2022年中考数学试题专题练习及解答点评-直角三角形.pdf

ABCa2010 年中考数学试题专题练习及解答点评- 直角三角形1.（2010 年辽宁省丹东市）如图，小颖利用有一个锐角是30的三角板测量一棵树的高度，已知她与树之间的水平距离BE为 5m ，AB为 1.5m（即小颖的眼睛距地面的距离），那么这棵树高是（） A （5 3332）m B （35 32）m C5 33m D4m 【关键词】解直角三角形【答案】 A2.（2010 江苏宿迁 ）小明沿着坡度为1:2 的山坡向上走了1000m，则他升高了（）A5200mB500mC3500mD1000m【关键词】坡角【答案】 A3.（2010 年日照市）如图，在等腰RtABC 中， C=90o，AC=6，D 是 AC 上一点，若tanDBA=51，则 AD 的长为（A）2（B）3（C）2（D）1 4.（2010 年湖北黄冈市）在ABC 中， C90， sinA45，则 tanB（）A43B34C35D455.（2010 年浙江省东阳县）如图，为了测量河两岸A、B两点的距离，在与AB垂直的方向点C处测得 AC a， ACB ，那么AB等于（）A、asin B、atan C、acos D、tana【关键词】 解直角三角形【答案】 B 6.（2010 江苏宿迁 ）17如图，在 RtABC 中， C=90， AM 是 BC边上的中线，53sinCAM，则Btan的值为【关键词】 解直角三角形第 6 题图B A E D C 30精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 13 页 - - - - - - - - - - A B 5 米第 14 题图【答案】327.(2010福建泉州市惠安县) 如图，先锋村准备在坡角为030山坡上栽树，要求相邻两树之间的水平距离为5 米，那么这两树在坡面上的距离AB为_米. 【关键词】解直角三角形【答案】33108、 （ 2010 年宁波市）如图，某河道要建造一座公路桥，要求桥面离地面高度AC 为 3 米，引桥的坡角ABC为15， 则引桥的水平距离BC 的长是 _米 （精确到0.1 米） 。【关键词】 坡角【答案】 11.2 9.（2010年河南）如图，RtABC 中， C=090, ABC=030，AB=6. 点 D在 AB边上，点 E是BC边上一点（不与点B、C重合），且 DA=DE ，则 AD 的取值范围是 .【答案】 2 AD 310.(2010 重庆市潼南县 )如图所示 , 小明在家里楼顶上的点 A 处，测量建在与小明家楼房同一水平线上相邻的电梯楼的高，在点A 处看电梯楼顶部点B 处的仰角为 60 ，在点 A处看这栋电梯楼底部点C 处的俯角为 45 ，两栋楼之间的距离为30m，则电梯楼的高BC为 米 （ 精 确 到0.1） .（ 参 考 数 据 ：414.12732.13）答案： 82.0 A B C 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 13 页 - - - - - - - - - - 11.（2010 年青岛）小明家所在居民楼的对面有一座大厦AB，AB80米为测量这座居民楼与大厦之间的距离，小明从自己家的窗户C 处测得大厦顶部A 的仰角为37 ，大厦底部 B 的俯角为 48 求小明家所在居民楼与大厦的距离CD 的长度（结果保留整数）（参考数据：oooo33711sin37tan37sin 48tan48541010，）【答案】 解：设 CD = x在 Rt ACD 中，tan37ADCD，则34ADx，34ADx .在 RtBCD 中，tan48 = BDCD，则1110BDx，1110BDx .ADBD=AB，31180410 xx解得： x4312 （2010 年山东省济宁市）如图，是一张宽的矩形台球桌，一球从点（点在长边上）出发沿虚线射向边，然后反弹到边上的点 . 如果，.那么点与点的距离为. 【关键词】直角三角形的应用【答案】(2010 年福建省德化县). (本题满分 10 分) 小明在某风景区的观景台O 处观测到北偏东50的P 处有一艘货船 ,该船正向南匀速航行,30 分钟后再观察时,该船已航行到O 的南偏东 40 ,且与 O 相距 2km 的 Q 处.如图所示 . 求: (1)OPQ 和OQP 的度数 ; (2)货船的航行速度是多少km/h? (结果精确到0.1km/h, 已知 sin50=cos40=0.7660, cos50=sin40=0.6428, tan50=1.1918,tan40=0.8391, 供选用 .) 【关键词】解直角三角形的公式（三角函数的运用）【答案】 解:建立如图所示的直角坐标系, A B 3748D C A 第 19题图精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 13 页 - - - - - - - - - - (1)设 PQx 轴, 垂足为 A,则 POA=40,QOA=50. 