2022年中考数学压轴题5.pdf

中考数学压轴题(内含答案 ) 1 / 26 目录第一部分函数图象中点的存在性问题1.1 因动点产生的相似三角形问题例 1 2010 年义乌市中考第 24 题1.2 因动点产生的等腰三角形问题例 2 2012 年扬州市中考第27 题1.3 因动点产生的直角三角形问题例 3 2012 年杭州市中考第22 题1.4 因动点产生的平行四边形问题例 4 2011 年上海市中考第24 题1.5 因动点产生的梯形问题例 5 2011 年义乌市中考第24 题例 6 2010 年杭州市中考第24 题1.6 因动点产生的面积问题例 7 2012 年河南省中考第 23 题1.7 因动点产生的相切问题例 8 2012 年无锡市中考第28 题1.8 因动点产生的线段和差问题例 9 2013 年天津市中考第25 题第二部分图形运动中的函数关系问题2.1 由比例线段产生的函数关系问题例 1 2013 年宁波市中考第26 题2.2 由面积公式产生的函数关系问题例 2 2012 年广东省中考第22 题第三部分图形运动中的计算说理问题3.1 代数计算及通过代数计算进行说理问题例 1 2013 年南昌市中考第25 题3.2 几何证明及通过几何计算进行说理问题例 2 2013 年江西省中考第24 题精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 26 页 - - - - - - - - - - 中考数学压轴题(内含答案 ) 2 / 26 第一部分函数图象中点的存在性问题1.1 因动点产生的相似三角形问题例 1 2010 年义乌市中考第24 题如图 1，已知梯形OABC，抛物线分别过点O（0，0） 、A（2，0） 、B（6， 3） （1）直接写出抛物线的对称轴、解析式及顶点M 的坐标；（2） 将图 1 中梯形 OABC 的上下底边所在的直线OA、 CB 以相同的速度同时向上平移，分别交抛物线于点O1、A1、C1、B1，得到如图2的梯形 O1A1B1C1设梯形 O1A1B1C1的面积为 S，A1、 B1的坐标分别为(x1，y1)、(x2，y2)用含 S的代数式表示x2 x1，并求出当S=36时点 A1的坐标；（3）在图 1 中，设点D 的坐标为 (1，3)，动点 P 从点 B 出发，以每秒1 个单位长度的速度沿着线段BC 运动，动点Q 从点 D 出发，以与点P 相同的速度沿着线段DM 运动 P、Q 两点同时出发，当点Q 到达点 M 时，P、Q 两点同时停止运动设P、Q 两点的运动时间为 t，是否存在某一时刻t，使得直线PQ、直线 AB、x 轴围成的三角形与直线PQ、直线 AB、抛物线的对称轴围成的三角形相似？若存在，请求出t 的值；若不存在，请说明理由图 1 图 2 动感体验请打开几何画板文件名“10 义乌 24” ，拖动点 I 上下运动，观察图形和图象，可以体验到， x2x1随 S的增大而减小双击按钮“第（3）题” ，拖动点 Q 在 DM 上运动，可以体验到，如果 GAF GQE，那么 GAF 与 GQE 相似思路点拨1第（ 2）题用含S的代数式表示x2x1，我们反其道而行之，用x1，x2表示 S 再注意平移过程中梯形的高保持不变，即y2y13通过代数变形就可以了2第（3）题最大的障碍在于画示意图，在没有计算结果的情况下，无法画出准确的位置关系，因此本题的策略是先假设，再说理计算，后验证3第（ 3）题的示意图，不变的关系是：直线AB 与 x 轴的夹角不变，直线AB 与抛物线的对称轴的夹角不变变化的直线PQ 的斜率，因此假设直线PQ 与 AB 的交点 G 在 x 轴的下方，或者假设交点G 在 x 轴的上方满分解答（1）抛物线的对称轴为直线1x，解析式为21184yxx，顶点为M（1，18） （ 2）梯 形O1A1B1C1的 面 积12122(11)3()62xxSxx， 由 此 得 到精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 26 页 - - - - - - - - - - 中考数学压轴题(内含答案 ) 3 / 26 1223sxx由于213yy，所以22212211111138484yyxxxx整理，得212111()()384xxxx因此得到2172xxS当 S=36 时，212114,2.xxxx解得126,8.xx此时点 