2022年抽象函数的对称性、奇偶性与周期性总结及习题 .pdf

抽象函数的对称性、奇偶性与周期性总结及习题一. 概念 : 抽象函数是指没有给出具体的函数解析式或图像, 只给出一些函数符号及其满足的条件的函数, 如函数的定义域 , 解析递推式 , 特定点的函数值, 特定的运算性质等 , 它是高中函数部分的难点, 也是大学高等数学函数部分的一个衔接点 , 由于抽象函数没有具体的解析表达式作为载体, 因此理解研究起来比较困难，所以做抽象函数的题目需要有严谨的逻辑思维能力、丰富的想象力以及函数知识灵活运用的能力1、周期函数的定义：对于( )f x定义域内的每一个x，都存在非零常数T，使得()( )f xTf x恒成立，则称函数( )fx具有周期性，T叫做( )f x的一个周期， 则kT（,0kZ k） 也是( )f x的周期，所有周期中的最小正数叫( )f x的最小正周期。分段函数的周期：设)(xfy是周期函数，在任意一个周期内的图像为C:),(xfyabTbax,。把)()(abKKTxxfy轴平移沿个单位即按向量)()0 ,(xfykTa平移，即得在其他周期的图像：bkTakTxkTxfy,),(。bkTa,kT x)(ba, x)()(kTxfxfxf2、奇偶函数：设baabxbaxxfy,),(或若为奇函数；则称)(),()(xfyxfxf若为偶函数则称)()()(xfyxfxf。分段函数的奇偶性3、函数的对称性：（1）中心对称即点对称：点对称；关于点与),()2,2(),(baybxaByxA对称；关于与点),(),(),(baybxaBybxaA成中心对称；关于点与函数),()2(2)(baxafybxfy成中心对称；关于点与函数),()()(baxafybxafyb成中心对称。关于点与（函数),(0)2,2(0),baybxaFyxF（2）轴对称：对称轴方程为：0CByAx。)(2,)(2(),(),(2222/BACByAxByBACByAxAxByxByxA与点关 于 直线成轴对称；0CByAx函数)(2()(2)(2222BACByAxAxfBACByAxByxfy与关于直线精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 20 页 - - - - - - - - - - 0CByAx成轴对称。0)(2,)(2(0),(2222BACByAxByBACByAxAxFyxF与关于直线0CByAx成轴对称。二、函数对称性的几个重要结论（一）函数)(xfy图象本身的对称性（自身对称）若()()f xaf xb，则( )f x具有周期性； 若()()f axf bx，则( )f x具有对称性：“内同表示周期性，内反表示对称性” 。1、)()(xbfxaf)(xfy图象关于直线22)()(baxbxax对称推论 1：)()(xafxaf)(xfy的图象关于直线ax对称推论 2、)2()(xafxf)(xfy的图象关于直线ax对称推论 3、)2()(xafxf)(xfy的图象关于直线ax对称2、cxbfxaf2)()()(xfy的图象关于点),2(cba对称推论 1、bxafxaf2)()()(xfy的图象关于点),(ba对称推论 2、bxafxf2)2()()(xfy的图象关于点),(ba对称推论 3、bxafxf2)2()()(xfy的图象关于点),(ba对称（二） 两个函数的图象对称性（相互对称）（利用解析几何中的对称曲线轨迹方程理解）1、偶函数)(xfy与)( xfy图象关于Y轴对称2、奇函数)(xfy与)( xfy图象关于原点对称函数3、函数)(xfy与( )yf x图象关于 X轴对称4、互为反函数)(xfy与函数1( )yfx图象关于直线yx对称5. 函数)(xafy与)(xbfy图象关于直线2abx对称推论 1: 函数)(xafy与)(xafy图象关于直线x= a对称推论 2: 函数)(xfy与)2(xafy图象关于直线ax对称精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 20 页 - - - - - - - - - - 推论 3: 函数)( xfy与)2(xafy图象关于直线ax对称（三）抽象函数的对称性与周期性1、抽象函数的对称性性质 1 若函数 yf(x) 关于直线 xa 轴对称，则以下三个式子成立且等价：（1）f(a x) f(a x) （2）f(2a x) f(x) （3）f(2a x) f( x) 性质 2 若函数 yf(x) 关于点（ a，0）中心对称，则以下三个式子成立且等价：（1）f(a x) f(a x) （2）f(2a x) f(x) （3）f(2a x) f( x) 易知， yf(x) 为偶（或奇）函数分别为性质1（或 2）当 a0 时的特例。