2022年二次函数在闭区间最值 .pdf
二次函数在闭区间m,n上的最大、最小值问题探讨设2fxaxbxc0 a0，则二次函数在闭区间m,n 上的最大、最小值有如下的分布情况：bmn2abmn2a即nmab,2bmn2a图象最大、最小值nfxfmfxfminmaxmaxminfxmax f n ,fmbfxf2amaxminfxfnfxf m对于开口向下的情况，讨论类似。其实无论开口向上还是向下，都只有以下两种结论：（ 1）若nmab,2，则maxbfxmax fm ,f,fn2a，minbfxminf m ,f,fn2a；（ 2）若bm,n2a，则maxfxmax fm ,fn，minfxmin f m ,fn当对称轴位于区间之间时，考虑最值时需考虑对称轴在区间的左边或右边，往往通过比较对称轴b2a与区间中点mn2的大小来判断。另外，当二次函数开口向上时，自变量的取值离开x 轴越远，则对应的函数值越大；反过来，当二次函数开口向下时，自变量的取值离开x 轴越远，则对应的函数值越小。二次函数在闭区间上求最值，讨论的情况无非就是从三个方面入手：开口方向、对称轴以及闭区间，以下三个例题各代表一种情况。引例、求2yx3x1在（ 1） x1, 0 ;（2） x2 ,3 ;（3） x0 ,3 的最值。例 1、函数2fxax2ax2b a0 在 2,3 上有最大值5 和最小值2，求 a,b 的值。解：对称轴0 x12,3 ，故函数 fx在区间2,3 上单调。（ 1）当 a0 时，函数 fx 在区间2,3 上是增函数，故maxminfxf3fxf23ab252b2a1b0；精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 6 页 - - - - - - - - - - （ 2）当 a0时，函数 f x 在区间2,3 上是减函数，故maxminfxf2f xf 3b253ab22a1b3例 2、求函数2fxx2ax1,x1,3 的最值。解：对称轴0 xa（ 1）当 a1 时，maxfxf 3106a ，minfxf 122a ；（ 2）当 1a2时，maxfxf 3106a，2minf xf a1a ；（ 3）当 2a3 时，maxfxf 122a ，2minfxf a1a ；（ 4）当 a3时，maxfxf 122a ，minfxf 3106a 。例 3、求函数2yx4x3 在区间t, t1 上的最值。解：对称轴0 x2（ 1）当 2t 即 t2 时，2minyftt4t3，2maxyft1t2t ；（ 2）当 t2t1即1t2时，minyf 21，当31t2时，2maxyft1t2t ，当3t22时，2maxyf tt4t3；（ 3）当 2t1即 t1时，2minyft1t2t ，2maxyftt4x3例 4、讨论函数2fxxxa1的最小值。解：222xaxxa1,fxxxa1xaxxa1,，这个函数是一个分段函数，由于上下两段上的对称轴分别为直线1x2，1x2，当1a2，11a22，1a2时原函数的图象分别如下（1） ， （2） ， （3）因此， （1）当1a2时，min13fxfa24；精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 6 页 - - - - - - - - - - （2）当11a22时，2minfxf aa1；（3）当1a2时，min13f xfa24练习：1、 函数2yx4x2 在区间03， 上的最大值是 _，最小值是 _。 （ 2 , 2）2、 已知22x3x0 ，求2f xxx1的最值。（maxmin19y, y14）3、 求函数2fxx8x 在 t , t1 上的最大值h t 。22t6t7t3h t163t4t8tt43、函数2f xx2x3 在 0 ,m 最大值是 3，最小值是2，则 m 的范围是 ( 1, 2 ) 4、 已知函数2f xaxbx ，满足 fx5f x3 且方程 fxx 有两相等的实数根。（ 1）求 fx 的表达式；（2）若 g xfxtx ，求函数 g x 在1,1 的最小值。21f xxx821g xx1t x8，对称轴 x4 t1当 4 t11 ，即5t4时，min7yf 1t8; 当 4 t11，即1t4时，min9yf1t8当14 t10，即5t14时，min7yf 1t8当 04 t11，即11t4时，min9yf1t85、已知2x1，且 a20 ，求函数2f (x)xax3 的最值。