2022年中考数学试题分类解析汇编专题押轴题.pdf

浙江 2011 年中考数学试题分类解析汇编专题12：押轴题解答题1. （浙江舟山、嘉兴12 分） 已知直线3kxy（ k 0）分别交 x 轴、 y轴于 A、B两点，线段OA上有一动点 P由原点 O向点 A运动，速度为每秒1 个单位长度，过点P作 x 轴的垂线交直线AB于点 C，设运动时间为 t 秒（1）当1k时，线段 OA上另有一动点Q由点 A向点 O运动，它与点P以相同速度同时出发，当点P到达点 A时两点同时停止运动（如图1） 直接写出 t 1 秒时 C、Q两点的坐标； 若以 Q 、C、A为顶点的三角形与 AOB 相似，求 t 的值（2）当43k时，设以 C为顶点的抛物线nmxy2)(与直线 AB的另一交点为D （如图 2） ， 求 CD的长； 设COD的 OC边上的高为 h ，当 t 为何值时，h的值最大？【答案】 解： （1）C(1 , 2)、 Q(2 , 0)。由题意得： P（t, 0),C(t, - t +3),Q(3-t , 0)。分两种情形讨论：情形一：当 AQC AOB 时，AQC= AOB=90 ， CQ OA 。CP OA ，点P与点 Q重合， OQ=OP，即3=1.5t tt。情形二：当 ACQ AOB 时，ACQ= AOB=90 ，OA=OB=3，AOB 是等腰直角三角形。ACQ也是等腰直角三角形。CP OA ，AQ=2CP ，即=23=2ttt，。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 20 页 - - - - - - - - - - 满足条件的t 的值是 1.5 秒或 2 秒。（2）由题意得：3C,34tt，以 C为顶点的抛物线解析式是2334yxtt。由2333344xttx，解得123,4xt xt。过点 D作 DE CP于点 E，则DEC= AOB=90 ，DE OA ， EDC= OAB 。DEC AOB 。DECDAOBA。AO=4 ， AB=5 ，DE=33DE BA15,CD44AO16tt。 15CD16，CD边上的高 =COD3412115129,S5521658。CODS为定值。要使 OC边上的高 h 的值最大，只要OC最短。当 OC AB时 OC最短，此时OC的长为125，BCO=90 ，又AOB=90 ， COP=90 - BOC= OBA 。又CP OA ，RtPCO RtOA B。OPOCOC BO36,OPBOBABA25，即3625t。当 t 为3625秒时， h 的值最大。【考点】 二次函数综合题，相似三角形的性质，解一元二次方程，等腰直角三角形的判定和性质。【分析】（1）根据题意知，直线为=3yx。当 t=1 时， OP=1 ，PC=2, 即点 C的坐标为（ 1，2） ；OA=3 ，QA=1 ，OQ=OQ-QA=3-1=2 ，即点 Q的坐标为（ 2，0） 。由题意得到关于t 的坐标按照两种情形解答，从而得到答案。（2） 以点 C为顶点的抛物线， 解得关于 t 的根，又由过点 D作 DE CP于点 E， 则DEC= AOB=90 ，又由DEC AOB 从而解得。先求得三角形COD的面积为定值，又由RtPCO RtOAB ，在线段比例中t 为3625时， h精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 20 页 - - - - - - - - - - 最大。2. （浙江温州14 分）如图，在平面直角坐标系中，O 是坐标原点，点A的坐标是（ 4，0） ，点 B的坐标是（ 0，b） （b0） P是直线 AB上的一个动点， 作 PC x轴，垂足为 C记点 P关于 y 轴的对称点为P （点 P不在 y 轴上），连接 PP ，PA，PC设点 P的横坐标为a（1）当b=3 时，求直线AB的解析式；若点 P的坐标是（1，m） ，求m的值；（2）若点 P在第一象限，记直线AB与 PC的交点为 D当 PD： DC=1 ：3 时，求a的值；（3）是否同时存在a，b，使PCA为等腰直角三角形？