2022年中考数学试题分类汇编专题梯形.pdf

2010 中考数学试题分类汇编专题梯形(解答题 ) 1 （ 2010 安徽芜湖 ） （本小题满分8 分）如图，直角梯形ABCD 中， ADC 90， ADBC，点 E 在 BC 上，点 F 在 AC 上， DFC AEB（1）求证： ADF CAE；（2）当 AD8，DC6，点 E、F 分别是 BC、AC 的中点时，求直角梯形ABCD 的面积（1）证明：【答案】2 （ 2010 广东广州， 18，9 分）如图 5，在等腰梯形ABCD 中， AD BC求证： AC180ABCD【答案】证明：梯形ABCD 是等腰梯形，B C又ADBC，A B180A C180精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 38 页 - - - - - - - - - - 3 （ 2010 江苏南京 ） （ 7 分）如图，四边形ABCD 的对角线AC、BD 相较于点O， ABC BAD 。求证：（1）OA=OB ； （2）AB CD. 【答案】4 （2010 江苏盐城）（本题满分8 分）如图，在梯形ABCD 中， ADBC，AB=CD=AD，BDCD（1）求 sinDBC 的值；（2）若 BC 长度为 4cm，求梯形 ABCD 的面积【答案】解： (1)AD=AB ADB=ABDADCBDBC=ADB=ABD（1 分）在梯形 ABCD 中， AB=CD， ABD+DBC=C=2DBCBDCD3DBC=90o DBC=30o （ 3 分）sinDBC=12（4 分）（2）过 D 作 DF BC 于 F（5 分）在 RtCDB 中， BD=BC cosDBC=23（cm）（6 分）在 RtBDF 中， DF=BD sinDBC=3（cm）（7 分）S梯=12(2+4) 3 =33 （cm2）（8 分）（其它解法仿此得分）5 （ 2010 江苏盐城）（本题满分12 分）如图 1 所示，在直角梯形ABCD 中， ADBC，ABBC， DCB =75o，以 CD 为一边的等边DCE 的另一顶点E 在腰 AB 上（1）求 AED 的度数；（2）求证： AB=BC；（3）如图 2 所示，若 F 为线段 CD 上一点， FBC=30oB A C D B A C D F （第 22 题图）精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 38 页 - - - - - - - - - - 求DFFC的值【答案】精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 38 页 - - - - - - - - - - 6 （2010 重庆） 已知：如图，在直角梯形ABCD中，ADBC，90ABC点E是DC的中点，过点E作DC的垂线交AB于点P， 交CB的延长线于点M 点F在线段ME上，且满足ADCF，MFMA（1）若120MFC，求证：MBAM2；（2）求证：FCMMPB2190【答案】证明：（1）连结MD （1 分）点E是DC的中点，MEDC，MDMC （2 分）又ADCF，MFMA，AMDFMC （3 分）MADMFC120 （4 分）ADBC，90ABC90BAD，30MAB （5 分）在 RtAMB中，30MAB，12BMAM，即2AMBM （6 分）（2）AMDFMC，ADMFCMADBC，ADMCMD24 题图MPFEDCBA精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 38 页 - - - - - - - - - - CMDFCM （7 分）MDMC，MEDC，DMECME12CMD （8分）12CMEFCM （9 分）在 RtMBP中，190902MPBCMEFCM （10 分）7 （2010 四川南充） 如图，梯形 ABCD 中，ADBC，点 M 是 BC 的中点， 且 MAMD 求证：四边形ABCD 是等腰梯形【答案】 证明： MAMD ， MAD 是等腰三角形，DAM ADM ADBC， AMB DAM ，DMC ADM AMB DMC 又点 M 是 BC 的中点， BMCM在 AMB和DMC中，,AMDMAMBDMCBMCMAMB DMCABDC，四边形ABCD 是等腰梯形8 （ 20XX年上海）已知梯形ABCD 中， AD/BC ， AB=AD （如图 7 所示） ， BAD 的平分线 AE 交 BC 于点 E，连结 DE.（1）在图 7 中，用尺规作 BAD 的平分线 AE（保留作图痕迹，不写作法），并证明四边形ABED 是菱形；（2）ABC 60，EC=2BE ，求证： EDDC.