2022年小学奥数数论专题知识总结 .pdf

小学奥数数论专题知识总结1 数论基础知识小学数论问题，起因于除法算式：被除数 除数商余数1.能整除：整除，因数与倍数，奇数与偶数，质数与合数，公因数与公倍数，分解质因数等；2.不能整除：余数，余数的性质与计算（余数），同余问题（除数），物不知数问题（被除数）。一、因数与倍数1、因数与倍数（1）定义：定义 1：若整数 a 能够被 b 整除， a 叫做 b 的倍数， b 就叫做 a 的因数。定义 2：如果非零自然数a、b、c 之间存在 abc，或者 cab，那么称a、b 是 c 的因数， c 是 a、b的倍数。注意：倍数与因数是相互依存关系，缺一不可。（a、b 是因数， c 是倍数）一个数的因数个数是有限的，最小的因数是1，最大的因数是它本身。一个数的倍数个数是无限的，最小的倍数是它本身，没有最大的倍数。（2）一个数的因数的特点：最小的因数是1，第二小的因数一定是质数；最大的因数是它本身，第二大的因数是：原数第二小的因数（3）完全平方数的因数特征：完全平方数的因数个数是奇数个，有奇数个因数的数是完全平方数。完全平方数的质因数出现次数都是偶数次；1000 以内的完全平方数的个数是31 个， 2000 以内的完全平方数的个数是44 个， 3000 以内的完全平方数的个数是54 个。（ 312=961，442=1936，542=2916）2、数的整除（数的倍数）（1）定义：定义 1：一般地，三个整数a、b、c，且 b0，如有 abc，则我们就说， a 能被 b 整除，或 b 能整除 a，或 a 能整除以 b。定义 2：如果一个整数a，除以一个整数b（b0），得到一个整数商c，而且没有余数，那么叫做a 能被b 整除或 b 能整除 a，记作 b|a 。（ ab）（2） 整除的性质：如果 a、b 能被 c 整除，那么（ a+b）与（ a-b ）也能被 c 整除。如果 a 能被 b 整除， c 是整数，那么ac 也能被 b 整除。如果 a 能被 b 整除， b 又能被 c 整除，那么a 也能被 c 整除。如果 a 能被 b、c 整除，那么a 也能被 b 和 c 的最小公倍数整除。（3） 一些常见数的整除特征（倍数特征）：末位判别法2、5的倍数特征：末位上的数字是2、5 的倍数。4、25 的倍数特征：末两位上的数字是4、25 的倍数。8、125 的倍数特征：末三位上的数字是8、125 的倍数。截断求和法（从右开始截）9（及其因数3）的倍数特征：一位截断求和99（及其因数3、9、11、33）的倍数特征：两位截断求和999（及其因数3、9、27、37、111、 333）的倍数特征：三位截断求和截断求差法（从右开始截）11 的倍数特征：一位截断求差101 的倍数特征：两位截断求差精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 6 页 - - - - - - - - - - 小学奥数数论专题知识总结2 1001（及其因数7、11、13、77、91、143）的倍数特征：三位截断求差公倍数法6 的倍数特征： 2 和 3 的公倍数。先判断是否2 的倍数，再判断是否3 的倍数。12 的倍数特征： 4 和 3 的公倍数。先判断是否4 的倍数，再判断是否3 的倍数。3、奇数与偶数 （自然数按是否能被2 整除分类）（1）定义：奇数：不是2 的倍数的数。在自然数中，最小的奇数是1。偶数：是 2 的倍数的数。在自然数中，最小的偶数是0。（2） 数的奇偶性质：奇偶相连，奇偶相间，偶数个连续自然数中，奇偶各半。奇数个奇数的和是奇数；偶数个奇数的和是偶数；任意多个偶数的和是偶数；两个奇（偶）数的差是偶数；一个偶数与一个奇数的差是奇数；若 a 、b 为整数，则 a+b 与 a-b 有相同的奇偶性；n 个奇数的乘积是奇数，n 个偶数的乘积是 2n的倍数； 算式中有一个是偶数，则乘积必是偶数。连续的奇数或偶数差为2。如，与奇数m相邻的两个奇数分别是(m-2) 和(m+2)。奇偶分析：奇奇偶奇奇偶奇奇奇奇偶奇偶偶偶奇偶偶偶偶偶奇偶奇偶偶偶4、质数与合数 （非 0 自然数按因数个数分类）（1）定义：质数：只有1 和它本身两个因数的数。（因数个数：2 个）合数：除了1 和它本身还有其它因数的数。（因数个数：3 个或 3 个以上）（2）常见质数特征：1 既不是质数，也不是合数（1 只有 1 个因数）；2 是最小的质数；4 是最小的合数；2 是质数中唯一的偶数，也是偶数中唯一的质数（除2 外，其它质数都是奇数）。（3）100以内质数表（ 25 个）： 2、3、5、7、11、13、17、19、23、 29、31、37、41、43、47、 53、59、61、67、71、73、79、83、89、97 （4） 分解质因数唯一分解定理：任何一个大于1 的自然数N,如果 N不是质数，那么N可以唯一分解成有限个质数的乘积。质因数：如果某个质数是某个数的因数，那么这个质数叫做这个数的质因数。