2022年中考数学专题存在性问题解题策略《角的存在性处理策略》.pdf

第 1 讲 角的存在性处理策略知识必备一、一线三等角1.如图1-1-1，o90EDACB且045CABCBEACD ，此为“一线三直角”全等，又称“K字型”全等 ;图 1-1-1 图 1-1-2 图 1-1-3 图 1-1-42.如图 1-1-2，o90EDACBCBEACD，此为“一线三直角”相似，又称“ K字型”相似 ;3.如图 1-1-3，o90EDACBCBEACD ， 此为更一般的 “一线三等角” .二、相似三角形的性质相似三角形的对应边成比例，其比值称为相似比；相似三角形的对应线段成比例.正切的定义如图 1-1-4，在ABCRt中，baAtan，即A的正切值等于A的对边与A的邻边之比；同理，abBtan，则1tantanBA，即互余两角的正切值互为倒数.方法提炼基本策略：联想构造构造路线方式 (一)：构造“一线三等角”角构等腰直角三角形造“一线三直角”全等，如图1-2-1；图 1-2-1角构直角三角形造“一线三直角”相似，如图1-2-2；精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 13 页 - - - - - - - - - - DEDECAACBB图 1-2-2=k构直角三角形造“ 一线三直角 ” 相似，如图1-2-3；4. “ 一线三等角 ” 的应用分三重境界；一重境：当一条线上已有三个等角时，只要识别、证明，直接应用模型解题，如图1-2-4 所示的“ 同侧型一线三等角” 及图 1-2-5 所示的 “ 异侧型一线三等角” ；二重境：当一条线上已有两个等角时，需要再补上一个等角，构造模型解题；三重境：当一条线上只有一个角时，需要再补上两个等角，构造模型解题，如图1-2-6 及图 1-2-7所示；方式（二）：构造“母子型相似”“ 角处理 ” ， 还可以在角的一边上某点处作水平或竖直辅助线，造成某水平边或竖直边对此角结构，然后在这条线上补出一个与此角相等的角，构造出“ 母子型相似 ” ，其核心结构如图1-2-8 所示 .方式（三）：整 体 旋转法（* ）前两种构造属静态构造方式，再介绍一种动态构造方式，即整体旋转法，其核心思想是“ 图形的旋转（运动）本质是图形上点旋转（运动）；反过来，点的旋转（运动）可以看成该点所在图形的旋转（运动）”.下面以三个问题说明此法：问题 1 已知点 A（3，4），将点A 绕原点 O 顺时针方向旋转45o 角，求其对应点A 的坐标 .简析第一步（“ 整体旋转 ” ）：如图1-2-9，作 ABy 轴于点 B，则 AB=3，OB=4，点 A绕原点 O顺时针方向旋转45o 得到点 A ，可看成 RtOAB绕原点 O 顺时针方向旋转45o 得到 RtOA B ，DACDEADA2=DC? DEDG2+AG2=DC? DE动动定定定定定定定定定GACBBCAACBDDE图 1-2-3图 1-2-4图 1-2-5图 1-2-6图 1-2-7图 1-2-8精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 13 页 - - - - - - - - - - 图 1-2-10图 1-2-11图 1-2-12yx3344AEAEO则 A B=8， OB=4 ，且 BOB=45o；第二步（造“一线三直角”）：如图1-2-10,依托旋转后的RtOA B,作系列“水平竖直辅助线”，构造“一线三直角”，即RtOCB RtB DA；事实上 ,RtOCB与 RtB DA都是等腰直角三角形,于是有OC=B C=22,B D=A D=232,故点A的坐标为722(,)22；问题2 已知点(4,6)A,将点A绕原点O顺时针方向旋转a角,其中tana=12,求其对应点A的坐标.简析第一步（“整体旋转”）：如图1-2-11,作 ABy 轴于点 B,则 AB=4,OB=6,将 RtOAB 绕原点O 顺时针方向旋转a角得到 RtOA B,则A B=4,OB=6,且tanBOB=tana=12；第二步（造“一线三直角”）：如图1-2-12,依托旋转后的RtOA B,作系列“水平竖直辅助线”，构造“一线三直角”，即RtOCB RtB DA，于是有B C=565,OC=5125,A D=545,B D=585,故点A的坐标为55(,)55148.问题 3 已知点( , )A a b,将点A绕原点O顺时针方向旋转a角,求其对应点A的坐标 .