【答案】证明：(1)如图 AB=AD ，AE 为 BAD 的平分线， BG=DG, AD/BC ， ADG= GBE,DAG= GEB ADG EGB,AG=GE, 四边形 ABED 为平行四边形，AB=AD ，四边形ABED 是菱形 . （2）四边形ABED 是菱形 , ABC 60， DBE= BDE=30 ,BGE=90 , 设 GE=a,BD=2BG=23a，BE=2a,CE=4a,BC=6a, 33BDBEBCBD,DBE为公共角， BDE BCD, BDE= C, C=30 , DE AB, DEC= ABC=60 , CDE=90 , EDDC. 9 （ 2010 重庆綦江县）如图，直角梯形ABCD 中， ADBC， A90 ，ABAD6，DEADCBMBADC图 7 GEDCBA精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 5 页，共 38 页 - - - - - - - - - - DC 交 AB 于 E，DF 平分 EDC 交 BC 于 F，连结 EF（1）证明： EFCF；（2）当 tanADE13时，求 EF 的长FEDCBA【答案】解：（1）如图，过D 作 DGBC 于 G，连结 EF由已知可得四边形ABGD 为正方形DEDCADE EDG90 GDC EDGADEGDC又 ADGC 且 ADGDADEGDCDEDC 且 AEGC在EDF 和 CDF 中EDF CDF ，DEDC，DF 为公共边EDF CDF （SAS）EFCFGFEDCBA（2） tanADE 13AEADAEGC2 设 EFx，则 BF8CF 8x，BE4 由勾股定理x228x（ ）42解得： x5， EF510 （2010 江苏连云港）（本题满分10 分）如果一条直线把一个平面图形的面积分成相等的两部分， 我们把这条直线称为这个平面图形的一条面积等分线如，平行四边形的一条对线所在的直线就是平行四边形的一条面积等分线（1）三角形的中线、高线、角平分线分别所在的直线一定是三角形的面积等分线的有_；精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 6 页，共 38 页 - - - - - - - - - - ABECD图 1 ABCD图 2 （2）如图 1，梯形 ABCD 中， ABDC，如果延长DC 到 E，使 CEAB，连接 AE，那么有 S梯形ABCDSABE请你给出这个结论成立的理由，并过点A 作出梯形ABCD的面积等分线（不写作法，保留作图痕迹）；（3）如图，四边形ABCD 中， AB 与 CD 不平行， SADCSABC，过点 A 能否作出四边形 ABCD 的面积等分线？若能，请画出面积等分线，并给出证明；若不能，说明理由【答案】11 （2010 河北） 如图 16，在直角梯形ABCD 中， AD BC，90B，AD = 6，BC = 8，33AB，点 M 是 BC 的中点点 P 从点 M 出发沿 MB 以每秒 1 个单位长的速度向点B 匀速运动，到达点B 后立刻以原速度沿BM 返回；点 Q 从点 M 出发以每秒1 个单位长的速度在射线 MC 上匀速运动在点P，Q 的运动过程中，以PQ 为边作等边三角形EPQ，使它与梯形 ABCD 在射线 BC 的同侧点P，Q 同时出发，当点P 返回到点M 时停止运动，点Q也随之停止精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 7 页，共 38 页 - - - - - - - - - - 设点 P，Q 运动的时间是t 秒(t0)（1）设 PQ 的长为 y，在点 P 从点 M 向点 B 运动的过程中，写出y 与 t 之间的函数关系式（不必写t 的取值范围） （2）当 BP = 1 时，求 EPQ 与梯形 ABCD 重叠部分的面积（3）随着时间t 的变化，线段AD 会有一部分被EPQ 覆盖，被覆盖线段的长度在某个时刻会达到最大值，请回答：该最大值能否持续一个时段？若能，直接写出t的取值范围；若不能，请说明理由【答案】 解： （1）y = 2t；（2）当 BP = 1 时，有两种情形：如图 6，若点 P 从点 M 向点 B 运动，有MB = BC21= 4，MP = MQ = 3，PQ = 6连接 EM， EPQ 是等边三角形， EMPQ33EMAB = 33，点 E 在 AD 上 EPQ 与梯形 ABCD 重叠部分就是EPQ，其面积为39若点 P 从点 B 向点 M 运动，由题意得5tPQ = BM + MQBP = 8，PC = 7设 PE 与 AD 交于点 F，QE 与 AD 或 AD 的延长线交于点G，过点P 作 PH AD 于点 H ，则M A D C B P Q E 图 16 A D C B （备用图）M A D C B P M Q E F H G A D C B P M Q E 图 6 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 8 页，共 38 页 - - - - - - - - - - HP = 33，AH = 1在 RtHPF 中， HPF = 30，HF = 3，PF = 6 FG = FE = 2又 FD = 2，点 G 与点 D 重合，如图 7 此时 EPQ 与梯形 ABCD 的重叠部分就是梯形FPCG，其面积为3227（3）能4t512 （2010 浙江湖州） 如图，已知在梯形ABCD 中， DCAB，AD BC，BD 平分 ABC，A60 ，（1）求 ABD 的度数；（2）若 AD2，求对角线BD 的长【答案】（1） DCAB，ADBC，梯形 ABCD 是等腰梯形，ABC A60 ，又 BD 平分 ABC， ABD CBD12ABC30 （ 2） A 60 ， ABD 30 ， ADB 90 ， AB 2AD 4，对角线BD 22422 313 （2010 山东滨州） 如图，四边形ABCD中， E、F、G、H 分别是AB、 BC、CD、DA的中点 . (1) 请判断四边形EFGH 的形状？并说明为什么. (2) 若使四边形EFGH 为正方形，那么四边形ABCD 的对角线应具有怎样的性质？【答案】解： (1) 四边形 EFGH 为平行四边形 .1分连接AC . .2分精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 9 页，共 38 页 - - - - - - - - - - E、F 分别是 AB 、BC的中点， EF AC ， EF=21AC. 同理 HG AC ，HG=21AC. EFHG, EF=HG. 四边形 EFGH 是平行四边形 . . .4分(2) 四边形 ABCD 的对角线垂直且相等. 14 （2010 广东中山） 已知两个全等的直角三角形纸片ABC 、DEF，如图（ 1）放置，点 B、D 重合，点 F 在 BC 上，AB 与 EF 交于点 G，C=EFB=090，E= ABC=030，AB=DE=4 （1）求证： EGB 是等腰三角形；（2）若纸片 DEF 不动，问 ABC 绕点 F 逆时针旋转最小度时，四边形ACDE 成为以ED 为底的梯形（如图（2） ） 求此梯形的高【答案】（1）证明：在Rt EFB中， E=030 EBF=060又 ABC=030 EBG= E=030EG=BG EGB 是等腰三角形（2）解：答案填30，设 CB交 DE于点 M ，当 BFD=030时， FMD=090所以， AC DE，即四边形 ACDE 成为以 ED 为底的梯形在 RtABC和 RtDEF中， E=ABC=030，AB=DE=4 ，BC=32，DF=2 CF=32-2 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 10 页，共 38 页 - - - - - - - - - - 在 RtFDM中，求得 FM=3CM=32-2+3=33-2 故梯形的高为33-2 15 （2010 湖北荆州） 如图，直角梯形OABC 的直角顶点O 是坐标原点，边OA， OC 分别在 x 轴、 y 轴的正半轴上， OA BC， D 是 BC 上一点，BD=41OA=2， AB=3 ， OAB=45 ，E、F 分别是线段OA 、AB上的两动点，且始终保持DEF=45（1）直接写出D 点的坐标；（2）设 OE=x，AF=y，试确定y 与 x 之间的函数关系；（3）当 AEF 是等腰三角形时，将AEF 沿 EF 折叠，得到EFA，求EFA与五边形 OEFBC 重叠部分的面积【答案】解： （1）D点的坐标是)223,223(.（2）连结 OD,如图（ 1） ，由结论（ 1）知： D在 COA 的平分线上，则DOE= COD=45 ,又在梯形 DOAB 中， BAO=45 , OD=AB=3 由三角形外角定理得：1=DEA-45, 又 2=DEA-45 1=2, ODE AEF AEODAFOE，即：xyx243y 与 x 的解析式为：xxy324312（3）当 AEF为等腰三角形时，存在EF=AF或 EF=AE或 AF=AE共 3 种精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 11 页，共 38 页 - - - - - - - - - - 情况 . 当 EF=AF时，如图（ 2）. FAE=FEA= DEF=45 , AEF为等腰直角三角形.D 在 AE上（ AEOA ）, B在 AF上（ AFEF） AEF与五边形 OEFBC 重叠的面积为四边形 EFBD的面积 . 