分解质因数：把一个合数写成它的几个质因数相乘的形式。如：28227 22 7 通常用短除法分解质因数。任何一个合数分解质因数的结果是唯一的。要求出乘积中末尾0 的个数，只需要知道这些乘数分解质因数后2 和 5 的个数，不用考虑其它质因数。（5） 互质数： 公因数只有1 的两个数为互质数。常见的互质数：相邻自然数： 8 和 9 相邻奇数： 21 和 23 2 与任意奇数： 2 和 15 不同的两个质数：11 和 17 1 与任意非零自然数：1 和 4 当合数不是质数的倍数时，这个合数和这个质数互质:3 和 14 公因数只有1 的两个合数： 6 和 25 如果几个数中任意两个都互质，就说这几个数两两互质：3、5、7 5、最大公因数与最小公倍数精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 6 页 - - - - - - - - - - 小学奥数数论专题知识总结3 （1）定义：最大公因数：几个数公有的因数叫这几个数的公因数，其中最大的一个叫做最大公因数，用(a ，b) 表示。最小公倍数：几个数公有的倍数叫这几个数的公倍数，其中最小的一个叫做最小公倍数，用a ，b 表示。（2） 最大公因数的性质：几个数都除以它们的最大公因数，所得的几个商是互质数。几个数的最大公因数都是这几个数的因数。几个数的公因数，都是这几个数的最大公因数的因数。几个数都乘一个自然数m ，所得的积的最大公因数等于这几个数的最大公因数乘m 。（3） 最小公倍数的性质：两个数的任意公倍数都是它们最小公倍数的倍数。两个数最大公因数与最小公倍数的乘积等于这两个数的乘积。即(a ，b) a ，b ab （4） 求最大公因数的方法：列举法短除法分解质因数法：先分解质因数，然后把相同的因数连乘起来。辗转相除法：每一次都用除数和余数相除，能够整除的那个余数，就是所求的最大公因数。（5） 求最小公倍数基本方法：列举法短除法分解质因数法（6） 分类求最大公因数和最小公倍数：倍数关系： a 是 b 的倍数， (a ，b) b，a ，b a 互质关系： a 与 b 互质， (a ，b) 1， a ，b ab 一般关系： a 与 b 不互质也不倍数，用短除法。(a ，b)左侧除数连乘积，a ，b 除数和商连乘积6、分解质因数的运用：（1）求一个数因数的个数列举法： 2 个一组列举分解质因数法：分解质因数所有不同质数出现次数+1 连乘积（指数加1 再相乘）如： 36023 32 5，360 的因数个数： (3+1) (2+1) (1+1) 43224（个）（2）求一个数的所有因数的和步骤：分解质因数所有不同质因数的各种取法之和的连乘积。如： 18022 32 5，180 的所有因数之和：(202122) (303132)(5051) 7 136 546 二、余数性质与同余问题1、余数的性质(1)余数小于除数。(2)若 a、b 除以 c 的余数相同，则(a-b) 或(b-a) 可以被 c 整除。(3)a 与 b 的和除以 c 的余数等于a 除以 c 的余数加 b 除以 c 的余数的和除以c 的余数。（和的余数余数的和）(4)a 与 b 的差除以 c 的余数等于a 除以 c 的余数减 b 除以 c 的余数的差除以c 的余数。（差的余数余数的差）(5)a 与 b 的积除以 c 的余数等于a 除以 c 的余数与 b 除以 c 的余数的积除以c 的余数。（积的余数余数的积）2、余数的计算（求余数）(1)末位判断法： 2，5，4，25，8，125 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 6 页 - - - - - - - - - - 小学奥数数论专题知识总结4 (2)数字求和法： 3，9各个数位上数字之和除以3 或 9 的余数某数除以3 或 9 的余数。如：234569。2+3+4+5+6+929，因为 29932，所以 2345699？ 2，即 23456929(mod 9) (3)截断求和法： 99，999 及其因数99（3、9、11、33）：两位截断求和，得到的和除以99 余数，即原数除以99 的余数。999（3、 9、27、 37、111、333）：三位截断求和，得到的和除以999 余数，即原数除以999 的余数。如： 12345。345+12=357,357 999，所以 12345999 余 357。(4)截断求差法：从右开始截断，奇段和偶段和。11，101，1001 及其因数7、11、13、77、91、143。11：一位截断作差。从右开始，1 位截断， (奇数位数字之和)-( 偶数位数字之和) 11 的余数 , 即为原数 11 的余数；如不够减，求出的负数+11。如： 234569。