异称为抽样误差抽样误差 （sampling errorsampling error）。）。 36统计学统计学STATISTICS1.样本统计量的概率分布，样本统计量的概率分布，是一种理论分布是一种理论分布在重复选取容量为在重复选取容量为n的样本时，由该统计量的所有的样本时，由该统计量的所有可能取值形成的相对频数分布可能取值形成的相对频数分布 2.随机变量是随机变量是样本统计量样本统计量样本均值样本均值, 样本比例，样本方差等样本比例，样本方差等3.结果来自容量相同的所有可能样本结果来自容量相同的所有可能样本4.提供了样本统计量长远而稳定的信息，是进行提供了样本统计量长远而稳定的信息，是进行推断的理论基础，也是抽样推断科学性的重要推断的理论基础，也是抽样推断科学性的重要依据依据 抽样分布抽样分布 (sampling distribution)37统计学统计学STATISTICS抽样分布抽样分布（例题分析）（例题分析）某班组某班组5个工人的个工人的日工资为日工资为34、38、42、46、50元。元。 = 42 2 = 32现用重置抽样的方现用重置抽样的方法从法从5人中随机抽人中随机抽2个构成样本。共有个构成样本。共有52=25个样本。如个样本。如右图。右图。总体单位数很大时，难以一一列举样本数，总体单位数很大时，难以一一列举样本数，可通过反复进行抽样，记录下统计量取不同可通过反复进行抽样，记录下统计量取不同数值时的次数百分比，以得到一个统计量近数值时的次数百分比，以得到一个统计量近似的抽样分布似的抽样分布38统计学统计学STATISTICS 设有一个总体设有一个总体 ，总体平均数为，总体平均数为 ,方差为方差为2，总体中各变数为总体中各变数为 x， 将将 此总体称为原总体。现从这此总体称为原总体。现从这个总体中随机抽取含量为个总体中随机抽取含量为n的样本，样本平均数记的样本，样本平均数记为为 。 可以设想，从原总体中可抽出很多甚至无穷多可以设想，从原总体中可抽出很多甚至无穷多个含量为个含量为n的样本。由这些样本算得的平均数有大有的样本。由这些样本算得的平均数有大有小，不尽相同，与原总体平均数小，不尽相同，与原总体平均数相比往往表现出不相比往往表现出不同程度的差异，即抽样误差同程度的差异，即抽样误差(sampling error)。 x（一）样本均值的抽样分布（一）样本均值的抽样分布39统计学统计学STATISTICS样本均值的抽样分布样本均值的抽样分布 (例题分析例题分析)5 .21NxNii25. 1)(122NxNii40统计学统计学STATISTICS样本均值的抽样分布样本均值的抽样分布 (例题分析例题分析)3,43,33,23,132,42,32,22,124,44,34,24,141,441,33211,21,11第二个观察值第二个观察值第一个第一个观察值观察值所有可能的所有可能的n = 2 的样本（共的样本（共16个）个）41统计学统计学STATISTICS样本均值的抽样分布样本均值的抽样分布 (例题分析例题分析)3.53.02.52.033.02.52.01.524.03.53.02.542.542.03211.51.01第二个观察值第二个观察值第一个第一个观察值观察值16个样本的均值（个样本的均值（x）42统计学统计学STATISTICS样本均值的分布与总体分布的比较样本均值的分布与总体分布的比较x5 . 2x625. 02x43统计学统计学STATISTICS1. 样本均值的数学期望样本均值的数学期望2. 样本均值的方差样本均值的方差（与抽样方法有关）（与抽样方法有关）重复抽样重复抽样不重复抽样不重复抽样样本均值的抽样分布样本均值的抽样分布(数学期望与方差数学期望与方差)(xEnx22122NnNnx修正系数修正系数对无限总体进行不重复抽样时，修正系数趋向于对无限总体进行不重复抽样时，修正系数趋向于1， 样本均值的方差可按重复抽样的公式计算样本均值的方差可按重复抽样的公式计算对于有限总体，当对于有限总体，当N很大而很小时，修正系数趋很大而很小时，修正系数趋向于，样本均值的方差可按重复抽样的公式计算向于，样本均值的方差可按重复抽样的公式计算44统计学统计学STATISTICS样本均值的抽样分布样本均值的抽样分布(数学期望与方差数学期望与方差)为样本数目MnMxnixix222122625. 016)5 . 20 . 4()5 . 20 . 1 ()(5 . 2160 . 45 . 10 . 11Mxniix45统计学统计学STATISTICS1.总体总体(或样本或样本)中具有某种属性的单位与全部单中具有某种属性的单位与全部单位总数之比，例：位总数之比，例：不同性别的人与全部人数之比不同性别的人与全部人数之比合格品合格品(或不合格品或不合格品) 与全部产品总数之比与全部产品总数之比2.总体比例可表示为总体比例可表示为3.样本比例可表示为样本比例可表示为（二）样本比例的抽样分布（二）样本比例的抽样分布(proportion)NNNN101或nnpnnp101或46统计学统计学STATISTICS1. 在重复选取容量为在重复选取容量为n的样本时，由样本比的样本时，由样本比例的所有可能取值形成的相对频数分布例的所有可能取值形成的相对频数分布2. 一种理论概率分布一种理论概率分布3. 当当样本量很大样本量很大时，样本比例时，样本比例p的抽样分布的抽样分布可用可用正态分布正态分布近似近似 4. 推断总体比例推断总体比例 的理论基础的理论基础样本比例的抽样分布样本比例的抽样分布47统计学统计学STATISTICS1. 样本比例的数学期望样本比例的数学期望2. 