2022年对数公式的运算 .pdf

名师推荐精心整理学习必备对数公式的运用1对数的概念如果 a(a0，且 a1)的 b 次幂等于 N，即 ab=N，那么数b 叫做以 a 为底 N 的对数，记作：logaN=b，其中 a 叫做对数的底数，N 叫做真数由定义知：负数和零没有对数；a0 且 a1，N0；loga1=0，logaa=1，alogaN=N(对数恒等式 )，logaab=b。特别地，以10 为底的对数叫常用对数，记作log10N，简记为lgN；以无理数 e(e=2718 28)为底的对数叫做自然对数，记作logeN，简记为lnN2对数式与指数式的互化式子名称 ab=N指数式 ab=N(底数)(指数)(幂值) 对数式 logaN=b(底数 ) (真数) (对数 ) 3对数的运算性质如果 a0，a1，M0，N0，那么(1)loga(MN)=logaM+logaN(2)loga（M/N）=logaM-logaN(3)logaMn=nlogaM(nR)问：公式中为什么要加条件a0，a1，M0，N0? logaan=? (nR) 对数式与指数式的比较(学生填表 ) 式子 ab=N，logaN=b名称： a幂的底数bNa对数的底数bN运算性质：aman=am+nam an= am-n(a0 且 a1，nR) logaMN=logaM+logaNlogaMN= logaMn= (nR) (a0，a1，M0，N0) 难点疑点突破对数定义中，为什么要规定a0， ，且 a1? 理由如下：a0，则 N 的某些值不存在，例如log-28=? 若 a=0，则 N0 时 b 不存在； N=0 时 b不惟一，可以为任何正数? 若 a=1 时，则 N1 时 b 不存在； N=1 时 b 也不惟一，可以为任何正数? 为了避免上述各种情况，所以规定对数式的底是一个不等于1 的正数 ? 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 12 页 - - - - - - - - - - 名师推荐精心整理学习必备解题方法技巧1 (1)将下列指数式写成对数式：54=625； 26=64； 3x=27； 13m=573(2)将下列对数式写成指数式：log216=4；log2128=7；log327=x；lg001=-2；ln10=2303； lg=k解析由对数定义：ab=N，logaN=b解答 (1)log5625=4log264=6log327=xlog13573=m解题方法指数式与对数式的互化，必须并且只需紧紧抓住对数的定义：ab=NlogaN=b(2)24=16，27=128，3x=27，10-2=001， e2303=10， 10k=2根据下列条件分别求x 的值：(1)log8x= -2/3；(2)log2(log5x)=0；(3)logx27=3；(4)logx(2+)= -1解析 (1)对数式化指数式，得：x=? (2)log5x=20=1x=? (3)3 3log32=? 27=x?(4) 2+=x-1=1/xx=? 解答 (1)x=2-2=1/4(2)log5x=20=1，x=51=5(3)logx27=3=32=6，x6=27=33=()6，故 x=(4) +=x-1=1/x， x=1/( +)=解题技巧转化的思想是一个重要的数学思想，对数式与指数式有着密切的关系，在解决有关问题时，经常进行着两种形式的相互转化熟练应用公式：loga1=0，logaa=1，alogaM=M，logaan=n3已知 logax=4，logay=5，求 A=x5/12y-1/3的值解析：思路一，已知对数式的值，要求指数式的值，可将对数式转化为指数式，再利用指数式的运算求值；思路二，对指数式的两边取同底的对数，再利用对数式的运算求值? 解答：解法一 logax=4，logay=5，x=a4，y=a5，A=x(5/12)y(-1/3)=(a4)5/12(a5)-1/3=a5/3a-5/3=a0=1解法二对所求指数式两边取以a为底的对数得精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 12 页 - - - - - - - - - - 名师推荐精心整理学习必备logaA=loga(x(5/12)y(-1/3) =(5/12) logax-(1/3) logay=(5/12)4-(1/3)5=0，A=1解题技巧有时对数运算比指数运算来得方便，因此以指数形式出现的式子，可利用取对数的方法，把指数运算转化为对数运算4 设 x，y均为正数，且xy1+lgx=1(x1/10)，求 lg(xy)的取值范围解析一个等式中含两个变量x、 y， 对每一个确定的正数x 由等式都有惟一的正数y 与之对应，故 y 是 x 的函数，从而 lg(xy)也是 x 的函数因此求 lg(xy)的取值范围实际上是一个求函数值域的问题，怎样才能建立这种函数关系呢?