2022年中考数学重难点和二轮专题复习讲座第4讲一元二次方程与二次函数.pdf

中考数学重难点专题讲座第四讲一元二次方程与二次函数【前言】前三讲，笔者主要是和大家探讨中考中的几何综合问题，在这一类问题当中，尤以第三讲涉及的动态几何问题最为艰难。几何问题的难点在于想象，构造， 往往有时候一条辅助线没有想到， 整个一道题就卡壳了。相比几何综合题来说，代数综合题倒不需要太多巧妙的方法，但是对考生的计算能力以及代数功底有了比较高的要求。中考数学当中， 代数问题往往是以一元二次方程与二次函数为主体，多种其他知识点辅助的形式出现的。所以在接下来的专题当中，我们将对代数综合问题进行仔细的探讨和分析。一元二次方程与二次函数问题当中，纯粹的一元二次方程解法通常会以简单解答题的方式考察。 但是在后面的中难档大题当中，通常会和根的判别式，整数根和抛物线等知识点结合，所以我们继续通过真题来看看此类问题的一般解法。第一部分真题精讲【例 1】2010，西城，一模已知：关于x的方程23(1)230mxmxm 求证：m取任何实数时，方程总有实数根； 若二次函数213(1)21ymxmxm的图象关于y轴对称 求二次函数1y的解析式； 已知一次函数222yx，证明：在实数范围内，对于x的同一个值，这两个函数所对应的函数值12yy均成立； 在条件下，若二次函数23yaxbxc 的图象经过点( 50)，且在实数范围内，对于x的同一个值，这三个函数所对应的函数值132yyy，均成立，求二次函数23yaxbxc 的解析式精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 14 页 - - - - - - - - - - 【思路分析】 本题是一道典型的从方程转函数的问题，这是比较常见的关于一元二次方程与二次函数的考查方式。由于并未说明该方程是否是一元二次方程，所以需要讨论M=0和 M0 两种情况，然后利用根的判别式去判断。第二问的第一小问考关于Y 轴对称的二次函数的性质，即一次项系数为0，然后求得解析式。第二问加入了一个一次函数，证明因变量的大小关系，直接相减即可。事实上这个一次函数2y恰好是抛物线1y的一条切线，只有一个公共点（1，0） 。根据这个信息，第三问的函数如果要取不等式等号，也必须过该点。于是通过代点， 将3y用只含 a 的表达式表示出来,再利用132yyy,构建两个不等式,最终分析出 a 为何值时不等式取等号,于是可以得出结果. 【解析】解： （1）分两种情况：当0m时，原方程化为033x，解得1x， （不要遗漏） 当0m，原方程有实数根. 当0m时，原方程为关于x的一元二次方程，222 31 4236930mmmmmm. 原方程有两个实数根. （如果上面的方程不是完全平方式该怎样办？再来一次根的判定，让判别式小于0 就可以了， 不过中考如果不是压轴题基本判别式都会是完全平方式，大家注意就是了）综上所述，m取任何实数时，方程总有实数根. （ 2） 关于x的二次函数32)1(321mxmmxy的图象关于y轴对称，0) 1(3 m.（关于 Y 轴对称的二次函数一次项系数一定为0）1m. 抛物线的解析式为121xy. 221212210yyxxx， （判断大小直接做差）12yy（当且仅当1x时，等号成立）. （ 3）由 知，当1x时，120yy. 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 14 页 - - - - - - - - - - 1y、2y的图象都经过1,0. （很重要，要对那个等号有敏锐的感觉） 对于x的同一个值，132yyy，23yaxbxc 的图象必经过1,0 . 又 23yaxbxc 经过5,0，231545ya xxaxaxa . （巧妙的将表达式化成两点式，避免繁琐计算）设)22(54223xaaxaxyyy)52()24(2axaax. 对于x的同一个值，这三个函数所对应的函数值132yyy均成立，320yy ，图7- 1- 2- 3-3-2 - 1- 4- 5-6211232(42)(25 )0yaxaxa . 又根据1y、2y的图象可得0a，24 (25 )(42)04aaaya最小.（a0 时,顶点纵坐标就是函数的最小值）2(42)4 (25 )0aaa . 2(31)0a. 而2(31)0a. 只有013a，解得13a. 抛物线的解析式为35343123xxy. 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 14 页 - - - - - - - - - - 【例 2】2010，门头沟，一模关于x的一元二次方程22(1)2(2)10mxmx. （ 1）当m为何值时，方程有两个不相等的实数根；（ 2）点11A，是抛物线22(1)2(2)1ymxmx上的点，求抛物线的解析式；（ 3）在（2）的条件下，若点B与点A关于抛物线的对称轴对称，是否存在与抛物线只交于点B的直线，若存在，请求出直线的解析式；若不存在，请说明理由. 