2022年导数知识点归纳及应用8 .pdf

导数知识点归纳及应用知识点归纳一、相关概念1导数的概念函数 y=f(x),如果自变量 x 在 x0处有增量x，那么函数 y 相应地有增量y=f（x0+x） f（x0） ， 比值xy叫做函数 y=f（x） 在 x0到 x0+x之间的平均变化率， 即xy=xxfxxf)()(00。如果当0 x时，xy有极限，我们就说函数 y=f(x) 在点 x0处可导，并把这个极限叫做f（x）在点 x0处的导数，记作 f （x0）或 y|0 xx。即 f （x0）=0limxxy=0limxxxfxxf)()(00。说明：（1）函数 f（x）在点 x0处可导，是指0 x时，xy有极限。如果xy不存在极限，就说函数在点x0处不可导，或说无导数。（2）x是自变量 x 在 x0处的改变量，0 x时，而y是函数值的改变量，可以是零。由导数的定义可知，求函数y=f （x）在点 x0处的导数的步骤：求函数的增量y=f（x0+x）f （x0） ；求平均变化率xy=xxfxxf)()(00；取极限，得导数f (x0)=xyx0lim。例：设 f(x)= x|x|, 则 f ( 0)= . 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 15 页 - - - - - - - - - - 解析 ：0|lim|lim)(lim)0()0(lim0000 xxxxxxfxfxfxxxxf ( 0)=0 2导数的几何意义函数 y=f（x）在点 x0处的导数的几何意义是曲线y=f（x） 在点 p （x0，f （x0） ）处的切线的斜率。也就是说，曲线y=f （x）在点 p（x0，f（x0） ）处的切线的斜率是f （x0） 。相应地，切线方程为yy0=f/（x0） （xx0） 。例：在函数xxy83的图象上， 其切线的倾斜角小于4的点中，坐标为整数的点的个数是( ) A3 B2 C1 D0 解析 ：切线的斜率为832/xyk又切线的倾斜角小于4，即10k故18302x解得：338383xx或故没有坐标为整数的点3. 导数的物理意义如果物体运动的规律是s=s （t） ， 那么该物体在时刻t 的瞬间速度 v=s（t） 。如果物体运动的速度随时间的变化的规律是v=v（t） ，则该物体在时精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 15 页 - - - - - - - - - - 刻 t 的加速度 a=v（t ） 。例。汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程s看作时间t的函数，其图像可能是（）答：A。练习：已知质点 M按规律322ts做直线运动（位移单位： cm ，时间单位： s） 。（1）当 t=2 ，01.0t时，求ts；（2）当 t=2 ，001.0t时，求ts；（3）求质点 M在 t=2 时的瞬时速度。答案： （1）8.02scm（2）8.002scm； （3）8scm二、导数的运算1基本函数的导数公式 : 0;C（C为常数）1;nnxnx(sin)cosxx; (cos )sinxx; ();xxee()lnxxaaa; 1ln xx; s t O As t O s t O s t O BCD精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 15 页 - - - - - - - - - - 1lglogaaoxex. 例1：下列求导运算正确的是( ) A(x+211)1xx B(log2x) =2ln1xC(3x) =3xlog3e D (x2cosx) =-2xsinx 解析 ：A错，(x+211)1xx B正确，(log2x) =2ln1xC错，(3x) =3xln3 D错，(x2cosx) =2xcosx+ x2(-sinx) 例 2：设f0(x) sinx，f1(x) f0(x)，f2(x)f1(x) ，fn1(x) fn(x) ，nN，则f2005(x)( ) Asinx Bsinx CcosxDcosx 解析 ：f0(x) sinx，f1(x) f0(x)=cosx，f2(x) f1(x)= -sinx，f3(x) f2(x)= -cosx， f4(x) f3(x)=sinx，循环了则f2005(x) f1(x)cosx2导数的运算法则法则 1：两个函数的和 (或差) 的导数, 等于这两个函数的导数的和( 或精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 15 页 - - - - - - - - - - 差)，即： (.)vuvu法则 2：两个函数的积的导数 , 等于第一个函数的导数乘以第二个函数, 加上第一个函数乘以第二个函数的导数，即：.)(uvvuuv若 C为常数 ,则0)(CuCuCuuCCu. 即常数与函数的积的导数等于常数乘以函数的导数：.)(CuCu法则 3：两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积，再除以分母的平方：vu2vuvvu（v0） 。例：设 f(x) 、g(x) 分别是定义在R 上的奇函数和偶函数, 当 x0时,)()()()(xgxfxgxf0. 且 g(3)=0. 