2、复合函数的奇偶性定义 1、 若对于定义域内的任一变量x，均有 fg( x) fg(x)，则复数函数 yfg(x)为偶函数。定义 2、 若对于定义域内的任一变量x，均有 fg( x) fg(x)，则复合函数 yfg(x)为奇函数。说明：（1）复数函数 fg(x)为偶函数，则 fg( x) fg(x)而不是 f g(x)fg(x)，复合函数 yfg(x)为奇函数，则 fg( x) fg(x)而不是 f g(x) fg(x)。（2）两个特例： yf(x a) 为偶函数，则 f(x a) f( xa) ；yf(x a) 为奇函数，则 f( xa)f(a x) （3）yf(x a)为偶（或奇）函数，等价于单层函数yf(x) 关于直线 xa 轴对称（或关于点（ a，0）中心对称）3、复合函数的对称性性质 3 复合函数 yf(a x) 与 yf(b x) 关于直线 x（ba）/2 轴对称性质 4、复合函数 yf(a x) 与 yf(b x) 关于点（ ba）/2 ，0）中心对称推论 1、 复合函数 yf(a x) 与 yf(a x) 关于 y 轴轴对称推论 2、 复合函数 yf(a x) 与 yf(a x) 关于原点中心对称4、函数的周期性若 a 是非零常数，若对于函数yf(x) 定义域内的任一变量x 点有下列条件之一成立，则函数yf(x) 是周期函数，且 2|a| 是它的一个周期。f(x a)f(x a) f(x a) f(x) f(x a)1/f(x) f(x a) 1/f(x) 5、函数的对称性与周期性性质 5 若函数 yf(x) 同时关于直线 xa 与 xb 轴对称，则函数 f(x) 必为周期函数，且 T2|a b| 性质 6、若函数 yf(x) 同时关于点（ a，0）与点（ b，0）中心对称，则函数 f(x) 必为周期函数，且 T2|a b| 性质 7、若函数 yf(x) 既关于点（ a，0）中心对称，又关于直线xb 轴对称，则函数 f(x) 必为周期函数，且T4|a b| 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 20 页 - - - - - - - - - - 6、函数对称性的应用（1）若kyyhxxkhxfy2,2),)(/对称，则关于点（, 即kxhfxfxfxf2)2()()()(/nkxhfxhfxhfxfxfxfnnn2)2()2()2()()()(1121（2）例题 1、1)1()(2121)(xfxfaaaxfxx）对称：，关于点（; 2)()(1012214)(1xfxfxxfxx）对称：，关于（1)1()2121)0,(11)(xfxfxRxxf（）对称：，关于（ 2、奇函数的图像关于原点（0，0）对称：0)()(xfxf。 3、 若)(),()()2()(xfyxafxafxafxf则或的 图 像 关 于 直 线ax对称。设个不同的实数根，则有nxf0)(naxaxxaxxaxxxxnnn)2()2()2(22221121. ),212(111axxaxkn时，必有当（四）常用函数的对称性三、函数周期性的几个重要结论1、()( )f xTf x( 0T) )(xfy的周期为T，kT(kZ) 也是函数的周期2、()()f xaf xb)(xfy的周期为abT3、)()(xfaxf)(xfy的周期为aT24、)(1)(xfaxf)(xfy的周期为aT2精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 20 页 - - - - - - - - - - 5、)(1)(xfaxf)(xfy的周期为aT26、)(1)(1)(xfxfaxf)(xfy的周期为aT37、1)(1)(xfaxf)(xfy的周期为aT28、)(1)(1)(xfxfaxf)(xfy的周期为aT49、)()()2(xfaxfaxf)(xfy的周期为aT610、若.2, )2()(, 0pTppxfpxfp则11、)(xfy有两条对称轴ax和bx()ba)(xfy周期)(2abT推论：偶函数)(xfy满足)()(xafxaf)(xfy周期aT212 、)(xfy有 两 个 对 称 中 心)0 ,(a和)0 ,(b()ba)(xfy周 期)(2abT推论：奇函数)(xfy满足)()(xafxaf)(xfy周期aT413 、)(xfy有 一 条 对 称 轴ax和 一 个 对 称 中 心)0,(b()ba( )f x的)(4abT四、用函数奇偶性、周期性与对称性解题的常见类型灵活应用函数 奇偶性、 周期性与对称性，可巧妙的解答某些数学问题，它对训练学生分析问题与解决问题的能力有重要作用.