A1的坐标为（ 6，3） （3）设直线AB 与 PQ 交于点 G，直线 AB 与抛物线的对称轴交于点E，直线 PQ 与 x轴交于点F，那么要探求相似的GAF 与GQE，有一个公共角G在GEQ 中， GEQ 是直线 AB 与抛物线对称轴的夹角，为定值在GAF 中， GAF 是直线 AB 与 x 轴的夹角，也为定值，而且GEQ GAF因此只存在 GQEGAF 的可能， GQE GAF这时 GAF GQE PQD由于3tan4GAF，tan5DQtPQDQPt，所以345tt解得207t图 3 图 4 考点伸展第（ 3）题是否存在点G 在 x 轴上方的情况？如图4，假如存在，说理过程相同，求得的 t 的值也是相同的事实上， 图 3 和图 4 都是假设存在的示意图，实际的图形更接近图3精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 26 页 - - - - - - - - - - 中考数学压轴题(内含答案 ) 4 / 26 1.2因动点产生的等腰三角形例 2 2011 年盐城市中考第28 题如图 1，已知一次函数y x7 与正比例函数43yx的图象交于点A，且与 x 轴交于点 B（1）求点 A 和点 B 的坐标；（2） 过点 A 作 ACy 轴于点 C， 过点 B 作直线 l/y 轴 动点 P 从点 O 出发，以每秒1 个单位长的速度，沿O C A的路线向点A 运动；同时直线l 从点 B 出发，以相同速度向左平移， 在平移过程中， 直线 l 交 x 轴于点 R，交线段 BA或线段AO 于点 Q当点 P 到达点A 时，点P 和直线l 都停止运动在运动过程中，设动点P 运动的时间为t 秒当 t 为何值时，以A、P、R 为顶点的三角形的面积为 8？是否存在以A、 P、 Q 为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求t 的值；若不存在，请说明理由图 1 动感体验请打开几何画板文件名“11 盐城 28” ，拖动点 R 由 B 向 O 运动，从图象中可以看到，APR 的面积有一个时刻等于8观察 APQ，可以体验到，P 在 OC 上时，只存在APAQ 的情况； P 在 CA 上时，有三个时刻，APQ 是等腰三角形思路点拨1把图 1 复制若干个，在每一个图形中解决一个问题2求APR 的面积等于8，按照点 P 的位置分两种情况讨论事实上， P 在 CA 上运动时，高是定值4，最大面积为6，因此不存在面积为8 的可能3讨论等腰三角形APQ，按照点 P 的位置分两种情况讨论，点P 的每一种位置又要讨论三种情况满分解答（1）解方程组7,4,3yxyx得3,4.xy所以点 A 的坐标是 (3，4)令70yx，得7x所以点 B 的坐标是 (7，0)（2）如图 2，当 P 在 OC 上运动时， 0t4由8APRACPPORCORASSSS梯形，得1113+7)44 (4)(7)8222tttt（整理，得28120tt解得t2 或 t6（舍去）如图 3，当 P 在 CA 上运动时，APR 的最大面积为6因此，当 t2 时，以 A、P、R 为顶点的三角形的面积为8精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 26 页 - - - - - - - - - - 中考数学压轴题(内含答案 ) 5 / 26 图 2 图 3 图 4 我们先讨论P 在 OC 上运动时的情形，0t4如图 1，在 AOB 中，B45， AOB45，OB7，4 2AB， 所以 OBAB因此 OABAOB B如图 4，点 P 由 O 向 C 运动的过程中，OPBRRQ，所以 PQ/x 轴因此 AQP45保持不变，PAQ 越来越大，所以只存在APQ AQP 的情况此时点 A 在 PQ 的垂直平分线上，OR2CA 6所以 BR1，t 1我们再来讨论P 在 CA 上运动时的情形，4t7在APQ 中，3cos5A为定值，7APt，5520333AQOAOQOAORt如图 5，当 APAQ 时，解方程520733tt，得418t如图6，当QPQA 时，点Q 在 PA 的垂直平分线上，AP 2(OR OP)解方程72(7)(4)ttt，得5t如7 ， 当PA PQ时 ， 那 么12cosAQAAP 因 此2cosAQAPA 解 方 