2 分 OPQ=50， OQP=40 4 分(2)设货船的航行速度是xkm/h,由（ 1）知， POQ=90. 5 分cosOQP=PQOQ. PQ=OQPOQcos. 7 分又， OQ=2km, PQ=.61.27660.0240cos2 8 分PQ 是货船 30 分钟的行程，货船的航行速度约为5.2 km/h. 10 分13 （2010 年山东省青岛市）小明家所在居民楼的对面有一座大厦AB，AB80米为测量这座居民楼与大厦之间的距离，小明从自己家的窗户C处测得大厦顶部A的仰角为37，大厦底部B的俯角为 48求小明家所在居民楼与大厦的距离CD的长度（结果保留整数）（参考数据：oooo33711sin37tan37sin 48tan48541010，）【关键词】【答案】 解：设CD = x在 RtACD中，tan37ADCD，则34ADx，34ADx . 在 RtBCD中，tan48 = BDCD，则1110BDx，1110BDx . ADBD=AB，31180410 xx解得：x43答：小明家所在居民楼与大厦的距离CD大约是 43 米14( 2010 重庆市 ) 已知：如图，在RtABC 中， C 90， AC3 点 D 为 BC 边上一点，且 BD2AD，ADC60求 ABC 的周长（结果保留根号）第 19 题图B 3748D C A 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 13 页 - - - - - - - - - - 解： C90， ADC60CD=ACtan30 =1，AD=22CDAC2)3(122. BD2AD=4. AB=22BCAC72， ABC 的周长 = AB +AC+ BC=5+72+3 . 15. （2010 江苏泰州）庞亮和李强相约周六去登山，庞亮从北坡山脚C 处出发，以24 米/分钟的速度攀登，同时，李强从南坡山脚B 处出发如图，已知小山北坡的坡度31 i，山坡长为240 米，南坡的坡角是45问李强以什么速度攀登才能和庞亮同时到达山顶A？（将山路AB、AC 看成线段，结果保留根号）【答案】过点A 作 ADBC 于点 D，在 RtADC 中，由3:1i得tanC=3331 C=30 AD=21AC=21 240=120(米) 在 RtABD 中， B=45 AB2AD1202（米）1202 （240 24）1202 10122（米 /分钟）答：李强以122米/分钟的速度攀登才能和庞亮同时到达山顶A【关键词】解直角三角形精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 5 页，共 13 页 - - - - - - - - - - 16 （2010 江苏泰州， 27， 12 分）如图，二次函数cxy221的图象经过点D29,3，与 x 轴交于 A、B 两点求c的值；如图， 设点 C 为该二次函数的图象在x 轴上方的一点， 直线 AC 将四边形ABCD 的面积二等分，试证明线段BD 被直线 AC 平分，并求此时直线AC 的函数解析式；设点 P、Q 为该二次函数的图象在x 轴上方的两个动点，试猜想：是否存在这样的点P、Q，使 AQP ABP？如果存在，请举例验证你的猜想；如果不存在，请说明理由 （图供选用）【答案】抛物线经过点D(29,3) 29)3(212cc=6. 过点 D、B 点分别作 AC 的垂线，垂足分别为E、F，设 AC 与 BD 交点为 M，AC 将四边形 ABCD 的面积二等分，即：SABC=SADC DE=BF又 DME =BMF ， DEM=BFE DEM BFMDM =BM 即 AC 平分 BDc=6.抛物线为6212xyA（0 ,32） 、B（0 ,32）M 是 BD 的中点M（49,23）设 AC 的解析式为y=kx+b，经过 A、M 点精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 6 页，共 13 页 - - - - - - - - - - 4923032bkbk解得591033bk直线 AC 的解析式为591033xy. 存在 设抛物线顶点为N(0，6)，在 Rt AQN 中，易得 AN= 4 3 ，于是以 A 点为圆心，AB= 4 3 为半径作圆与抛物线在x 上方一定有交点Q，连接 AQ，再作 QAB 平分线 AP 交抛物线于 P，连接 BP、PQ，此时由“边角边”易得 AQP ABP【关键词】二次函数、一次函数、解直角三角形及其知识的综合运用17.