2022年中考相似三角形经典综合题解析.pdf

学习好资料欢迎下载中考相似三角形经典综合题解析1、 （2013 哈尔滨）如图，在平面直角坐标系中，点0 为坐标原点， A点的坐标为(3 ，0)，以 0A为边作等边三角形OAB ，点 B在第一象限，过点B作 AB的垂线交x 轴于点 C 动点 P从 0 点出发沿 0C向 C点运动，动点 Q从 B点出发沿 BA向 A点运动， P,Q两点同时出发，速度均为1 个单位秒。设运动时间为t 秒 (1)求线段 BC的长； (2)连接 PQ交线段 OB于点 E，过点 E作 x 轴的平行线交线段BC于点 F。设线段 EF的长为 m ，求 m与 t 之间的函数关系式，并直接写出自变量t 的取值范围： (3)在(2) 的条件下，将 BEF绕点 B 逆时针旋转得到 BE1F1, 使点 E 的对应点 E1落在线段 AB上，点 F的对应点是 F1，E1F1交 x 轴于点 G ，连接 PF、QG ，当 t为何值时， 2BQ-PF= 33QG? (1) 解：如图 l AOB 为等边三角形BAC= AOB=60 。BC AB ABC=900ACB=300OBC=300ACB= OBC CO=OB=AB=OA=3 AC=6 BC=32AC= 3 3(2) 解：如图 l 过点 Q作 QN 0B交 x 轴于点 N QNA= BOA=600=QAN QN=QA AQN 为等边三角形NQ=NA=AQ=3-t NON=3- (3-t)=t PN=t+t=2t OE QN POE PNQ OEPOQNPN132OEt3122OEtEF x 轴BFE= BCO= FBE=300EF=BE m=BE=OB-OE1322t精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 25 页 - - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载(0t3) (3) 解：如图 2 11180120BE FBEFEBFEFBAEG=600= EAG GE1=GA AE G 为等边三角形1113312222QEBEBQmtttt11113122QEGAAEABBEBQtQEl= 2 3=4 l+ 2+3+4=18002+3=900即QGA=900EF OC BFBEBCBO33 333223 3BFmBFmt313322BCCF3CPCOOPt313332263 3tCFtCPCBCAFCP= BCA FCP BCA 32PFCPtPFABCA 2BQ PF=33QG 33312(33 )2322tttt=1当 t=1 时，2BQ PF=33QG 2、 （2013?天津）在平面直角坐标系中，已知点A（2，0） ，点 B（0，4） ，点E 在 OB 上，且 OAE=0BA（）如图 ，求点 E 的坐标；（）如图 ，将 AEO 沿 x 轴向右平移得到 A E O ，连接 A B、BE 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 25 页 - - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载 设 AA =m，其中 0m2，试用含 m 的式子表示 A B2+BE2，并求出使A B2+BE2取得最小值时点 E 的坐标； 当 A B+BE 取得最小值时，求点E 的坐标（直接写出结果即可） 解： （）如图 ，点 A（2，0） ，点 B（0，4） ，OA=2，OB=4OAE=0BA，EOA=AOB=90 ，OAEOBA，=，即=，解得， OE=1，点 E 的坐标为（ 0，1） ；（） 如图 ，连接 EE 由题设知 AA =m（0m2） ，则 A O=2m在 RtA BO 中，由 A B2=A O2+BO2，得 A B2=（2m）2+42=m24m+20A E O 是AEO 沿 x 轴向右平移得到的，EE AA ，且 EE =AA BEE =90 ，EE =m又 BE=OBOE=3，在 RtBE E 中，BE2=E E2+BE2=m2+9，A B2+BE2=2m24m+29=2（m1）2+27当 m=1 时，A B2+BE2可以取得最小值，此时，点E 的坐标是（ 1，1） 如图 ，过点 A 作 AB x，并使 AB =BE=3易证 AB A EBE ，B A=BE ，A B+BE =A B+B A 当点 B、A 、B 在同一条直线上时， A B+BA 最小，即此时 A B+BE 取得最小值易证 AB A OBA ，= ，精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 25 页 - - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载AA = 2= ，EE =AA = ，点 E 的坐标是（，1） 3、 （2013?淮安压轴题）如图，在ABC 中， C=90 ，BC=3，AB=5点 P 从点 B 出发，以每秒 1 个单位长度沿 BCAB 的方向运动；点 Q 从点 C 出发，以每秒 2 个单位沿 CAB 方向的运动，到达点B 后立即原速返回，若P、Q两点同时运动，相遇后同时停止，设运动时间为 秒（1）当 =7时，点 P与点 Q 相遇；（2） 在点 P 从点 B 到点 C 的运动过程中，当 为何值时，PCQ 为等腰三角形？