则不等式 f(x)g(x)0 的解集是 ( ) A (-3,0)(3,+ ) B (-3,0)(0, 3) C (-,- 3)(3,+ ) D (-,- 3) (0, 3) 解析 ：当 x0 时,)()()()(xgxfxgxf0，即0)()(/xgxf当 x0 时，f(x)g(x)为增函数，又 g(x) 是偶函数且 g(3)=0 ，g(-3)=0 ，f(-3)g(-3)=0 故当3x时，f(x)g(x)0，又 f(x)g(x)是奇函数，当 x0 时，f(x)g(x)为减函数，且 f(3)g(3)=0 故当30 x时，f(x)g(x)0 故选 D 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 5 页，共 15 页 - - - - - - - - - - 3. 复合函数的导数形如 y=fx()的函数称为复合函数。复合函数求导步骤：分解 求导 回代。法则： y|X= y |Uu|X或者 ( )()*( )fxfx.练习： 求下列各函数的导数：（1）;sin25xxxxy（2）);3)(2)(1(xxxy（3）;4cos212sin2xxy（4）.1111xxy解：(1) ,sinsin23232521xxxxxxxxyy.cossin2323)sin()()(232252323xxxxxxxxxx（2）y=（x2+3x+2） （x+3）=x3+6x2+11x+6，y=3x2+12x+11. （3）y=,sin212cos2sinxxx.cos21)(sin21sin21xxxy（4）xxxxxxxy12)1)(1 (111111，.)1(2)1()1( 21222xxxxy三、导数的应用1. 函数的单调性与导数（1）设函数)(xfy在某个区间（ a，b）可导，如果f)(x0，则)(xf在此区间上为增函数； 如果f0)(x，则)(xf在此区间上为减函数。（2）如果在某区间内 恒有f0)(x，则)(xf为常数 。例：函数13)(23xxxf是减函数的区间为( ) 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 6 页，共 15 页 - - - - - - - - - - A), 2( B)2,( C )0,( D （0，2） 解析 ：由xxxf63)(2/0，得 0 x0， 当11x时，)(/xf0，故)(xf的极小值、极大值分别为1)1(3)1(ff、，而1)0(17)3(ff、故函数13)(3xxxf在-3 ， 0 上的最大值、最小值分别是 3、 -17。经典例题选讲例 1. 已知函数)(xf xy的图象如图所示（其中)(xf是函数)(xf的导函数） ，下面四个图象中)(xfy的图象大致是 ( ) 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 8 页，共 15 页 - - - - - - - - - - 解析 ：由函数)(xf xy的图象可知：当1x时，)(xf x0，此时)(xf增当01x时，)(xfx0，)(xf0，此时)(xf减当10 x时，)(xf x0，)(xf0，)(xf0，此时)(xf增故选 C 例 2. 设xaxxf3)(恰有三个单调区间，试确定a 的取值范围，并求其单调区间。解：13)(2axxf若0a，0)(xf对),(x恒成立，此时)(xf只有一个单调区间，矛盾若0a，01)(xf),(x，)(xf也只有一个单调区间，矛盾若0a)|31()|31(3)(axaxaxf，此时)(xf恰有三个单调区间0a且单调减区间为)|31,(a和),|31(a，单调增区间为)|31,|31(aa精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 9 页，共 15 页 - - - - - - - - - - 例 3.已知函数daxbxxxf23)(的图象过点P（0,2 ）, 且在点M)1(, 1(f处的切线方程为076yx. （）求函数)(xfy的解析式；（）求函数)(xfy的单调区间 . 解： （）由)(xf的图象经过 P（0，2） ，知 d=2，所以, 2)(23cxbxxxf.23)(2cbxxxf由在)1(, 1(fM处的切线方程是076yx，知.6) 1(, 1) 1(, 07)1(6fff即.3, 0, 32. 121, 623cbcbcbcbcb解得即故所求的解析式是. 233)(23xxxxf（）. 012, 0363.363)(222xxxxxxxf即令解得.21,2121xx当; 0)(,21,21xfxx时或当.0)(,2121xfx时故)21 ,(233)(23在xxxxf内是增函数，在)21 ,21(内是减函数，在),21(内是增函数 . 例 4.设函数32()fxxbxcx xR，已知( )( )( )g xfxfx是奇函数。（）求b、c的值。（）求( )g x的单调区间与极值。解： （）32fxxbxcx，232fxxbxc。从而322( )( )( )(32)g xf xfxxbxcxxbxc32(3)(2 )xbxcb xc是一个奇函数，所以(0)0g得0c，由奇函数定义得3b；（）由（）知3( )6g xxx，从而2( )36g xx，由此可知，(,2)和( 2,)是函数( )g x是单调递增区间；(2,2)是函数( )g x是单调递减区间；精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 10 页，共 15 页 - - - - - - - - - - ( )g x在2x时，取得极大值，极大值为4 2，( )g x在2x时，取得极小值，极小值为4 2。