（2010 年广东省广州市）目前世界上最高的电视塔是广州新电视塔如图8 所示，新电视塔高 AB 为 610 米，远处有一栋大楼，某人在楼底C 处测得塔顶B 的仰角为45 ，在楼顶 D 处测得塔顶B 的仰角为39（1）求大楼与电视塔之间的距离AC；（2）求大楼的高度CD（精确到 1 米）4539DCAEB【关键词】锐角三角函数、直角三角形的边角关系【答案】（1）由题意， ACAB610（米）；（2）DE AC610（米），在 RtBDE 中，tanBDE BEDE，故 BEDEtan39因为 CDAE，所以 CDABDEtan39 610610tan39 116（米）答：大楼的高度CD 约为 116 米18. (2010 年福建晋江 )已知：如图， 有一块含30的直角三角板OAB的直角边长BO的长恰与另一块等腰直角三角板ODC的斜边OC的长相等， 把该套三角板放置在平面直角坐标系中，且3AB. (1)若双曲线的一个分支恰好经过点A，求双曲线的解析式；(2)若把含30的直角三角板绕点O按顺时针方向旋转后，斜边OA恰好与x轴重叠，点A落在点A，试求图中阴影部分的面积(结果保留). 解： (1) 在OBARt中，30AOB，3AB，ABOBAOBcot，（1 分）A OB C D Axy精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 7 页，共 13 页 - - - - - - - - - - 3330cotABOB，（2 分）点33,3A设双曲线的解析式为0kxky333k，39k，则双曲线的解析式为xy39（4 分）(2) 在OBARt中，30AOB，3AB，OAABAOBsin，OA330sin，6OA.（5 分）由题意得：60AOC，63606602AOAS扇形（7分）在OCDRt中，45DOC，33OBOC，263223345cosOCOD. （8 分）427263212122ODSODC. 27S64ODCAOASS阴扇形19. (201 0 年 浙 江 省 绍 兴 市 ) 如图, 小敏、小亮从A, B 两地观测空中C 处一个气球 , 分别测得仰角为30和 60, A,B 两地相距 100 m. 当气球沿与 BA 平行地飘移10 秒后到达 C处时 , 在 A 处测得气球的仰角为45.（1）求气球的高度（结果精确到0.1 ） ；（2）求气球飘移的平均速度（结果保留3 个有效数字）. 【答案】解 :( 1) 作 CDAB,C/EAB, 垂足分别为D, E.CD BDtan 60,CD （ 100BD） tan 30, （ 100BD） tan 30 BDtan 60,BD50, CD 50386.6 m ， 气球的高度约为86.6 m. ( 2) BD50, AB100, AD150 ,又 AE C/E503, DE 150503 63.40 ， 气球飘移的平均速度约为6.34 米/ 秒.第 20 题图第 20 题图A OB C D Axy精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 8 页，共 13 页 - - - - - - - - - - 20.（2010 年宁德市）我们知道当人的视线与物体表面互相垂直时的视觉效果最佳如图是小明站在距离墙壁1.60米处观察装饰画时的示意图，此时小明的眼睛与装饰画底部A处于同一水平线上，视线恰好落在装饰画中心位置E处，且与AD垂直 . 已知装饰画的高度 AD为 0.66 米，求：装饰画与墙壁的夹角CAD 的度数（精确到1） ；装饰画顶部到墙壁的距离DC（精确到 0.01 米） . 【答案】解：AD 0.66 ，AE 21CD 0.33. 在 RtABE中，sin ABE ABAE6. 133.0， ABE 12. CAD DAB 90， ABE DAB 90， CAD ABE 12. 镜框与墙壁的夹角CAD的度数约为12. 解法一：在 Rt ABE中，sin CAD ADCD，CD ADsin CAD 0.66 sin12 0.14. 解法二： CAD ABE ，ACD AEB 90， ACD BEA. A C D E B 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 9 页，共 13 页 - - - - - - - - - - 40m6030GFEDCBAABADAECD. 6.166.033.0CD. CD 0.14. 