【思路分析】 第一问判别式依然要注意二次项系数不为零这一条件。第二问给点求解析式，比较简单。值得关注的是第三问，要注意如果有一次函数和二次函数只有一个交点，则需要设直线y=kx+b 以后联立，新得到的一元二次方程的根的判别式是否为零，但是这样还不够，因为 y=kx+b 的形式并未包括斜率不存在即垂直于x 轴的直线 ,恰恰这种直线也是和抛物线仅有一个交点,所以需要分情况讨论,不要遗漏任何一种可能. 【解析】：（ 1）由题意得22224(1)0mm（）解得54m210m解得1m当54m且1m时，方程有两个不相等的实数根. （ 2）由题意得212(2)11mm解得31mm，（舍）(始终牢记二次项系数不为0) 28101yxx（ 3）抛物线的对称轴是58x由题意得114B，(关于对称轴对称的点的性质要掌握) 14x与抛物线有且只有一个交点B(这种情况考试中容易遗漏) 另设过点B的直线ykxb（0k）把114B，代入 ykxb，得14kb，114bk精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 14 页 - - - - - - - - - - 114ykxk28101114yxxykxk整理得218(10)204xk xk有且只有一个交点，21(10)48(2)04kk解得6k162yx综上，与抛物线有且只有一个交点B的直线的解析式有14x，162yx【例 3】已知 P（3,m)和 Q（1，m）是抛物线221yxbx上的两点（ 1）求b的值；（ 2）判断关于x的一元二次方程221xbx=0 是否有实数根，若有，求出它的实数根；若没有，请说明理由；（ 3）将抛物线221yxbx的图象向上平移k（k是正整数）个单位，使平移后的图象与x轴无交点，求k的最小值【思路分析】拿到题目，很多同学不假思索就直接开始代点，然后建立二元方程组，十分麻烦，计算量大，浪费时间并且可能出错。但是仔细看题，发现P,Q纵坐标是一样的，说明他们关于抛物线的对称轴对称。而抛物线只有一个未知系数，所以轻松写出对称轴求出 b。 第二问依然是判别式问题，比较简单。第三问考平移，也是这类问题的一个热点，在其他区县的模拟题中也有类似的考察。考生一定要把握平移后解析式发生的变化，即左加右减 (单独的 x),上加下减 (表达式整体 )然后求出结果。【解析】(1)因为点 P 、Q 在抛物线上且纵坐标相同，所以 P、Q 关于抛物线对称轴对称并且到对称轴距离相等精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 5 页，共 14 页 - - - - - - - - - - 所以，抛物线对称轴3 142bx，所以，4b（ 2）由（ 1）可知，关于x的一元二次方程为2241xx=0因为，24bacV=168=80所以，方程有两个不同的实数根，分别是12122bxaV，22122bxaV（ 3）由（ 1）可知，抛物线2241yxx的图象向上平移k（k是正整数）个单位后的解析式为2241yxxk若使抛物线2241yxxk的图象与x轴无交点，只需22410 xxk无实数解即可由24bacV=168(1)k=88k0，得1k又k是正整数，所以k得最小值为2【例 4】2010，昌平，一模已知抛物线2442yaxaxa，其中a是常数（ 1）求抛物线的顶点坐标；（ 2）若25a，且抛物线与x轴交于整数点（坐标为整数的点），求此抛物线的解析式【思路分析】本题第一问较为简单，用直接求顶点的公式也可以算，但是如果巧妙的将a提出来 ,里面就是一个关于X 的完全平方式 ,从而得到抛物线的顶点式,节省了时间 .第二问则需要把握抛物线与X 轴交于整数点的判别式性质.这和一元二次方程有整数根是一样的.尤其注意利用题中所给25a,合理变换以后代入判别式,求得整点的可能取值. （ 1）依题意，得0a，2442yaxaxa2244222.a xxa x抛物线的顶点坐标为(2 ,2)精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 6 页，共 14 页 - - - - - - - - - - （ 2）抛物线与x轴交于整数点，24420axaxa的根是整数24164 (42)222aaaaaxaa是整数0a，22xa是整数2a是整数的完全平方数25a，25a(很多考生想不到这种变化而导致后面无从下手) 2a取 1，4，当21a时，2a； 当24a时，12aa的值为 2 或12抛物线的解析式为2286yxx或2122yxx【例 5】2010，平谷，一模已知：关于x的一元二次方程21210mxmx（m为实数）（ 1）若方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围；（ 2）在（1）的条件下， 求证： 无论m取何值， 抛物线2121ymxmx总过x轴上的一个固定点；（ 3）若m是整数，且关于x的一元二次方程21210mxmx有两个不相等的整数根，把抛物线2121ymxmx向右平移 3个单位长度，求平移后的解析式【思路分析】本题第一问比较简单，直接判别式0 就可以了，依然不能遗漏的是m10。