2022年中考数学专题《存在运动性问题》.pdf

2017年数学中考专题存在运动性问题1. (2015四川绵阳 )如图，抛物线2yaxbxc(0a)的图象过点( 2,3)M，顶点坐标为4 3( 1,)3N，且与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点. (1)求抛物线的解析式; (2)点P为抛物线对称轴上的动点，当PBC为等腰三角形时，求点P的坐标 ; (3)在直线AC上是否存在一点Q，使QBM的周长最小 ?若存在， 求出Q点坐标 ;若不存在，请说明理由. 2. (2015浙江湖州 )在直角坐标系xOy中，O为坐标原点，线段AB的两个端点(0,2)A，(1,0)B分别在y轴和x轴的正半轴上，点C为线段AB的中点，现将线段BA绕点B按顺时针方向旋转90得到线段BD，抛物线2yaxbxc(0a)经过点D. 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 20 页 - - - - - - - - - - (1)如图(1)，若该抛物线经过原点O，且 ,13a求点D的坐标及该抛物线的解析式. 连接CD，问:在抛物线上是否存在点P，使得POB与BCD互余 ?若存在，请求出所有满足条件的点P的坐标，若不存在，请说明理由. (2)如图 (2)，若该抛物线2yaxbxc(0a)经过点(1,1)E，点Q在抛物线上，且满足QOB与BCD互余，若符合条件的Q点的个数是4 个，请直接写出a的取值范围. 3. (2016黑龙江齐齐哈尔)如图所示，在平面直角坐标系中，过点(3,0)A的两条直线分别交y轴于B，C两点，且B，C两点的纵坐标分别是一元二次方程2230 xx的两个根 . (1)求线段BC的长度，(2)试问:直线AC与直线AB是否垂直 ?请说明理由 ; (3)若点D在直线AC上，且DBDC，求点D的坐标 ; (4)在(3)的条件下，直线BD上是否存在点P，使以A，B，P三点为顶点的三角形是等腰三角形 ?若存在，请直接写出P点的坐标 ;若不存在，请说明理由. 4. (2016 湖北十堰 )如图 (1)， 在平面直角坐标系xOy中， 抛物线21yax经过点(4,3)A，精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 20 页 - - - - - - - - - - 顶点为点B，点P为抛物线上的一个动点，l是过点(0,2)且垂直于y轴的直线，过P作PHl，垂足为H，连接PO. (1)求抛物线的解析式，并写出其顶点B的坐标 ; (2)当P点运动到A点处时，计算 :PO，PH， 由此发现，POPH(填“”“”或“ =”); 当P点在抛物线上运动时，猜想PO与PH有什么数量关系，并证明你的猜想; (3)如图(2)， 设点(1, 2)C， 问是否存在点P， 使得以P，O，H为顶点的三角形与ABC相似 ?若存在，求出P点的坐标 ;若不存在，请说明理由. 5. (2016咸宁 ) 已知菱形OABC在平面直角坐标系的位置如图所示，顶点(5,0)A，4 5OB，点P是对角线OB上的一个动点，(0,1)D，当CPDP最短时，点P的坐标为 (). A.(0,0)B.1(1, )2C.6 3(, )5 5D.10 5(,)776.(2016 咸宁 )如图，边长为 4 的正方形ABCD内接于O， 点E是AB上的一动点 (不与A，B重合 )，点F是BC上的一点，连接OE，OF，分别与AB，BC交于点G，H，且90EOF，有下列结论 : AEBF; 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 20 页 - - - - - - - - - - OGH是等腰直角三角形; 四边形OGBH的面积随着点E位置的变化而变化; GBH周长的最小值为42. 其中正确的是. (把你认为正确结论的序号都填上) 7.(2016 舟山)如图，在直角坐标系中， 点A，B分别在x轴，y轴上，点A的坐标为( 1,0)，30ABO，线段PQ的端点P从点O出发，沿着OBA的边按OBAO运动一周，同时另一端点Q随之在x轴的非负半轴上运动，如果3PQ，那么当点P运动一周时，点Q运动的总路程为. 8.(2015 乐山 )如图 (1)， 四边形ABCD中，90BD，3AB，2BC，4tan3A(1)求CD边的长 ; (2)如图(2)，将直线CD边沿箭头方向平移，交DA于点P，交CB于点Q(点Q运动到点B停止 ).设DPx，四边形PQCD的面积为y，求y与x的函数解析式， 并求出自变量x的取值范围 . 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 20 页 - - - - - - - - - - 9.(2015 益阳 )如图，在平面直角坐标系xOy中，半径为 2 的P的圆心P的坐标为( 3,0)，将P沿着x轴正方向平移，使P与y轴相切，则平移的距离为( ). A. 1B. 1 或 5 C. 3 D.5 10.(2015 宁 夏 ) 如 图 ， 是 一 副 学 生 用 的 三 角 板 ， 在ABC中 ，90C，60A30B;在111A B C中，190C，145A，145B， 且11A BCB.若将边11AC与边CA重合，其中点1A与点C重合 .