镜框顶部到墙壁的距离CD约是 0.14 米.21. （2010 年四川省眉山市） 如图，在一次数学课外实践活动中，要求测教学楼的高度AB 小刚在 D 处用高 1.5m 的测角仪CD，测得教学楼顶端A 的仰角为30 ，然后向教学楼前进 40m 到达 E，又测得教学楼顶端A 的仰角为 60 求这幢教学楼的高度AB【关键词】解直角三角形【答案】解：在RtAFG 中，tanAGAFGFGtan3AGAGFGAFG在 RtACG 中，tanAGACGCG3tanAGCGAGACG又40CGFG即3403AGAG20 3AG20 31.5AB（米）答：这幢教学楼的高度AB 为(20 31.5)米22 （2010 年浙江省东阳市）如图，BD为O的直径，点A 是弧 BC的中点， AD交 BC于 E点， AE=2 ，ED=4. （1）求证 :ABEABD；(2) 求tanADB的值；（3）延长 BC至 F，连接 FD，使BDF的面积等于8 3，求EDF的度数 . 【关键词】三角形相似、解直角三角形【答案】（）点A是弧 BC的中点又 分FOEADBC精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 10 页，共 13 页 - - - - - - - - - - （）3在中，33632 分（）连接，可得，则，是正三角形， 分23 （2010 年安徽中考）若河岸的两边平行，河宽为900 米，一只船由河岸的A 处沿直线方向开往对岸的B 处，AB 与河岸的夹角是600，船的速度为5 米/秒，求船从A 到 B处约需时间几分。 （参考数据：7 .13）【关键词】解直角三角形【答案】解：如图，过点B作 BC垂直洒岸，垂足为C，则在 RtACB 中，有0900600 3sinsin60BCABBAC因而时间60032 33.4560t（分）即船从 A 处到 B 处需 3.4 分. 24.(2010年山东聊城 )建于明洪武七年（1374 年） ，高度 33 米的光岳楼是目前我国现存的最高大、最古老的楼阁之一（如图）喜爱数学实践活动的小伟，在30 米高的光岳楼顶楼 P 处，利用自制测角仪测得正南方向商店A 点的俯角为60，又测得其正前方的海源阁宾馆B 点的俯角为30（如图）求商店与海源阁宾馆之间的距离（结果保留根号） 【关键词】解直角三角形【答案】由题意知PAO =60 B=30PO=30 米；在RTPAO中， tan PAO=OAPO, 第 20 题A PBO图6030图精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 11 页，共 13 页 - - - - - - - - - - 3=OA30, OA=103米. 在 RTPBO 中， tan B=OBPO , 33=OB30 , OB=303米.AB=OB-OA=303-103=203米答：商店与海源阁宾馆之间的距离为203米.25. (2010 年兰州市 )（本题满分8 分）如图是某货站传送货物的平面示意图. 为了提高传送过程的安全性，工人师傅欲减小传送带与地面的夹角，使其由45改为 30. 已知原传送带 AB长为 4 米. （1）求新传送带AC的长度；（2） 如果需要在货物着地点C的左侧留出2 米的通道，试判断距离B点 4 米的货物 MNQP 是否需要挪走，并说明理由( 说明：的计算结果精确到0.1 米，参考数据：21.41 ，31.73 ，52.24 ，62.45) 【关键词】 解直角三角形【答案】（1）如图，作ADBC于点D1 分RtABD中，AD=ABsin45 =42222 2 分在 RtACD中，ACD=30AC=2AD=246 .53 分即新传送带AC的长度约为6.5米4 分（2）结论：货物MNQP应挪走5 分解：在 RtABD中，BD=ABcos45=422226 分在 RtACD中，CD=AC cos30 =622324CB=CD BD=)26(222622.1 PC=PBCB42.1=1.9 2 7 分货物MNQP应挪走8 分第 24 题图26.（2010 年山东省济南市）我市某乡镇学校教学楼后面靠近一座山坡，坡面上是一块平地，如图所示， BCAD，斜坡 AB=40 米，坡角 BAD=600，为防夏季因瀑雨引发山体滑坡，保障安全，学校决定对山坡进行改造，经地质人员勘测，当坡角不超过450时，可确保B C E 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 12 页，共 13 页 - - - - - - - - - - 山体不滑坡，改造时保持坡脚A 不动，从坡顶B 沿 BC 削进到E 处，问BE 至少是多少米 (结果保留根号 )？【关键词】直角三角形【答案】解：作 BGAD 于 G，作 EFAD 于 F，1RtABG 中， BAD=600，AB=40， BG =AB sin600=203，AG = AB cos600=20 .3同理在 RtAEF 中， EAD=450，AF=EF=BG=203， .3BE=FG =AF-AG=20(13)米. .1精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 13 页，共 13 页 - - - - - - - - - -