2022年中考数学命题研究第一编教材知识梳理篇第三章函数及其图象第五节二次函数的图象及性质精讲试题.pdf

学习好资料欢迎下载第五节 二次函数的图象及性质, 贵阳五年中考命题规律) 年份题型题号考查点考查内容分值总分2016解答25 二次函数的图象及性质(1) 求二次函数表达式； (2) 求动点过程线段的最大值； (3) 探索点的坐标12 12 2015解答24 二次函数的图象及性质给出抛物线经过 x 轴上两点坐标：(1) 判断字母符号；(2) 确定表达式； (3)探索点的坐标12 12 2014解答25 二次函数的图象及图象的平移给出抛物线经过两点坐标： (1) 求表达式；(2) 求平移后字母的范围； (3) 分类讨论以某边为底的等腰三角形12 12 2013填空15 二次函数的性质根据性质求字母范围4 解答23 二次函数的图象根据图象求： (1) 顶点坐标；(2) 直线表达式； (3)直线与抛物线交点坐标10 14 2012选择10 二次函数的图象及性质根据图象确定最大值、最小值3 解答25 二次函数的图象及性质根据图象上的点的坐标求： (1) 二次函数表达式； (2) 四边形的面积； (3) 探索存在性12 15 命题精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 8 页 - - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载规律纵观贵阳市5 年中考，二次函数图象及性质在中考中一般设置 12道题，分值为 1215分，在解答、选择、填空均有涉及，但在解答题当中必然出现且分值 1012分命题预测预计 2017年贵阳中考，二次函数图象及性质是必考内容，涉及内容为已知抛物线上的点的坐标，求表达式及探索其他问题，学生务必加大训练力度. , 贵阳五年中考真题及模拟) 二次函数的图象及性质(7 次) 1( 2013 贵阳 15 题 4 分) 已知二次函数yx22mx2，当 x2 时， y 的值随 x 值的增大而增大，则实数m的取值范围是 _m 2_2( 2012 贵阳 10 题 3 分) 已知二次函数yax2bxc(a 0) 的图象如图所示，当5 x0 时，下列说法正确的是 ( B ) A有最小值5、最大值 0 B有最小值3、最大值 6 C有最小值0、最大值6 D有最小值2、最大值6 3( 2013 贵阳 23 题 10 分) 已知：直线yaxb 过抛物线 yx22x3 的顶点 P，如图所示：精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 8 页 - - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载(1) 顶点 P的坐标是 _( 1，4)_；(2) 若直线 yaxb 经过另一点A(0，11) ，求出该直线的表达式；(3) 在(2) 的条件下，若有一条直线ymxn 与直线 yaxb 关于 x 轴成轴对称，求直线ymxn 与抛物线y x22x3 的交点坐标解： (2)y 7x11；(3) 直线ymxn 与直线y7x11 关于 x 轴对称， y mxn 过点 P( 1，4) ，A(0， 11) ，11n，4 m n，m 7，n11. y 7x11， 7x11x22x 3，x1 7，x2 2，y1 60，y23，交点坐标为(7， 60) ，( 2，3) 4( 2012 贵阳 25 题 12 分) 如图，二次函数y21x2xc 的图象与 x 轴分别交于A、B两点，顶点M关于 x 轴的对称点是M .(1) 若 A(4，0)，求二次函数的关系式；(2) 在(1) 的条件下，求四边形AMBM的面积；(3) 是否存在抛物线y21x2xc，使得四边形AMBM为正方形？