22522324CDOAOEOAAE252222545sin0AEAF825)25(21AFEF21S2AEF421223)2252(21DEAE)(BD21AEDB梯形S817825-421S-SSAEFAEDBBDEF梯形四边形（也可用BDAEFAS-SS阴影）当 EF=AE时，如图（ 3） ，此时 AEF与五边形 OEFBC 重叠部分面积为AEF面积 . DEF= EFA=45 ， DEAB ， 又 DB EA 四边形 DEAB是平行四边形AE=DB=2EFAE21SSAEFEFA精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 12 页，共 38 页 - - - - - - - - - - 1)2(21S2EFA/当 AF=AE时，如图（ 4） ，四边形AEA F 为菱形且 AEF在五边形OEFBC 内 . 此时 A EF与五边形 OEFBC 重叠部分面积为AEF面积 . 由（ 2）知 ODE AEF,则 OD=OE=3 AE=AF=OA-OE=324过 F 作 FH AE于 H,则22342232445sin?AFFH448-241223-43-2421FHAE21SSAEFEFA?综上所述， AEF与五边形 OEFBC 重叠部分的面积为817或 1 或448-24116 （2010 湖北省咸宁） 如图，直角梯形 ABCD 中，ABDC，90DAB，24ADDC，6AB动点 M 以每秒 1 个单位长的速度，从点A 沿线段 AB 向点 B 运动；同时点P 以相同的速度， 从点 C 沿折线 C-D-A 向点 A 运动当点 M 到达点B 时，两点同时停止运动过点 M 作直线 lAD，与线段 CD 的交点为 E，与折线 A-C-B 的交点为Q点 M 运动的时间为 t（秒）（1）当0.5t时，求线段QM的长；（2）当 0t2 时，如果以C、P、Q 为顶点的三角形为直角三角形，求t 的值；（3）当 t2 时，连接PQ 交线段 AC 于点 R请探究CQRQ是否为定值，若是，试求这个定值；若不是，请说明理由【答案】解： （1）过点 C 作CFAB于 F，则四边形AFCD 为矩形4CF，2AF此时， RtAQMRtACF2 分A B C D （备用图 1）A B C D （备用图 2）Q A B C D l M P （第 24 题）E Q A B C D l M P E F 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 13 页，共 38 页 - - - - - - - - - - QMCFAMAF即40.52QM，1QM（2）DCA为锐角，故有两种情况：当90CPQ时，点 P 与点 E 重合此时DECPCD，即2tt，1t当90PQC时，如备用图1，此时 RtPEQRtQMA，EQMAPEQM由（ 1）知，42EQEMQMt，而()(2)22PEPCCEPCDCDEttt，421222tt53t综上所述，1t或53（3）CQRQ为定值当t2 时，如备用图2，4(2)6PADADPtt由（ 1）得，4BFABAFCFBF45CBF6QMMBtQMPA四边形 AMQP 为矩形PQABCRQCAB224 22263CQBCCFBFRQABAB17 （2010 北京） 已知：如图，在梯形ABCD中，ADBC，ABDCAD2，BC4求B的度数及AC的长【答案】解法一：分别作AFBC，DGBC，F、G是垂足AFBDGC90ADBC，四边形AFGD是矩形AFDGABDC，A B C D （备用图 1）Q P E l M A B C D （备用图 2）M Q R F P 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 14 页，共 38 页 - - - - - - - - - - RtAFBRtDGCBFCGAD2，BC4，BF1在 RtAFB中，cosBBFAB12，B60BF1AF3由勾股定理，得AC2 3B60，AC2 3解法二：过A点作AEDC交BC于点EADBC，四边形AECD是平行四边形ADEC，AEDCABDCAD2，BC4，AEBEECAB可证 BAC是直角三角形，ABE是等边三角形BAC90，B60在 RtABC中，ACABtan602 3B60，AC2 3精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 15 页，共 38 页 - - - - - - - - - - 18 （2010 北京）问题 : 已知ABC中，BAC=2ACB，点D是ABC内的一点，且AD=CD，BD=BA，探究DBC与ABC度数的比值请你完成下列探究过程：先将图形特殊化，得出猜想，再对一般情况进行分析并加以证明（1）当BAC=90时，依问题中的条件补全右图观察图形，AB与AC的数量关系为；当推出DAC=15时，可进一步推出DBC的度数为；可得到DBC与ABC度数的比值为（2）当BAC90时，请你画出图形，研究DBC与ABC度数的比值是否与（1）中的结论相同，写出你的猜想并加以证明【答案】解： （1）相等； 15； 1:3 (2) 