能否对已知的等式两边也取对数? 解答 x0，y0，xy1+lgx=1，两边取对数得：lgx+(1+lgx)lgy=0即 lgy=-lgx/(1+lgx) (x1/10，lgx-1)令 lgx=t，则 lgy=-t/(1+t) (t-1)lg(xy)=lgx+lgy=t-t/(1+t)= t2/(1+t) (t-1)(解题规律： 对一个等式两边取对数是解决含有指数式和对数式问题的常用的有效方法；而变量替换可把较复杂问题转化为较简单的问题) 设 S=t2/(1+t)，得关于 t 的方程 t2-St-S=0 因为它一定有实数解=S2+4S0，得 S-4 或 S0，故 lg(xy)的取值范围是(-， -4 0，+)5 求值：(1)lg25+lg2lg50+(lg2)2；(2)2log32-log3(32/9)+log38-52log53；(3)设 lga+lgb=2lg(a-2b)，求 log2a-log2b 的值；(4)求 7lg20(1/2)lg0.7的值解析：(1)25=52，50=510。都化成 lg2 与 lg5 的关系式(2)转化为 log32 的关系式(3)所求 log2a-log2b=log2(a/b)，由已知等式给出了a， b 之间的关系，能否从中求出a/b 的值呢? (4)7lg20(1/2)lg0.7是两个指数幂的乘积，且指数含常用对数，设x=7lg20(1/2)lg0.7能否先求出lgx，再求 x?解答 (1)原式=lg52+lg2lg(105)+(lg2)2=2lg5+lg2 (1+lg5)+(lg2)2=lg5 (2+lg2)+lg2+(lg2)2=（lg(10/2)） (2+lg2)+lg2+(lg2)2=(1-lg2)(2+lg2)+lg2+(lg2)2=2-lg2-(lg2)2+lg2+(lg2)2=2(2)原式 =2log32-(log325-log332)+log323-5log59=2log32-5log32+2+3log32-9 = -7(3)由已知 lgab=lg(a-2b)2(a-2b0)，精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 12 页 - - - - - - - - - - 名师推荐精心整理学习必备ab=(a-2b)2， 即 a2-5ab+4b2=0a/b=1 或 a/b=4，这里 a0，b0若 a/b=1，则 a-2b0，a1，c0， c1，N0)；(2)logablogbc=logac；(3)logab=1/logba(b0，b1)；(4)loganbm=( m/n)logab解析 : (1)设 logaN=b 得 ab=N，两边取以c 为底的对数求出b 就可能得证(2)中 logbc 能否也换成以a 为底的对数(3)应用 (1)将 logab 换成以 b 为底的对数(4)应用 (1)将 loganbm换成以 a 为底的对数解答 : (1)设 logaN=b，则 ab=N，两边取以c 为底的对数得：blogca=logcN，b=logcN/logcalogaN=logcN/logca(2)由(1)logbc=logac/logab所以 logablogbc=logablogac/logab=logac(3)由(1)logab=logbb/logba=1/logba解题规律(1)中 logaN=logcN/logca 叫做对数换底公式，(2)(3)(4) 是(1)的推论，它们在对数运算和含对数的等式证明中经常应用对于对数的换底公式，既要善于正用，也要善于逆用(4)由(1)loganbm=logabm/logaan=mlogab/nlogaa= (m/n)logab7 已知 log67=a，3b=4，求 log127解析依题意a，b 是常数，求log127 就是要用a，b 表示 log127，又 3b=4 即 log34=b，能否将log127 转化为以 6 为底的对数，进而转化为以3 为底呢 ? 