多元函数微分学.ppt
多 元 函 数 微 分 学第五节第五节 偏导数的应用偏导数的应用一一. 空间曲线的切线和法平面空间曲线的切线和法平面切线当M 沿曲线L趋向于 时,割线 的极限位置0MMM0.0TM0MMT法平面0MTM0过 而垂直于切线 的平面1.设曲线).(),(),(:tztytx导数不全为零),(00000zyxMtt),(0000zzyyxxMttt:0MMzzzyyyxxx000即tzzztyyytxxx00000tMM:0TM)()()(000000tzztyytxx)(),(),(000tttT切向量切线方程法平面方程0)()()(000000zztyytxxt2.设曲线).(),(:xzxy).(),(,:xzxyxx将x视为参数,切线方程)()(100000tzztyyxx法平面方程0)()()(00000zztyytxx0),(0),(:zyxGzyxF3.设曲线因为它确定隐函数 y = y(x), z = z(x),所以利用隐函数微分法及情形2即可解决.例1 求曲线 在点(1,1,1)处的切线和法平面.32,tztytx23,2, 1tztyx1) 1 , 1 , 1 ( t3 , 2 , 1T312111zyx法平面方程0) 1(3) 1(2) 1(zyx切线方程0632zyx例2 求曲线04532 , 03222zyxzzyx在点(1,1,1)处的切线和法平面.方程两边对x求导:2532322dxdzdxdyxdxdzzdxdyy在(1,1,1)点解得:161,169dxdzdxdy1191161zyx法平面方程0) 1( 1) 1(9) 1(16zyx切线方程024916zyx二二.曲面的切平面与法线曲面的切平面与法线若曲面 上过点 的任意曲线的切线都位于同一平面.0M切平面过 且与切平面垂直的直线0M法线1.设曲面方程为0),(zyxF,),(0000zyxM),(zyxF在该点偏导数连续且不全为零. 是曲面上过 的任一曲线:0M).(),(),(tztytx)(),(),(000tttT因为. 0)(),(),(tttF两边对t求导0)(,()(,()(,(000000000000zzzyxFyyzyxFxxzyxFzyx切平面),(),(),(000000000000zyxFzzzyxFyyzyxFxxzyx法线2.设曲面方程为),(yxfz 设 当作第一种情形计算.,),(),(zyxfzyxF0)(),()(),()(),(000000000000tzyxFtzyxFtzyxFzyxTzyxFzyxFzyxFnzyx),(),(),(000000000切平面的法向量例4. 在哪一点处的法线垂直于 .xyz 093zyx1,00 xyn113100 xy3, 1, 3000zyx例3. 求 在点(2,1,4)处的切平面和法线.122yxz122zyxF在点(2,1,4):, 1, 2, 4zyxFFF142142zyx切平面方程0)4() 1(2)2(4zyx法线方程0624zyx练习. 9232.211211, 932,23322,|,01232.,3 ,2),(0000002020200001000000zyxzyxzyxzyxzyxnnzyxzyxnzyx故切平面方程为或解得又也即即平行切平面与平面处切平面的法向向量为点平行的切平面的与平面求01232932. 1222zyxzyx.),()0(. 2000的截距之和为常数切平面在三个坐标轴上处的上任一点证明曲面zyxaazyx. 1111, 0)(1)(1)(1),(000000000000000aazayaxzazyayxaxzzzyyyxxxzyx距之和为故在三个坐标轴上的截其截距式方程为处的切平面方程为曲面上任一点三三.多元函数的极值多元函数的极值定义: 设z=f(x,y)在点 的某邻域内有定义,如果在该邻域内),(00yx),(),(),(),(0000yxyxyxfyxf),(00yx则称z=f(x,y)在点 有极大值 ;),(00yxf反之,为极小值.极值极值点例如:22yxz221yxz极大值 f (0,0)=1.极小值 f (0,0)=0;定理1(极值必要条件) 设z=f(x,y)在点 具有偏导数且有极值,则),(00yx0),(, 0),(0000yxfyxfyx),(00yx驻点注:(1).