第二问则是比较常见的题型.一般来说求固定点既是求一个和未知系数无关的X,Y 的取值 .对于本题来说 ,直接将抛物线中的m 提出 ,对其进行因式分解得到y=(mxx1)(x+1) 就可以看出当x=1 时,Y=0，而这一点恰是抛物线横过的X 轴上固定点 .如果想不到因式分解,精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 7 页，共 14 页 - - - - - - - - - - 由于本题固定点的特殊性(在 X 轴上 ),也可以直接用求根公式求出两个根,标准答案既是如此,但是有些麻烦 ,不如直接因式分解来得快.至于第三问 ,又是整数根问题+平移问题 ,因为第二问中已求出另一根,所以直接令其为整数即可,比较简单 . 解： （1）22241mmm 方程有两个不相等的实数根, 0m10m, m的取值范围是0m且1m. （ 2）证明：令0y得21210mxmx. 2222121mmmmxmm. 12221121211mmmmxxmmm，(这样做是因为已经知道判别式是2m,计算量比较小 ,如果根号内不是完全平方就需要注意了) 抛物线与x轴的交点坐标为11 001m， ，, 无论m取何值，抛物线2121ymxmx总过定点1 0，（ 3）1x是整数只需11m是整数 . m是整数，且01mm，, 2m当2m时，抛物线为21yx把它的图象向右平移3个单位长度，得到的抛物线解析式为223168yxxx【总结】中考中一元二次方程与二次函数几乎也是必考内容，但是考点无非也就是因式分解，判别式，对称轴，两根范围，平移以及直线与抛物线的交点问题。总体来说这类题目不难， 但是需要计算认真，尤其是求根公式的应用一定要注意计算的准确性。这种题目大多包涵多个小问。第一问往往是考验判别式大于0，不要忘记二次项系数为0 或者不为0 的精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 8 页，共 14 页 - - - - - - - - - - 情况。第 2,3 问基于函数或者方程对其他知识点进行考察，考生需要熟记对称轴，顶点坐标等多个公式的直接应用。至于根与系数的关系（韦达定理）近年来中考已经尽量避免提及，虽不提倡但是应用了也不会扣分，考生还是尽量掌握为好，在实际应用中能节省大量的时间。第二部分发散思考【思考 1】. 2010，北京中考已知关于x的一元二次方程22410 xxk有实数根，k为正整数 . （ 1）求k的值；（ 2）当此方程有两个非零的整数根时，将关于x的二次函数2241yxxk的图象向下平移8 个单位，求平移后的图象的解析式；（ 3）在（ 2）的条件下，将平移后的二次函数的图象在x轴下方的部分沿x轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象.请你结合这个新的图象回答：当直线12yxb bk与此图象有两个公共点时，b的取值范围 . 【思路分析】去年中考原题,相信有些同学已经做过了.第一问自不必说，判别式大于0加上 k 为正整数的条件求k 很简单 .第二问要分情况讨论当k 取何值时方程有整数根,一个个代进去看就是了,平移倒是不难,向下平移就是整个表达式减去8.但是注意第三问,函数关于对称轴的翻折 ,旋转问题也是比较容易在中考中出现的问题,一定要熟练掌握关于对称轴翻折之后函数哪些地方发生了变化,哪些地方没有变.然后利用画图解决问题. 【思考 2】2009，东城，一模已知：关于x的一元二次方程222(23)41480 xmxmm（ 1）若0,m求证：方程有两个不相等的实数根；（ 2）若 12m40 的整数，且方程有两个整数根，求m的值【思路分析】 本题也是整根问题，但是不像上题， 就三个值一个个试就可以试出来结果。本题给定一个比较大的区间,所以就需要直接用求根公式来计算.利用已知区间去求根的判别式的区间 ,也对解不等式做出了考察. 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 9 页，共 14 页 - - - - - - - - - - 【思考 3】2009，海淀，一模已知 : 关于 x 的一元一次方程kx=x+2 的根为正实数，二次函数y=ax2bx+kc （ c0）的图象与x 轴一个交点的横坐标为1. （1）若方程的根为正整数，求整数k 的值；（2）求代数式akcabbkc22)(的值；（ 3）求证 : 关于 x 的一元二次方程ax2bx+c=0 必有两个不相等的实数根. 【思路分析】本题有一定难度，属于拉分题目。第一问还好，分类讨论K 的取值即可。第二问则需要将k 用 a,b 表示出来 ,然后代入代数式进行转化.