若存在，请求出所有满足要求的a，b的值；若不存在，请说明理由【答案】 解： （1）点 B在直线 AB上，设直线AB的解析式为3ykx，把b=4，y=0 代入得： 4k+3=0，34k，直线的解析式是：334yx。由已知得点P的坐标是（ 1，m） ，且点 P在直线AB上，得3151344m。（2）PP AC ，PP DACD 。P DP PDCCA，即2143aa，45a。（3）分三种情况讨论：当点 P在第一象限时，1）若AP C=90 ，PA=P C（如图1） ，过点 P作 PHx轴于点 H。PP =CH=AH=PH=12AC ，即1242aa。43a。PH=PC=12AC ，ACP AOB 。OBPC1OAAC2，即142b。2b。2）若PAC=90 （如图2） ，PA=CA ，则 PP =AC ，即24aa。4a。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 20 页 - - - - - - - - - - PA=PC=AC，ACP AOB OBPC1OAAC，即14b。4b。3）若PCA=90 ，则点 P， P都在第一象限内，这与条件矛盾。PCA 不可能是以C为直角顶点的等腰直角三角形。当点 P在第二象限时， PCA 为钝角 （如图 3） ，此时 PCA不可能是等腰直角三角形。当 P在第三象限时， PCA 为钝角（如图4） ，此时 PCA 不可能是等腰直角三角形。综上所述，所有满足条件的a，b的值为432ab和44ab。【考点】 直线上的点的坐标与方程的关系，待定系数法求一次函数解析式，相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定。【分析】（1）利用待定系数法即可求得函数的解析式。把（ 1，m）代入函数解析式即可求得m的值。（2）可以证明 PP DACD ，根据相似三角形的对应边的比相等，即可求解。（3）分 P在第一，二，三象限，三种情况进行讨论，利用相似三角形的性质即可求解。3. （浙江绍兴14 分） 抛物线21134yx与y轴交于点A，顶点为B ，对称轴BC与x轴交于点C （1）如图 1求点 A的坐标及线段OC的长；（2）点 P在抛物线上，直线PQ BC 交 x 轴于点 Q，连接 BQ 若含 45角的直角三角板如图2 所示放置 其中，一 个顶点与点C重合，直角顶点D在 BQ上，另一个顶点 E在 PQ上求直线BQ的函数解析式；若含 30角的直角三角板一个顶点与点C重合，直角顶点D在直线 BQ上，另一个顶点E在 PQ上，求点 P的坐标精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 20 页 - - - - - - - - - - 【答案】 解： （1）把x=0 代入抛物线得：114y，点 A （ 0，114） 。又抛物线的对称轴为x=1，OC=1 。（2）如图， B（1，3）分别过点 D作 DM x轴于 M ，DN PQ于点 N，PQ BC ，DMQ= DNQ= MQN=90。DMQN 是矩形。CDE是等腰直角三角形，DC=DE ，CDM= EDN 。 CDM EDN （AAS ） 。DM=DN。DMQN 是正方形。 BQC=45 。CQ=CB=3。Q （4，0） 。设 BQ的解析式为：ykxb，把 B（1，3） ，Q（4，0）代入解析式，得340kbkb，解得14kb。直线 BQ的解析式为4yx。当点 P在对称轴右侧，如图：过点 D作 DM x轴于 M ，DN PQ于 N，CDE=90 ， CDM= EDN 。CDM EDN 。当DCE=30 ，DCDM3DEDN，又 DN=MQ，DM3MQ。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 5 页，共 20 页 - - - - - - - - - - BC3CQ，BC=3 ，CQ=3。Q （1+ 3，0）。P1（913 , 4） 。当DCE=60 ，点P2（15133 , 4） 。当点 P在对称轴的左边时，由对称性知：P3（913 , 4） ，P4（1513 3 , 4） 。综上所述， 所求点 P的坐标为P1（913 , 4） ，P2（15133 , 4） ，P3（913 , 4） ，P4（1513 3 , 4） 。