猜想：DBC与ABC度数的比值与（1）中的结论相同证明：如图2，作KCA=BAC，过B点作BKAC，交CK于点K，连结DK. BAC90四边形ABKC是等腰梯形CK=AB，DC=DA，DCA=DACKCA=BAC，KCD=3KCDBAD2=4，KD=BD，BKAC，ACB=6KCA=2ACB，5=ACB，5=6KC=KB，KD=BD=KBCBA精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 16 页，共 38 页 - - - - - - - - - - KBD=60ACB=6=601， BAC=2ACB=120211 +(60 1) +(120 21)+ 2=180 2=21DBC与ABC度数的比值为1：319 （2010 河南） 如图，在梯形ABCD 中，AD BC,E是 BC的中点， AD=5 ，BC=12 ，CD=42，C=045，点 P 是 BC 边上一动点，设PB 长为 x.(1) 当 x 的值为时，以点P、A、D、E为顶点的四边形为直角梯形. (2) 当 x 的值为时，以点P、A、D、E为顶点的四边形为平行网边形. (3)点 P在 BC边上运动的过程中，以点P、A、D、E为顶点的四边形能否构成菱形？试说明理由 . 【答案】（1）3 或 8；（2）1 或 11；（3）由（ 2）知，当 BP = 11时，以点 P、A、D、E 为顶点的四边形是平行四边形. EP = AD = 5. 过 D 作 DF BC 于 F，则 DF = FC = 4 ， FP = 3. DP = 2222345FPDF. EP = DP, 故此时平行四边形PDAE 是菱形 . 即以点 P、A、D、E为顶点的四边形能构成菱形. 20 （2010 四川乐山） 在 ABC 中，D 为 BC 的中点， O 为 AD 的中点，直线l 过点 O. 过 A、B、C 三点分别做直线l 的垂线，垂足分别是G、E、F，设 AG=h1，BE=h2，CF=h3.（1）如图（ 12.1） ，当直线 lAD 时（此时点G 与点 O 重合） . 求证： h2+h3=2h1；（2）将直线 l 绕点 O 旋转，使得l 与 AD 不垂直 .如图（ 12.2） ，当点 B、C 在直线 l 的同侧时，猜想（1）中的结论是否成立，请说明你的理由；如图（ 12.3） ，当点 B、C 在直线 l 的异侧时，猜想h1、h2、h3满足什么关系.（只需写出关系，不要求说明理由）精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 17 页，共 38 页 - - - - - - - - - - 【答案 】25.（1）证明： BEl，GFl，四边形 BCFE 是梯形 .又GDl，D 是 BC 的中点，DG 是梯形的中位线，BE+CF=2DG.又 O 为 AD 的中点， AG=DG，BE+CF=2AG.即 h2+h3=2h1.（2）成立 .证明：过点D 作 DH l，垂足为 H，AGO=DHO =Rt， AOG=DOH，OA=OD，AGO DHO ，DH=AG.又D 为 BC 的中点，由梯形的中位线性质，得 2 DH=BE+CF，即 2 AG =BE+CF，h2+h3=2h1成立 .（3）h1、h2、h3满足关系： h2h3=2h1. （说明：（3）问中，只要是正确的等价关系都得分）21 （2010 黑龙江哈尔滨）如图，在平面直角坐标系中，点O 是坐标原点，四边形AOCB是梯形， AB OC，点 A 的坐标为（ 0，8） ，点 C 的坐标为（ 10，0） ，OB OC（1）求点 B 的坐标；（2）点 P从 C 点出发，沿线段CO 以 5 个单位 /秒的速度向终点O 匀速运动，过点P作PHOB，垂足为H，设 HBP 的面积为S（ S0） ，点 P 的运动时间为t 秒，求 S与 t 之间的函数关系式（直接写出自变量t 的取值范围） ；（3）在（ 2）的条件下，过点P作 PMCB 交线段 AB 于点 M，过点 M 作 MROC，垂足为 R，线段 MR 分别交直线PH、OB 于点 E、G，点 F 为线段 PM 的中点，连接 EF，当 t 为何值时，25EGEF？h2h1E F G O C A B D h3l h3h1h2E F l C A B D O (G) O h2h1h3F E G l C A B D 图（ 12.3）图（ 12.2）图（ 12.1）精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 18 页，共 38 页 - - - - - - - - - - 【答案】解： （1）如图 1，过点 B 作 BN OC，垂中为N 由题意知 OB=OC=10 ，BN=OA=8 622BNOBON 1 分 B（6，8）（2）如图 1，90OHPONBPOHBONBOHPHBNOHONPOBOPOHtPHtOHtOPtPC48,36,510,543)36(10ttOHOBBH) 