下面通过实例说明其应用类型。1. 求函数值例 1. （1996 年高考题）设)(xf是),(上的奇函数，),()2(xfxf当10 x时，xxf)(，则)5.7(f等于（ -0.5 ）（A）0.5; （B）-0.5; （C）1.5; （D）-1.5. 例 2 （ 1989 年北京市中学生数学竞赛题）已知)(xf是定义在实数集上的函数，且)(1)(1)2(xfxfxf，,32)1 (f求)1989(f的值 .23)1989(f。2、比较函数值大小例3. 若)(Rxxf是以2 为周期的偶函数，当1 ,0 x时，,)(19981xxf试比较精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 5 页，共 20 页 - - - - - - - - - - )1998(f、)17101(f、)15104(f的大小 . 解：)(Rxxf是以 2 为周期的偶函数，又19981)(xxf在1 , 0上是增函数，且1151419161710，).15104()1998(17101(),1514()1916()171(ffffff即3、求函数解析式例 4. （1989 年高考题）设)(xf是定义在区间),(上且以2 为周期的函数，对Zk，用kI表示区间),12, 12(kk已知当0Ix时，.)(2xxf求)(xf在kI上的解析式 . 解：设1211212),12, 12(kxkxkkkx0Ix时，有22)2()2(121,)(kxkxfkxxxf得由)(xf是以 2 为周期的函数，2)2()(),()2(kxxfxfkxf. 例 5设)(xf是定义在),(上以 2 为周期的周期函数，且)(xf是偶函数，在区间3 ,2上，.4)3(2)(2xxf求2, 1x时，)(xf的解析式 . 解：当2,3x，即3,2x，4)3(24)3(2)()(22xxxfxf又)(xf是以 2 为周期的周期函数，于是当2 ,1x，即243x时，).21( 4) 1(243)4(2)()4()(22xxxxfxfxf有).21 (4)1(2)(2xxxf4、判断函数奇偶性例 6. 已知)(xf的周期为 4，且等式)2()2(xfxf对任意Rx均成立，判断函数)(xf的奇偶性 . 解：由)(xf的周期为 4，得)4()(xfxf，由)2()2(xfxf得)4()(xfxf，),()(xfxf故)(xf为偶函数 . 5、确定函数图象与x轴交点的个数例 7. 设函数)(xf对任意实数x满足)2()2(xfxf，)7(xf,0)0()7(fxf且判断函数)(xf图象在区间30,30上与x轴至少有多少个交点. 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 6 页，共 20 页 - - - - - - - - - - 解：由题设知函数)(xf图象关于直线2x和7x对称，又由函数的性质得)(xf是以 10 为周期的函数 . 在一个周期区间10,0上，,)(0)0()22()22()4(,0)0(不能恒为零且xffffff故)(xf图象与x轴至少有 2 个交点 . 而区间30,30有 6 个周期，故在闭区间30,30上)(xf图象与x轴至少有13 个交点. 6、在数列中的应用例8. 在数列na中，)2(11,3111naaaannn，求数列的通项公式，并计算.1997951aaaa分析：此题的思路与例2 思路类似 . 解：令,1tga则)4(1111112tgtgtgaaa4) 1(11,4)1()42()4(1)4(111111223ntgaaantgatgtgtgaaannnn于是不难用归纳法证明数列的通项为：)44(ntgan，且以 4 为周期 . 