若存在，请求出此抛物线的函数关系式；若不存在，请说明理由解： (1)y 21x2x12；(2) y21x2x1221(x22x1) 211221(x 1)2 225，顶点 M的坐标为 (1 ， 225) ，A( 4，0) ，对称轴为x1，点 B的坐标为 (6 ，0) ，AB 6( 4) 6410，SABM2110 225 2125，顶点M关于 x 轴的对称点是M ，S四边形 AMBM2SABM2 2125125；(3) 存在抛物线y21x2x 23，使得四边形AMBM 为正方形理由如下：令y0，则 21x2xc0，设点A，B 的坐标分别为A(x1，0)，B(x2，0) ，则 x1x2 212，x1x2212c，AB ，点M的纵坐标为：4a4acb222c 1，顶点M关于 x 轴的对称点是M ，四边形AMBM为正方形，2212c，整理得， 4c2 4c3 0，解得c121，c2 23，又抛物线与 x 轴有两个交点，b24ac( 1)2421c0，解得 c21，c的值为 23，故存在抛物线y21x2x 23，使得四边形AMBM为正方形5( 2014 贵阳 25 题 12 分) 如图，经过点A(0， 6)的抛物线y21x2bxc 与 x 轴相交于B(2，0)，C 两点(1) 求此抛物线的函数关系式和顶点D的坐标；(2) 将(1) 中求得的抛物线向左平移1 个单位长度，再向上平移m(m 0)个单位长度得到新抛物线y1，若新抛精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 8 页 - - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载物线 y1的顶点 P在 ABC内，求 m的取值范围(3) 在(2) 的结论下，新抛物线y1上是否存在点Q，使得 QAB是以 AB为底边的等腰三角形？请分析所有可能出现的情况，并直接写出相对应的m的取值范围解： (1)y 21x22x6，D(2， 8) ；(2) y121(x 21)2 8m ，y121(x 1)28m ，P(1， m 8) ，在抛物线y21x22x6 中易知C(6，0) ，直线AC 为 y2x6，当 x 1 时， y25， 5m 80，解得3m8 ；(3) 当 3m18103时，存在两个Q 点，可作出两个等腰三角形；当m 18103时，存在一个Q点，可作出一个等腰三角形；18103m_0 ，b24ac_0；( 选填“”或“”) (2) 若该抛物线关于直线x2 对称，求抛物线的函数表达式；(3) 在(2) 的条件下，连接AC ，E 是抛物线上一动点，过点E 作 AC的平行线交x 轴于点 F.是否存在这样的点E，使得以A，C，E，F 为顶点所组成的四边形是平行四边形？若存在，求出满足条件的点E 的坐标；若不存在，请说明理由解： (2)y 31x234x4；(3) 存在 ( ) 假设存在点E，使得以 A，C，E，F 为顶点所组成的四边形是平行四边形，过点 C 作 CE x 轴，交抛物线于点E，如图 1，过点 E作 EFAC ，交 x 轴于点 F，则四边形ACEF即为满足条件的平行四边形，抛物线y31x234x4 关于直线x2 对称，由抛物线的对称性可知E 点的横坐标为4，又OC 4，E 点的纵坐标为4，存在点E(4， 4)( ) 假设在抛物线上还存在点E，使得以A，C，F，E为顶点所组成的四边形是平行四边形，如图2，过点 E作 EF AC交 x 轴于点 F，则四边形ACF E即为满足条件的平行四边形，AC EF，AC EF，过点E作 EG x 轴于点G ，AC EF， CAOEFG ，又 COA EGF 90，AC EF， CAO EFG ，EG CO 4，点E的纵坐标是4，4 31x234x4，解得x122，x222，点E的坐标为 (2 2， 4)，同理可得点E的坐标为(2 2，4)图 1 图 2 7( 2016 贵阳 25 题 12 分) 如图，直线y5x5 交 x 轴于点 A，交 y 轴于点 C，过 A，C两点的二次函数yax24xc 的图象交x 轴于另一点B. 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 8 页 - - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载(1) 求二次函数的表达式；(2) 连接 BC ，点 N是线段 BC上的动点，作ND x 轴交二次函数的图象于点D，求线段 ND长度的最大值；(3) 若点 H 为二次函数yax24xc 图象的顶点，点M(4，m)是该二次函数图象上一点，在x 轴、 y 轴上分别找点 F，E，使四边形HEFM 的周长最小，求出点F，E的坐标温馨提示：在直角坐标系中，若点P，Q的坐标分别为P(x1，y1) ，Q(x2，y2) ，当 PQ平行 x 轴时，线段PQ的长度可由公式PQ |x1x2| 求出；当 PQ平行 y 轴时，线段PQ的长度可由公式PQ |y1y2| 