2022年中考数学中考最后压轴题训练折叠旋转问题.pdf

学习好资料欢迎下载一折叠类1. （13 江苏徐州卷）在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD 中，边2AB，边1AD，且AB、AD 分别在 x 轴、 y 轴的正半轴上，点A 与坐标原点重合将矩形折叠，使点A 落在边 DC 上，设点A是点 A 落在边 DC 上的对应点（1）当矩形 ABCD 沿直线12yxb 折叠时（如图1） ，求点A的坐标和 b 的值；（2）当矩形 ABCD 沿直线 ykxb 折叠时， 求点A的坐标（用k 表示）；求出 k 和 b之间的关系式； 如果我们把折痕所在的直线与矩形的位置分为如图 2、3、4 所示的三种情形，请你分别写出每种情形时k 的取值范围（将答案直接填在每种情形下的横线上）（当如图1、2 折叠时，求DA的取值范围？ ）k 的取值范围是； k 的取值范围是； k 的取值范围是；解 （1）如图答 5，设直线12yxb 与 OD 交于点 E，与 OB 交于点 F，连结A O，则OE = b，OF = 2b，设点A的坐标为（ a，1）因为90DOAAOF，90OFEAOF，所以DOAOFE，所以 DOAOFE所以DADOOEOF，即12abb，所以12a所以点A的坐标为（12，1） 连结A E，则A EOEb在 RtDEA中，根据勾股定理有222A EA DDE，即2221( )(1)2bb，解得58b（2）如图答 6，设直线 ykxb 与 OD 交于点 E，与 OB 交于点 F，连结A O，则OE = b，bOFk，设点A的坐标为（ a，1） 因为90DOAAOF，90OFEAOF所以DOAOFE，所以 DOA OFE（图 4）yx( )ODCBA（图 3）yx( )ODCBA（图 2）ABCDO( )xy（图 1）yx( )ODCBA精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 34 页 - - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载所以DADOOEOF，即1abbk，所以ak所以A点的坐标为（k，1） 连结A E，在 RtDEA中，DAk，1DEb，A Eb因为222A EA DDE ，所以222()(1)bkb所以212kb在图答 6 和图答 7 中求解参照给分（3）图 132 中：21k；图 133 中：1k23；图 134 中：230k点评 这是一道有关折叠的问题，主要考查一次函数、四边形、相似形等知识，试题中贯穿了方程思想和数形结合的思想，请注意体会。2. （13 广西钦州卷）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点O为原点，E为AB上一点，把CBE沿CE折叠，使点B恰好落在OA边上的点D处，点AD，的坐标分别为(5 0)，和(3 0)，（1）求点C的坐标；（2）求DE所在直线的解析式；（3）设过点C的抛物线223(0)yxbxc b与直线BC的另一个交点为M，问在该抛物线上是否存在点G，使得CMG为等边三角形若存在，求出点G的坐标；若不存在，请说明理由解 （1）根据题意，得53CDCBOAOD，90COD，2222534OCCDOD点C的坐标是(0 4)，；（2）4ABOC，设AEx，则4DEBEx，532ADOAOD，在RtDEA中，222DEADAEyx( )ODCBAEFAG（图答 6）yx( )ODCBAEFA（图答 7）（图答 5）yx( )ODCBAEFA115 D E A x y C M B 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 34 页 - - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载222(4)2xx解之，得32x，即点E的坐标是352，设DE所在直线的解析式为ykxb，30352kbkb，解之，得3494kb，DE所在直线的解析式为3944yx；（3）点(0 4)C，在抛物线223yxbxc上，4c即抛物线为2234yxbx假设在抛物线2234yxbx上存在点G，使得CMG为等边三角形，根据抛物线的对称性及等边三角形的性质，得点G一定在该抛物线的顶点上设点G的坐标为()mn，33224bbm，22424( 3 )323428bbn，即点G的坐标为2332348bb，设对称轴34bx与直线CB交于点F，与x轴交于点H则点F的坐标为344b，00bm，点G在y轴的右侧，115 D H G E A x y C F M B 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 34 页 - - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载34bCFm，2232334488bbFHFG，322bCMCGCF，在RtCGF中，222CGCFFG，2222333248bbb解之，得2 (0)bb3342bm，2323582bn点G的坐标为3 522，在抛物线2234(0)yxbxb上存在点G3 522，使得CMG为等边三角形点评 这是一道以折叠为背景的综合型压轴题，综合性较强，这类试题在各地中考题中出现的频率不小，本题中第1、2 小题只需根据折叠的基本性质结合函数知识即可得解，第3 小题是探究型问题，是一道检测学生能力的好题。