于是有 1，5，9 1997 是以 4 为公差的等差数列，1997951aaaa，由4)1(11997n得总项数为500 项，.350050011997951aaaaa7、在二项式中的应用例 9. 今天是星期三，试求今天后的第9292天是星期几？分析：转化为二项式的展开式后，利用一周为七天这个循环数来进行计算即可. 解：191919191)191(9291922909291192920929292CCCC1)137()137()137()137() 1137(9291922909291192920929292CCCC因为展开式中前92 项中均有 7 这个因子，最后一项为1，即为余数，故9292天为星期四 . 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 7 页，共 20 页 - - - - - - - - - - 8、复数中的应用例 10.（上海市 1994 年高考题） 设)(2321是虚数单位iiz，则满足等式,zzn且大于 1 的正整数n中最小的是（A） 3 ；（B）4 ；（C ）6 ；（D ） 7. 分析：运用iz2321方幂的周期性求值即可. 解：10)1(,11nnnzzzzz，)(.4)(,1).(13),(31,31, 1min3BnnkNkknNkknnz故选择最小时即的倍数必须是9、解“立几”题例 11.ABCD 1111DCBA是单位长方体，黑白二蚁都从点A 出发，沿棱向前爬行，每走一条棱称为“走完一段”。白蚁爬行的路线是,111DAAA黑蚁爬行的路线是.1BBAB它们都遵循如下规则：所爬行的第2i段所在直线与第i段所在直线必须是异面直线 （其中)Ni. 设黑白二蚁走完第1990 段后，各停止在正方体的某个顶点处，这时黑白蚁的距离是（A）1；（B）2； （C）3；（ D）0. 解：依条件列出白蚁的路线CBCCCDDAAA111111,1AABA立即可以发现白蚁走完六段后又回到了A点 . 可验证知：黑白二蚁走完六段后必回到起点，可以判断每六段是一个周期. 1990=64331，因此原问题就转化为考虑黑白二蚁走完四段后的位置，不难计算出在走完四段后黑蚁在1D点，白蚁在C点，故所求距离是.2例题与应用例 1：f(x) 是 R上的奇函数f(x)= f(x+4) ，x0 ，2 时 f(x)=x，求 f(2007) 的值例 2： 已知 f(x)是定义在 R上的函数，且满足f(x+2)1f(x)=1+f(x)，f(1)=2 ，求f(2009) 的值。故 f(2009)= f(2518+1)=f(1)=2 例 3：已知 f(x)是定义在 R上的偶函数， f(x)= f(4-x)，且当0 ,2x时， f(x)= 2x+1，则当6,4x时求 f(x)的解析式例 4：已知 f(x)是定义在 R上的函数，且满足f(x+999)=)(1xf，f(999+x)=f(999精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 8 页，共 20 页 - - - - - - - - - - x) ， 试判断函数f(x)的奇偶性 . 例 5：已知 f(x)是定义在 R上的偶函数， f(x)= f(4-x)，且当0,2x时， f(x)是减函数，求证当6,4x时 f(x)为增函数例 6：f(x) 满足 f(x) =-f(6-x)，f(x)= f(2-x)，若 f(a) =-f(2000)，a5 ，9 且 f(x)在5 ，9 上单调 . 求 a 的值 . 例 7：已知 f(x)是定义在 R上的函数， f(x)= f(4x) ，f(7+x)= f(7x),f(0)=0，求在区间 1000，1000 上 f(x)=0至少有几个根？解：依题意f(x) 关于 x=2，x=7 对称，类比命题2（2）可知 f(x)的一个周期是10 故 f(x+10)=f(x) f(10)=f(0)=0 又 f(4)=f(0)=0 即在区间 (0 ，10 上，方程 f(x)=0至少两个根又 f(x)是周期为 10 的函数，每个周期上至少有两个根，因此方程 f(x)=0在区间 1000，1000 上至少有1+1020002=401 个根 . 例 1、函数 yf(x) 是定义在实数集 R上的函数，那么yf(x 4) 与 yf(6 x) 的图象之间（ D ）A关于直线 x5 对称 B关于直线 x1 对称C关于点（ 5，0）对称 D关于点（ 1，0）对称解：据复合函数的对称性知函数yf(x 4)与 yf(6 x) 之间关于点（ 64）/2 ，0）即（ 1，0）中心对称，故选D。