简析不是一般性，不妨都在第一象限内思考问题：第一步（“整体旋转”）：如图1-2-13,作 ABy 轴于点 B,则 AB=a,OB=b,将 RtOAB 绕原点 O图 1-2-9精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 13 页 - - - - - - - - - - 图 1-2-13图 1-2-14顺时针方向旋转a角得到 RtOA B,则A B=a,OB=b,且BOB=a；第二步（造“一线三直角”）：如图1-2-14,依托旋转后的RtOA B,作系列“水平竖直辅助线”，构造“一线三直角”，即RtOCB RtB DA，于是有B C=sinba,OC=cosba,A D=sinaa,B D=cosaa,故点A的坐标为(,)cossincossinaaba baaa.例 1(2017?日照 )如图 1-3-1，在平面直角坐标系中，经过点 A 的双曲线同时经过点B，且点 A 在点 B 的左侧，点A 的横坐标为， AOB=OBA=45 ，则 k 的值为 _。xy图1-3-1BAOxy2tt2图1-3-2DCBAO简析 由题可知， OAB为等腰直角三角形；如图 1-3-2，构造 “ 一线三直角 ” 结构，即RtOAD RtABC；设OD=AC=t， 则A(， t) ， B(，) ， 从 而 有t=()() ， 解 得；因此有。反思：见等腰直角三角形，造“ 一线三直角 ” ，即 “K 字型 ” 全等。例 2 如图 1-3-3，已知反比例函数的图像经过点A(3，4)，在该图像上找一点P，使POA=45，则点P 的坐标为 _。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 13 页 - - - - - - - - - - xy图1-3-3PAOxy3434图1-3-4DCPBAO简析 1（构造 “ 一线三直角 ” ）：如图1-3-4，作 ABOA 交 OP于点 B，则 OAB 为等腰直角三角形；再造 “ 一线三直角 ” 结构，即 RtOAD Rt ABC，由 A(3,4)，可得 OD=AC=4，AD=BC=3，则 B(7,1)，故直线 OP的解析式为，且反比例函数的解析式为，联立得，解得（负值舍去），故点P 的坐标为 (，)。简析 2（构造 “ 一线三等角 ” ）：如图1-3-5，分别过点A、P 作 y 轴的垂线，垂足依次为点D、E，再在 y 轴上分别找点B、C，使 BD=AD，CE=PE ，则 ABO=PCO=45 ；由 POA=45 ，易证 ABO OCP ，则，即AB?CP= BO?OC ；由 A(3， 4)，可得，BO=BD+OD=7， k=12，再设点P(t，)，则 CP=，OC=CE-OE=PE-OE=，从而有，解得，故点 P的坐标为 ()。450是一个神奇美妙、让人浮想联翩的角。依托450角，自然联想到构造等腰直角三角形。然后依托等腰直角三角形，再造“一线三直角”，这是处理450角的基本策略之一。如图 1-3-6，若 C=450，一般有四种方式构造直角三角形，但建议将已知点作为直角顶点，相对而言会更简单。这也体现出了“以不变应万变”的解题策略。解法 1，从头到尾几乎口算，不需要设元，原因在于构造等腰直角三角形时。将已知点A 作为直角顶点，否则需要设元求解，很是麻烦。解法 2，将 y 轴看成所谓“一线”。利用一个450角，再补两个“450”角，构造“一线三等角”，设出坐标，巧妙解题，这是角的存在性问题另一种重要处理策略。xy图1-3-5CEPBDAO精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 5 页，共 13 页 - - - - - - - - - - 如图 1-3-7， 已知抛物线272yxxc与x轴交于 A、 B 两点，且经过点0 2C，、732D，点 P 是直线 CD上方抛物线上一动点，当0=45PCD时，求点P 的坐标。策略一： 450构等腰直角三角形造“一线三直角”.简析：易求抛物线的解析式为2722yxx，直线 CD的解析式为122yx如图 1-3-8，过点 D 作 DQ CQ，交 CP的延长线于点Q，过点 D 作平行于 y 轴 的直线，并分别过点 C、Q 向该直线上作垂线，垂足依次为点E、F，则 CDQ 为等腰直角三角形，CED DFQ，DF=CE=3,QF=DE=, 故 Q 点坐标为3 1322，利用 C、 Q 两点， 可以求出直线CP的解析式32yx， 在与抛物线联立得232722yxyxx，解得=02xy（舍去），或1=272xy，因此点 P 坐标为1 72 2，类似的，也可以过点P 作垂线等。但不推荐，否则直角顶点未知。需要设元求解，而简析1 直角顶点 D 已知，故而顺风顺雨。理论上，在直线CD上任取一个已知点，将之做为等腰直角三角形的直角顶点，都可顺利解决，如图 1-3-9 所示，可自行探究。对比例 2，还可以发现，双曲线与抛物线都是“幌子”，借助450角的处理策略，他们仅仅起到最后联立解方程组求交点的作用。练就“慧眼”，便可以“识珠”，很多题目的命制套路就是如此.