程52032(7)335tt，得22643t综上所述， t1 或418或 5 或22643时， APQ 是等腰三角形图 5 图 6 图 7 考点伸展当 P 在 CA 上，QPQA 时，也可以用2cosAPAQA来求解精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 5 页，共 26 页 - - - - - - - - - - 中考数学压轴题(内含答案 ) 6 / 26 1.3 因动点产生的直角三角形问题例 3 2012年杭州市中考第22题在平面直角坐标系中，反比例函数与二次函数yk(x2 x1)的图象交于点A(1,k)和点B(1,k)（1）当 k 2 时，求反比例函数的解析式；（2）要使反比例函数与二次函数都是y 随 x 增大而增大，求k 应满足的条件以及x 的取值范围；（3）设二次函数的图象的顶点为Q，当 ABQ 是以 AB 为斜边的直角三角形时，求k的值动感体验请打开几何画板文件名“12 杭州 22” ，拖动表示实数k 的点在 y 轴上运动， 可以体验到，当 k0 并且在抛物线的对称轴左侧，反比例函数与二次函数都是y 随 x 增大而增大观察抛物线的顶点Q 与 O 的位置关系，可以体验到，点Q 有两次可以落在圆上请打开超级画板文件名“12 杭州 22” ，拖动表示实数k 的点在 y 轴上运动， 可以体验到，当 k0 并且在抛物线的对称轴左侧，反比例函数与二次函数都是y 随 x 增大而增大观察抛物线的顶点Q 与 O 的位置关系，可以体验到，点Q 有两次可以落在圆上思路点拨1由点 A(1,k)或点 B( 1,k)的坐标可以知道，反比例函数的解析式就是kyx题目中的 k 都是一致的2由点 A(1,k)或点 B( 1,k)的坐标还可以知道，A、B 关于原点O 对称，以 AB 为直径的圆的圆心就是O3根据直径所对的圆周角是直角，当Q 落在 O 上是， ABQ 是以 AB 为直径的直角三角形满分解答（1）因为反比例函数的图象过点A(1,k)，所以反比例函数的解析式是kyx当 k2 时，反比例函数的解析式是2yx（2）在反比例函数kyx中，如果y 随 x 增大而增大，那么 k0当 k0 时，抛物线的开口向下，在对称轴左侧，y 随 x增大而增大抛物线yk(x2x1)215()24k xk的对称轴是直线12x图 1所以当 k0 且12x时，反比例函数与二次函数都是y 随 x 增大而增大（3）抛物线的顶点Q 的坐标是15(,)24k，A、B 关于原点 O 中心对称，当 OQOAOB 时， ABQ 是以 AB 为直径的直角三角形精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 6 页，共 26 页 - - - - - - - - - - 中考数学压轴题(内含答案 ) 7 / 26 由 OQ2OA2，得222215()()124kk解得1233k（如图 2） ，2233k（如图 3） 图 2 图 3 考点伸展如图 4，已知经过原点O 的两条直线AB 与 CD 分别与双曲线kyx（k0）交于 A、B和 C、D，那么 AB 与 CD 互相平分，所以四边形ACBD 是平行四边形问平行四边形ABCD 能否成为矩形？能否成为正方形？如图 5，当 A、C 关于直线yx 对称时， AB 与 CD 互相平分且相等，四边形ABCD 是矩形因为 A、C 可以无限接近坐标系但是不能落在坐标轴上，所以OA 与 OC 无法垂直，因此四边形ABCD 不能成为正方形图 4 图 5 1.4 因动点产生的平行四边形问题精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 7 页，共 26 页 - - - - - - - - - - 中考数学压轴题(内含答案 ) 8 / 26 例 4 2011年上海市中考第24题已知平面直角坐标系xOy（如图 1） ，一次函数334yx的图象与 y 轴交于点 A，点 M在正比例函数32yx的图象上，且MOMA二次函数yx2bxc 的图象经过点A、M（1）求线段AM 的长；（2）求这个二次函数的解析式；（3）如果点B 在 y 轴上，且位于点A 下方，点C 在上述二次函数的图象上，点D 在一次函数334yx的图象上，且四边形 ABCD 是菱形，求点C 的坐标图 1 动感体验请打开几何画板文件名“11 