解：由已知有1x1a2，于是函数f (x) 是定义在区间11 ， 上的二次函数，将f (x) 配方得：22aaf(x)x324二次函数 f (x) 的对称轴方程是ax2精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 6 页 - - - - - - - - - - 顶点坐标为2aa324，图象开口向上由 a2 可得ax12，显然其顶点横坐标在区间11 ， 的左侧或左端点上。函数的最小值是f ( 1)4a ，最大值是 f (1)4a 。6、已知二次函数22f (x)ax4axa1 在区间41， 上的最大值为5，求实数a的值。解：将二次函数配方得22f (x)a(x2)a4a1，其对称轴方程为x2，顶点坐标为2( 2a4a1)，图象开口方向由a 决定。很明显，其顶点横坐标在区间41 ，上。若 a0，函数图象开口向下，如图4 所示，当x2时，函数取得最大值5 即2f ( 2)a4a15解得 a210故 a210(a210)舍去7、如果函数2f (x)(x1)1定义在区间tt1，上，求 f (x) 的最小值。解：函数2f (x)(x1)1，其对称轴方程为x1，顶点坐标为（1，1） ，图象开口向上。（ 1）当 1t 。当xt时，函数取得最小值，2minf (x)f (t)(t1)1。（ 2）当 t1t1，即 0t1。当x1时，函数取得最小值，minf(x)f (1)1。（ 3）当 t11，即 t0 。当 xt1时，函数取得最小值，2minf (x)f (t1)t1综上讨论，2min2(t1)1,t1f (x)1, 0t1t1 t08、设函数2f(x)x4x4的定义域为t2t1，对任意 tR ，求函数 f (x) 的最小值(t) 的解析式。解：将二次函数配方得：22f(x)x4x4(x2)8其对称轴方程为x2，顶点坐标为(28)，图象开口向上（ 1）当 2t2，即 t4。当 xt2 时，函数取得最小值，22f (t2)(t4)8t8t8（ 2）当 t22t1 ，即 3t4。当x2时，函数取得最小值，f (2)8（ 3）当 t12，即 t3 。当 xt1时，函数取得最小值，22f (t1)(t3)8t6t1精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 6 页 - - - - - - - - - - 综上讨论，得22t8t8(t4)(t)8(3t4)t6t1(t3)9、已知2y4a(xa)(a0) ，且当xa时，22S(x3)y 的最小值为4，求参数a 的值。解：将2y4a(xa)代入 S 中，得22222S(x3)4a(xa)x2(32a)x94ax(32a)12a8a则 S 是 x 的二次函数，其定义域为xa，对称轴方程为x32a，顶点坐标为2(32a 12a8a )，图象开口向上。若 32aa，即 0a1则当 x32a 时，2S12a8a4最小此时， a1，或1a2若 32aa，即 a1则当xa时，22Sa(32a)12a8a4最小此时， a5，或 a1（因 a1a1，舍去）综上讨论，参变数a 的取值为 a1 ，或1a2，或 a510、已知222(x1)ya (a0)4，且当 x12a 时，22P(x4)y 的最小值为1，求参变数a 的值。解：将222(x1)ya4代入 P 中，得2222(x1)P(x4)a45179xa455则 P是 x 的二次函数，其定义域为x12a，对称轴方程为17x5，顶点坐标为217 9a55，图象开口向上。若1712a5，即6a5则当17x5时，29Pa15最小此时，2a5若1712a5，即6a5则当 x12a 时，25179P12aa1455最小此时， a2 ，或 a1（因6aa15，舍去）综上讨论，2aa25，或精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 5 页，共 6 页 - - - - - - - - - - 文档编码：KDHSIBDSUFVBSUDHSIDHSIBF-SDSD587FCDCVDCJUH 欢迎下载 精美文档欢迎下载 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 6 页，共 6 页 - - - - - - - - - -