第三问则比较繁琐,需要利用题中一次方程的根为正实数这一条件所带来的不等式,去证明二次方程根的判别式大于0.但是实际的考试过程中,考生在化简判别式的过程中想不到利用已知条件去套未知条件,从而无从下手导致失分 . 【思考 4】2009，顺义 ,一模. 已知：关于x的一元二次方程22(21)20 xmxmm（ 1）求证：不论m取何值，方程总有两个不相等的实数根；（ 2）若方程的两个实数根12xx，满足12211mxxm，求m的值【思路分析】这一题第二问有些同学想到直接平方来去绝对值,然后用韦达定理进行求解,但是这样的话计算量就会非常大,所以此题绕过韦达定理,直接用根的判别式写出12xx，, 发现12xx，都是关于m 的一次表达式, 做差之后会得到一个定值.于是问题轻松求解. 这个题目告诉我们高级方法不一定简单,有的时候最笨的办法也是最好的办法. 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 10 页，共 14 页 - - - - - - - - - - 第三部分思考题解析【思考 1 解析】解： （1）由题意得，168(1)0k3k k为正整数，123k， ，（ 2）当1k时，方程22410 xxk有一个根为零；当2k时，方程22410 xxk无整数根；当3k时，方程22410 xxk有两个非零的整数根综上所述，1k和2k不合题意，舍去；3k符合题意当3k时，二次函数为2242yxx，把它的图象向下平移8个单位得到的图象的解析式为2246yxx（ 3）设二次函数2246yxx的图象与x轴交于AB、两点，则( 3 0)A，(10)B ，依题意翻折后的图象如图所示当直线12yxb经过A点时，可得32b；当直线12yxb经过B点时，可得12b由图象可知，符合题意的(3)b b的取值范围为1322b【思考 2 解析】证明：22=2(23)-4414884mmmmV（）=0,mQ840.m方程有两个不相等的实数根。（ 2）2(23)84=(23)212mmxmm=A O x y 8 6 4 2 2 4 242468B 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 11 页，共 14 页 - - - - - - - - - - 方程有两个整数根，必须使21m为整数且 m 为整数又 12m40，252181.m521m935216,.2217,24.63218,.2mmmmmm令令令 m=24 【思考 3 解析】解：由kx=x+2 ，得 (k1) x=2. 依题意k10. 12kx. 方程的根为正整数，k 为整数 , k1=1 或 k1=2. k1= 2, k2=3. （2）解：依题意，二次函数y=ax2bx+kc 的图象经过点（1，0） ， 0 =ab+kc, kc = ba . 222222222aababbaabbabaabbabakcabbkc)()()(=.122aababa（ 3）证明：方程的判别式为=(b)24ac= b24ac. 由 a0, c0, 得 ac0. ( i ) 若 ac0. 故 =b24ac0. 此时方程有两个不相等的实数根 . ( ii ) 证法一 : 若 ac0, 由(2)知 ab+kc =0, 故 b=a+kc. =b24ac= (a+kc)24ac=a2+2kac+(kc)24ac = a22kac+(kc)2+4kac 4ac 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 12 页，共 14 页 - - - - - - - - - - =(akc)2+4ac(k 1). 方程 kx=x+2 的根为正实数， 方程 (k1) x=2 的根为正实数 . 由 x0, 20, 得 k10. 4ac(k1)0. (akc)2 0, =(akc)2+4ac(k 1)0. 此时方程有两个不相等的实数根. 证法二 : 若 ac0, 抛物线 y=ax2bx+kc 与 x 轴有交点 , 1=(b)24akc =b24akc 0. (b24ac)( b24akc)=4ac(k1). 由证法一知k10, b24ac b24akc 0. = b24ac0. 此时方程有两个不相等的实数根. 综上 , 方程有两个不相等的实数根. 【思考 4 解析】（ 1）22(21)4(2)mmm22441448mmmm90不论m取何值，方程总有两个不相等实数根（ 2）由原方程可得1 2(21)9(21)322mmx，1221xmxm，123xx又12211mxxm2311mm4m精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 13 页，共 14 页 - - - - - - - - - - 经检验：4m符合题意m的值为 4精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 14 页，共 14 页 - - - - - - - - - -