上海 24” ，拖动点 B 在 y 轴上点 A 下方运动， 四边形 ABCD保持菱形的形状，可以体验到，菱形的顶点C 有一次机会落在抛物线上思路点拨1本题最大的障碍是没有图形，准确画出两条直线是基本要求，抛物线可以不画出来，但是对抛物线的位置要心中有数2根据 MOMA 确定点 M 在 OA 的垂直平分线上，并且求得点M 的坐标，是整个题目成败的一个决定性步骤3第（ 3）题求点C 的坐标，先根据菱形的边长、直线的斜率，用待定字母m 表示点C 的坐标，再代入抛物线的解析式求待定的字母m满分解答（1）当 x0 时，3334yx，所以点 A 的坐标为 (0，3)，OA3如图 2， 因为 MOMA， 所以点 M 在 OA 的垂直平分线上， 点 M 的纵坐标为32 将32y代入32yx，得 x1所以点M 的坐标为3(1, )2因此132AM（2）因为抛物线yx2bxc 经过 A(0，3)、M3(1, )2，所以3,31.2cbc解得52b，3c所以二次函数的解析式为2532yxx（3）如图 3，设四边形ABCD 为菱形，过点A 作 AECD，垂足为 E在 RtADE 中，设 AE4m，DE3m，那么 AD5m因此点 C 的坐标可以表示为(4m，32m)将点 C(4m，32m)代入2532yxx，得23216103mmm解得12m或者 m0（舍去）因此点 C 的坐标为（ 2，2） 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 8 页，共 26 页 - - - - - - - - - - 中考数学压轴题(内含答案 ) 9 / 26 图 2 图 3 考点伸展如果第（ 3）题中，把“四边形ABCD 是菱形”改为“以A、B、C、D 为顶点的四边形是菱形”，那么还存在另一种情况：如图 4，点 C 的坐标为7 27(,)4 16图 4 1.5 因动点产生的梯形问题精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 9 页，共 26 页 - - - - - - - - - - 中考数学压轴题(内含答案 ) 10 / 26 例 5 2011年义乌市中考第24 题已知二次函数的图象经过A（2，0） 、C(0，12) 两点，且对称轴为直线x4，设顶点为点 P，与 x 轴的另一交点为点B（1）求二次函数的解析式及顶点P 的坐标；（2）如图 1，在直线y2x 上是否存在点D，使四边形OPBD 为等腰梯形？若存在，求出点 D 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）如图 2，点 M 是线段 OP 上的一个动点（ O、P 两点除外），以每秒2 个单位长度的速度由点P 向点 O 运动， 过点 M 作直线 MN/x 轴，交 PB 于点 N 将 PMN 沿直线 MN对折，得到P1MN 在动点 M 的运动过程中，设P1MN 与梯形 OMNB 的重叠部分的面积为 S，运动时间为t 秒，求 S关于 t 的函数关系式图 1 图 2 动感体验请打开几何画板文件名“11 义乌 24” ，拖动点 M 从 P 向 O 运动，可以体验到，M 在到达 PO 的中点前，重叠部分是三角形；经过中点以后，重叠部分是梯形思路点拨1第（2）题可以根据对边相等列方程，也可以根据对角线相等列方程，但是方程的解都要排除平行四边形的情况2第（ 3）题重叠部分的形状分为三角形和梯形两个阶段，临界点是PO 的中点满分解答（1）设抛物线的解析式为2(4)ya xk，代入A（ 2， 0） 、C(0，12) 两点，得40,1612.akak解得1,4.ak所以二次函数的解析式为22(4)4812yxxx，顶点 P 的坐标为（ 4， 4） （2）由2812(2)(6)yxxxx，知点 B 的坐标为（ 6，0） 假设在等腰梯形OPBD，那么 DPOB6设点 D 的坐标为 (x，2x)由两点间的距离公式，得22(4)(24)36xx解得25x或 x 2如图 3，当 x2 时，四边形ODPB 是平行四边形所以，当点D 的坐标为 (52，54)时，四边形OPBD 为等腰梯形精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 10 页，共 26 页 - - - - - - - - - - 中考数学压轴题(内含答案 ) 11 / 26 图 3 图 4 图 5 （3）设 PMN 与 POB 的高分别为PH、PG在 RtPMH 中，2PMt，PHMHt所以24P Gt在 RtPNH 中，PHt，1122NHPHt所以32MNt 如图 4， 当 0t2 时，重叠部分的面积等于PMN 的面积此时2133224St tt如图 5，当 2t4 时，重叠部分是梯形，面积等于PMN 的面积减去 PDC 的面积由于2P DCPMNSP GSPH，所以2222433(24)44P DCtSttt此时222339(24)1212444Stttt考点伸展第（ 2）题最好的解题策略就是拿起尺、规画图：方法一，按照对角线相等画圆以P 为圆心， OB 长为半径画圆，与直线y2x 有两个交点，一个是等腰梯形的顶点，一个是平行四边形的顶点方法二，按照对边相等画圆以B 为圆心， OP 长为半径画圆，与直线y2x 有两个交点，一个是等腰梯形的顶点，一个是平行四边形的顶点例 6 2010 年杭州市中考第24 题精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 11 页，共 26 页 - - - - - - - - - - 中考数学压轴题(内含答案 ) 12 / 26 如图 1， 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线的解析式是y 2114x， 点 C 的坐标为 ( 4，0)，平行四边形OABC 的顶点 A，B 在抛物线上， AB 与 y 轴交于点 M，已知点 Q(x，y)在抛物线上，点P(t，0)在 x 轴上(1) 写出点 M 的坐标；(2) 当四边形CMQP 是以 MQ，PC 为腰的梯形时 求 t 关于 x 的函数解析式和自变量x 的取值范围； 当梯形 CMQP 的两底的长度之比为12 时，求 t 的值图 1 动感体验请打开几何画板文件名“10 杭州 24” ，拖动点 Q 在抛物线上运动，从 t 随 x 变化的图象可以看到， t 是 x 的二次函数，抛物线的开口向下还可以感受到，PQCM 12 只有一种情况，此时Q 在 y 轴上； CMPQ12 有两种情况思路点拨1第（1）题求点 M 的坐标以后， RtOCM 的两条直角边的比为12，这是本题的基本背景图2第（2）题中，不变的关系是由平行得到的等角的正切值相等，根据数形结合，列关于 t 与 x 的比例式，从而得到t 关于 x 的函数关系3探求自变量x 的取值范围，要考虑梯形不存在的情况，排除平行四边形的情况4梯形的两底的长度之比为12，要分两种情况讨论把两底的长度比转化为QH 与MO 的长度比满分解答(1)因为 ABOC 4，A、B 关于 y 轴对称，所以点A 的横坐标为2将 x 2代入 y2114x，得 y2所以点M 的坐标为（ 0，2） (2) 如图 2，过点 Q 作 QHx 轴，设垂足为H，则 HQ y2114x，HPx t 因 为CM/PQ ， 所 以 QPH MCO 因 此tan QPH tan MCO ， 即12HQOMHPOC所以2111()42xxt整理，得2122txx如图 3，当 P 与 C 重合时，4t，解方程21422xx，得15x如图 4，当 Q 与 B 或 A 重合时，四边形为平行四边形，此时，x 2因此自变量x 的取值范围是15x，且 x 2 的所有实数精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 12 页，共 26 页 - - - - - - - - - - 中考数学压轴题(内含答案 ) 13 / 26 图 2 图 3 图 4 因为 sinQPHsinMCO，所以HQOMPQCM，即PQHQCMOM当12PQHQCMOM时，112HQOM解方程21114x，得0 x（如图 5） 此时2t当2PQHQCMOM时，24HQOM解方程21144x，得2 3x如图 6，当2 3x时，82 3t；如图 6，当2 3x时，82 3t图 5 图 6 图 7 考点伸展本题情境下，以Q 为圆心、 QM 为半径的动圆与x 轴有怎样的位置关系呢？