【考点】 二次函数综合题，待定系数法，曲线上的点与方程的关系，正方形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，对称的性质。【分析】（1）把x=0 代入抛物线求出y 的值确定点A的坐标，求出抛物线的对称轴得到OC的长。（2）由 CDE 是等腰直角三角形，分别过点D 作x轴和PQ 的垂线，通过三角形全等得到DQO=45 ，求出点Q的坐标，然后用待定系数法求出BQ的解析式。分点 P在对称轴的左右两边讨论，根据相似三角形先求出点Q的坐标，然后代入抛物线求出点P的坐标。4.（浙江金华、 丽水 12 分）如图，在平面直角坐标系中，点 A （10，0） ，以 OA为直径在第一象限内作半圆C，点 B 是该半圆周上一动点，连接OB 、AB ，并延长 AB至点 D，使 DB=AB ，过点 D作x轴垂线， 分别交x轴、直线 OB于点 E、F，点 E为垂足，连接CF （1）当AOB=30 时，求弧AB的长度；（2）当 DE=8时，求线段EF的长；（3） 在点 B运动过程中， 是否存在以点E、 C、 F 为顶点的三角形与 AOB相似，若存在，请求出此时点E的坐标；若不存在，请说明理由【答案】 解： （1）连接 BC，A（ 10，0） ，OA=10 ， CA=5 。AOB=30 ， ACB=2 AOB=60 。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 6 页，共 20 页 - - - - - - - - - - 弧 AB的长 =60551803。（2）连接 OD ，OA是C 直径， OBA=90 。又AB=BD ，OB 是 AD的垂直平分线。 OD=OA=10。在 RtODE中，OE=2222ODDE1086。AE=AO OE=10 6=4，由AOB= ADE=90 OAB ，OEF= DEA ，得 OEF DEA 。AEEFDEOE，即4EF86， EF=3。（3）设 OE=x，当交点 E在 O ，C之间时，由以点E、C、F 为顶点的三角形与 AOB相似，有 ECF= BOA 或ECF= OAB 。当ECF= BOA时， 此时OCF为等腰三角形， 点 E为 OC中点，即 OE=52，E1（52，0） 。当ECF= OAB时，有 CE=5 x，AE=10 x，CF AB ，有 CF=12AB 。ECF EAD ，CECFAEAD，即51104xx，解得，103x。E2（103，0） 。当交点 E在点 C的右侧时，ECF BOA ，要使 ECF 与BAO相似，只能使 ECF= BAO 。连接 BE ，BE为 RtADE斜边上的中线，BE=AB=BD，BEA= BA O 。BEA= ECF 。CF BE 。CFOCBEOE。ECF= BAO ，FEC= DEA=900，CEF AED ，CFCEADAE，而 AD=2BE ，CFCE2BEAE。即55210 xxx，解得1255 1755 17 , 44xx精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 7 页，共 20 页 - - - - - - - - - - 255 174x0，舍去，E3（55 174，0） 。当交点 E在点 O的左侧时，BOA= EOF ECF 要使 ECF 与BAO相似，只能使 ECF= BAO 。连接 BE ，得 BE=12AD =AB，BEA= BAO ，ECF= BEA 。CF BE 。CFOCBEOE。又ECF= BAO ，FEC= DEA=90 ，CEF AED ，CECFAEAD，而 AD=2BE ，OECE2OEAE。即55210 xxx，解得1255 1755 17 , 44xx255 174x0，舍去，又点 E在x轴负半轴上，E4（55 174，0） 。综上所述：存在以点E、C、F 为顶点的三角形与 AOB 相似，此时点E坐标为：E1（52，0） 、 E2（103，0） 、E3（55 174，0） 、E4（55 174，0） 。【考点】 弧长的计算，勾股定理，相似三角形的判定和性质，坐标与图形性质，平行线分线段成比例，解分式方程。