3（13 湖北咸宁卷）如图，OABC是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，O为原点，点A在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，53OAOC，（1）在AB边上取一点D，将纸片沿OD翻折，使点A落在BC边上的点E处，求点D，E的坐标；（2）若过点DE，的抛物线与x轴相交于点( 5 0)F，求抛物线的解析式和对称轴方程；（3）若（ 2）中的抛物线与y轴交于点H，在抛物线上是否存在点P，使PFH的内心在坐标轴上？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由（4）若（ 2）中的抛物线与y轴相交于点H，点Q在线段OD上移动，作直线HQ，当点Q移动到什么位置时，OD，两点到直线HQ的距离之和最大？请直接写出此时点Q的坐标及直线HQ的解析式BCAODFEyx3 5 5精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 34 页 - - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载4. .(14 台州市 ) 24如图， 四边形OABC是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，点A在x轴上， 点C在y轴上， 将边BC折叠，使点B落在边OA的点D处已知折叠5 5CE，且3tan4EDA（1）判断OCD与ADE是否相似？请说明理由；（2）求直线CE与x轴交点P的坐标；（3）是否存在过点D的直线l，使直线l、直线CE与x轴所围成的三角形和直线l、直线CE与y轴所围成的三角形相似？如果存在，请直接写出其解析式并画出相应的直线；如果不存在，请说明理由解： （1）OCD与ADE相似理由如下：由折叠知，90CDEB，1290，139023.，又90CODDAE，OCDADE（2）3tan4AEEDAAD，设3AEt，则4ADt由勾股定理得5DEt358OCABAEEBAEDEttt由（ 1）OCDADE，得OCCDADDE，845tCDtt，10CDt在DCE中，222CDDECE，222(10 )(5 )(5 5)tt，解得1t83OCAE，点C的坐标为(0 8)，点E的坐标为(103)，设直线CE的解析式为ykxb，O x y （第 24 题）C B E D A（第 24 题图 2）O x y C B E D P M G l N A F 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 5 页，共 34 页 - - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载1038kbb，解得128kb，182yx，则点P的坐标为(16 0)，（3）满足条件的直线l有 2 条：212yx，212yx如图 2：准确画出两条直线5. (14宁德市)26.已知：矩形纸片ABCD中，26AB厘米，18.5BC厘米，点E在AD上，且6AE厘米，点P是AB边上一动点按如下操作：步骤一，折叠纸片，使点P与点E重合，展开纸片得折痕MN（如图 1 所示） ；步骤二，过点P作PTAB，交MN所在的直线于点Q，连接QE（如图 2所示）（1）无论点P在AB边上任何位置，都有PQQE（填“” 、 “” 、 “”号） ；（2）如图 3 所示，将纸片ABCD放在直角坐标系中，按上述步骤一、二进行操作：当点P在A点时，PT与MN交于点11QQ，点的坐标是（，） ；当6PA厘米时，PT与MN交于点22QQ，点的坐标是（，） ；当12PA厘米时，在图3 中画出MNPT，（不要求写画法） ，并求出MN与PT的交点3Q的坐标；（3）点P在运动过程，PT与MN形成一系列的交点123QQQ，观察、猜想：众多的交点形成的图象是什么？并直接写出该图象的函数表达式解:（1） PQQE （2） (0 3)， ； (6 6)， A P B C M D (P)E B C 图 1 0(A) B C D E 6 12 18 24 x y 6 12 18 1Q2Q图 3 A N P B C M D E Q T 图 2 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 6 页，共 34 页 - - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载画图，如图所示解：方法一：设MN与EP交于点F在RtAPE中，226 5PEAEAP，13 52PFPE390Q PFEPA ，90AEPEPA，3Q PFAEP又390EAPQ FP ，3Q PFPEA3Q PPFPEEA315PE PFQ PEA3(1215)Q，方法二：过点E作3EGQ P ，垂足为G，则四边形APGE是矩形6GP，12EG设3Q Gx ，则336Q EQ Px在3RtQ EG中，22233EQEGQ G222(6)12xx9x3125Q P3(1215)Q，（3）这些点形成的图象是一段抛物线函数关系式：213(026)12yxx6. (14日照市)24. 