（原卷错选为 C）例 2、 设 f(x) 是定义在 R上的偶函数，其图象关于x1 对称，证明 f(x)是周期函数。（ 2001 年理工类第 22 题）例 3、 设 f(x) 是（，）上的奇函数， f(x 2)f(x) ，当 0 x1时 f(x) x，则 f(7.5)等于（ -0.5 ）（1996 年理工类第 15 题）例 4、 设 f(x) 是定义在 R上的函数，且满足f(10 x) f(10 x) ，f(20 x) f(20 x) ，则 f(x) 是（C ）A偶函数，又是周期函数 B偶函数，但不是周期函数C奇函数，又是周期函数 D奇函数，但不是周期函数六、巩固练习1、函数 yf(x)是定义在实数集R上的函数，那么y f(x 4) 与 yf(6 x) 的图象（）。A关于直线x5 对称B关于直线x1 对称C关于点（ 5，0）对称D关于点（ 1，0）对称2、设 f(x) 是（，）上的奇函数，f(x 2) f(x) ，当 0 x1 时，f(x) x，则 f(7.5)=（）。A0.5 B0.5 C1.5 D 1.5 3、设 f(x) 是定义在（，）上的函数，且满足f(10 x) f(10 x) ，f(20 x) f(20 x) ，则 f(x) 是（）。A偶函数，又是周期函数B偶函数，但不是周期函数C奇函数，又是周期函数D奇函数，但不是周期函数4、f(x)是定义在 R上的偶函数，图象关于x1 对称，证明f(x)是周期函数。参考答案： D，B，C，T2。5、在数列12211(*)nnnnxxxxxxnN中，已知，求100 x=-1 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 9 页，共 20 页 - - - - - - - - - - 一、选择题（每题5 分，共 40 分）1定义在 R上的函数( )fx 既是奇函数又是周期函数，若( )f x 的最小正周期是，且当02x，时，( )cosf xx ，则5()3f的值为A.32 B.32 C.12 D.122偶函数 yf(x) 满足条件f(x 1) f(x 1) ，且当 x 1,0 时， f(x)3x49，则 f(13log 5) 的值等于 ( )A 1 B. 2950 C. 10145 D13函数2ln1fxx的图像大致是（）4 设xf是 定 义 在R上 的 奇 函 数 ， 且 当0 x时 ，2xxf. 若 对 任 意 的2,aax,不等式xfaxf2恒成立 , 则实数a的取值范围是 ( )A0a B2a C2a D0a5函数 f（x）=)1(11xx的最大值是（）A.54B.45C. 34D. 436 已知( )fx是定义在R上且以 3 为周期的奇函数，当3(0,)2x时，2( )ln(1)f xxx，则函数( )f x在区间0,6上的零点个数是（）A3 B5 C7 D9( )f xx( )21f xxx5()2f121414128. 若函数xxaxxf|)1lg()(2是偶函数，则常数a的取值范围是 ( ) A.11aa或B.1aC.11aD.10a精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 10 页，共 20 页 - - - - - - - - - - 9已知a为参数，函数2283( )()3()3xaxaf xxaxa是偶函数，则a可取值的集合是（）A0,5 B-2,5 C-5,2 D1,200910已知( )yf x是偶函数，而(1)yf x是奇函数，且对任意01x，都有( )0f x，则51(2010),(),()42afbfcf的大小关系是( )AbcaBcbaCacbDabc二、填空题（每题6 分，共 36 分）11已知( )312f xaxa在 1，1 上存在00(1)xx，使得0()f x=0，则a的取值范围是 _；12设( )f x是定义在 R上的奇函数，当x0 时，( )f x=22xx，则(1)f . 