2022年九年级数学上册213二次函数与一元二次方程名师教案沪科版 .pdf

二次函数与一元二次方程教学目标1理解二次函数与一元二次方程的关系，会判断抛物线与x轴的交点个数、掌握方程与函数间的转化2会利用二次函数的图象求相应一元二次方程的近似解3探求利用图象求一元二次方程根的过程，掌握数形结合的思想方法教学重难点探索二次函数图象与一元二次方程的关系，理解抛物线与x轴交点情况， 利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根；函数方程x轴交点，三者之间的关系的理解与运用教学过程导入新课出示二次函数的图象，如图所示，根据图象回答：1x为何值时，y 0? 2你能根据图象，求方程x22x30 的根吗？3函数yx22x3 与方程x22x30 之间有何关系呢？推进新课一、合作探究【问题 1】 画出函数yx23x 2 的图象，根据图象回答下列问题(1) 图象与x轴交点的坐标是什么？(2) 当x取何值时，y0？这里x的取值与方程x23x20 有什么关系？(3) 你能从中得到什么启发？教学设计： 1. 先让学生回顾函数yax2bxc图象的画法，按列表、描点、连线等步骤画出函数yx23x 2 的图象2教师巡视，与学生合作、交流3教师讲评，并画出函数图象4教师引导学生观察函数图象，回答 (1) 提出的问题， 得到图象与x轴交点的坐标分别是( 1,0) 和( 2,0) 5让学生完成 (2) 的解答教师巡视指导并讲评6对于问题 (3) ，教师组织学生分组讨论、交流，各组选派代表发表意见，全班交流，达成共识：从“形”的方面看，函数yx23x2 的图象与x轴 交点的横坐标，即为方程x23x20 的解；从“数”的方面看，当二次函数yx23x2 的函数值为0 时，相应的自变量的值即为方程x23x20 的解更一般地， 函数yax2bxc的图象与x轴 交点的横坐标即为方程ax2bxc 0 的解；当二次函数yax2bxc的函数值为0 时，相应的自变量的值即为方程ax2bxc0 的解，这一结论反映了二次函数与一元二次方程的关系【问题 2】 画出二次函数yx22x，yx2 2x1，yx22x 2 的图象，并根据图象观察：(1) 每个图象与x轴有几个交点？(2) 一元二次方程x22x0，x22x10，x22x20 各有几个根？用根的判别式验证一下，你有什么发现？精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 6 页 - - - - - - - - - - 二次函数yax2bxc的图象和x轴交点有三种情况：有两个交点；有一个交点；没有交点当二次函数yax2bxc的图象和x轴有交点时，交点的横坐标就是当y0 时自变量x的值，即一元二次方程ax2bxc0 的根二次函数yax2bxc的图象和x轴交点的个数与一元二次方程ax2bxc0 根的关系：二次函数yax2bxc的图象与x轴交点一元二次方程ax2bxc0 的根一元 二次方程ax2bxc0的根的判别式b24ac有两个交点有两个相异实数根b2 4ac 0 有一个交点有两个相等实数根b2 4ac 0 没有交点没有实数根b2 4ac 0 【问题 3】 根据问题1 的图象回答下列问题：(1) 当x取何值时，y0？当x取何值时，y 0? 当 2x 1时，y0；当x2 或x 1 时，y0. (2) 能否用含有x的不等式来描述(1) 中的问题？能用含有x的不等式来描述(1) 中的问题，即x23x20 的解集是什么？x23x20 的解集是什么？【问题 4】 想一想：二次函数与一元二次不等式有什么关系？让学生类比二次函数与一元二次方程的关系，讨论、交流，达成共识：(1) 从“形”的方面看，二次函数yax2bxc在x轴上方的图象上的点的横坐标，即为一元二次不等式ax2bxc 0 的解；在x轴下方的图象上的点的横坐标，即为一元二次不等式ax2bxc0 的解(2) 从“数”的方面看，当二次函数yax2bxc的函数值大于0 时，相应的自变量的值即为一元二次不等式ax2bxc0 的解；当二次函数yax2bxc的函数值小于0时，相应的自变量的值即为一元二次不等式ax2bxc0 的解这一结论反映了二次函数与一元二次不等式的关系【问题 5】利用函数yx22x2 的图象，求方程x22x20 的实数根 (精确到 0.1) 分析： 用描点法画函数yx22x2 的图象，图象要求尽可能准确( 如图 ) 方法一：确定抛物线与x轴的两个交点的位置，估计方程x2 2x2 0 两根的范围观察图象，x10.7 时，y的值最接近于0；x22.7 时，y的值最接近于0. 从而估计方程的根为x1 0.7 ，x22.7.方法二：观察图象发现，当自变量为2 时，函数值小于0；当自变量为3 时，函数值大于 0，抛物线是一段连续曲线，所以在2 和 3 之间的某个值，函数值为0，即在 2 和 3 之间有根采用“逐渐逼近”的方法，逐步缩小两个数值的范围，直到确定符合条件的近似根：将2.5 代入函数中，函数值小于0，所以方程在2.5 与 3 之间有一个根；将2.75 代入函数中，函数值大于0，所以方程在2.5 与 2.75 之间有一个根；最后确定这个根大约是2.7. 