2022年二元一次不等式与简单的线性规划知识点和典型题 .pdf

二元一次不等式 (组)与简单的线性规划问题1.二元一次不等式表示的平面区域(1)一般地，二元一次不等式AxByC0 在平面直角坐标系中表示直线AxByC0 某一侧所有点组成的平面区域.我们把直线画成虚线以表示区域不包括边界直线.当我们在坐标系中画不等式AxByC0 所表示的平面区域时，此区域应包括边界直线，则把边界直线画成实线 . (2)由于对直线AxByC0 同一侧的所有点(x， y)，把它的坐标 (x，y)代入 AxByC，所得的符号都相同，所以只需在此直线的同一侧取一个特殊点(x0，y0)作为测试点，由Ax0By0 C 的符号即可判断AxByC0 表示的直线是AxByC0 哪一侧的平面区域. 2.线性规划相关概念名称意义约束条件由变量 x，y 组成的一次不等式线性约束条件由 x，y 的一次不等式 (或方程 )组成的不等式组目标函数欲求最大值或最小值的函数线性目标函数关于 x，y 的一次解析式可行解满足线性约束条件的解可行域所有可行解组成的集合最优解使目标函数取得最大值或最小值的可行解线性规划问题在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题3.应用利用线性规划求最值，一般用图解法求解，其步骤是(1)在平面直角坐标系内作出可行域. (2)考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形. (3)确定最优解：在可行域内平行移动目标函数变形后的直线，从而确定最优解. (4)求最值：将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值. (2)不等式x2y20 表示的平面区域是一、三象限角的平分线和二、四象限角的平分线围成的含有 y 轴的两块区域 . () 1.不等式组3xy60，x0，y0表示的平面区域是下图中的阴影部分. () 2.下列各点中，不在xy10 表示的平面区域内的是() A.(0,0) B.(1,1) C.(1,3) D.(2， 3) 答案C 解析把各点的坐标代入可得(1,3)不适合，故选C. 3.若实数 x，y 满足不等式组xy 1，xy1，3xy3，则该约束条件所围成的平面区域的面积是() A.3 B.52C.2 D.22 答案C 解析因为直线 xy 1 与 xy1 互相垂直，所以如图所示的可行域为直角三角形，易得A(0,1)，B(1,0)，C(2,3)，故|AB|2，|AC|22，其面积为12|AB|AC|2. 4.(2013湖南 )若变量 x，y 满足约束条件y2x，xy1，y 1，则 x2y 的最大值是 () A.52B.0 C.53D.52答案C 解析画出可行域如图. 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 7 页 - - - - - - - - - - 设 z x2y，平行移动直线y12x12z，当直线 y12xz2过点 M13，23时，z 取最大值53，所以 (x2y)max53. 5.(2013浙江 )设 zkxy，其中实数x，y 满足xy20，x2y40，2xy40.若 z 的最大值为12，则实数k _. 答案2 解析作出可行域如图阴影部分所示：由图可知当0k12时，直线y kxz 经过点 M(4,4)时 z 最大，所以4k412，解得 k 2(舍去 )；当 k12时，直线y kxz 经过点 (0,2)时 z 最大，此时z 的最大值为2，不合题意；当 k0， x，y 满足约束条件x1，xy3，ya x3 ，若 z2xy 的最小值为1，则 a 等于() A.14B.12C.1 D.2 答案(1)B(2)B 解析(1)由线性约束条件0 x2，y2，x2y精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 7 页 - - - - - - - - - - 画出可行域如图阴影部分所示，目标函数 zOM OA2xy，将其化为 y2xz，结合图形可知，目标函数的图象过点(2，2)时， 、z 最大，将点 ( 2，2)的坐标代入z2xy 得 z的最大值为4. (2)作出不等式组表示的可行域，如图(阴影部分 ). 