设点 Q 的坐标为21,14xx，那么222222111144QMxxx而点 Q 到 x 轴的距离为2114x因此圆 Q 的半径 QM 等于圆心Q 到 x 轴的距离，圆Q 与 x 轴相切1.6 因动点产生的面积问题例 7 2012年河南省中考第23 题如图 1，在平面直角坐标系中，直线112yx与抛物线 yax2bx 3交于 A、B 两点，点 A 在 x 轴上，点B 的纵坐标为3点 P 是直线 AB 下方的抛物线上的一动点（不与点A、B 重合），过点 P 作 x 轴的垂线交直线AB 于点 C，作 PDAB 于点 D精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 13 页，共 26 页 - - - - - - - - - - 中考数学压轴题(内含答案 ) 14 / 26 （1）求 a、b及 sinACP 的值；（2）设点 P 的横坐标为m用含 m 的代数式表示线段PD 的长，并求出线段PD 长的最大值；连结 PB，线段 PC 把 PDB 分成两个三角形，是否存在适合的m 的值，使这两个三角形的面积比为910？若存在，直接写出m 的值；若不存在，请说明理由图 1 动感体验请打开几何画板文件名“12 河南 23” ，拖动点 P 在直线 AB 下方的抛物线上运动，可以体验到， PD 随点 P 运动的图象是开口向下的抛物线的一部分，当C 是 AB 的中点时， PD达到最大值观察面积比的度量值，可以体验到，左右两个三角形的面积比可以是910，也可以是109思路点拨1第（ 1）题由于CP/y 轴，把 ACP 转化为它的同位角2第（ 2）题中， PDPCsinACP，第（ 1）题已经做好了铺垫3PCD 与PCB 是同底边PC 的两个三角形，面积比等于对应高DN 与 BM 的比4两个三角形的面积比为910，要分两种情况讨论满分解答（1）设直线112yx与 y 轴交于点E，那么 A(2,0)，B(4,3)，E(0,1)在 RtAEO 中，OA2，OE1，所以5AE所以2 5sin5AEO因为 PC/EO，所以 ACPAEO因此2 5sin5ACP将 A(2,0)、B(4,3)分别代入yax2bx3，得4230,16433.abab解得12a，12b（2）由211(,3)22P mmm，1(,1)2C mm，得221111(1)(3)42222PCmmmmm所以222 52 5159 5sin(4)(1)55255PDPCACPPCmmm所以 PD 的最大值为9 55（3）当 SPCDSPCB910 时，52m；当 SPCDSPCB109 时，329m精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 14 页，共 26 页 - - - - - - - - - - 中考数学压轴题(内含答案 ) 15 / 26 图 2 考点伸展第（3）题的思路是：PCD 与PCB 是同底边PC 的两个三角形，面积比等于对应高DN 与 BM 的比而252 511coscos(4)(2)(4)5525DNPDPDNPDACPmmmm，BM4m当 SPCDSPCB910 时，19(2)(4)(4)510mmm解得52m当 SPCDSPCB109 时，110(2)(4)(4)59mmm解得329m1.7 因动点产生的相切问题例 8 2012 年无锡市中考模拟第28 题如图 1，菱形 ABCD 的边长为2厘米， DAB60点 P 从 A 出发，以每秒3厘米的速度沿AC 向 C 作匀速运动；与此同时，点Q 也从点 A 出发，以每秒 1 厘米的速度沿射线作匀速运动当点P 到达点 C 时， P、Q 都停止运动设点P 运动的时间为t 秒（1）当 P 异于 A、C 时，请说明PQ/BC；（2）以 P 为圆心、 PQ 长为半径作圆，请问：在整个运动过程中， t 为怎样的值时，P 与边 BC 分别有 1 个公共点和2个公精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 15 页，共 26 页 - - - - - - - - - - 中考数学压轴题(内含答案 ) 16 / 26 共点？