如图， 直线 EF 将矩形纸片ABCD 分成面积相等的两部分，E、F 分别与BC 交于点 E，与 AD 交于点 F（E，F 不与顶点重合） ，设 AB=a,AD=b,BE=x ( ) 求证： AF=EC ；( ) 用剪刀将纸片沿直线EF 剪开后，再将纸片ABEF 沿 AB 对称翻折，然后平移拼接在梯形 ECDF 的下方， 使一底边重合，直腰落在边DC 的延长线上， 拼接后， 下方的梯形记作 EE BC. （1）求出直线EE 分别经过原矩形的顶点A 和顶点D 时，所对应的xb 的值；（2）在直线EE 经过原矩形的一个顶点的情形下，连接 BE ，直线 BE与 EF 是否平行？你若认为平行，请给予证明；你若认为不平行，请你说明当a 与 b 满足什么关系时，它们垂直？解: ( )证明： AB=a，AD=b ，BE=x，S梯形ABEF= S梯形CDFE0(A) B C D E 6 12 18 24 x y 6 12 18 1Q2Q3QF M G P 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 7 页，共 34 页 - - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载21a(x+AF)=21a(EC+b-AF)，2AF=EC+(b-x)又 ECb-x，2AF=2EC，即 AF=EC ；()（1）当直线 EE 经过原矩形的顶点D 时，如图（一） ，ECE B ，BEEC=BDDC.由 ECb-x，EB= EB=x， DB= DC+CB=2 a，得aaxxb2，xb=32；当直线 EE经过原矩形的顶点A 时，如图（二） ，在梯形 AE BD 中，ECE B, 点 C 是 DB 的中点，CE=21(AD+ EB)，即 b-x21（bx） ，xb=31(2) 如图（一）， 当直线 EE 经过原矩形的顶点D 时， BE EF证明：连接BFFDBE, FD=BE，四边形 FBED 是平行四边形，FBDE， FB=DE, 又 ECEB ， 点 C 是 DB 的中点，DE=EE ，FBEE, FB= EE ，四边形 BEEF 是平行四边形BE EF如图（二） ， 当直线 EE 经过原矩形的顶点A 时，显然 BE 与 EF 不平行， 设直线 EF 与 BE 交于点 G. 过点 E 作 EMBC 于 M， 则 EM=a.xb=31，EM=31BC=31b若 BE 与 EF 垂直，则有 GBE+BEG=90 ，又 BEG FECMEE ， MEE + ME E=90 ， GBE=ME E.精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 8 页，共 34 页 - - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载在 RtBME 中， tanE BM= tanGBE=BMME=ba32在 RtEME 中， tanMEE =MEEM=ab31，ba32ab31又 a0，b0，ba32，当ba32时， BE 与 EF 垂直.7. (14 荆门市 )28. 如图 1，在平面直角坐标系中，有一张矩形纸片OABC，已知 O(0，0)，A(4，0)，C(0，3)，点 P 是 OA 边上的动点 (与点 O、A 不重合 )现将 PAB 沿 PB 翻折，得到 PDB；再在 OC 边上选取适当的点E，将 POE 沿 PE 翻折，得到PFE，并使直线 PD、PF 重合(1)设 P(x，0)，E(0，y)，求 y 关于 x的函数关系式，并求y 的最大值；(2)如图 2，若翻折后点D 落在 BC 边上，求过点P、B、E 的抛物线的函数关系式；(3)在(2)的情况下，在该抛物线上是否存在点Q，使 PEQ 是以 PE 为直角边的直角三角形？若不存在，说明理由；若存在，求出点Q 的坐标解：(1)由已知 PB 平分 APD，PE 平分 OPF，且 PD、PF 重合，则 BPE=90 OPE APB=90 又 APBABP=90 ， OPE=PBARtPOERtBPAPOBAOEAP即34xyx y=2114(4)333xxxx(0 x4)且当 x=2 时，y 有最大值13(2)由已知， PAB、 POE 均为等腰三角形，可得P(1，0)，E(0，1)，B(4， 3)图 1 FEPDyxBACO图 2 OCABxyDPEF精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 9 页，共 34 页 - - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载设过此三点的抛物线为y=ax2bxc，则1,0,1643.cabcabc1,23,21.abcy=213122xx(3)由(2)知 EPB=90 ，即点 Q 与点 B 重合时满足条件直线 PB 为 y=x1，与 y 轴交于点 (0， 1)将 PB 向上平移 2 个单位则过点E(0，1)，该直线为y=x1由21,131,22yxyxx得5,6.xyQ(5，6)故该抛物线上存在两点Q(4，3)、(5，6)满足条件8. (14 湖北省孝感市 )25.