易知直线z2xy 过交点 A 时，z 取最小值，由x1，ya x3 ，得x1，y 2a，zmin22a1，解得 a12，故选 B. 题型四求非线性目标函数的最值例 4(1)设实数 x，y 满足xy20，x2y40，2y30，则yx的最大值为 _. (2)已知 O 是坐标原点， 点 A(1,0)， 若点 M(x， y)为平面区域xy2，x1，y2，上的一个动点， 则|OA OM|的最小值是 _. 思维启迪与二元一次不等式(组)表示的平面区域有关的非线性目标函数的最值问题的求解一般要结合给定代数式的几何意义来完成. 答案(1)32(2)322解析(1)yx表示点 (x，y)与原点 (0,0)连线的斜率，在点(1，32)处取到最大值. (2)依题意得， OAOM(x1，y)，|OAOM|x12y2可视为点(x，y)与点 (1,0)间的距离，在坐标平面内画出题中的不等式组表示的平面区域，结合图形可知，在该平面区域内的点中，由点(1,0)向直线xy2 引垂线的垂足位于该平面区域内，且与点(1,0)的距离最小，因此|OAOM|的最小值是|102|23 22. 思维升华常见代数式的几何意义有(1)x2y2表示点 (x，y)与原点 (0,0)的距离；(2)xa2 yb2表示点 (x，y)与点 (a，b)之间的距离；(3)yx表示点 (x，y)与原点 (0,0)连线的斜率；(4)ybxa表示点 (x，y)与点 (a，b)连线的斜率 . 设不等式组x1，x2y30，yx，所表示的平面区域是1，平面区域2是与 1关于直线 3x4y90 对称的区域，对于1中的任意一点A 与 2中的任意一点B，|AB|的最小值等于() A.285B.4 C.125D.2 答案B 解析由题意知，所求的|AB|的最小值，即为区域1中的点到直线 3x4y90 的距离的最小值的两倍，画出已知不等式表示的平面区域，如图所示，可看出点 (1,1)到直线 3x4y90 的距离最小，故|AB|的最小值为 2|31419|54，选 B. 方法与技巧1.平面区域的画法：线定界、点定域(注意实虚线 ). 2.求最值：求二元一次函数zaxby (ab0)的最值，将函数zaxby 转化为直线的斜截式：yabxzb，通过求直线的截距zb的最值间接求出z 的最值 .最优解在顶点或边界取得. 3.解线性规划应用题，可先找出各变量之间的关系，最好列成表格，然后用字母表示变量，列出线性约束条件；写出要研究的函数，转化成线性规划问题. 失误与防范精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 7 页 - - - - - - - - - - 1.画出平面区域.避免失误的重要方法就是首先使二元一次不等式标准化. 2.在通过求直线的截距zb的最值间接求出z 的最值时，要注意：当b0 时，截距zb取最大值时， z也取最大值；截距zb取最小值时， z 也取最小值；当b0 时，截距zb取最大值时， z 取最小值；截距zb取最小值时， z 取最大值 . A 组专项基础训练一、选择题1.在直角坐标平面内，不等式组yx1y00 xt所表示的平面区域的面积为32，则 t 的值为 () A. 3或3 B.3 或 1 C.1 D.3 答案C 解析不等式组yx1y00 xt所表示的平面区域如图中阴影部分所示. 由yx1xt解得交点 B(t，t1)，在 yx1 中，令 x0 得 y1，即直线 yx 1 与 y 轴的交点为C(0,1)，由平面区域的面积S1t1 t232，得 t22t3 0，解得 t1 或 t 3(不合题意，舍去)，故选 C. 2.直线 2xy 100 与不等式组x0，y0，xy 2，4x3y20表示的平面区域的公共点有() A.0 个B.1 个C.2 个D.无数个答案B 解析在坐标平面内画出直线2xy100 与不等式组表示的平面区域，易知直线与此区域的公共点有1 个. 3.(2013天津 )设变量 x，y 满足约束条件3xy60，xy20，y30，则目标函数zy2x 的最小值为() A.7 B.4 C.1 D.2 答案A 解析可行域如图阴影部分(含边界 ) 令 z0，得直线 l0：y2x0，平移直线l0知，当直线l 过 A 点时，z 取得最小值 .