将三角板111A B C绕点1()C A按逆时针方向旋转，旋转过的角为，旋转过程中边11AC与边AB的交点为M，设ACa. (1)计算11A C的长 ; (2)当30时，证明 :11/B CAB; (3)若62a，当45时，计算两个三角板重叠部分图形的面积; (4)当60时，用含a的代数式表示两个三角板重叠部分图形的面积. ( 参 考 数 据 :62sin154，62cos154，tan1523，62sin754，62cos754，tan7523) 11. (2015湖南长沙 )如图，直线l：1yx与x轴，y轴分别交于A，B两点，点P，精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 5 页，共 20 页 - - - - - - - - - - Q是直线l上的两个动点，且点P在第二象限，点Q在第四象限，135POQ. (1)求AOB的周长 ; (2)设0AQt，试用含t的代数式表示点P的坐标 ; (3) 当 动 点P，Q在 直 线l上 运 动 到 使 得AOQ与BPO的 周 长 相 等 时 ， 记tanAOQm，若过点A的二次函数2yaxbxc同时满足以下两个条件:6320abc; 当2mxm时，函数y的最大值等于2m求二次项系数a的值 . 参考答案1.(1)由抛物线顶点坐标为4 3( 1,)3N，可设其解析式为24 3(1)3ya x将( 2,3)M代入，得24 33( 21)3a解得33a故所求抛物线的解析式为：232 3333yxx(2) 232 3333yxx0 x时，3y精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 6 页，共 20 页 - - - - - - - - - - (0,3)C0y时，232 33033xx解得1x或3x(1,0)A，( 3,0)B222 3BCOBOC设( 1,)Pm，显然PBPC，所以当CPCB时，有21(3)2 3CPm，解得311m当BPBC时，有22( 1 3)2 3BPm，解得22m综上，当PBC为等腰三角形时，点P的坐标为( 1,311)，( 1,311)，( 1,2 2)，( 1, 2 2). (3)由(2)知2 3BC，2AC，4AB所以222BCACAB，即BCAC连接BC并延长至B，使B CBC，连接B M，交直线AC于点Q. B，B关于直线AC对称，QBQBQBQMQBQMMB又2BM，所以此时QBM的周长最小 . 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 7 页，共 20 页 - - - - - - - - - - 由( 3,0)B，(0,3)C，易得(3,2 3)B设直线MB的解析式为ykxn将( 2,3)M，(3,2 3)B代入，得2332 3knkn，解得357 35kn即直线MB的解析式为37 355yx同理可求得直线AC的解析式为33yx由37 35533yxyx，解得134 33xy即1 4 3(,)33Q所以在直线AC上存在一点1 4 3(,)33Q，使QBM的周长最小 . 2. (1)过点D作DFx轴于点F90DBFABO，90BAOABODBFBAO又90AOBBFD，ABBDAOBBFD1DFBO，2BFAOD点的坐标是(3,1)根据题意，得13a，0c，且2331abc43b该抛物线的解析式为21433yxxC，D两点的纵坐标都为1 /CDx轴BCDABO精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 8 页，共 20 页 - - - - - - - - - - BAO与BCD互余 . 若要使得POB与BCD互余，则需满足POBBAO设点P的坐标为214( ,)33xxx(1)当点P在x轴的上方时，过点P作PGx轴于点G则tantanPOBBAO，即PGBOOGAO2141332xxx解得10 x(舍去 )，252x2145334xx点P的坐标是2 5(,)5 4(2)当点P在x轴的下方时，过点P作PHx轴于点H则PHBOOHAO2141332xxx解得10 x(舍去 )，2112x21411334xx点P的坐标是1111(,)24综上所述，在抛物线上存在点1P2 5(,)5 4，2P1111(,)24使得POB与BCD互余 . (2)a取值范围是13a或4154a3. (1)2230 xx3x或1x(0,3)B，(0, 1)C4BC(2)(3,0)A，(0,3)B，(0, 1)C3OA，3OB，1OC2OAOB OC精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 9 页，共 20 页 - - - - - - - - - - 90AOCBOAAOCBOACAOABO90CAOBAOABOBAO90BACACAB(3)设直线AC的解析式为ykxb把(3,0)A和(0, 1)C代入ykxb103bkb解得331kb直线AC的解析式为313yxDBDC点D在线段BC的垂直平分线上D的纵坐标为1. 把 y1y代入313yx2 3xD的坐标为( 2 3,1)(4) 设 直 线BD的 解 析 式 为ymxn， 直 线BD与x轴 交 于 点E， 把(0,3)B和( 2 3,1)D代入ymxn312 3nmn解得333mn直线BD的解析式为333yx精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 10 页，共 20 页 - - - - - - - - - - 令0y代入333yx3 3x( 3 3,0)E3 3OE3tan3OBBECOE30BEC同理可求得：30ABO30ABE当PAAB时，如图 (1).此时，30BEAABEEAABP与E重合P的坐标为( 3 3,0)当PAPB时，如图 (2).此时，30PABPBA30ABEABOPABABO精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 11 页，共 20 页 - - - - - - - - - - /PABC90PAOP的横坐标为3令3x代入333yx2y(3,2)P当PBAB时，如图 (3).