【分析】（1）连接 BC ，由已知得 ACB=2 AOB=60 ，AC=12AO=5 ，根据弧长公式求解。（2）连接 OD ，由垂直平分线的性质得OD=OA=10 ，又 DE=8，在 RtODE中，由勾股定理求OE ，依题意证明 OEF DEA ，利用相似比求EF。（3）存在当以点E、C、F为顶点的三角形与 AOB 相似时，分为当交点E在 O，C之间时，由以点 E、C、F为顶点的三角形与 AOB 相似，有ECF= BOA或ECF= OAB ， 当交点E在点 C的右侧时，要使ECF 与BAO相似，只能使 ECF= BAO ，当交点E在点 O的左侧时，要使 ECF 与BAO相似，精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 8 页，共 20 页 - - - - - - - - - - 只能使 ECF= BAO ，三种情况，分别求E点坐标。5. （浙江杭州12 分） 图形既关于点O中心对称，又关于直线AC，BD 对称， AC=10 ，BD=6 ，已知点 E，M是线段 AB上的动点（不与端点重合） ，点 O到 EF，MN 的距离分别为1h，2h， OEF 与 OGH 组成的图形称为蝶形。（1）求蝶形面积S的最大值；（2）当以 EH为直径的圆与以MQ 为直径的圆重合时，求1h与2h满足的关系式，并求2h的取值范围。【答案】 解： （1）由题意，得四边形ABCD 是菱形 . EF BD ，ABD AEF 。15EF65h，即16EF55h。2OEF111166515S2SEF55522hhhh。当152h时，max15S2。（2）根据题意，得OE=OM，如图，作OR AB于 R， OB 关于 OR对称线段为OS ，1）当点 E、M不重合时，则OE ，OM 在 OR的两侧，易知RE=RM 。22AB5334，15OR3422159BR33434由 ML EK OB ，得OKBEOLBM , OAABOAABOKOLBEBM2BROAOAABABAB，即1295517hh124517hh，此时1h的取值范围为145017h且14534h2）当点 E，M重合时，则12hh，此时1h的取值范围为105h。【考点】 相似三角形的判定和性质，勾股定理，菱形的判定和性质，轴对称的性质，中心对称，平行线分精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 9 页，共 20 页 - - - - - - - - - - 线段成比例。【分析】（1）由题意，得四边形ABCD是菱形，根据EF BD ，求证 ABD AEF ，然后利用其对边成比例求得 EF，然后利用三角形面积公式即可求得蝶形面积S的最大值。（2）根据题意，得OE=OM作 OR AB于 R，OB关于 OR对称线段为OS ，当点E，M不重合时，则 OE ，OM在 OR 的两侧，可知RE=RM 利用勾股定理求得BR ，由ML EK OB ，利用平行线分线段求得1295517hh即可知 h1的取值范围；当点E，M重合时，则h1=h2，此时可知h1的取值范围。6. （浙江衢州12 分） 已知两直线l1，l2分别经过点A（1，0） ，点 B（ 3， 0） ， 并且当两直线同时相交于y正半轴的点 C时， 恰好有 l1l2，经过点 A、B、C的抛物线的对称轴与直线l2交于点 K，如图所示（1）求点 C的坐标，并求出抛物线的函数解析式；（2）抛物线的对称轴被直线l1，抛物线，直线l2和x轴依次截得三条线段，问这三条线段有何数量关系？请说明理由；（3）当直线 l2绕点 C旋转时， 与抛物线的另一个交点为M ，请找出使MCK为等腰三角形的点M ，简述理由，并写出点M的坐标【答案】 解： （1）由题意易知： BOC COA ，COAOBOCO，即CO13CO，CO=3。点 C的坐标是（ 0，3） 。由题意，可设抛物线的函数解析式为23yaxbx，把 A（1，0） ，B （ 3，0）的坐标分别代入23yaxbx，得309330abab，解得332 33ab。抛物线的函数解析式为232 3333yxx。（2）截得三条线段的数量关系为KD=DE=EF 。