样本比例的方差样本比例的方差重复抽样重复抽样不重复抽样不重复抽样样本比例的抽样分布样本比例的抽样分布(数学期望与方差数学期望与方差)(pEnp)1 (21)1 (2NnNnp无限总体不重复抽样时，无限总体不重复抽样时，可按重复抽样处理可按重复抽样处理48统计学统计学STATISTICS（三）样本方差的抽样分布（三）样本方差的抽样分布) 1() 1(222nsn22)1(sn 49统计学统计学STATISTICS1.两个总体两个总体都为正态分布都为正态分布，即，即 2.两个样本均值之差两个样本均值之差 的抽样分布服从正态分的抽样分布服从正态分布，其分布的数学期望为两个总体均值之差布，其分布的数学期望为两个总体均值之差3.方差为各自的方差之和方差为各自的方差之和 （四）两个样本均值之差的抽样分布（四）两个样本均值之差的抽样分布),(2111NX),(2222NX21xx 2121)( xxE222121221nnxx50统计学统计学STATISTICS（五）两个样本比率之差的抽样分布（五）两个样本比率之差的抽样分布nnNppnppEpp222111212221112212111,)21( 1121即独立地从两个二项分布的总体分别抽取容量为独立地从两个二项分布的总体分别抽取容量为n 1和和n2 的两个样本。的两个样本。当两个样本都为大样本时当两个样本都为大样本时, 两个样本的比例差的抽样两个样本的比例差的抽样分布近似服从正态分布，其分布的均值和方差为分布近似服从正态分布，其分布的均值和方差为51统计学统计学STATISTICS（六）两个样本方差比的分布（六）两个样本方差比的分布)1, 1(2122222121nnFssF分布分布52统计学统计学STATISTICS3.6 中心极限定理中心极限定理(central limit theorem)53统计学统计学STATISTICS样本均值的抽样分布样本均值的抽样分布与中心极限定理与中心极限定理x5x50 x5 . 2x54统计学统计学STATISTICS中心极限定理中心极限定理(central limit theorem)nxx55统计学统计学STATISTICS资料：统计量的参数符号资料：统计量的参数符号22sx56统计学统计学STATISTICS).(,)1, 0(,22222221221nnXXXNXXXnn 记记为为分分布布的的服服从从自自由由度度为为统统计计量量则则称称的的样样本本是是来来自自总总体体设设 .:222212变变量量的的个个数数中中右右端端包包含含独独立立指指自自由由度度nXXX 分布的概率密度为分布的概率密度为)(2n .00,e)2(21)(21222其他其他xxnxfxnn 资料：资料： 2分布分布样本方差的抽样分布样本方差的抽样分布57统计学统计学STATISTICS图分布的概率密度曲线如)(2n58统计学统计学STATISTICS1.分布的变量值始终为正分布的变量值始终为正 2.分布的形状取决于其自由度分布的形状取决于其自由度n的大小，通常为的大小，通常为不对称的正偏分布，但随着自由度的增大逐渐不对称的正偏分布，但随着自由度的增大逐渐趋于对称趋于对称 3.期望为：期望为：E( 2)=n，方差为：，方差为：D( 2)=2n(n为自由为自由度度) 4.可加性：若可加性：若U和和V为两个独立的为两个独立的 2分布随机变量，分布随机变量，U 2(n1)，V 2(n2),则则U+V这一随机变量服从这一随机变量服从自由度为自由度为n1+n2的的 2分布分布 2分布分布(性质和特点性质和特点)样本方差的抽样分布样本方差的抽样分布59统计学统计学STATISTICS).(,/,),(),1, 0(2ntttnnYXtYXnYNX记为记为分布分布的的服从自由度为服从自由度为则称随机变量则称随机变量独立独立且且设设 t 分布又称分布又称学生氏学生氏(Student)分布分布. xnxnnnxfnt,1221)(212 分布的概率密度函数为分布的概率密度函数为)(ntt 分布分布(t-distribution)60统计学统计学STATISTICSt 分布分布61统计学统计学STATISTICS2)1(2)/1 ()2(2) 1()(ttf不同自由度下的不同自由度下的t 分布图分布图62统计学统计学STATISTICSt分布的特征分布的特征 以以0为中心，左右对称的单峰分布；为中心，左右对称的单峰分布； t分布曲线是一簇曲线，其形态变化与自由分布曲线是一簇曲线，其形态变化与自由度的大小有关。度的大小有关。 自由度越小，则自由度越小，则t值越分散，曲线越低平；值越分散，曲线越低平； 较小的较小的n的的t分布的尾部比标准天上正态分分布的尾部比标准天上正态分布要长；布要长； 自由度逐渐增大时，自由度逐渐增大时，t分布逐渐逼近分布逐渐逼近Z分布分布(标准正态分布标准正态分布)；当趋于；当趋于时，时，t分布即为分布即为Z分分布。布。63统计学统计学STATISTICS1.由统计学家费希尔由统计学家费希尔(R.A.Fisher) 提出的，以其姓氏提出的，以其姓氏的第一个字母来命名的第一个字母来命名2.设若设若U为服从自由度为为服从自由度为n1的的 2分布，即分布，即U 2(n1)，V为服从自由度为为服从自由度为n2的的 2分布，即分布，即V 2(n2),且且U和和V相互独立，则称相互独立，则称F为服从自由度为服从自由度n1和和n2的的F分布，记分布，记为为F分布分布(F distribution)21nVnUF ),(21nnFF64统计学统计学STATISTICS分布的概率密度为分布的概率密度为),(21nnF ., 0, 0,1222)(2212112221212111其他其他xnxnnnxnnnnxfnnnnF 65统计学统计学STATISTICSF分布分布两个样本方差的抽样分布两个样本方差的抽样分布66