采用同样的方法，确定另一个根大约是0.7. 点拨：此题看起来容易， 实际上学生不容易理解，做起来有一定难度故教师应多指导，理清思路二、应用示例【例 1】 如图所示，精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 6 页 - - - - - - - - - - (1) 一元二次方程x22x 30 的根是多少？(2) 一元二次方程x22x 33 的根是多少？(3) 不等式x22x33 的解集是什么？(4) 一元二次方程x22x 3k有两个根，则k的取值范围是什么？解： 根据图象知：(1) 方程x22x30 的两根为x1 1，x23. (2) 方程x22x33 的两根为x10，x22. (3) 不等式x22x33 的解集是 0 x2. (4)k的取值范 围是k4. 点评： 此题充分展示了二次函数与一元二次方程、一元二次不等式的关系【例 2】 已知抛物线yx2(2k1)xk2k. (1) 求证：此抛物线与x轴有两个不同的交点；(2) 当k0 时，求此抛物线与坐标轴的交点坐标分析： (1) 证 明方程x2(2k1)xk2k0 有两个不相等的实数根即可(2) 通过解方程，求值即可点拨：(1) 注意利用b24ac的值判断二次方程ax2bxc0 的根的情况 判断yax2bxc与x轴交点的个数(2) 掌握抛物线与坐标轴交点的求法三、巩固提高1抛物线yx22kx2 与x轴交点的个数有( ) A0 个B1 个C2 个D以上都不对2小强从如图所示的二次函数yax2bxc的图象中，观察得出了下面五条信息：(1)a0；(2)c1；(3)b0；(4)abc0；(5)abc0. 你认为其中，正确信息的个数有( ) A2 个B3 个C 4 个D5 个3若抛物线yax2bx3 与yx23x 2 的两交点关于原点对称，则a、b分别为_4 如图所示，抛物线yax2bxc(a0)与x轴的两个交点分别为A( 1,0) 和B(2,0)，当y0 时，x的取值范围是 _精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 6 页 - - - - - - - - - - 5抛物线yx26x8 与x轴交点坐标为 (2,0) ，(4,0) ，求方程x26x80 的根6已知关于x的函数yax2x1(a为常数 ) (1) 若函数的图象与x轴恰有一个交点，求a的值；(2) 若函数的图象是抛物线，且顶点始终在x轴上方，求a的取值范围本课小结1所学知识： (1) 二次函数yax2bxc(a0)与二次方程之间的关系当y为某一确定值m时，相应的自变量x的值就是方程ax2bxcm的根(2) 若抛物线yax2bxc与x轴的交点为 (x0,0) ，则x0是方程ax2bxc0 的根(3) 利用二次函数图象求一元二次方程的近似解2思想方法是数形结合、逐渐逼近的探求方法二次函数与一元二次方程的关系一元二次方 程ax2bxc0 实际上是二次函数yax2bxc中y0 时的一种特殊情况可列表如下：开口方向判别式二次函数图象二次函数yax2bxc与x轴的交点个数一元二次方程ax2bxc0 的根的情况a00有两个交点有两不等实根x1，x20有一个交点有两相等实根x1x20没有交点无实根a00有两个交点有两不等实根x1，x20有一个交点有两相等实根x1x20没有交点无实根精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 6 页 - - - - - - - - - - 奥赛链接已知点A，B的坐标分 别为 (1,0) ，(2,0) 若二次函数yx2(a3)x3 的图象与线段AB恰有一个交点，则a的取值范围是 _解析： 分两种情况：(1) 因为二次函数yx2(a 3)x3 的图象与线段AB只有一个交点，且点A，B的坐标分别为 (1,0) ，(2,0) ，所以 12(a3)13 22(a3)2 3 0. 解得 1a12. 由 12(a3)1 30，得a 1，此时x11，x23，符合题意；由 22(a3)2 30，得a12，此时x12，x232，不符合题意(2) 令x2(a3)x30，由判别式0，得a32 3. 当a32 3时，x1x23，不合题意；当a 32 3时，x1x23，符合题意综上所述，a的取值范围是 1a12或a32 3. 答案： 1a12或a32 3精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 5 页，共 6 页 - - - - - - - - - - 文档编码：KDHSIBDSUFVBSUDHSIDHSIBF-SDSD587FCDCVDCJUH 欢迎下载 精美文档欢迎下载 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 6 页，共 6 页 - - - - - - - - - -