理由如下：可求得直线l1的解析式为33yx，直线 l2的解析式为333yx，精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 10 页，共 20 页 - - - - - - - - - - 抛物线的函数解析式可化为234 3133yx，抛物线的对称轴为直线x=1，顶点 D的坐标为（ 1，4 33） ；把x=1 代入33yx即可求得点K的坐标为（ 1，2 3） ；把x=1 代入333yx即可求得点E的坐标为（1，2 33） ；又点 F的坐标为（ 1，0） ，KD=2 33，DE=2 33，EF=2 33。KD=DE=EF。（3）当点 M的坐标分别为（2，3） ， （ 1，433）时， MCK 为等腰三角形理由如下：（i ）连接 BK ，交抛物线于点G ，连接 CG ，易知点 G的坐标为（ 2，3） ，又点 C的坐标为（ 0，3） ，GC AB 。可求得AB=BK=4 ，且ABK=60 ，即 ABK 为正三角形，CGK为正三角形。当 l2与抛物线交于点G ，即 l2AB 时，符合题意，此时点M1的坐标为（ 2，3） 。（ii ）连接 CD ，由 KD=2 33，CK=CG=2 ，CKD=30 ，易知 KDC 为等腰三角形。当 l2过抛物线顶点D时，符合题意，此时点M2坐标为（ 1，4 33） 。（iii）当点 M在抛物线对称轴右边时，只有点M与点 A重合时，满足CM=CK ，但点 A、C 、K在同一直线上，不能构成三角形。综上所述，当点M的坐标分别为（2，3） ， （ 1，4 33）时， MCK为等腰三角形。【考点】 二次函数综合题，相似三角形的判定和性质，曲线上点的坐标与方程的关系，解二元一次方程组，等腰三角形的判定。【分析】（1）利用 BOC COA ，得出C点坐标，再利用待定系数法求出二次函数解析式即可；（2）可求得直线l1的解析式为33yx，直线 l2的解析式为333yx，从而得出 D，E，精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 11 页，共 20 页 - - - - - - - - - - F点的坐标即可得出三条线段数量关系。（3）利用等边三角形的判定方法得出ABK为正三角形，以及易知KDC 为等腰三角形，从而得出MCK为等腰三角形时M点坐标。7. （浙江湖州12 分） 如图 1，已知正方形OABC 的边长为 2，顶点 A、 C分别在x、y轴的正半轴上，M是BC的中点 P(0，m)是线段 OC上一个动点 ( 点 C除外 ) ，直线 PM交 AB的延长线于点D(1) 求点 D的坐标 ( 用含 m的代数式表示 ) ；(2) 当ADP是等腰三角形时，求m的值；(3) 设过点 P、M 、B的抛物线与x轴的正半轴交于点E，过点 O作直线 ME的垂线，垂足为H(如图2) 当点 P从原点 O向点 C运动时，点H也随之运动请直接写出点H所经过的路径长( 不写解答过程)【答案】 解： （1）由题意得CM BM ，PMC DMB ，RtPMC RtDMB （ASA ） 。DB PC。DB 2m ，AD 4m 。点 D的坐标为 (2 ，4 m)。（2）分三种情况：若 AP AD ，则 4m2(4m)2，解得3m2。若 PD PA 过 P作 PF AB于点 F(如图) ，则 AF FD12AD 12 (4 m)，又 OP AF，1m(4m)2即4m3。若 PD DA ，PMC DMB ，PM 12PD 12AD 12 (4 m)。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 12 页，共 20 页 - - - - - - - - - - PC2CM2PM2，221(2m)1(4m)4，解得122m , m23( 舍去 ) 。综上所述，当 APD 是等腰三角形时，m的值为32或43或23。（3）点 H所经过的路径长为54。【考点】 二次函数综合题，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定，勾股定理，【分析】（1）证明 RtPMC RtDMB ，即可证明DB=2-m ，AD=4-m ，从而求解。（2）分 AP=AD ，PD=PA ，PD=DA 三种情况，根据勾股定理即可求解。