2022年平面向量复习基本知识点及经典结论总结 .pdf

1 平面向量复习基本知识点及经典结论总结1、向量有关概念：（1）向量的概念 ：既有大小又有方向的量，注意向量和数量的区别。向量常用有向线段来表示，注意不能说向量就是有向线段 ，为什么？（向量可以平移）。如已知 A（1,2） ，B（4,2） ，则把向量AB按向量a（ 1,3）平移后得到的向量是 _（答：（3,0 ） ）（2）零向量 ：长度为0 的向量叫零向量，记作：0，注意 零向量的方向是任意的；（3）单位向量 ：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量( 与AB共线的单位向量是|ABAB)；（4）相等向量 ：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性；（ 5）平行向量（也叫共线向量）：方向相同或相反的非零向量a、b叫做平行向量，记作：ab， 规定零向量和任何向量平行。提醒 ：相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线, 但两条直线平行不包含两条直线重合；平行向量无传递性！ （因为有0) ；三点ABC、 、共线AB AC、共线；（6）相反向量 ：长度相等方向相反的向量叫做相反向量。a的相反向量是a。如下列命题： （1） 若 ab ， 则ab。（2） 两个向量相等的充要条件是它们的起点相同，终点相同。 （3） 若A BD C，则 ABCD 是平行四边形。 （4）若 ABCD 是平行四边形，则ABDC。 （5）若,ab bc，则ac。 （6）若/ , /a b bc，则/ac。其中正确的是_（答：（4） （5） ）2、向量的表示方法： （1）几何表示法：用带箭头的有向线段表示，如AB，注意起点在前，终点在后；（2）符号表示法：用一个小写的英文字母来表示，如a，b，c等； （3）坐标表示法：在平面内建立直角坐标系，以与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j为基底， 则平面内的任一向量a可表示为,axiy jx y，称, x y为向量a的坐标，a, x y叫做向量a的坐标表示。如果向量的起点在原点，那么向量的坐标与向量的终点坐标相同。3. 平面向量的基本定理：如果 e1和 e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面内的任一向量a，有且只有一对实数1、2，使 a=1e12e2。如（ 1）若(1,1),ab(1 , 1),( 1,2)c， 则c_（ 答：1322ab） ； （ 2）下列 向量组 中，能作为平面 内所有 向量基底的是A. 12(0,0),(1, 2)eeB. 12( 1,2),(5,7)eeC. 12(3,5),(6,10)eeD. 1213(2, 3),(,)24ee（答： B） ； （3）已知,AD BE分别是ABC 的边,BC AC上的中线 ,且,ADa BEb,则BC可用向量,a b表示为 _ （答：2433ab） ；（4）已知ABC中，点D在BC边上，且DBCD2，ACsABrCD，则sr的值是 _（答： 0）4、实数与向量的积：实数与向量a的积是一个向量，记作a，它的长度和方向规定如下：1, 2aa当0 时，a的方向与a的方向相同，当0；当 P点在线段P1P2的延长线上时1；当 P点在线段 P2P1的延长线上时10；若点 P 分有向线段12PP所成的比为，则点 P 分有向线段21PP所成的比为1。如若点P分AB所成的比为34，则A分BP所成的比为 _（答：73）精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 5 页 - - - - - - - - - - 4 （3）线段的定比分点公式：设111( ,)P x y、222(,)P xy，( , )P x y分有向线段12PP所成的比为，则121211xxxyyy，特别地，当1 时，就得到线段P1P2的中点公式121222xxxyyy。在使用定比分点的坐标公式时，应明确( ,)x y，11(,)x y、22(,)xy的意义，即分别为分点，起点，终点的坐标。在具体计算时应根据题设条件，灵活地确定起点，分点和终点，并根据这些点确定对应的定比。如（ 1）若 M（-3，-2） ，N（6， -1） ，且1MPMN3，则点 P 的坐标为_（答：7( 6,)3） ； （2）已知( ,0),(3,2)A aBa，直线12yax与线段AB交于M，且2AMMB，则a等于_（答：或）11. 平移公式 ：如果点( , )P x y按向量,ah k平移至(,)P x y， 则xx hyy k； 曲线( , )0f x y按向量,ah k平移得曲线(,)0f xh yk.注意 ： （1）函数按向量平移与平常“左加右减”有何联系？（2）向量平移具有坐标不变性，可别忘了啊！如（ 1）按向量a把(2, 3)平移到(1, 2)，则按向量a把点( 7,2)平移到点 _（答：（，） ） ；（2） 函数xy2sin的图象按向量a平移后，所得函数的解析式是12cos xy， 则a_ （答：) 1 ,4(）12、向量中一些常用的结论：（1）一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量，要注意运用；（2）| | |ababab，特别地，当a b、同向或有0| |abab| |abab； 当a b、反 向 或 有0|abab| | |abab； 当a b、不 共 线| | |ababab( 这些和实数比较类似). （ 3）在ABC中，若112233,A x yB xyC xy，则其重心的坐标为123123,33xxxyyyG。如若 ABC的三边的中点分别为（2，1） 、 （-3 ，4） 、（-1，-1 ） ，则 ABC的重心的坐标为_（答：2 4(,)3 3） ；1()3PGPAPBPCG为ABC的重心，特别地0PAPBPCP为ABC的重心；PA PBPB PCPC PAP为ABC的垂心；向量()(0)|ACABABAC所在直线过ABC的内心 ( 是BAC的角平分线所在直线) ；|0AB PCBC PACA PBPABC的内心；（3）若 P 分有向线段12PP所成的比为，点M为平面内的任一点，则121MPMPMP，特别地P为12PP的中点122MPMPMP；（4）向量PA PB PC、中三终点ABC、 、共线存在实数、使得PAPBPC且1.如平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点)1 ,3(A,)3 , 1(B, 若点C满足OCOBOA21, 其中R21,且121, 则点C的轨迹是 _（答：直线AB ）精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 5 页 - - - - - - - - - - 文档编码：KDHSIBDSUFVBSUDHSIDHSIBF-SDSD587FCDCVDCJUH 欢迎下载 精美文档欢迎下载 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 5 页，共 5 页 - - - - - - - - - -