解答已知 log67=a，log34=b，log127=log67/log612=a/(1+log62)又 log62=log32/log36=log32/(1+log32)，精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 12 页 - - - - - - - - - - 名师推荐精心整理学习必备由 log34=b，得 2log32=blog32=b/2，log62=(b/2)/(1+ b/2)=b/(2+b)log127=a/(1+b/(2+b)= a(2+b)/(2+2 b)解题技巧利用已知条件求对数的值，一般运用换底公式和对数运算法则，把对数用已知条件表示出来，这是常用的方法技巧。8已知 x，y，zR+，且 3x=4y=6z(1)求满足 2x=py 的 p 值；(2)求与 p 最接近的整数值；(3)求证： (1/2)/y=1/z-1/x解析：已知条件中给出了指数幂的连等式，能否引进中间量m，再用m 分别表示x，y，z?又想，对于指数式能否用对数的方法去解答? 解答：（1）解法一 3x=4y，log33x=log34y，x=ylog34，2x=2ylog34=ylog316，p=log316解法二设 3x=4y=m，取对数得：xlg3=lgm，ylg4=lgm，x=lgm/lg3，y=lgm/lg4，2x=2lgm/lg3，py=plgm/lg4由 2x=py， 得 2lgm/lg3=plgm/lg4，p=2lg4/lg3=lg42/lg3=log316(2)2=log39， 3-p=log327-log316=log3(27/16)，p-2=log316-log39=log3(16/9)，而 27/161 真数大则对数大p-23-p， p2.5 与 p 最接近的整数是3解题思想提倡一题多解不同的思路， 不同的方法， 应用了不同的知识或者是相同知识的灵活运用，既发散了思维，又提高了分析问题和解决问题的能力，何乐而不为呢? (2)中涉及比较两个对数的大小这是同底的两个对数比大小因为底 31，所以真数大的对数就大， 问题转化为比较两个真数的大小，这里超前应用了对数函数的单调性，以鼓励学生超前学习，自觉学习的学习积极性(3)解法一令 3x=4y=6z=m，由于 x，y，zR+，k1，则x=lgm/lg3，y=lgm/lg4， z=lgm/lg6，所以 1/z-1/x=lg6/lgm-lg3/lgm=(lg6-lg3)/lgm=lg2/lgm，(1/2)/y=(1/2) lg4/lgm=lg2/lgm，故(1/2)/y=1/z-1/x解法二 3x=4y=6z=m，则有 3=m1/x， 4=m1/y，6=m1/z，/，得 m1/z-1/x=6/3=2= m(1/2)/y1/z-1/x=(1/2)/ y9已知正数a，b 满足 a2+b2=7ab求证： logm(a+b)/3=(1/2)( logma+logmb)(m0 且 m 1)解析：已知 a0，b0，a2+b2=7ab求证式中真数都只含a，b 的一次式，想：能否将真数中的精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 5 页，共 12 页 - - - - - - - - - - 名师推荐精心整理学习必备一次式也转化为二次，进而应用a2+b2=7ab；解题技巧(a+b)/3 向二次转化以利于应用a2+b2=7ab 是技巧之一应用 a2+b2=7ab 将真数的和式转化为ab 的乘积式， 以便于应用对数运算性质是技巧之二解答：logm(a+b)/3=logm(a+b)/3)2/2= (1/2)logm(a+b)/3)2=(1/2) logm(a2+b2+2ab)/9a2+b2=7ab，logm(a+b)/3=(1/2) logm(7ab+2ab)/9=(1/2) logmab=(1/2)( logma+logmb)，即 logm(a+b)/3=(1/2)( logma+logmb)思维拓展发散1数学兴趣小组专门研究了科学记数法与常用对数间的关系设真数 N=a10n。其中 N0。1a10，nZ这就是用科学记数法表示真数N其科学性体现在哪里?我们只要研究数N的常用对数，就能揭示其中的奥秘。解析：由已知，对N=a10n取常用对数得，lgN=n+lga真数与对数有何联系? 解答 lgN=lg(a10n)=n+lganZ，1a10，lga(0，1)我们把整数n 叫做 N 的常用对数的首数，把lga 叫做 N 的常用对数的尾数，它是正的纯小数或 0小结： lgN 的首数就是N 中 10n的指数，尾数就是lga，0lga0，lgN 的首数和尾数与a10n有什么联系？有效数字相同的不同正数其常用对数的什么相同？什么不同？