（3）运动时，路线长不变，可以取当P在 O点是，求解即可。8. （浙江宁波12 分） 如图，平面直角坐标系Ox y中，点 A的坐标为（ 2，2）, 点 B的坐标为（ 6，6） ，抛物线经过A、O 、B三点，连结 OA 、OB 、AB ，线段 AB交y轴于点 E（1） 求点 E的坐标；（2） 求抛物线的函数解析式；（3） 点 F 为线段 OB上的一个动点（不与点 O、B重合） ，直线 EF与抛物线交于M 、N两点（点 N在y轴右侧），连结 ON 、BN ，当点 F在线段 OB上运动时，求 BON 面积的最大值，并求出此时点N的坐标；（4） 连结 AN ，当BON面积最大时，在坐标平面内求使得BOP 与OAN相似（点B、O 、P分别与点 O、A、N对应）的点P的坐标【答案】 解： （1）设nmxy，将点 A（ 2，2）, 点 B 6，6）代入得6622nmnm得3,21nm。 321xy。当0 x时，3y。 点 E的坐标（ 0，3） 。（2）设抛物线的函数解析式为bxaxy2，将 A（2，2）, 点 B 6 ，6）代入得精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 13 页，共 20 页 - - - - - - - - - - 6636224baba解得21,41ba。抛物线的解析式为xxy21412。（3）过点 N作x轴的垂线 NG ，垂足为 G，交 OB于点 Q ，过 B作 BH x轴于 H，设 N211 , 42xxx，则 Q （x，x）BONQONBQN2SSS11 =QN OG+QN GH221QNOG+GH21QN OH21116242xxx = = =xx29432427)3(432x)60(x。当3x时，BON 面积最大，最大值为427。 此时点 N的坐标为（ 3，34） 。（4）过点 A作 AS GQ于 S A（ 2，2）, B （6，6） ， N（3，34） ，AOE= OAS= BOH= 45 , OG=3 ，NG=43， NS=45，AS=5 。在 RtSAN和 RtNOG 中，tan SAN=tan NOG=41。 SAN= NOG 。OAS SAN= BOG NOG 。OAN= BON 。ON的延长线上存在一点P，使BOP OAN 。A（ 2，2）, N （3，34） ，在 RtASN中， AN=222255 17AS +SN544。当BOP OAN时，OBOPOAAN，即62OP2 25 174，得 OP=41715。过点 P作 PT x轴于点 T，精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 14 页，共 20 页 - - - - - - - - - - OPT ONG 。PTNG1OTOG4。设 P（4 , tt） ，22)4(tt2)41715(，解得，415,41521tt（舍）。点 P的坐标为)415,15(将 OPT 沿直线 OB翻折，可得出另一个满足条件的点P)15,415(。由以上推理可知，当点P的坐标为)415,15(或)15,415(时， BOP 与 OAN 相似。【考点】 二次函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，二次函数最值，相似三角形的判定和性质，勾股定理，对称的性质。【分析】（1）根据 A、B两点坐标求直线AB的解析式，令x=0，可求 E点坐标。（2）设抛物线解析式为bxaxy2，将 A（ 2， 2） ，B （6，6）两点坐标代入，列方程组求a、b的值即可得抛物线的函数解析式。（3）依题意，设N211 , 42xxx，求出 BON面积关于x的函数表达式，用二次函数的最值原理，可求N点的坐标。（4）根据三角形相似的性质得到BO ：OA=OP ：AN=BP ：ON ，然后根据勾股定理即可求出点P的坐标。