20(1646)48)(43(212tttttS（3）当点 G 在点 E 上方时，如图 2，过点 B 作OCBN，垂足为N54, 4,822CNBNCBCNBNPMBCPCBM/,/四边形 BMPC 是平行四边形54BCPMOBCOCBOBOCtPCBM,5 PMCB OPD=OCB ODP=OBC OPD=ODP OPD+RMP=90 ODP+DPH=90RMP= DPH EM=EF 点 F 为 PM 的中点EFPM EMF= PMR EFM= PRM=90 MEF MPR 分分其中13252255514852222EGEMMGEGEGEFEFMEMRPMPRMRPMMFPREFMRMFMPME AB/OC MBG= BON 又 GMB= ONB=90精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 19 页，共 38 页 - - - - - - - - - - MGB NBO 49BMONMBBNMG209495tt当点 G 在点 E 下方时如图 3 同理可得MG=ME+EG=5+2=7 20214215ttBM.25,2021209EGEFt时或当22 （2010 江苏徐州） 如图，梯形ABCD 中， C=90动点E、F同时从点B出发，点E沿折线 BA AD DC运动到点 C时停止运动，点F沿 BC运动到点 C时停止运动，它们运动时的速度都是1 cm/s 设 E、F 出发 t s 时，EBF的面积为y cm2已知 y 与 t 的函数图象如图所示，其中曲线OM 为抛物线的一部分，MN 、NP为线段请根据图中的信息，解答下列问题： (1)梯形上底的长AD=_cm ，梯形 ABCD 的面积 _cm2； (2)当点 E在 BA 、DC上运动时，分别求出y 与 t 的函数关系式 ( 注明自变量的取值范围) ； (3)当 t 为何值时， EBF 与梯形 ABCD 的面积之比为1： 2. 【答案】精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 20 页，共 38 页 - - - - - - - - - - 23 （2010 云南昆明） 已知：如图，在梯形ABCD 中， AD BC， DCB = 90， E是 AD的中点，点P 是 BC 边上的动点（不与点B 重合），EP 与 BD 相交于点O. （1）当 P 点在 BC 边上运动时，求证：BOP DOE；（2）设（ 1）中的相似比为k，若 ADBC = 23. 请探究：当k 为下列三种情况时，四边形 ABPE 是什么四边形？当k= 1 时，是；当k= 2 时，是；当k= 3 时，是. 并证明k= 2 时的结论 . 【答案】（1）证明： AD BC OBP=ODE 在 BOP和DOE 中A B C D E P O 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 21 页，共 38 页 - - - - - - - - - - OBP=ODE BOP=DOE BOPDOE ( 有两个角对应相等的两三角形相似 ) （2）平行四边形直角梯形等腰梯形证明： k = 2时，BP2DEBP = 2DE =AD 又 ADBC = 23 BC=32AD PC = BC - BP =32AD - AD =12AD = ED EDPC, 四边形 PCDE是平行四边形 DCB = 90四边形 PCDE是矩形 EPB=90 又在直角梯形 ABCD 中AD BC, AB 与DC不平行 AEBP, AB 与EP不平行四边形 ABPE 是直角梯形24 （2010 广东东莞） 已知两个全等的直角三角形纸片ABC、DEF ，如图放置，点B、D重合，点 F 在 BC 上，AB 与 EF 交于点 G C EFB90， E ABC30，ABDE4求证： EGB 是等腰三角形；若纸片DEF 不动，问 ABC 绕点 F 逆时针旋转最小度时，四边形ACDE 成为以 ED为底的梯形（如图） 求此梯形的高图（ 2）ABDFGECEGF（D）CBA图（ 1）【答案】EFB90， ABC30 EBG30 E30精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 22 页，共 38 页 - - - - - - - - - - E EBG EGBG EGB 是等腰三角形在 RtABC 中， C90， ABC30， AB4 BC32；在 RtDEF 中， EFD90， E30， DE 4 DF 2 CF232四边形 ACDE 成为以 ED 为底的梯形EDAC ACB90EDCB EFB90， E30 EBF60DE4DF2 F 到 ED 的距离为3梯形的高为233323225 （2010 江苏镇江） 探索发现（本小题满分9 分）如图，在直角坐标系OCDRtOABRtxOy和中,的直角顶点A，C 始终在 x轴的正半轴上， B，D 在第一象限内，点B 在直线 OD 上方， OC=CD ，OD=2，M 为 OD 的中点， AB 与 OD 相交于 E，当点 B 位置变化时，.21的面积恒为OABRt试解决下列问题：（1）填空：点D 坐标为；（2）设点 B 横坐标为 t，请把 BD 长表示成关于t 的函数关系式，并化简；（3）等式 BO=BD 能否成立？