（3）在点 Q 从点 B 返回点 A 的运动过程中，设 PCQ的面积为 s平方单位 求 s与 之间的函数关系式； 当 s最大时，过点 P 作直线交 AB 于点 D，将 ABC 中沿直线 PD 折叠，使点 A 落在直线 PC上，求折叠后的 APD 与PCQ重叠部分的面积：解： （1）在直角 ABC 中，AC=4，则 Q 从 C 到 B 经过的路程是 9，需要的时间是 4.5 秒此时 P 运动的路程是 4.5，P 和 Q 之间的距离是： 3+4+54.5=7.5根据题意得：（t4.5）+2（t4.5）=7.5，解得： t=7精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 25 页 - - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载（2）Q 从 C 到 A 的时间是 3 秒，P从 A 到 C 的时间是 3 秒则当 0 t 2 时，若 PCQ 为等腰三角形，则一定有：PC=CQ，即 3t=2t，解得： t=1当 2t 3 时，若 PCQ 为等腰三角形，则一定有PQ=PC（如图 1） 则 Q在 PC的中垂线上，作QHAC，则 QH=PCAQHABC，在直角 AQH 中，AQ=2t4，则 QH=AQ=PC=BCBP=3t，（2t4）=3t，解得： t=；（3） 在点 Q 从点 B 返回点 A 的运动过程中，P 一定在 AC 上， 则 PC=t3，BQ=2t9，即 AQ=5（2t9）=142t同（2）可得： PCQ 中，PC 边上的高是：（142t） ，故 s= （2t9） （142t）= （t2+10t2） 故当 t=5 时，s 有最大值，此时， P 在 AC 的中点 （如图 2） 沿直线 PD 折叠，使点 A 落在直线 PC上，PD 一定是 AC 的中垂线则 AP= AC=2，PD= BC= ，则 SAPD= AP?PD= 2= AQ=142t=142 5=4则 PC边上的高是：AQ= 4=则 SPCQ= PC?= 2=故答案是： 7精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 5 页，共 25 页 - - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载4、 如图， 点 A 是ABC 和ADE 的公共顶点，BACDAE180 ， ABk AE，ACk AD，点 M 是 DE 的中点，直线 AM 交直线 BC 于点 N（1）探究 ANB与BAE 的关系，并加以证明（2）若 ADE 绕点 A 旋转，其他条件不变，则在旋转的过程中（1）的结论是否发生变化？如果没有发生变化，请写出一个可以推广的命题；如果有变化， 请画出变化后的一个图形，并证明变化后ANB 与BAE 的关系解： （1）ANB+BAE=180 证明： （法一）如图，延长AN 到 F，使 MF=AM ，连接 DF、EF点 M 是 DE 的中点，DM=ME，四边形 ADFE 是平行四边形ADEF，AD=EF DAE+AEF=180 BAC+DAE=180 BAC=AEF AB=kAE ，AC=kAD AB AE =AC AD AB AE =AC EF ABCEAF B=EAF ABCEMDN精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 6 页，共 25 页 - - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载ANB+B+BAF=180 ANB+EAF+BAF=180 即ANB+BAE=180 （法二）如图，延长DA 到 F，使 AF=AD，连接 EFBAC+DAE=180 ，DAE+EAF=180 BAC=EAF AB=kAE ，AC=kAD AB AE =AC AD AB AE =AC AF ABCAEF B=AEF 点 M 是 DE 的中点DM=ME， 又AF=AD AM 是DEF 的中位线AMEF NAE=AEF B=NAE ANB+B+BAN=180 ANB+NAE+BAN=180 即ANB+BAE=180 （2）变化如图， ANB=BAE选取（），如图证明：延长 AM 到 F，使 MF=AM ，连接 DF、EF点 M 是 DE 的中点DM=ME 四边形 ADFE 是平行四边形ADFE，AD=EF DAE+AEF=180 BAC+DAE=180 BAC=AEF AB=kAE ，AC=kAD ，k=1 AB=AE，AC=AD AC=EF ABCEAF B=EAF ANB+B+BAF=180 ANB+EAF+BAF=180 即ANB+BAE=180 选取（），如图证明： AB=AC B=1/ 2 （180 -BAC）BAC+DAE=180 DAE=180 -BAC B=1/ 2 DAE AB=kAE ，AC=kAD AE=AD 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 7 页，共 25 页 - - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载AM 是ADE 的中线， AB=AC EAM=1 /2 DAE B=EAM ANB+B+BAM=180 ANB+EAM+BAM=180 即ANB+BAE=180 点评：本题主要考查的是相似三角形的判定与性质，三角形5.