在我们学习过的数学教科书中，有一个数学活动，其具体操作过程是：第一步： 对折矩形纸片ABCD ，使 AD 与 BC 重合，得到折痕EF，把纸片展开（如图1） ；第二步： 再一次折叠纸片，使点A 落在 EF 上，并使折痕经过点B，得到折痕BM，同时得到线段 BN（如图 2）.（图 1）（图 2）请解答以下问题：（1）如图 2，若延长MN 交 BC 于 P， BMP 是什么三角形？请证明你的结论（2）在图 2 中，若 AB=a ，BC= b，a、b 满足什么关系，才能在矩形纸片ABCD 上剪出符合（1）中结论的三角形纸片BMP ？（3）设矩形ABCD 的边 AB=2，BC=4，并建立如图3 所示的直角坐标系. 设直线BM为ykx，当MB C=60时，求 k 的值 .此时，将 ABM沿 BM折叠，点 A 是否落在EF 上 （E、F 分别为 AB、CD 中点） ？为什么？解： （1） BMP 是等边三角形. 证明：连结ANEF 垂直平分ABAN = BN精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 10 页，共 34 页 - - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载由折叠知AB = BNAN = AB = BN ABN 为等边三角形 ABN =60 PBN =30又 ABM =NBM =30， BNM =A =90 BPN =60MBP =MBN +PBN =60 BMP =60 MBP =BMP =BPM =60 BMP 为等边三角形. （2）要在矩形纸片ABCD 上剪出等边BMP，则 BC BP在 RtBNP 中，BN = BA =a， PBN =30BP =cos30abcos30aa23b . 当 a23b 时，在矩形上能剪出这样的等边BMP . （3） MBC =60 ABM=90 60=30在 RtABM中， tanABM=AMABtan30=2AMAM=2 33M(2 33，2). 代入 y=kx 中 ，得 k=22 33=3设 ABM沿 BM折叠后，点A 落在矩形ABCD 内的点为A过 A 作 AH BC 交 BC 于 H. ABM ABMA BM=ABM=30, A B = AB =2 ABHMBHABM=30.在 Rt ABH 中，A H =12A B =1 ，BH=33,1A A 落在 EF 上. 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 11 页，共 34 页 - - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载(图 2) (图 3) 9. (14 广东省茂名市)25.如图，已知平面直角坐标系xoy中，有一矩形纸片OABC，O 为坐标原点，ABx轴， B （3，3） ， 现将纸片按如图折叠， AD， DE 为折痕，30OAD 折叠后，点 O 落在点1O，点 C 落在点1C，并且1DO与1DC在同一直线上（1）求折痕 AD 所在直线的解析式；（2）求经过三点O，1C，C 的抛物线的解析式；（3）若P的半径为R，圆心P在（ 2）的抛物线上运动，P与两坐标轴都相切时，求P半径R的值解：（1）由已知得3,30OAOAD3tan30313ODOA，031 0AD，设直线 AD 的解析式为ykxb把 A，D 坐标代入上式得：30bkb，解得：33kb，折痕 AD 所在的直线的解析式是33yx（2）过1C作1C FOC于点 F，由已知得160ADOADO，160C DC又 DC312，12DCDC在1RtC DF中，111sin2sin603C FDCC DF1112DFDC，12,3C，而已知3,0C法一 ：设经过三点O，C1，C 的抛物线的解析式是3yax x点123C，在抛物线上，2233a，32a(第 25 题图 ) C D O A B E O1C1x y (第 25 题图 ) C D O A B E O1C1x y F 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 12 页，共 34 页 - - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载2333 33222yx xxx为所求法二 ：设经过三点O，C1，C 的抛物线的解析式是2,(0)yaxbxca把 O，C1，C 的坐标代入上式得: 0423930cabcabc，解得33 320abc，233 322yxx为所求（3）设圆心,P x y ，则当 P 与两坐标轴都相切时，有yx 由yx，得233 322xxx ，解得10 x（舍去），22 333x由yx，得233 322xxx解得10 x（舍去），22 333x所求 P 的半径2 333R或2 333R10. (14 重庆市 ) 28已知，在 RtOAB 中， OAB 900， BOA 300，AB 2。