求出解： (1) 直线 y5x5 交 x 轴于点 A，交 y 轴于点 C，A( 1， 0) ，C(0，5)，二次函数yax24xc的图象过 A，C两点，c2，0a4c，解得c5，a 1，二次函数的表达式为y x24x5；(2) 点 B是二次函数的图象与x 轴的交点，由二次函数的表达式为yx24x5 得，点 B的坐标 B(5，0) ，设直线 BC表达式为ykxb，直线 BC过点 B(5，0) ，C(0，5) ，b5，5kb0，解得 b5，k1，直线 BC表达式为 y x5，设 ND的长为 d，N 点的横坐标为n，则 N 点的纵坐标为n5，D 点的坐标为D(n， n24n5) ，则d| n24n5( n5)| ，由题意可知：n2 4n5 n 5，d n24n 5( n5) n25n (n25)2 425，当 n25时，d 有最大值， d最大 425，线段ND长度的最大值是425； (3) 由题意可得二次函数的顶点坐标为H(2，9) ，点 M的坐标为 M(4，5) ，作点 H(2，9) 关于 y 轴的对称点H1，则点 H1的坐标为H1( 2，9) ，作点M(4，5) 关于 x 轴的对称点M1，则点 M1的坐标为M1(4， 5) ，连接 H1M1分别交 x 轴于点 F，y 轴于点E，所以 H1M1HM 的长度是四边形HEFM 的最小周长，则点F、E 即为所求，设直线H1M1表达式为yk1x b1，直线 H1M1过点 M1(4 ，5) ，H1( 2，9) ，根据题意得方程组9 2k1b1，54k1b1，解得，13 y 37x 313，点F， E 的坐标分别为( 713，0) ，(0 ， 313) , 中考考点清单 ) 二次函数的概念及表达式1定义：一般地，如果两个变量x 和 y 之间的函数关系，可以表示成yax2bxc(a ，b， c 是常数，且a0) ，那么称y 是 x 的二次函数，其中，a 叫做二次项系数，b 叫做一次项系数，c 叫做常数项2三种表示方法：(1) 一般式： yax2bxc(a 0) ；(2) 顶点式： ya(x h)2k(a 0) ，其中二次函数的顶点坐标是(h ，k) ；(3) 交点式： ya(x x1)(x x2)(a 0) ，其中 x1，x2为抛物线与x 轴交点的横坐标精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 5 页，共 8 页 - - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载二次函数的图象及性质( 高频考点 ) 3图象性质函数二次函数 yax2bxc(a ，b，c 为常数， a0) 图象对称轴直线 x 2ab顶点坐标( 2ab，4a4acb2) (2ab，4a4acb2) 增减性在对称轴的左侧，即x2ab时， y 随x 的增大而减小；在对称轴的右侧，即当 x2ab时， y 随 x 的增大而增大，简记为左减右增在对称轴的左侧，即当x 2ab时， y随 x 的增大而增大；在对称轴的右侧，即当 x 2ab时， y 随 x 的增大而减小，简记为左增右减最值抛物线有最低点，当x 2ab时，y有最小值， y最小值4a4acb2抛物线有最高点，当x 2ab时，y 有最大值， y最大值4a4ac b24系数 a，b，c 与二次函数的图象关系项目字母字母符号图象的特征a a0 开口向上a0 开口向下b b0 对称轴为 y 轴ab0(b 与 a 同号 ) 对称轴在 y 轴左侧ab0(b 与 a 异号 ) 对称轴在 y 轴右侧c c0 经过原点c0 与 y 轴正半轴相交c0 与 y 轴负半轴相交b24ac b24ac0 与 x 轴有唯一交点 ( 顶点) b24ac0 与 x 轴有两个不同交点b24ac0 与 x 轴没有交点特殊关系当 x1 时，yabc 当 x 1 时，yabc 若 abc0，即 x1 时， y0 若 abc0，即 x 1 时， y0 二次函数与一元二次方程的关系5当抛物线与x 轴有两个交点时，两交点的横坐标就是对应的一元二次方程的两个不相等的实数根6当抛物线与x 轴只有一个交点时，该交点的横坐标就是对应的一元二次方程的两个相等的实数根7当抛物线与x 轴没有交点时，对应的一元二次方程无实数根, 中考重难点突破) 二次函数的图象及性质精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 