如图，已知一个三角形纸片ABC， BC边的长为 8， BC 边上的高为 6 ，B和C 都为锐角， M 为 AB 一动点（点 M 与点 AB、不重合） ， 过点 M 作 MNBC，交 AC 于点 N ，在AMN中，设 MN 的长为x， MN 上的高为 h（1）请你用含x的代数式表示 h（2）将AMN沿 MN 折叠，使AMN落在四边形 BCNM 所在平面，设点 A落在平面的点为1A，1A MN与四边形 BCNM 重叠部分的面积为y， 当x为何值时，y最大，最大值为多少？【答案】解：（1）MNBCAMNABC68hx34xh（2）1AMNA MN1A MN的边 MN 上的高为 h，当点1A落在四边形 BCNM 内或 BC 边上时，1A MNyS=211332248MN hxxx（04x）当1A落在四边形 BCNM 外时，如下图(48)x，设1A EF的边 EF 上的高为1h，精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 8 页，共 25 页 - - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载则132662hhx11EFMNA EFA MN11A MNABCA EFABC1216A EFShSABC168242ABCS2236322 41 22 462EFxSxx1 A1122233912241224828A MNA EFySSxxxxx所以291224(48)8yxxx综上所述：当 04x时，238yx，取4x，6y最大当 48x时，2912248yxx，取163x，8y最大86当163x时，y最大，8y最大6. 已知正方形 ABCD 中，E为对角线 BD上一点，过 E点作 EF BD交 BC于 F，连接 DF ，G为 DF中点，连接 EG ，CG （1）求证： EG =CG ；M N C B E F A A1 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 9 页，共 25 页 - - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载（2）将图中BEF绕B点逆时针旋转 45o，如图所示，取DF中点G，连接 EG ，CG 问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由（3）将图中 BEF绕 B 点旋转任意角度，如图所示，再连接相应的线段，问（ 1）中的结论是否仍然成立？通过观察你还能得出什么结论？解：（1） 证明： 在 RtFCD 中， G 为 DF 的中点， CG= FD 1分同 理 ， 在Rt DEF中 ，EG= FD 2分CG=EG 3 分 （2）解： （1）证明：在 RtFCD 中，G 为 DF 的中点， CG= FD 同理，在 RtDEF 中， EG= FD CG=EG （2） （1）中结论仍然成立，即EG=CG 证法一：连接 AG，过 G 点作 MNAD 于 M，与 EF 的延长线交于 N 点在DAG 与DCG 中， AD=CD ，ADG= CDG，DG=DG， DAGDCG AG=CG 在DMG 与FNG 中， DGM=FGN，FG=DG ，MDG=NFG， DMGFNG MG=NG 在矩形 AENM 中，AM=EN 在 RtAMG 与 RtENG 中， AM=EN， MG=NG ， AMGENG AG=EG EG=CG 证法二：延长 CG 至 M,使 MG=CG， 连接 MF，ME，EC，在DCG 与FMG 中，FG=DG ，MGF= CGD，MG=CG，DCG FMGMF=CD ，FMGDCGMF CD AB 在 RtMFE 与 RtCBE 中，D F B A C E 图F B A D C E G 图F B A D C E G 图精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 10 页，共 25 页 - - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载 MF=CB，EF=BE ，MFE CBEMECMEF FECCEBCEF90 MEC 为直角三角形 MG = CG ， EG= MC （3） （1）中的结论仍然成立，即 EG=CG 其他的结论还有 :EGCG7如图，抛物线经过(4 0)(1 0)(02)ABC，三点（1）求出抛物线的解析式；（2）P 是抛物线上一动点，过P 作 PMx轴，垂足为 M，是否存在 P 点，使得以 A，P，M 为顶点的三角形与OAC相似？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；【答案】解： （ 1）该抛物线过点(02)C，可设该抛物线的解析式为22yaxbx将(4 0)A，(1 0)B，代入，得1642020abab.，解得1252ab.，此抛物线的解析式为215222yxx精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 11 页，共 25 页 - - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载（2）存在如图，设 P 点的横坐标为m，则P点的纵坐标为215222mm，当14m时，4AMm，215222PMmm又90COAPMA，当21AMAOPMOC时，APMACO，即21542222mmm解得1224mm，（舍去） ，(2 1)P，当12AMOCPMOA时，APMCAO，即2152(4)222mmm解得14m，25m（均不合题意，舍去）当14m时，(2 1)P，类似地可求出当4m时，(52)P，当1m时，(314)P，综上所述，符合条件的点P为(2 1)，或(52)，或(314)，8.