若以O 为坐标原点， OA 所在直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，点 B 在第一象限内。将 RtOAB 沿 OB 折叠后，点A 落在第一象限内的点C 处。（1）求点 C 的坐标；（2）若抛物线bxaxy2（a0）经过 C、A 两点，求此抛物线的解析式；（3）若抛物线的对称轴与OB 交于点 D，点 P 为线段 DB 上一点，过P 作y轴的平行线，交抛物线于点M。问：是否存在这样的点P，使得四边形CDPM 为等腰梯形？若存在，请求出此时点P 的坐标；若不存在，请说明理由。注：抛物线cbxaxy2（a 0）的顶点坐标为abac，ab4422，对称轴公式为abx2精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 13 页，共 34 页 - - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载yxCBAO28 题 图解: （1）过点 C 作 CHx轴，垂足为H 在 RtOAB 中， OAB 900， BOA 300，AB 2 OB4，OA32由折叠知， COB300，OCOA32COH600，OH3，CH3 C 点坐标为（3，3）（2）抛物线bxaxy2（a0）经过 C（3，3） 、A（32，0）两点baba3232033322解得：321ba此抛物线的解析式为：xxy322（3）存在。因为xxy322的顶点坐标为（3，3）即为点C MPx轴，设垂足为N，PNt，因为 BOA 300，所以 ON3tP（3t，t）作 PQCD，垂足为 Q，ME CD，垂足为E 把tx3代入xxy322得：tty632 M（3t，tt632） ，E（3，tt632）同理： Q（3，t） ，D（3， 1）要使四边形 CDPM 为等腰梯形，只需CEQD 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 14 页，共 34 页 - - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载即16332ttt，解得：341t，12t（舍） P 点坐标为（334，34） 存在满足条件的点P，使得四边形CDPM 为等腰梯形，此时P点的坐为（334，34）11. （15 山东青岛） 24 （本小题满分12 分）已知：如图，在RtACB中，90C，4cmAC，3cmBC，点P由B出发沿BA方向向点A匀速运动，速度为1cm/s；点Q由A出发沿AC方向向点C匀速运动，速度为 2cm/s；连接PQ若设运动的时间为(s)t（02t） ，解答下列问题：（1）当t为何值时，PQBC？（2）设AQP的面积为y（2cm） ，求y与t之间的函数关系式；（3）是否存在某一时刻t，使线段PQ恰好把RtACB的周长和面积同时平分？若存在，求出此时t的值；若不存在，说明理由；（4）如图，连接PC，并把PQC沿QC翻折，得到四边形PQP C，那么是否存在某一时刻t，使四边形PQP C为菱形？若存在，求出此时菱形的边长；若不存在，说明理由12. （15 浙江湖州） 24 （本小题 12 分）已知：在矩形AOBC中，4OB，3OA分别以OBOA，所在直线为x轴和y轴，建立如图所示的平面直角坐标系F是边BC上的一个动点（不与BC，重合），过F点的反比例函数(0)kykx的图象与AC边交于点E（1）求证：AOE与BOF的面积相等；（2）记OEFECFSSS，求当k为何值时，S有最大值，最大值为多少？A Q C P B 图A Q C P B P图精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 15 页，共 34 页 - - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载（3）请探索：是否存在这样的点F，使得将CEF沿EF对折后，C点恰好落在OB上？若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由（15 浙江湖州 24 题解析） 24 （本小题 12 分）（1）证明：设11()E xy，22()F xy，AOE与FOB的面积分别为1S，2S，由题意得11kyx，22kyx1111122Sx yk，2221122Sx yk12SS，即AOE与FOB的面积相等（2）由题意知：EF，两点坐标分别为33kE，44kF，1111432234ECFSEC CFkk，11121222EOFAOEBOFECFECFECFAOBCSSSSSkkSkS矩形11112212243234OEFECFECFSSSkSkkk2112Skk当161212k时，S有最大值131412S最大值精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 16 页，共 34 页 - - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载（3）解：设存在这样的点F，将CEF沿EF对折后，C点恰好落在OB边上的M点，过点E作ENOB，垂足为N由题意得：3ENAO，143EMECk，134MFCFk，90EMNFMBFMBMFB，EMNMFB又90ENMMBF，ENMMBFENEMMBMF，114 1431231133 1412kkMBkk，94MB222MBBFMF，222913444kk，解得218k21432kBF存在符合条件的点F，它的坐标为21432，13（15 浙江衢州） 24、(本题 14 分)已知直角梯形纸片OABC 在平面直角坐标系中的位置如图所示，四个顶点的坐标分别为O(0，0)，A(10 ，0)，B(8，32)，C(0，32)，点 T 在线段 OA 上(不与线段端点重合)，将纸片折叠，使点A 落在射线AB 上 (记为点 A)，折痕经过点 T，折痕 TP 与射线 AB 交于点 P，设点 T 的横坐标为t，折叠后纸片重叠部分(图中的阴影部分 )的面积为S；(1)求 OAB 的度数，并求当点A在线段 AB 上时， S 关于 t 的函数关系式；(2)当纸片重叠部分的图形是四边形时，求t 的取值范围；(3)S 存在最大值吗？若存在，求出这个最大值，并求此时t 的值；若不存在，请说明理由。（15 浙江衢州 24 题解析） 24、(本题 14 分) 解： (1) A， B 两点的坐标分别是A(10，0)和 B(8，32)，y x O B C A T y x O B C A T 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 17 页，共 34 页 - - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载381032OABtan，60OAB当点 A在线段AB 上时，60OAB，TA=TA ， A TA 是等边三角形，且ATTP，) t10(2360sin) t10(TP，) t10(21AT21APPA，2TPA) t10(83TPPA21SS，当 A与B 重合时， AT=AB=460sin32，所以此时10t6。(2)当点 A在线段AB 的延长线，且点P 在线段 AB( 不与 B 重合 )上时，纸片重叠部分的图形是四边形(如图 (1)，其中 E 是 TA与CB 的交点 )，当点 P 与 B 重合时， AT=2AB=8 ，点 T 的坐标是 (2，0) 又由 (1)中求得当 A与B 重合时， T 的坐标是 (6，0) 所以当纸片重叠部分的图形是四边形时，6t2。(3)S 存在最大值1当10t6时，2) t10(83S，在对称轴 t=10 的左边， S 的值随着 t 的增大而减小，当 t=6 时，S 的值最大是32。2当6t2时，由图1，重叠部分的面积EBATPASSSA EB 的高是60sinBA，23)4t10(21) t10(83S2234)2t (83)28t4t(8322当 t=2 时， S 的值最大是34；3当2t0，即当点 A和点P 都在线段 AB 的延长线是 (如图2，其中 E 是 TA与CB 的交点， F 是 TP 与 CB 的交点 )，ETFFTPEFT，四边形 ETAB 是等腰形， EF=ET=AB=4 ，3432421OCEF21SAA B P T E C O y x AA B T E C O y x P F 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 18 页，共 34 页 - - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载综上所述， S 的最大值是34，此时 t 的值是2t0。14 15 浙江绍兴） 24将一矩形纸片OABC放在平面直角坐标系中，(0 0)O，(6 0)A，(0 3)C，动点Q从点O出发以每秒1个单位长的速度沿OC向终点C运动，运动23秒时，动点P从点A出发以相等的速度沿AO向终点O运动当其中一点到达终点时，另一点也停止运动设点P的运动时间为t（秒）（1）用含t的代数式表示OPOQ，；（2）当1t时，如图 1，将OP Q沿PQ翻折，点O恰好落在CB边上的点D处，求点D的坐标；（3）连结AC，将OPQ沿PQ翻折，得到EPQ，如图 2问：PQ与AC能否平行？PE与AC能否垂直？