由勾股定理可求得:2 3AB，6EB若点P在y轴左侧时，记此时点P为1P过点1P作1PFx轴于点F12 3PBAB162 3EP11sinFPBEOEP133FP令33y代入333yx3x1( 3,33)P若点P在y轴右侧时，记此时点P为2P精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 12 页，共 20 页 - - - - - - - - - - 过点2P作2P Gx轴于点G22 3P BAB262 3EP22sinGPBEOEP233GP令33y代入333yx3x2(3,33)P综上所述，当A，B，P三点为顶点的三角形是等腰三角形时，点P的坐标为( 3 3,0)，(3,2)，( 3,33) (3,33)4. (1)抛物线21yax经过点(4, 3)A3161a14a抛物线解析式为2114yx，顶点(0,1)B(2)当P点运动到A点处时，5PO，5PAPOPH故答案分别为5，5，结论 :POPH理由 :设点P坐标21( ,1)4mm22112(1)144PHmm222211(1)144POmmmPOPH(3)221310BC，221310AC，22444 2ABBCACPOPH又以P，O，H为顶点的三角形与ABC相似 . 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 13 页，共 20 页 - - - - - - - - - - PH与BC，PO与AC是对应边 . PHBCHOBA设点21(,1)4P mm22111044 24mm解得1m点P坐标为3(1, )4或3( 1, )45. D 6. 7. 4 8. (1)如图(1)，分别延长,AD BC相交于E，在Rt ABE中，4tan,3,23AABBC，4,2,5BEECAE，又90 ,90EAEECD，AECD由4tan3A,得3cos5A，3cos5CDECDEC，65CD. (2)如图 (2)，由 (1)可知4tan3EDECDCD，85ED，精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 14 页，共 20 页 - - - - - - - - - - 由/PQDC，可知EDCEPQ，EDDCEPPQ，865585PQx，即6354PQx，=EPQEDCPQCDSSS四边形1122yPQ EPDC ED1638168()()2545255xx23685xx当Q点到达B点时，点P在M点处由ECBC，/DCPQ85DMED自变量x的取值范围为805x9. B 10. (1)在Rt ABC中ACa，60Atan603BCACa精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 15 页，共 20 页 - - - - - - - - - - (第 10 题(1)）113ABBCa在11RtA B C中，145B11116sin 452ACA Ba(第 10 题(2)）(2)当30时，即130ACC60A90AMC即1CCAB111CCB C11/B CAB(第 10 题(3)）(3)当45时，11B A恰好与CB重合，过点C作CHAB于H3sin 602CHACa精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 16 页，共 20 页 - - - - - - - - - - 3( 62)22 3cos15624CHCM111162 3222CMBSCM B Ca3 2( 62)23(31)(第 10 题(4)）(4)当60时，1A MACa，设11B C分别于AB，BC交于点N，Q在11RtAC Q中，1112tan302C QACa在1RtMC N中1111622C MACA Ma113 22 3tan602C NC Ma111A C QMC NMNQSSS1四边形 A11111122ACC QCM C N精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 17 页，共 20 页 - - - - - - - - - - 1621623 22 3222222aaaa23 22 32a11. (1)在函数1yx中，令0 x，得1y(0,1)B令0y，得1x(1,0)A则1OAOB，2ABAOB周长为11222(2)OAOB45ABOBAO135PBOQAO设POBx，则1359045OPBAOQxxPBOOAQPBOBOAAQ1OA OBPBAQt过点P作PHOB于H点，则PHB为等腰直角三角形1PBt22PHHBt22(,1)22Ptt精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 18 页，共 20 页 - - - - - - - - - - (3)由(2)可知PBOOAQ，若它们的周长相等，则相似比为1，即全等PBAQ1tt0t1t同理可得22(1,)22Qtt2221212tmt抛物线经过点A0abc又6320abc4ba，3ca对称轴2x，取值范围2121x若0a，则开口向上由题意21x时取得最大值22 22m即2(21)(21)2 22abc解得118 27a若0a，则开口向下由题意2x时取得最大值222精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 19 页，共 20 页 - - - - - - - - - - 即42222abc解得222a综上所述所求的a的值为118 27或222精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 20 页，共 20 页 - - - - - - - - - -