策略二：一个45补两个45造“一线三等角”如图 1310，过点 P、D 向轴上做垂线，补出两个45角，构出“一线三等角”结构，即?PCE ?CDF，则有DFCECFPE，即 PEDF=CE CF；图 1-3-7图 1-3-9图 1-3-8精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 6 页，共 13 页 - - - - - - - - - - 由题可设P(t，-t+27t+2),易得 PE=2t， DF=32,CE=-t+27t+2+t-2=-t2+29t,CF=2-(27-3)=23,因此有2t32=23(-t2+29t)，解得 t=21（t=0 舍去），故点坐标为（21，27）因本题数据的特殊性，最后可以看出，点P、D 的纵坐标相等，故过点P、D 向 y 轴做垂线，垂足重合，即图中的G 点，其实巧合与否，对解题并无影响；此外，所谓“一线”，也可以做成“水平线，甚至于“斜线”，可自行探究，一般选择现有的“一线”比较合适。策略三：一个45再补一个45造“母子型相似”如图 1-3-11，过点 D 作 y 轴的平行线交CP的延长线于点Q，交 x 轴于点G ， 再 作CE QG于 点E， 构 造 等 腰RT? CEF， 则 F=45 ,EF=CE=3,DE=23由 PCD=45，可得 ?QCD?QFC ，易证 QC2=QDQF；设 QD=t，则QC2=QE2+CE2=(t+23)2+9，故有 (t+23)2+9=t(t+29)，解得 t=215，故点的坐标为(3,11)再利用C 、 Q 两点，可求出直线的解析式为y=3x+2，与抛物线联立得y=3x=2、 y=-x2+27x+2 解得 x=0、y=2，（舍去）或x=21、y=27，故点坐标为（21，27）。“母子型相似”与“一线三等角”是极其重要的基本相似形，上述解法都将是将其视为“工具” ，结合这些基本图形的结构特征，缺啥补啥，巧妙构造，顺利求解.策略四： 45“整体旋转”+“矩形大法”第一步（“整体旋转”）：如图1-3-12，过两点作相应“水平竖直辅助线”，构造RT?CDE，再将 RT?CDE绕点 C逆时针旋转45至RT?CDE，则CE =CE=3,DE=DE=23，且 ECE =45第二步（“矩形大法”）：如图1-3-13，依托旋转后的RtCD E ，作系列“水平竖直辅助线”，构造矩形CGHK，则 RtCGE RtE HD ，事实上， Rt CGE 与 RtE HD 都是等腰直角三角形，于是有CG=E G=223，D H=E H=423，则精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 7 页，共 13 页 - - - - - - - - - - D K=223-423=423，OK=OC+CK=2+429，故点 D 的坐标为（423，2+429），下略 .图 1-3-13反思这里运用动态视角，借助旋转的眼光看问题，将点的旋转看成该点所在的直角三角形的旋转，巧思妙构，利用系列“水平竖直辅助线”，达到“改斜规正，化斜为直”之效，虽然最后的数据稍显“丑陋”，但并不影响此法的通用性与普适性.因为 45的特殊性，本题还可以尝试采用所谓的“半角模型”来求解.策略五：45正方形中的“半角模型”简析 5 如图 1-3-14，作正方形CEFG ，使 CG 边在 y 轴上，且边EF过点 D，直线CP与 FG交于点 Q；图 1-3-14 图 1-3-15设 QG=x，由 PCD=45，结合正方形中“半角模型”，可得QD=QG+DE=x+23，最后锁定RtQDF，由勾股定理得（3-x）2+（23）2=（x+23）2，解得x=1，故点 Q 坐标为（ 1,5），下略 .反思：正方形中“半角模型”应用广泛，核心结构如图1-3-15 所示，其结论众多，常用的有：EF=AE+CF ，EB平分 AEF，FB 平分 CFE等，可通过旋转法加以证明；精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 8 页，共 13 页 - - - - - - - - - - 通过前面的例题探究可以看出：紧抓45角不放手，扣住一条主线，即“45角构造等腰直角三角形造K 字形全等”，是处理45角问题的通解通法；当然也可以构造一些常见的几何模型，如“一线三等角”、“母子形相似”、“半角模型”等；其实 45角只是一个特例、一个代表而已，若将45改为 30等特殊角，甚至改成更一般的已知其三角函数值的确定角，都可以类似解决.例 4（2014 年临夏）如图1-3-16，在平面直角坐标系xOy 中，顶点为M 的抛物线是由抛物线y=x2-3 向右平移一个单位后得到的，它与y 轴负半轴交于点A，点 B 在抛物线上，且横坐标为3.（1）求点 M 、A 、B 坐标；（2）连接 AB AM BM ，求 ABM 的正切值；（3）点 P为顶点为M 的抛物线上一点，且位于对称轴右侧，设PO与 x 正半轴的夹角为，当=ABM 时，求 P 点坐标图 1-3-16简析： (1)图示抛物线的解析式为3)1(2xy，则 M90MAB(1,-3)，A(0,-2),B(3,1);(2)法 1（代数法）：利用两点间距离公式计算222MBABAM、。