若能，求出相应的t值；若不能，说明理由（15 浙江绍兴 24 题解析） 24 （本题满分14 分）解： （1）6OPt，23OQt（2）当1t时，过D点作1DDOA，交OA于1D，如图 1，则53DQQO，43QC，1CD，(13)D ，（3）PQ能与AC平行图 1 O P A x B D C Q y 图 2 O P A x B C Q y 1D图 3 O F A x B C y E Q P 图 1 O P A x B D C Q y （第 24 题图）图 2 O P A x B C Q y E 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 19 页，共 34 页 - - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载若PQAC，如图 2，则OPOAOQOC，即66233tt，149t，而703t ，149tPE不能与AC垂直若PEAC，延长QE交OA于F，如图 3，则2333 5tQFOQ QFACOC253QFtEFQFQEQFOQ22533tt2( 51)( 51)3t又RtRtEPFOCA，PEOCEFOA，6326( 51)3tt，3.45t，而703t ，t不存在15. （15 浙江宿迁24 题解析） 24如图，在矩形ABCD中，9AB，3 3AD，点P是边BC上的动点（点P不与点B，点C重合），过点P作直线PQBD，交CD边于Q点，再把PQC沿着动直线PQ对折，点C的对应点是R点，设CP的长度为x，PQR与矩形ABCD重叠部分的面积为y（1）求CQP的度数；精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 20 页，共 34 页 - - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载（2）当x取何值时，点R落在矩形ABCD的AB边上？（3）求y与x之间的函数关系式；当x取何值时，重叠部分的面积等于矩形面积的727？二旋转类1. （15 湖南常德26 题） 如图 9，在直线l上摆放有 ABC 和直角梯形DEFG，且 CD6；在 ABC 中：C90O，A300，AB4 ；在直角梯形DEFG 中：EF/DG，DGF90O ,DG6 ， DE4 ， EDG600。解答下列问题：（1）旋转： 将 ABC 绕点 C 顺时针方向旋转900，请你在图中作出旋转后的对应图形A1B1C，并求出 AB1的长度；（2）翻折： 将 A1B1C 沿过点 B1且与直线l垂直的直线翻折，得到翻折后的对应图形A2B1C1，试判定四边形A2B1DE 的形状？并说明理由；（3）平移： 将 A2B1C1沿直线l向右平移至 A3B2C2，若设平移的距离为，A3B2C2与直角梯形重叠部分的面积为，当等于ABC 面积的一半时,的值是多少？（15 湖南常德 26 题解析）解： （1）在 ABC 中由已知得： BC=2，ACAB cos30 =32，AB1=AC+C B1=AC+CB=322. 2分(2)四边形 A2B1DE 为平行四边形 .理由如下：EDG 60 ， A2B1C1 A1B1CABC 60 ， A2B1DE 又 A2B1A1B1AB4，DE4， A2B1DE,故结论成立 . 4分D Q C B P R A （第 24 题）B A D C （备用图 1）B A D C （备用图2）A B C D E F G 图 9 l精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 21 页，共 34 页 - - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载（3）由题意可知：SABC=3232221，当20 x或10 x时， 0 此时重叠部分的面积不会等于ABC 的面积的一半 5分 当42x时 ， 直 角 边B2C2与 等 腰 梯 形 的 下 底 边DG重 叠 的 长 度 为DC2=C1C2-DC1=（ 2），则222323221xxx, 当 = 21SABC= 3时，即32232x，解得22x（舍）或22x. 当22x时，重叠部分的面积等于ABC 的面积的一半. 当84x时， A3B2C2完全与等腰梯形重叠，即32y7分当108x时,B2G=B2C2-GC2=2(x8)=10-x则210231031021xxx, 当= 21SABC= 3时，即310232x，解得210 x,或210 x(舍去 ). 当210 x时，重叠部分的面积等于ABC 的面积的一半. 9 分由以上讨论知,当22x或210 x时, 重叠部分的面积等于ABC的面积的一半. 10 分2. （广西玉林卷）在矩形ABCD中，4AB，2BC，以A为坐标原点，AB所在的直线为x轴，建立直角坐标系然后将矩形ABCD绕点A逆时针旋转，使点B落在y轴的E点上，则C和D点依次落在第二象限的F点上和x轴的G点上（如图） （1）求经过BEG， ，三点的二次函数解析式；（2）设直线EF与（ 1）的二次函数图象相交于另一点H，试求四边形EGBH的周长（3）设P为（1）的二次函数图象上的一点，BPEG，求P点的坐标精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 22 页，共 34 页 - - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载解 （1）解：由题意可知，4AEAB，2AGADBC(4 0)B，(0 4)E，( 2 0)G，设经过BEG， ，三点的二次函数解析式是(2)(4)ya xx把(0 4)E，代入之，求得12a 3 分所求的二次函数解析式是：211(2)(4)422yxxxx（2）解：由题意可知，四边形AEFG为矩形F HG B，且6GB直线4y与二次函数图象的交点H的坐标为(2 4)H，2EHG与BE，与H关于抛