由偏导数及一元函数极值易证;(2).0),(, 0),(0000yxfyxfyx(3).驻点不一定是极值点.例如: (0,0)是函数 z = x y的驻点,但 f (0,0)既不是极大值也不是极小值.定理2 ( 极值充分条件 ) 设 z=f(x,y)在点 的某邻域内具有二阶连续偏导数且),(00yx0),(, 0),(0000yxfyxfyx),(),(),(000000yxfCyxfByxfAyyxyxx记则0).1 (2 ACB时,),(00yxf是极值,且A0时极小.0).3(2 ACB时,不一定是极值.0).2(2 ACB时,不是极值;例5. 求 的极值.xyxyxyxf933),(2233063),(0963),(22yyyxfxxyxfyx驻点(1,0),(1,2),(-3,0),(-3,2)66, 0, 66yfCfBxfAyyxyxx在(1,0):0, 02AACBf (1,0)=-5是极小值;在(1,2)及(-3,0):02 ACB,不是极值;在(-3,2):0, 02AACBf (-3,2)=31是极大值.注意:在多元函数中,我们只讨论可导函数的极值.最大值和最小值问题最大值和最小值问题:(1).在闭区域上连续的函数一定有最大值和最小值,此时可以 仿照一元函数的方法来比较求出.(2).在实际问题中,若问题的性质决定了最大值(最小值)一定 在D内取得而函数在D内只有一个驻点,则该点处的函数 值就是最大值(最小值).例6. 用铁板作一容积为V的无盖长方箱,尺寸怎样时,用料最省?设长宽高分别为 x, y, z,)0, 0, 0( ,22zyxxzyzxyS而V= x y z)0, 0( ,22yxyVxVxyS020222yVxSxVySyx驻点32Vyx223Vz 即为所求例7. 把宽为24cm的长方形铁板两边折起来做成断面为等腰 梯形的水槽.怎样折才能使断面面积最大?设折起来的边长为 x, 倾角为24-xxsin)cos2224()224(21xxxxA)20 ,120( ,cossinsin2sin2422xxxx00AAx可以解得驻点:)(8,3cmx 即为所求四四.条件极值条件极值对自变量有附加条件的极值例6就可以看作条件极值问题.前面的极值叫做无条件极值条件极值计算法:方法一.化为无条件极值;方法二.拉格朗日乘数法:条件简单时,如例6条件复杂或多个时例如,求 在条件 下的极值0),(),(yxyxfz),(),(),(yxyxfyxF1. 作函数拉格朗日乘数0),(0),(),(),(0),(),(),(. 2yxyxyxfyxFyxyxfyxFyyyxxx3. 解出驻点(条件驻点);4.判断是否为条件极值点.判别法不要求,会用实际问题性质判断即可注:该方法可推广到自变量多于两个,条件多于一个的情形.例6.解法二:xyzVxyxyzyxFxzzxzyxFyzzyzyxFzyx022),(02),(02),( 解出条件驻点:求 在条件 下的极值xyzVxzyzxyS22)(22),(VxyzxzyzxyzyxF32Vyx223Vz 因为是唯一的驻点,所以即为所求22yxz1zyx设(x,y,z)为椭圆上一点,则x,y,z满足 及距离222zyxd) 1()(2221222zyxyxzzyxF10202202222212121zyxyxzzFyyFxxFzyx解得:32,231zyx359,35921dd最长距离最短距离例8.抛物面 被平面 截成一个椭圆, 求原点到椭圆的最长和最短距离22yxz1zyx.,.32,20)(0)(0)(),2()()(),(. )()().(2,面积最大时即三角形为等边三角形故当解得则设该三角形的面积为为半周长则为设三角形的三条边分别zyxlzyxlzyxylxllFzlxllFzlyllFlzyxzlylxllzyxFzlylxllSllzyxzyxzyx面积最大为等边三角形时证明周长一定的三角形,. 1练习.161. 1, 0)()()().0, 0, 0(),(000000000000000000zyxVzzyyxxzzzyyyxxxzyxzyx所求体积为即则切平面方程为设切点为小，求切点坐标。所围的四面体的体积最坐标面的切平面，使得与三个在第一卦限作1. 2222zyx.,31,021021021),1(1),(000222222取得最小值此时解得则设VzyxzxyzFyzxyFxyzxFzyxxyzzyxFzyx