13函数( )f x是定义在实数集R上的不恒为零的偶函数，( 1)0f，且对任意实数x都有(1)(1)( )xfxx f x，则12011(0)( )(1)()22ffffL的值是14若axfx131)(是奇函数，则实数a15若函数2( )f xxxa为偶函数，则实数a16若)(12lg()(Raaxxxf是奇函数，则a= 17对于偶函数2,22)1()(2xxmmxxf，其值域为；三、解答题（ 15-18 题每题 11 分；19、20 各 15 分；共 74 分）18已知1( )lg1xfxx（1）求函数( )f x的定义域；（2）判断并证明函数( )f x的奇偶性；（3）若1122a，试比较( )()f afa与(2 )( 2 )fafa的大小19 （本小题满分14 分）已知定义域为R的函数12( )2xxbf xa是奇函数求函数( )f x的解析式；判断并证明函数( )f x的单调性；精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 11 页，共 20 页 - - - - - - - - - - 若对于任意的tR，不等式22(2 )(1)0f mttft恒成立，求m的取值范围 . 20 （本小题12 分）已知函数( )11xbfxa(0,1,)aabR是奇函数，且5(2)3f（1）求a，b的值；（2）用定义证明( )fx在区间(0,)上是减函数 . 21 已 知 : fx是 定 义 在 区 间1,1上 的 奇 函 数 , 且11f. 若 对 于 任 意 的,1,1 ,0m nmn时, 都有0fmfnmn（1）解不等式112fxfx（2）若221fxtat对所有1,1 ,1,1xa恒成立 , 求实数t的取值范围22( 本小题满分14 分)已知奇函数21( )qx rpxf x有最大值12, 且25(1)f, 其中实数0,ab是正整数 .求( )f x的解析式 ;令1( )nfna, 证明1nnaa(n是正整数 ).精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 12 页，共 20 页 - - - - - - - - - - 参考答案1C【解析】试题分析： 根据题意， 由于定义在R上的函数( )f x 既是奇函数又是周期函数，且可知( )f x 的最小正周期是，那么可知5()3f=2f+3（）=2f3（）=-22f-=-f-=-f()333（）（）=-1cos32，故可知答案为 C考点：函数的奇偶性以及周期性点评：主要是考查了函数的性质的运用，属于基础题。2D【解析】试题分析：根据题意，由于偶函数yf(x) 满足条件f(x 1) f(x 1) ， ，说明函数的周期为2 ， f(-x)=f(x) 当x 1,0 时 ， f(x) 3x49， 则 对 于133log 5=-log5，f(13log 5)=f(2+13log 5)=f(2- 3log 5)=33log 549=1故可知答案为D.考点：函数的奇偶性点评：主要是考查了函数的奇偶性以及函数解析式的运用，属于基础题。3A【解析】由于函数为偶函数又过（0，0）所以直接选A.【考点定位】对图像的考查其实是对性质的考查，注意函数的特征即可，属于简单题.4B 【解析】试题分析：利用“排除法”。a=0 时，22()( ),(2 )2f xaf xxfxx，0, 2x不等式xfaxf2不恒成立；排除A,D。a=1时，22()(1)(1) ,(2 )2f xaf xxfxx， ，1,3x不等式xfaxf2不恒成立 ,排除 C，故选 B。考点：函数的奇偶性，二次函数的图象和性质。点评：中档题，本题综合考查函数的奇偶性，二次函数的图象和性质，利用“排除法”，简化了解题过程。5C【解析】因为函数f （x）=2111(1)1xxxx，利用二次函数的性质可知，分母的最小值为43，那么所求的最大值是34，选 C精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 13 页，共 20 页 - - - - - - - - - - 6 D【 解 析 】 当 x（0，1.5 ）时 f （x）=ln （x2-x+1 ） ，令 f （ x）=0，则 x2-x+1=1 ，解得 x=1，又函数f （x）是定义域为R的奇函数，在区间 -1.5，1.5 上， f （-1 ）=-f （1）=0， f （0）=0f （1.5 ）=f （-1.5+3 ）=f （-1.5 ）=-f （1.5 ） ，f （-1 ）=f （1）=f （0）=f （1.5 ）=f （-1.5 ）=0又函数 f （x）是周期为3 的周期函数，则方程 f （x）=0 在区间 0 ，6 上的解有 0，1，1.5 ，2，3，4，4.5 ，5，6，共 9 个.7 （ A）【解析】( )f xQ是周期为 2 的奇函数，5511()( )(2)( )2222ffff又，当 0 x1 时，( )21f xxx，51111()()2(1)22222ff故选（ A）8B【解析】9C【解析】10A【解析】11 （51，+） U（， 1）【解析】试题分析：根据题意，由于( )312f xaxa在 1， 1 上存在00(1)xx，使得0()f x=0， 那 么 可 知3ax+1-2a=0,x= 2a-13, 在 区 间 1 ， 1 上 ， 则 根 据 题 意 ，2a-1113,a的取值范围是（51，+） U（， 1） 。考点：函数的零点点评：主要是考查了函数零点的运用，属于基础题。123【解析】试题分析：因为，( )f x是定义在R上的奇函数，( )fx是定义在R上的奇函数，所以，2(1)( 1)2(1)( 1)3ff考点：函数的奇偶性点评：简单题，奇函数应满足：定义域关于原点对称，f （-x ）=-f(x)。130精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 14 页，共 20 页 - - - - - - - - - - 【解析】试题分析：根据题意，函数( )f x是定义在实数集R上的不恒为零的偶函数从xf （x+1）=（1+x） f（x） 结构来看， 要用递推的方法， 先用赋值法求得f( 12 )=0 ， 再由 f(52 )=f(32+1)依此求解 即又(1)(1)( )xf xx fx，令 x=-12, 可知 f( 12 )=0 ， f( 12 )= f( -12 ) ，依 次 可 知 赋 值 得 到f(52 )=f(32+1)=0 ， 由 于f(1)=0-f(-1),那 么 可 知12011(0)( )(1)()22ffffL的值为 0.考点：函数奇偶性和递推关系式点评：本题主要考查利用函数的主条件用递推的方法求函数值，这类问题关键是将条件和结论有机地结合起来，作适当变形，把握递推的规律1421【解析】试题分析： 因为 f(x)=0且定义域为R， 所以 f(0)=0 ， 所以 f(0)=21-, 01310aa所以。考点：本题考查奇函数的性质。点评：若)(xf是奇函数，且在x=0 时有定义，则)0(f一定为0. 做题时一定要灵活应用此性质。150【解析】因为函数2( )f xxxa为偶函数，那么利用定义可知a=0.16-1【解析】本题考查了函数的奇偶性。解：)(xf为奇函数)()(xfxf即：)12lg()12lg(axxaxx11)2(lg)1)2(lg(xxaaxxaaxaaxxxaa)2(11)2(即)2()2()1 ()1(xaaxaaxx2222)2(1xaax1)2(122aa解得：311aaa或1a精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 15 页，共 20 页 - - - - - - - - - - 172, 2【解析】18 （1） （-1 ，1） （2）奇函数（ 3）当102a时，(2 )( 2 )fafa( )()f afa；当0a时，(2 )( 2 )fafa=( )()f afa；当102a时，(2 )( 2 )fafa( )f a，(2 )( 2 )fafa( )()f afa；当0a时，(2 )( 2 )fafa=( )()f afa；当102a时，(2 )( 2 )fafa 0时，由211221( )xqxqqpxppxf x 以及215(1)qpf - 4分可得到22520qq, 122q, 只有1qp, 21( )xxf x; - 2分(2) 2111( )nnf nnnan, - 2分则由11111(1)(1)()10nnnnn naann(n是正整数 ),可得所求证结论. - 4分精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 19 页，共 20 页 - - - - - - - - - - 文档编码：KDHSIBDSUFVBSUDHSIDHSIBF-SDSD587FCDCVDCJUH 欢迎下载 精美文档欢迎下载 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 20 页，共 20 页 - - - - - - - - - -