例 5.已知 f （x）=cbxaxx23在 x=1，x=32时，都取得极值。（1）求 a、b 的值。（2）若对2, 1x，都有cxf1)(恒成立，求 c 的取值范围。解： （1）由题意 f/（x）=baxx232的两个根分别为1 和32由韦达定理，得： 132=32a，)32(13b则21a，2b（2）由（1） ，有 f （x）=cxxx22123，f/（x）=232xx当)32, 1x时，0)(/xf，当) 1 ,32(x时，0)(/xf，当2 ,1 (x时，0)(/xf，当32x时，)(xf有极大值c2722，cfcf2)2(,21)1(， 当2, 1x，)(xf的最大值为cf2)2(对2, 1x，都有cxf1)(恒成立，cc12，解得, 120c或, 12c例 6.已知1x是函数32( )3(1)1f xmxmxnx的一个极值点，其中,0m nR m，（I ）求m与n的关系式；（II ）求( )f x的单调区间；（III ）当1,1x时，函数( )yfx的图象上任意一点的切线斜率恒大于 3m，求m的取值范围 . 解：(I)2( )36(1)fxmxmxn因为1x是函数( )f x的一个极值点 , 所以(1)0f, 即36(1)0mmn，所以36nm精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 11 页，共 15 页 - - - - - - - - - - （II ） 由 （I ） 知，2( )36(1)36fxmxmxm=23 (1)1m xxm当0m时，有211m，当x变化时，( )f x与( )fx的变化如下表：x2,1m21m21,1m1 1,( )fx00 00 0( )f x调调递减极小值单调递增极大值单调递减故有上表知，当0m时，( )f x在2,1m单调递减，在2(1,1)m单调递增，在(1,)上单调递减 . （III ）由已知得( )3fxm，即22(1)20mxmx又0m所 以222(1)0 xmxmm即222(1)0,1,1xmxxmm设212( )2(1)g xxxmm，其函数开口向上， 由题意知式恒成立，所以22( 1)0120(1)010gmmg解之得43m又0m所以403m即m的取值范围为4,03例 7： （2009 天津理 20）已知函数22( )(23 )(),xf xxaxaa exR其中aR（1）当0a时，求曲线( )(1,(1)yfxf在点处的切线的斜率；精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 12 页，共 15 页 - - - - - - - - - - w.w.w.k.s.5.u.c.o.m （2）当23a时 ， 求 函 数( )f x的 单 调 区 间 与 极 值 。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 本小题主要考查导数的几何意义、导数的运算、 利用导数研究函数的单调性与极值等基础知识， 考查运算能力及分类讨论的思想方法。满分 12 分。解： （I）.3) 1( )2()( )(022efexxxfexxfaxx，故，时，当.3)1(, 1 ()(efxfy处的切线的斜率为在点所以曲线（II）.42)2()( 22xeaaxaxxfw.w.w.k.s.5.u.c.o.m .2232.220)( aaaaxaxxf知，由，或，解得令以下分两种情况讨论。（1）a若32，则a22a. 当x变化时，)()( xfxf，的变化情况如下表：xa2，a222aa，2a，2a+ 0 0 + 极大值极小值.)22()2()2()(内是减函数，内是增函数，在，在所以aaaaxf.3)2()2(2)(2aaeafafaxxf，且处取得极大值在函数w.w.w.k.s.5.u.c.o.m .)34()2()2(2)(2aeaafafaxxf，且处取得极小值在函数（2）a若32，则a22a，当x变化时，)()( xfxf，的变化情况如下表：精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 13 页，共 15 页 - - - - - - - - - - x2a，2aaa22，a2，a2+ 0 0 + 极大值极小值内是减函数。，内是增函数，在，在所以)22()2()2()(aaaaxf.)34()2()2(2)(2aeaafafaxxf，且处取得极大值在函数w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 14 页，共 15 页 - - - - - - - - - - 文档编码：KDHSIBDSUFVBSUDHSIDHSIBF-SDSD587FCDCVDCJUH 欢迎下载 精美文档欢迎下载 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 15 页，共 15 页 - - - - - - - - - -