奇数位数字之和3+5+917，偶数位数字之和2+4+612，17-12 5，所以 23456911余 5，即 2345695(mod 11) 如： 98，（奇数位8偶数位 9）8-9-1 ，-1+11=10，则 9811 8 10，即 9810(mod 11) 101：两位截断作差。从右开始，2 位截断， ( 奇位和 )-( 偶位和 ) 101 的余数 , 即为原数 101 的余数；如不够减，求出的负数+101。1001（7、11、13、77、91、143）：三位截断作差。 从右开始， 3 位截断， ( 奇位和 )-( 偶位和 ) 1001的余数 , 即为原数 1001 的余数；如不够减，求出的负数+1001。3、费马小定理如果 p 是质数， a 是自然数，且a 不能被 p 整除，则 ap-1 1(mod p) 。即：假如a是自然数， p 是质数，且a,p 互质，那么a 的(p-1) 次方除以p 的余数恒等于1。如： a 是自然数 2，p 是质数 5，2 和 5 互质， 2（5-1）5 余 1。 a是自然数 10，p 是质数 3，10 和 3 互质， 10（3-1 ）3 余 1。4、同余问题（求除数）同余的定义：(1)若两个整数a、b 除以 m的余数相同，则称a、b 对于模 m同余。(2)已知三个整数a、b、m ，如果 m能被 (a-b) 整除，就称a、 b 对于模 m同余，记作ab(mod m)，读作 a同余于 b 模 m 。5、中国剩余定理（物不知数问题：求被除数）在一千多年前的孙子算经中有著名算题：今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二。问物几何？物不知数问题，又叫孙子问题、韩信点兵问题。方法：最小公倍数法：和同加和，余同加余，差同减差（缺同减缺）。列举法（逐步满足条件法）口诀法 ( 仅适应于 3、5、7)：三人同行七十稀，五树梅花廿一枝；七子团圆正半月，除百零五便得知。口诀法解释 ( 只看数字即可 )：将除以3 的余数乘 70，将除以5 的余数乘21，将除以7 的余数乘15，全部加起来后除以105，得到的余数就是答案。步骤： 270+321+215=140+63+30=233，233105=2 23 三、完全平方数完全平方数： 0,1,4,9,16,25,36,49,64,81,100,121,144,169,196,225,256,289,324,361,400,441,484完全平方数特征：(1)末位数字只能是：0、1、4、5、6、9；（个位数字是2、3、7、8 的一定不是完全平方数）(2)奇数的平方的个位数字是奇数，十位数字是偶数，如25,49,81 。（个位数和十位数都是奇数的整数一定不是完全平方数）(3)如果完全平方数的十位数字是奇数，则它的个位数字一定是6；反之，如果完全平方数的个位数字是精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 6 页 - - - - - - - - - - 小学奥数数论专题知识总结5 6，它的十位数字一定是奇数。如16,36,196 ，256。（个位数是6，十位数是偶数的一定不是平方数）(4)偶数的平方是4 的倍数，奇数的平方是4 的倍数加 1。(5)奇数的平方是8n+1 型，偶数的平方是8n 或 8n+4 型。（形如8n+2，8n+3，8n+5，8n+6，8n+7 型的一定不是完全平方数）(6)完全平方数的形式一定是3k 或 3k+1，即除以 3 余 0 或 1。（形如3k+2 的一定不是完全平方数）(7)完全平方数的形式一定是4k 或 4k+1，即除以 4 余 0 或 1。（形如4k+2 和 4k+3 的一定不是平方数）(8)能被 5 整除的数的平方是5k 型，不能被5 整除的数的平方是5k1 型。(9)完全平方数对的形式具有：16m ，16m+1 ，16m+4 ，16m+9 。(10) 完全平方数的各位数字之和只能是0,1,4,7,9。（各数位数字和是2、3、5、6、8 的一定不是平方数）(11) 若质数 p 能整除完全平方数a，则 p2 也能整除 a。(12) 两个相邻整数的平方之间不可能再有完全平方数。(13) 一个自然数n 是完全平方数的充要条件是n 有奇数个因数。（因数个数为奇数个的自然数是平方数）(14) 任何四个连续整数的乘积加1，必定是一个平方数。平方差公式： X2-Y2=(X-Y)(X+Y) 完全平方和公式：（X+Y）2=X2+2XY+Y2完全平方差公式：（X-Y）2=X2-2XY+Y2精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 5 页，共 6 页 - - - - - - - - - - 文档编码：KDHSIBDSUFVBSUDHSIDHSIBF-SDSD587FCDCVDCJUH 欢迎下载 精美文档欢迎下载 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 6 页，共 6 页 - - - - - - - - - -