图一动感体验请打开几何画板文件名“12 无锡 28” ，拖动点P 由 A 向 C 运动，可以体验到，P 与线段 BC 的位置关系依次是相离没有公共点，相切只有1 个公共点，相交有2 个公共点，相交只有 1 个公共点，线段在圆的内部没有公共点请打开超级画板文件名“12 无锡 28” ，拖动点P 由 A 向 C 运动，可以体验到，P 与线段 BC 的位置关系依次是相离没有公共点，相切只有1 个公共点，相交有2 个公共点，相交只有 1 个公共点，线段在圆的内部没有公共点答案（1）因为2AQtAB，322 3APttAC，所以AQAPABAC因此 PQ/BC（2）如图 2，由 PQPH12PC，得1(2 33 )2tt解得4 36t如图 3，由 PQPB，得等边三角形PBQ所以 Q 是 AB 的中点， t1如图 4，由 PQPC，得2 33tt解得33t如图 5，当 P、C 重合时， t2因此，当4 36t或 1t33或 t2 时， P 与边 BC 有 1 个公共点当4 36t1 时， P 与边 BC 有 2 个公共点图 2 图 3 图 4 图 5 1.8 因动点产生的线段和差问题例 9 2013 年天津市中考第25 题在平面直角坐标系中，已知点A(2,0)，B(0,4)，点 E 在 OB 上，且 OAE OBA（1）如图 1，求点 E 的坐标；（2）如图 2，将 AEO 沿 x 轴向右平移得到AE O ，连结 A B、BE 设 AAm，其中 0m2，使用含m 的式子表示A B2BE2，并求出使A B2 BE2取得最小值时点E 的坐标；当 ABBE 取得最小值时，求点E的坐标（直接写出结果即可）精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 16 页，共 26 页 - - - - - - - - - - 中考数学压轴题(内含答案 ) 17 / 26 图 1 图 2 动感体验请打开几何画板文件名“13 天津 25” ，拖动点 A 在线段 AO 上运动，可以体验到，当A运动到AO 的中点时， AB2BE2取得最小值当A 、B、E三点共线时，A B BE 取得最小值请打开超级画板文件名“13 天津 25” ，拖动点 A 在线段 AO 上运动，可以体验到，当A运动到AO 的中点时， AB2BE2取得最小值当A 、B、E三点共线时，A B BE 取得最小值思路点拨1图形在平移的过程中，对应点的连线平行且相等，EE AA m2求 A B2BE2的最小值，第一感觉是用勾股定理列关于m 的式子3求 A BBE的最小值，第一感觉是典型的“牛喝水”问题轴对称，两点之间线段最短满分解答（1）由 OAE OBA，AOEBOA，得 AOE BOA所以AOBOOEOA因此242OE解得 OE1所以 E(0,1)（2）如图3，在 RtA OB 中， OB4，OA 2m，所以 A B216(2m)2在 RtBEE 中， BE3，EEm，所以 BE29m2所以 AB2BE216(2m)29m22(m1)227所以当 m1 时， A B2BE2取得最小值，最小值为27此时点 A是 AO 的中点，点E 向右平移了1 个单位，所以E (1,1)如图 4，当 ABBE 取得最小值时，求点E 的坐标为8(,1)7图 3 图 4 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 17 页，共 26 页 - - - - - - - - - - 中考数学压轴题(内含答案 ) 18 / 26 考点伸展第（ 2）题这样解：如图4，过点 B 作 y 轴的垂线 l，作点 E 关于直线 l 的对称点 E，所以 ABBEA BBE当 A 、B、E三点共线时，ABBE取得最小值，最小值为线段A E在 RtAOE中， A O2，OE7，所以 A E53当 A 、B、E三点共线时，A OA OBOE O所以247m解得87m此时8( ,1)7E第二部分函数图象中点的存在性问题2.1 由比例线段产生的函数关系问题例 1 2013 年宁波市中考第26 题如图 1，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点， 点 A 的坐标为 (0,4)，点 B 的坐标为 (4,0)，点 C 的坐标为 (4,0)，点 P 在射线 AB 上运动，连结CP 与 y 轴交于点 D，连结 BD过 P、D、B 三点作 Q，与 y 轴的另一个交点为E，延长 DQ 交Q 于 F，连结 EF、BF（1）求直线AB 的函数解析式；（2）当点 P 在线段 AB（不包括A、B 两点）上时精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 18 页，共 26 页 - - - - - - - - - - 中考数学压轴题(内含答案 ) 19 / 26 求证： BDE ADP；设 DEx，DFy，请求出y关于 x 的函数解析式；（3）请你探究：点P 在运动过程中，是否存在以B、D、F 为顶点的直角三角形，满足两条直角边之比为2 1？