9. （浙江台州14 分） 已知抛物线ya(xm)2n 与y轴交于点A，它的顶点为点B，点 A、B关于原点 O的对称点分别为C、D若 A、B、C、D中任何三点都不在一直线上，则称四边形ABCD为抛物线的伴随四边形，直线AB为抛物线的伴随直线(1) 如图 1，求抛物线y(x2)21 的伴随直线的解析式(2) 如图 2，若抛物线ya(xm)2n(m0) 的伴随直线是yx3，伴随四边形的面积为12，求此抛物线的解析式(3) 如图 3，若抛物线ya (xm)2n 的伴随直线是y 2xb(b 0) ，且伴随四边形 ABCD 是矩形用含 b 的代数式表示m 、n 的值；在抛物线的对称轴上是否存在点P，使得 PBD是一个等腰三角形？若存在，请直接写出点P 的坐标 ( 用含 b 的代数式表示 ) ，若不存在，请说明理由精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 15 页，共 20 页 - - - - - - - - - - 【答案】 解： （1）由已知得B (2 ，1) ，A (0 ，5) 。设所求直线的解析式为ykxb，则12kb5b， 解得k 2b 5。所求直线的解析式为y 2x5 。（2）如图，作BE AC于点 E，由题意得四边形ABCD 是平行四边形，点 A的坐标为 (0 ， 3) ，点 C的坐标为 (0 ， 3) ，可得 AC 6 。ABCD 的面积为 12，SABC6即 SABC12AC BE 6。 BE 2。m 0，即顶点 B有y轴的右侧，且在直线yx 3上，顶点 B的坐标为 B (2 ， 1)。又抛物线经过点A (0 ， 3) ，a12。y12 (x2)21。（3）如图，作BE x轴于点 E，由已知得： A的坐标为 (0 ，b) ，C的坐标为 (0 ， b) 。顶点 B (m，n) 在直线y 2xb 上，n 2m b，即点 B的坐标为 (m， 2m b) 。在矩形 ABCD 中， OC OB ，OC2OB2，即 b2m2( 2m b) 2，5m24mb 0。m (5m 4b) 0。m10( 不合题意，舍去) ，m245 b 。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 16 页，共 20 页 - - - - - - - - - - n 2m b245 b b35b。用含 b 的代数式表示m 、n 的值为 m 45 b ， n35b。存在，共四个点如下：P1 (45b，75b) ，P2 (45b，95b)，P3 (45b，165b) ，P4 (45b，135b) 。【考点】 二次函数综合题【分析】（1）利用抛物线y(x2)21 的与y轴交于点A（0， 5） ，它的顶点为点B（2，1） ，求出直线解析式即可。（2）首先得出点A 的坐标为（ 0，-3 ） ，以及点C 的坐标为（ 0，3） ，从而求出BE=2 ，得出顶点B的坐标求出解析式即可。（3）由已知可得A坐标为 （0，b） ，C点坐标为 （0，-b ） ，以及 n=-2m+b，即点 B点的坐标为 （m ，-2m+b） ，利用勾股定理求出。利用中B点坐标，以及BD的长度即可得出P点的坐标。分BD=BP ，BD=DP ，BP=DP 三种情况分别求出。10.（浙江义乌12 分）已知二次函数的图象经过 A（2，0） 、C(0，12) 两点，且对称轴为直线 x=4. 设顶点为点P，与x轴的另一交点为点 B. （1）求二次函数的解析式及顶点P 的坐标；（2）如图 1，在直线y=2x上是否存在点 D，使四边形OPBD为等腰梯形？若存在，求出点 D的坐标；若不存在，请说明理由；（3）如图 2，点 M是线段 OP上的一个动点（ O 、P两点除外），以每秒2个单位长度的速度由点P向点 O 运动，过点M作直线 MN x轴，交 PB于点 N. 将PMN沿直线 MN对折，得到P1MN. 在动点 M的运动过程中， 设P1MN与梯形 OMNB 的重叠部分的面积为 S，运动时间为t 秒. 求 S关于 t 的函数关系式 . 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 17 页，共 20 页 - - - - - - - - - - 【答案】 解： （1）设二次函数的解析式为2yaxbxc，由题意得0241242cbacab， 解得1281cba。二次函数的解析式为2812yxx。点 P的坐标为（ 4， 4） 。（2）存在点 D，使四边形OPBD 为等腰梯形 . 