6 页，共 8 页 - - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载【例 1】( 2016 兰州中考 ) 二次函数 yx22x4 化为 ya(x h)2k 的形式，下列正确的是( ) Ay(x 1)22 By(x 1)23 Cy(x 2)22 Dy(x 2)24 【解析】根据配方法进行配方可解【学生解答】B1( 2016 上海中考 ) 如果抛物线yx22 向下平移 1 个单位长度，那么所得新抛物线的表达式是( C ) Ay(x 1)22 By(x 1)22 Cyx21 Dyx23 2( 2016 山西中考 ) 将抛物线yx24x4 向左平移3 个单位长度，再向上平移5 个单位长度，得到抛物线的表达式为 ( D ) Ay(x 1)213 By(x 5)23 Cy(x 5)213 Dy(x 1)23 3( 2016 贵阳适应性考试) 若二次函数yx26x9 的图象经过A( 1，y1) ，B(1，y2)，C(3，y3) 三点，则关于 y1，y2，y3大小关系正确的是( A ) Ay1y2y3By1y3y2Cy2y1y3Dy3y1y2抛物线 yax2bxc(a 0) 的图象与 a，b，c 的关系【例 2】(2016 泰安中考 ) 二次函数yax2bxc 的图象如图所示，那么一次函数yaxb 的图象大致是( ) ,A) ,B) ,C) ,D) 【解析】由二次函数的图象可知a0， 2ab0，所以 b0，所以 yaxb 经过一、二、四象限【学生解答】A4( 2016 贺州中考 ) 抛物线 yax2bxc 的图象如图所示，则一次函数yaxb 与反比例函数yxc在同一平面直角坐标系内的图象大致为( B ) ,A) ,B) ,C) ,D) 5( 2016 自贡中考 ) 二次函数yax2bxc 的图象如图，反比例函数yxa与正比例函数ybx 在同一坐标系内大致图象是( C ) ,A) ,B) ,C) ,D) 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 7 页，共 8 页 - - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载6( 2016 烟台中考 ) 二次函数yax2bxc 的图象如图所示，下列结论：4acb； 2ab0.其中正确的是 ( B ) ABCD二次函数表达式的确定【例3】(2015 宁波中考 ) 如图，已知二次函数yax2bx c 的图象过A(2，0)，B(0， 1) 和 C(4，5) 三点(1) 求二次函数的表达式；(2) 设二次函数的图象与x 轴的另一个交点为D，求点 D的坐标；(3) 在同一坐标系中画出直线yx1，并写出当x 在什么范围内时，一次函数的值大于二次函数的值【解析】 (1) 根据待定系数法，可得函数表达式；(2) 令 y0 可求出其与x 轴的交点； (3) 根据函数与不等式的关系，可得答案【学生解答】解： (1) 二次函数yax2bxc 的图象过 A(2，0)，B(0， 1)和 C(4，5) 三点， 16a4b c5，c 1，c 1，二次函数的表达式为y21x221x1；(2) 当 y0 时，得 21x221x 10，解得 x1 2，x2 1，点 A 的坐标为 (2 ，0)，点 D 坐标为 ( 1，0) ；(3) 图象如解图，当一次函数的值大于二次函数的值时，x 的取值范围是 1x4. 7( 2016 龙东中考 ) 如图，二次函数y(x 2)2m的图象与 y 轴交于点C，点 B在抛物线上，且与点C关于抛物线的对称轴对称已知一次函数ykxb 的图象经过该二次函数图象上的点A( 1，0) 及点 B. (1) 求二次函数与一次函数的表达式；(2) 根据图象，写出满足(x 2)2m kxb 的 x 的取值范围解： (1) 由题意得， ( 12)2m 0，m 1，二次函数的表达式为y (x 2)2 1 即 yx24x 3，C(0， 3) ，B( 4，3) ykxb 的图象过 A、B两点， kb0，4kb3，解得 b1，k1，一次函数表达式为y x1；(2) 满足 (x 2)2m kxb 的 x 的取值范围是x 4 或 x 1. 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 8 页，共 8 页 - - - - - - - - - -