如果存在，求出此时点P 的坐标；如果不存在，请说明理由图 1 动感体验请打开几何画板文件名“13 宁波 26” ， 拖动点 P 在射线 AB 上运动，可以体验到， DEF保持等腰直角三角形的形状，y 是 x 的一次函数 观察 BDBF 的度量值， 可以体验到， BDBF 可以等于2，也可以等于0.5请打开超级画板文件名“13 宁波 26” ， 拖动点 P 在射线 AB 上运动，可以体验到， DEF保持等腰直角三角形的形状观察BDBF 的度量值，可以体验到，BDBF 可以等于 2，也可以等于0.5答案（1）直线 AB 的函数解析式为y x4（2）如图2， BDE CDEADP；如图 3， ADP DEP DPE，如图 4， BDE DBP A，因为 DEP DBP，所以 DPE A45所以 DFE DPE45因此 DEF 是等腰直角三角形于是得到2yx图 2 图 3 图 4 （3）如图5，当 BDBF21 时，P(2,2)思路如下：由DMB BNF，知122BNDM设 OD2m，FNm，由 DEEF，可得 2m24m解得23m因此4(0,)3D再由直线CD 与直线 AB 求得交点 P(2,2)如图 6，当 BDBF12 时， P(8,4)思路同上图 5 图 6 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 19 页，共 26 页 - - - - - - - - - - 中考数学压轴题(内含答案 ) 20 / 26 2.2 由面积产生的函数关系问题例 2 2012 年广东省中考第22 题如图 1，抛物线213922yxx与 x 轴交于 A、B 两点，与y 轴交于点C，联结 BC、AC（1）求 AB 和 OC 的长；（2）点 E 从点 A 出发，沿 x 轴向点 B 运动（点 E 与点 A、B 不重合），过点 E 作 BC 的平行线交AC 于点 D设 AE 的长为 m， ADE 的面积为s，求 s 关于 m 的函数关系式，并写出自变量m 的取值范围；（3）在（2）的条件下，联结CE，求CDE 面积的最大值；此时，求出以点 E 为圆心，与 BC 相切的圆的面积（结果保留）精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 20 页，共 26 页 - - - - - - - - - - 中考数学压轴题(内含答案 ) 21 / 26 图 1 动感体验请打开几何画板文件名“12 广东 22” ，拖动点 E 由 A 向 B 运动，观察图象，可以体验到，ADE 的面积随m 的增大而增大， CDE 的面积随m 变化的图象是开口向下的抛物线的一部分， E 在 AB 的中点时， CDE 的面积最大思路点拨1ADE 与ACB 相似，面积比等于对应边的比的平方2CDE 与ADE 是同高三角形，面积比等于对应底边的比满分解答（1）由21319(3)(6)222yxxxx，得 A(3,0)、B(6,0)、C(0,9)所以 AB9，OC9（2）如图 2，因为 DE/CB，所以 ADE ACB所以2()ADEACBSAESAB而18122ACBSAB OC，AEm，所以222811()()922ADEACBAEmsSSmABm 的取值范围是0m9图 2 图 3 （3）如图 2，因为 DE/CB，所以9CDBEmADAEm因为 CDE 与ADE 是同高三角形，所以9CDEADESCDmSADm所以22291191981()222228CDEmSmmmmm精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 21 页，共 26 页 - - - - - - - - - - 中考数学压轴题(内含答案 ) 22 / 26 当92m时， CDE 的面积最大，最大值为818此时 E 是 AB 的中点，92BE如图 3，作 EHCB，垂足为H在 RtBOC 中，OB6，OC9，所以33 13sin1313B在 RtBEH 中，93 1327 13sin2