理由如下：当y=0 时，28120 xx， x1=2 ，x2=6。点 B的坐标为（ 6，0） 。设直线 BP的解析式为ykxm，则4406mkmk， 解得122mk。直线 BP的解析式为212yx。直线OD BP 。顶点坐标P（4， 4） ， OP=42。设 D(x，2x) 则 BD2=（2x）2+(6x)2当 BD=OP 时， （2x）2+(6x)2=（42）2解得：x1=52，x 2=2 当x2=2时， OD=BP=52，四边形 OPBD 为平行四边形，舍去当x=52时，四边形OPBD 为等腰梯形。当 D(52，54) 时，四边形OPBD 为等腰梯形。（3） 当 0t 2 时，运动速度为每秒2个单位长度，运动时间为t 秒，则 MP=2t ， PH=t， MH=t，HN=21t 。 MN=23t 。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 18 页，共 20 页 - - - - - - - - - - S=23t t 21=43t2 当 2t 4 时，P1G=2t4，P1H=t MN OB ，P1EF P1MN 。112P EF1PMN1SPGSPH，12P EF2S2t43tt4。1P EFS =3t212t+12 S=43t2(3t212t+12)= 49t2+12t 12 S= 223t0t249t12t 12 0t44 。【考点】 二次函数综合题【分析】（1）利用对称轴公式，A、C两点坐标，列方程组求a、b、 c 的值即可。（2）存在由（ 1）可求直线PB 解析式为212yx，可知PB OD ，利用BD=PO ，列方程求解，注意排除平行四边形的情形。（3）由 P（4， 4）可知直线 OP解析式为y=x，当 P1落在x轴上时， M 、N的纵坐标为 2，此时 t=2 ，按照 0t 2， 2t 4 两种情形，分别表示重合部分面积。11. （浙江省14 分） 如图，在直角坐标系中，抛物线20yaxbxc a与x轴交与点A（1,0 ） 、B （3,0 ）两点，抛物线交y轴于点 C （0,3 ） ，点 D为抛物线的顶点 直线1yx交抛物线于点M 、N两点， 过线段 MN上一点 P作y轴的平行线交抛物线于点Q (1) 求此抛物线的解析式及顶点D的坐标；(2) 问点 P在何处时，线段PQ最长，最长为多少？(3) 设 E为线段 OC上的三等分点，连接EP ，EQ ，若 EP=EQ ，求点 P的坐标【答案】 解： （1）由题意，抛物线交y轴于点 C（0,3 ） ，故设抛物线的解析式为23yaxbx，把 A（1,0 ） 、B（3,0 ）代入，得：精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 19 页，共 20 页 - - - - - - - - - - 309330abab，解得12ab。抛物线的解析式为222314yxxx。抛物线的顶点坐标为（1，4） 。（2）由题意，得 P(x, x1) ，Q (x, 223xx) ， 线段 PQ=222117231424xxxxxx。当x=12时，线段 PQ最长为174。（3）E 为线段 OC上的三等分点， OC=3, E(0，1)，或 E(0， 2) 。EP=EQ ， PQ与 y 轴平行， 2 OE= 2231xxx当 OE=1时，x1=0，x2=3，点 P坐标为（ 0， 1）或（ 3，2） 。当 OE=2时，x1=1，x2=2， 点 P坐标为（ 1，0）或（ 2，1） 。综上所述，点P的坐标为（ 0， 1）或（ 3，2）或（ 1，0）或（ 2，1） 。【考点】 二次函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，二次函数的顶点式， 二次函数的最值。【分析】（1）由待定系数法可求抛物线的解析式，化为顶点式可求顶点坐标。（2）把线段 PQ用含 P(x, x1) ，Q (x, 223xx) 来表示，用二次函数的最值原理可求。（3）依条件，列出等式即可求得。精品资料 - 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