2 若 lgx 的首数比 lg(1/x)的首数大9， lgx 的尾数比 lg(1/x)的尾数小0.380 4， 且 lg0.203 4=1.308 3，求 lgx，x，lg(1/x)的值解析 lg0.203 4=1.308 3，即 lg0203 4=1+0.308 3，1 是对数的首数， 0.308 3 是对数的尾数，是正的纯小数；若设lgx=n+lga，则 lg(1/x)也可表出解答设 lgx=n+lga，依题意 lg(1/x)=( n-9)+(lga+0380 4)又 lg(1/x)= -lgx=-(n+lga)，(n-9)+(lga+0.380 4)= -n-lga，其中 n-9 是首数， lga+0.380 4 是尾数， -n-lga=-(n+1)+(1-lga)，-(n+1)是首数 1-lga 是尾数，所以：n-9=-(n+1) ，lga+0.380 4=1-lga，n=4，lga=0.308 3lgx=4+0.308 3=4.308 3，lg0.203 4=1.308 3， x=2.034104lg(1/x)=-(4+0 .308 3)=5.691 7注： (10-4.3083=5.6917)精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 6 页，共 12 页 - - - - - - - - - - 名师推荐精心整理学习必备解题规律把 lgx 的首数和尾数，lg(1/x)的首数和尾数都看成未知数，根据题目的等量关系列方程再由同一对数的首数等于首数，尾数等于尾数， 求出未知数的值， 是解决这类问题的常用方法3计算：(1) ；(2)2lg(lga100)/(2+lg(lga)解析 (1)中2+与 2-有何关系 ?+双重根号，如何化简? (2)中分母已无法化简，分子能化简吗? 解题方法认真审题、 理解题意、抓住特点、找出明确的解题思路和方法，不要被表面的繁、 难所吓倒解答(1)原式= += -1+ log66 =(2)原式 =2lg(100lga)/(2+lg(lga)=2(lg100+lg(lga)/(2+ lg(lga)=2(2+ lg(lga)/(2+lg(lga)=24已知 log2x=log3y=log5z0，比较，的大小解析：已知是对数等式，要比较大小的是根式，根式能转化成指数幂，所以，对数等式应设法转化为指数式解答：设 log2x=log3y=log5z=m0则x=2m，y=3m，z=5m=()m，=()m，=()m下面只需比较与，的大小：()6=23=8，()6=32=9，所以又 m0，考查指数函数y=()x，y=()x，y=()x在第二象限的图像，如图：1.41.210.80.60.40.221.510.50.51h x( ) = 515( )xg x( ) = 313( )xf x( ) = 2x解题规律转化的思想是一个重要的数学思想，对数与指数有着密切的关系，在解决有关问题时要充精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 7 页，共 12 页 - - - - - - - - - - 名师推荐精心整理学习必备分注意这种关系及对数式与指数式的相互转化比较指数相同，底不同的指数幂(底大于0)的大小，要应用多个指数函数在同一坐标系中第一象限 (指数大于0)或第二象限 (指数小于0)的性质进行比较? 是 y=()x，是 y=()x，是 y=()x指数 m0 时，图像在第二象限从下到上，底从大到小所以 ()m()m()m，故0，b0，M1)，且 logMb=x，则 logMa 的值为 ( ) 7.若 log63=0.673 1，log6x=-0.326 9， 则 x 为( ) 8.若 log5(log3(log2x)=0，则 x=( )9. =( )10.如果方程 lg2x+(lg2+lg3)lgx+lg2lg3=0 的两根为 x1、x2，那么 x1x2的值为 ( )11.生态学指出：生物系统中，每输入一个营养级的能量，大约只有10%的能量流到下一个营养级H1H2H3H4H5H6这条生物链中(Hn表示第 n 个营养级， n=1， 2，3，4，5，6)已知对 H1输入了 106千焦的能量，问第几个营养级能获得100 千焦的能量 ? 12.已知 x，y，zR+且 3x=4y=6z，比较 3x，4y，6z 的大小13.已知 a，b 均为不等于1 的正数，且axby=aybx=1，求证 x2=y214.已知 2a5b=2c5d=10，证明 (a-1)/(d-1)=(b-1)/(c-1)15.