2022年中考数学专题复习三角板直尺在中考试题中的应用.pdf

三角板、直尺在中考试题中的应用一、三角板与直尺的叠放例 1 如图，将三角板的直角顶点放在直尺的一边上，130， 2 50，则 3 的度数为( ) (A)80 (B)50 (C)30 (D)20 答 D点评通过把三角板、直尺结合，利用三角板的特殊角、直尺平行的特性，既考查了构建数学模型的能力，又考查了相关数学知识二、一副三角板的叠放例 2 将三副三角板如图6 所示叠放在一起，若AB 14cm，则阴影部分的面积是_cm2答：492点评通过两个三角板的组合，融知识应用的综合性、交汇性、灵活性于一体，这类试题的知识源于生活，思维能力高于教材三、三角板应用于锐角三角函数问题例 3 腾飞中学在教学楼前新建了一座“腾飞”雕塑为了测量雕塑的高度，小明在二楼找到一点C，利用三角板测得雕塑顶端A 点的仰角为30，底部 B 的俯角为 45，小华在五楼找到一点D，利用三角板测得A 点的俯角为60(如图 3)若已知 CD 为 10 米，请求出雕塑AB 的高度 (结果精确到0.1 米，参考数据31.73)分析过点 C 作 CEAB 于 E由三角板的特殊角可知：D90 6030，ACD 90 3060，CAD 90由 CD10，可知 AC12CD5在 RtACE 中，AEAC sin ACE5sin 3052，精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 5 页 - - - - - - - - - - CEAC cos ACE 5 cos 30523；在 RtBCE 中，BECE523所以 AB AEBE52(31)6.8(米)点评本题利用三角板刻画了传统的仰角、俯角的概念立意新颖，锻炼了学生利用自己手头工具解决实际问题的能力四、三角板应用于图形的旋转变换例 4 如图 4，在 RtPOQ 中，OPOQ4，M 是 PQ 的中点，把一角板的直角顶点放在点M 处，以点 M 为旋转中心，旋转三角板，三角板的两直角边与POQ 的两直角边分别交于点A、B(1)求证： MA MB ；(2)连结 AB ，探究：在旋转三角板的过程中，AOB 的周长是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由分析要证 MA MB ， 只需证明这两条线段所在的三角形全等，因此，过点 M 作 MEOP 于点 E，MF OQ 于点 F，由 O90得四边形OEMF 是矩形由于 M 是 PQ 的中点， OPOQ 4，所以，当 x2，即点 A 为 OP 的中点时， AOB 的周长有最小值，最小值为422点评本题利用三角板的灵活性，为图形的旋转变换、全等变换增添了新鲜血液，使得数学题精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 5 页 - - - - - - - - - - 型更加富有活力，更有利于学生思维的发展五、三角板应用于反比例函数问题例 5 在直角三角板中，BC2若将此三角板的一条直角边BC 或 AC 与 x 轴重合， 使点 A 或点 B 刚好在反比例函数y6x(x0) 的图象上时， 设 ABC 在第一象限部分的面积分别记做S1、S2(如图 5(1)、(2)所示 )D 是斜边与 y 轴的交点，通过计算比较S1、 S2的大小分析如图 5(1)，根据含 30的直角三角形的性质，可知S1S2点评本题是反比例函数、锐角三角函数的综合题，利用三角板的可移动性，根据反比例函数的性质，结合图形计算了四边形的面积六、三角板应用于代数几何综合题例 6 在平面直角坐标系中，现将一块等腰直角三角板放在第一象限，斜靠在两坐标轴上，且点 A(O，2)，点 C(1，0)，如图 6 所示，抛物线yax2一 ax2 经过点 B(1)求点 B 的坐标； (2)求抛物线的解析式；(3)在抛物线上是否还存在点P(点 B 除外 )，使 AACP仍然是以 AC 为直角边的等腰直角三角形？若存在，求所有点P 的坐标；若不存在，请说明理由精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 5 页 - - - - - - - - - - 分析(1)首先过点B 作 BDx 轴，垂足为D，易证 BDC CAO所以BD OC1，CDOA2，从而点 B 的坐标为 (3，1)(2)利用待定系数法即可求得二次函数的解析式为y12x212x2(3)假设存在点P，使得 ACP 是直角三角形如图 6(1)，若以 AC 为直角边，点AC 为直角顶点，则延长BC 至 P1，使得 P1CBC，得到等腰RtACP1经检验 P1在抛物线 y12x212x2 上如图 6(2)，若以 AC 为直角边，点A 为直角顶点，则过点A 作 AP2CA ，且使得AP2AC，得到等腰 RtACP2过点 P2作 P2Ny 轴，同理可得P2(2，1)经检验 P2(2，1)也在抛物线y12x212x2 上如图 6(3)，若以 AC 为直角边，点A 为直角顶点，则过点A 作 AP3上 CA ，且使得 AP3AC，得到等腰 RtACP3过点 P3作 P3Hy 轴，同理可得P3(2，3)经检验 P3(2，3)不在抛物线y12x212x2 上故符合条件的点有两点：P1(1， 1)，P2( 2，1)点评此题是中考压轴题，考查了全等三角形的判定与性质，待定系数法求二次函数的解析式，等腰直角三角形的性质等知识解题的关键是要注意数形结合思想、方程思想与分类讨论思想的应用七、直尺应用于代数几何综合题例 7 在平面直角坐标系中，抛物线过原点O，且与 x 轴交于另一点A，其顶点为B，孔明同学用一把宽为3cm 带刻度的直尺对抛物线进行如下测量；量得 OA 3cm；把直尺的左边与抛物线对称轴重合，使得直尺左下端点与抛物线的顶点重合(如图 7(1)，测得抛物线与直尺右边的交点C 的刻度读数为4.5请完成下列问题：(1)写出抛物线的对称轴；(2)求抛物线的解析式；(3)将图中的直尺 (足够长 )沿水平方向向右平移到点A 的右边 (如图 7(2)，直尺的两边交x 轴于点 H、G，交抛物线于点E、F求证：S梯形 EFGH16（EF29） 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 5 页 - - - - - - - - - - 分析(1)由于 O、A 关于抛物线对称轴对称，且OA 3cm，由此可求得抛物线的对称轴为x32(2)根据点 O、A 的坐标，可将抛物线解析式设为yax(x3)，在 (1)题求得了抛物线的对称轴，即可得到 B、 C 两点的横坐标， 分别代入抛物线的解析式中，表示出它们的纵坐标，从而 B(32， 94a)、C(92，274a)根据 C、B 的纵坐标差为4.5 即可列方程求出待定系数的值，从而确定抛物线的解析式为：21322yxx(3)可设出 E 点的横坐标为m，进而根据直尺的宽度得到F 点的横坐标为n，根据 (2)题所得抛物线，即可表示出两点的纵坐标，所以E（m，12m232m） 、F（n，12n232n） 利用梯形的面积公式，可求出梯形EFGH 的面积表达式，然后与16(EF29)进行比较即可点评此题利用刻度读数代替了已知线段的长度，考查的知识点虽不是很多，但能够从图中获得有效的信息是解决问题的关键精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 5 页，共 5 页 - - - - - - - - - -