验算222MBABAM，可证90MAB, 在Rt ABM中 ， 可 得tanABM =31ABAM;法 2（几何法）：如图 1-3-17，分别过点 B、M 作 y 轴的垂线，垂足依次为点C、D，由题可得 AD=MD=1,AC=BC,=3 ，则 ADM 与ABC均为等腰直角三角形，故么DAM=CAB=45 ，AM=2，AB=32，从而有么90MAB，在 RtABM中，可得 tanABM =31ABAM;精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 9 页，共 13 页 - - - - - - - - - - (3)由题知 tan=tanABM =31，显然符合条件的点P 有两个：当点P 在 x 轴上方时，由 B(3，1)，易知点 P与点 B重合，即点 P(3，1)；当点 P在 x 轴下方时，如图 1-3-18，作 PG上 x 轴于点G，则 tan=31OGPG，可设PG=m(m0) 则OG=3m， 故 点 P（ 3m ， -m） ， 代 入 抛 物 线 得3-1)-(3m=m-2， 解得18975,1897521mm0（舍去），故点 P)18975,6975(综 上 所 述 ： 点P的 坐 标 为 (3 ， 1) 或)18975,6975(。第(2)小问给我们的解题启示：大胆猜想，小心求证，即为求tanABM 的值，首先从几何直观上猜想90MAB，然后利用勾股逆定理验边或几何上导角等加以说理；而第(3)小问属典型的“角处理”问题，其基本的解题之道是“正切处理”，即通过“横平竖直”辅助线，将角问题转化为边问题，再巧设边长，妙写坐标，代入解析式即可；另外，本题简单在么 a 有一条“水平边”，即平行于坐标轴的边， 若无“水平边”或“竖直边” .又如何处理呢请看下例：如图 1-3-19，二次函数12)(22mxmmmxy的图像与 x 轴交于点 A、B，与 y 轴交于点 C ，顶点 D 的横坐标为 1.(1)求二次函数的解析式及A、B 的坐标；(2)若点 P(0，t)（t-1）是 y 轴上的一点， Q(-5,0)，将点Q 绕着点 P 按顺时针方向旋转 90 得到点 E，当点 E恰好落在该二次函数的图像上时，求t 的值；(3)在(2)的条件下， 连接 AD、AE，若 M 是该二次函数图像上的一点，且么DAE=MCB，求点 M 的坐标。简 析 :(1)由 题 易 得 m=-1，则 二 次函 数 的 解析 式 为322xxy。且有点 A(-1，0)及 B(3,0)；(2)如图 1-3-20，作“K字型全等” 即 RtPQR RtEPF ，则 PF=QR=-t ，EF=PR=5 ，故点 E（-t,t+5），代人抛物线得精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 10 页，共 13 页 - - - - - - - - - - 3)(2)(52ttt解得 t=-1 或-2，因为 t0）的图像经过A、B 两点，若已知A（ n，1），则 k 的值为.yAOxP2如图 142，直线 y=3x 与双曲线xy3（x0）交于 A 点，点 P 是该双曲线第一象限上的一点，且 AOP=1+2，则点 P的坐标为.yAOxP123如图 143，已知反比例函数xky（ x0）的图像经过点A（4，6），在 OA右侧该图像上找一点P，使 tan POA=21，则点 P 的坐标为.yAOxP4如图 144，在矩形 ABCD中， E是边 AB 上的一点， AE=2，BE=4，连接 DE，作 DEF=45交边 BC于点 F，若 AD=x，BF=y，则 y 关于 x 的函数关系式为.ABCDEFx24y45图 143图 142图 141图 144精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 12 页，共 13 页 - - - - - - - - - - 5如图 145，抛物线abxaxy42经过 A（ 1， 0）、 C（0，4）两点，与x 轴交于另一点 B.（1）求抛物线的解析式；（2）已知点D（m，m+1）在第一象限的抛物线上，求点D 关于直线BC对称的点的坐标；（3）在（ 2）的条件下，连接BD，P为抛物线上一点，且DBP=45，求点P 的坐标；变式 1：连接 BD，P 为抛物线上一点，且DBP=135，求点P 的坐标；变式 2：连接 BD，P 为抛物线上一点，且tanDBP=2，求点 P的坐标 .ACBxyOACBxyO图 145备用图精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 13 页，共 13 页 - - - - - - - - - -