设集合 M=x|lg(ax2-2(a+1)x-1)0 ，若 M空集， M = x|x0 且 x+11；真数 x+106A 点拨：对 ab=M 取以 M 为底的对数7C 点拨：注意0.673 1+0.326 9=1，log6(1/x)=0.326 9，所以 log63+log6(1/x)=log63x=13x=6， x=28x=8 点拨：由外向内log3(log2x)=1， log2x=3， x=2395 点拨： log87log76 log65=log85，5=5101/6 点拨：关于lgx 的一元二次方程的两根是lgx1，lgx2由 lgx1= -lg2，lgx2= -lg3，得 x1=1/2，x2=1/3x1x2= 1/6 11设第 n 个营养级能获得100 千焦的能量，依题意 :106(10/100)n-1=100，化简得 :107-n=102，利用同底幂相等，得7-n=2，或者两边取常用对数也得7-n=2n=5，即第 5 个营养级能获能量100 千焦12设 3x=4y=6z=k，因为 x，y，zR+，所以 k1取以 k 为底的对数，得：x=1/logk3，y=1/logk4，z=1/logk63x=3/logk3=1/logk，同理得： 4y=1/logk，6z=1/logk而=，=，=，logklogklogk又 k1，1，logklogklogk0，3x4y0)，则精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 9 页，共 12 页 - - - - - - - - - - 名师推荐精心整理学习必备ax2-2(a+1)x-1=10t(t0)10t1 ，ax2-2(a+1)x-11， ax2-2(a+1)x-20a=0 时，解集 x|x-1x|x0 ；当 a0 时， M 且 M=x|x0方程 ax2-2(a+1)x-2=0 必有两不等实根，设为x1，x2且 x10 时， M=x|xx2 ，显然不是 x|x0的子集；当 a0 时， M=x|x0，x1+x2=2(a+1)/a0，x1 x2=-2/a0解得 a1, 有解，且只有正数解。a=0 时，不等式为 -2x-20, 得： x-1, 不符。a0 时，为使解只为正数，则需a0,得： a(-2+) 两根和 x1+x2=2(a+1)/a0, 即 a0，即 a0 综合得： a1,由上面可知x=1/log(k)3,y=1/log(k)4,z=1/log(k)6. 所以 3x=3/log(k)3，4y=4/log(k)4，6z=6/log(k)6. 3x/4y=3log(k)4/4 log(k)3= log(k)43/log(k)34= log(k)64/log(k)811, 所以，3x4y.同样有， 4y/6z=4log(k)6/6 log(k)4=log(k)1296/log(k)40961, 所以 4y6z. 所以 3x4y0 满足 属于 M 的真子集， M? R+，求 a 的取值范围精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 10 页，共 12 页 - - - - - - - - - - 名师推荐精心整理学习必备空集 是 M 的真子集 ,M? R+ 空集 是 M 的真子集 , ax2-(a+1) x-10 有解M? R, ax2-(a+1) x-10 的解是 正数设 ax2-(a+1) x-1=0 的解为 x1，x2 (x1= x2) a0 时,M 的解为 x x1,或 x0, x-1 无正数解(舍) a0 时,M 的解为 x2 x x20 =( a+1)2+4 a= a2+6 a+1=( a+3)2-80, a22-3,或 a0, a0, a0 或 a-1 结合得a0 有解若 ax2-( a+1)x-1 与 x轴一定无交点则 ax2-( a+1)x-1 恒大于 0, 或恒小于 0 ax2-( a+1) x-10 的解集不是空集就是实数集 R而 M? R+, 显然和这两个都矛盾精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 11 页，共 12 页 - - - - - - - - - - 文档编码：KDHSIBDSUFVBSUDHSIDHSIBF-SDSD587FCDCVDCJUH 欢迎下载 精美文档欢迎下载 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 12 页，共 12 页 - - - - - - - - - -