由y3，xy20得 A(5,3).zmin3257，选 A. 4.O 为坐标原点，点M 的坐标为(1,1) ，若点N(x， y)的坐标满足x2y24，2xy0，y0，则OM ON的最大值为() A.2 B.22 C.3 D.23 答案B 解析如图，点 N 在图中阴影区域内，当O、M、N 共线时， OM ON最大，此时N(2，2)，OM ON(1,1) (2，2)22，故选 B. 5.(2013山东 )在平面直角坐标系xOy 中， M 为不等式组2xy20，x2y10，3xy80所表示的区域上一动点，则直线OM 斜率的最小值为() A.2 B.1 C.13D.12答案C 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 7 页 - - - - - - - - - - 解析画出图形，数形结合得出答案. 如图所示，2xy20，x2y10，3xy80所表示的平面区域为图中的阴影部分. 由x2y10，3xy80，得 A(3， 1).当 M 点与 A 重合时， OM 的斜率最小， kOM13. 二、填空题6.已知 z2xy，式中变量x，y 满足约束条件yx，xy1，x2，则 z 的最大值为 _. 答案5 解析在坐标平面内画出题中的不等式表示的平面区域及直线2x y0，平移该直线，当平移到经过该平面区域内的点(2，1)时，相应直线在x 轴上的截距最大，此时 z2xy 取得最大值， 最大值是 z 22(1)5. 7.设 z2xy， x，y 满足xy0 xy00yk，若 z 的最大值为6，则 k 的值为 _，z 的最小值为 _. 答案22 解析在坐标平面内画出题中的不等式组表示的平面区域及直线2x y6，结合图形分析可知，要使z2xy 的最大值是6，直线 yk 必过直线2xy6 与 xy0 的交点，即必过点(2,2)，于是有 k2；平移直线2x y6，当平移到经过该平面区域内的点(2,2)时，相应直线在 y 轴上的截距达到最小，此时z2xy 取得最小值，最小值是z2(2)22. 三、解答题10.已知 x，y 满足条件7x5y230 x7y1104xy100，求 4x3y 的最大值和最小值. 解不等式组7x5y230 x7y 1104xy100表示的区域如图所示. 可观察出 4x3y 在 A 点取到最大值，在B 点取到最小值 . 解方程组7x5y2304xy100，得x 1y 6，则 A(1， 6). 解方程组x7y1104xy100，得x3y2.则 B(3,2)，因此 4x3y 的最大值和最小值分别为14， 18. B 组专项能力提升1.(2012课标全国 )已知正三角形ABC 的顶点 A(1,1)，B(1,3)，顶点 C 在第一象限，若点(x，y)在ABC 内部，则 zxy 的取值范围是() A.(1 3，2) B.(0,2) C.(31,2) D.(0,13) 答案A 解析如图，根据题意得C(13，2). 作直线 xy0，并向左上或右下平移，过点B(1,3)和C(13，2)时，z xy 取范围的边界值，即(13) 2z0)仅在点 (3,0)处取得最大值，则a 的取值范围是 _. 答案12，解析画出 x、y 满足条件的可行域如图所示，要使目标函数zaxy 仅在点 (3,0)处取得最大值，则直线y axz 的斜率应小于直线x2y30 的斜率，即 a12. 4.当 x，y 满足约束条件x0，yx，2xyk0，(k 为负常数 )时，能使zx3y 的最大值为12，试求k 的值 . 解在平面直角坐标系中画出不等式组所表示的平面区域(如图 ). 当直线 y13x13z 经过区域中的点A 时，截距最大 . 由yx2xyk 0，得 xyk3.点 A 的坐标为 (k3，k3). 则 z 的最大值为k33(k3)43k，令4k312，得 k 9.所求实数k 的值为 9. 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 6 页，共 7 页 - - - - - - - - - - 文档编码：KDHSIBDSUFVBSUDHSIDHSIBF-SDSD587FCDCVDCJUH 欢迎下载 精美文档欢迎下载 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 7 页，共 7 页 - - - - - - - - - -