为什么？（4）设 CM 与 AB 相交于 F，当 BDE 为直角三角形时，判断四边形BDCF 的形状，并证明你的结论. 【答案】（1）)2,2(； （1 分）精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 23 页，共 38 页 - - - - - - - - - - （2）),1,(,21ttBOABRt得的面积为由,)(222CDABACBD4)1(221)21()2(22222ttttttBD（2 分）.)21(2)1(22)1(22tttttt（3 分）.21|21|ttttBD（4 分） （注：不去绝对值符号不扣分）（3）法一 若 OB=BD ，则.22BDOB,1,22222ttABOAOBOABRt中在由得, 4)1(2212222tttttt（5 分）)6(.,024)2(,012,2122分此方程无解得BDOBtttt法二 若 OB=BD ，则 B 点在 OD 的中垂线 CM 上. ),22,22(,),0,2(MOCMRtC可求得中在等腰直线 CM 的函数关系式为2xy，（ 5 分）,1,21xyBOABRt点坐标满足函数关系式得的面积为由联立，得：0122xx，)6(.,024)2(2分此方程无解BDOB法三 若 OB=BD ，则 B 点在 OD 的中垂线 CM 上，如图27 1 过点 B 作,HyCMGyBG轴于交轴于精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 24 页，共 38 页 - - - - - - - - - - )6(.)5( ,2121222121,210分矛盾显然与分而BDOBSSSSSSSBGHNODOCMOCOMHOABOBG（4）如果45,BEDBDE因为为直角三角形，当三点重合此时时MEFEBD,90，如图 27 2 ./,DCBFxDCxBF轴轴此时四边形BDCF 为直角梯形 .（7 分）当,90 时EBD如图 27 3 ./,./,DCBFxDCxABCFBDODCF轴轴又精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 25 页，共 38 页 - - - - - - - - - - 此时四边形BDCF 为平行四边形 .（8 分）下证平行四边形BDCF 为菱形：法一 在222,BDODOBBDO中，,221,4)1(221412222tttttttt方法 ODBDtt在,01222上方121, 12;21, 12tttt或解得（舍去） . 得),12,12(B方法 由得：.222221ttBD此时,2CDBD此时四边形BDCF 为菱形（ 9 分）法二 在等腰EDBRtOAERt与等腰中)9(.,2.221,122,22)22(2.22,2,分为菱形此时四边形此时法一以下同即则BDCFCDBDtttttttBEAEABTBDEDtOEtAEOA26 （2010 广东汕头） 已知两个全等的直角三角形纸片ABC、DEF，如图（ 1）放置，点B、D 重合，点 F 在 BC 上， AB 与 EF 交于点 GC EFB 90o ， E ABC 30o ，ABDE4（1）求证： EGB 是等腰三角形；（2）若纸片 DEF 不动，问 ABC 绕点 F 逆时针旋转最小_度时，四边形ACDE 成为以ED 为底的梯形（如图（2） ） 求此梯形的高【答案】（1）证明： CEFB90o ， E ABC 30o ，第 20 题图（ 1）A B C E F F B （D）G G A C E D 第 20 题图（ 2）精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 26 页，共 38 页 - - - - - - - - - - EDF60o ， GBE E30o ，GBGE EGB 是等腰三角形（2） 解：在 RtBEF 中，由E30o得 BF21BE 2， EF BC4， BC32CF232四边形 ACDE 是以 ED 为底的梯形ACDEACBCDEBC DFB90oEDF30o旋转的最小角是30o设图（ 2）中 CB 交 DE 于点 M，则 FM3CMCFFM 2323233，即此梯形的高为23327 （2010 四川 泸州 ）在ABC 中， D、E 分别是 AB、AC 的中点， DE=4 ，则 BC=【答案】 8 28 （ 2010 湖南湘潭）如图，在直角梯形ABCD中， AB DC ， D=90o