如图，在 Rt ABC 中，ACB= 090,AC=6,BC=8,点 D 在边 AB 上运动， DE平分 CDB 交边 BC 于点 E，EMBD垂足为 M，ENCD垂足为 N。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 12 页，共 25 页 - - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载（1） 当 AD=CD 时，求证： DEAC；（2） 探究： AD 为何值时， BME 与CNE 相似？（3） 探究： AD 为何值时，四边形MEND 与BDE 的面积相等？（1）证明：ADCDDACDCA2BDCDAC 1分又DE 是BDC 的平分线BDC=2BDEDAC=BDE 2分DEAC 3分（2）解： （）当BMECNE时，得MBENCEBD=DCDE 平分 BDC DEBC，BE=EC.又ACB=90 DEAC. 4 分BEBDBCAB即2211522BDABACBCAD=5 5 分（）当BMEENC时，得EBMCENENBD又ENCD BDCD 即 CD 是ABC斜边上的高 6 分由三角形面积公式得ABCD=ACBCCD=24522185ADACCD 7 分综上，当 AD=5 或185时， BME 与CNE 相似. （3）由角平分线性质易得12MDEDENSSDM MEBDEMENDSS四边形12BD EMDM EM即12DMBD 8 分EM 是 BD 的垂直平分线 . 第 24 题精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 13 页，共 25 页 - - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载EDB=DBE EDB=CDE DBE=CDE又 DCE=BCD CDECBD 9 分CDCEDEBCCDBD 10 分2CDBEBEBCBDBM即4BECDBM45cos4554BMBCDBE 11分由式得2258CDCEBC3943939cos85810BEBMBEB39112102105ADABBM9如图，已知直线128:33lyx与直线2:216lyx相交于点Cll12， 、分别交x轴于 AB、两点矩形 DEFG 的顶点 DE、分别在直线12ll、上，顶点 FG、都在x轴上，且点 G 与点 B重合（1）求ABC的面积；（2）求矩形 DEFG 的边 DE 与 EF 的长；（3）若矩形 DEFG 从原点出发，沿x轴的反方向以每秒1 个单位长度的速度平移，设移动时间为(012)tt秒，矩形 DEFG 与ABC重叠部分的面积为 S，求 S关于 t的函数关系式，并写出相应的t 的取值范围【答案】 （1）解：由28033x，得4xA点坐标为4 0， 由2160 x， 得8xB点坐标为 80， A D B E O C F x y1ly 2l（G）第 24 题精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 14 页，共 25 页 - - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载8412AB由2833216yxyx，解得56xy， C 点的坐标为56， 111263622ABCCSAB y（2）解：点 D 在1l上且2888833DBDxxy，D点坐标为 8 8，又点 E 在2l上且821684EDEEyyxx，E点坐标为4 8，8448OEEF，（3）解法一：当03t时，如图1，矩形 DEFG 与ABC重叠部分为五边形 CHFGR （0t时，为四边形CHFG ） 过 C 作 CMAB 于 M ，则RtRtRGBCMBBGRGBMCM，即36tRG，2RGtRtRtAFHAMC，11236288223ABCBRGAFHSSSStttt即241644333SttA D B E O R F x y1l2lM （图 3）G C A D B E O C F x y1l2lG （图 1）R M A D B E O C F x y1l2lG （图 2）R M 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 15 页，共 25 页 - - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载当83t时，如图 2，为梯形面积， G（8t,0）GR=32838)8(32tt, 3803832838)4(32 421ttts当128t时，如图 3,为三角形面积，4883)12)(328(212tttts10如图，矩形 ABCD 中，3AD厘米， ABa厘米（3a） 动点 MN，同时从 B 点出发，分别沿 BA， BC运动，速度是 1厘米秒过 M 作直线垂直于AB，分别交 AN ， CD 于PQ，当点 N 到达终点 C 时，点M也随之停止运动设运动时间为 t 秒（1）若4a厘米，1t秒，则 PM_厘米；（2）若5a厘米，求时间 t，使PNBPAD，并求出它们的相似比；（3）若在运动过程中，存在某时刻使梯形PMBN 与梯形PQDA的面积相等，求a的取值范围；（4）是否存在这样的矩形：在运动过程中，存在某时刻使梯形PMBN ，梯形PQDA，梯形PQCN的面积都相等？若存在， 求a的值；若不存在，请说明理由【答案】解：（1）34PM，（2）2t，使PNBPAD，相似比为 3: 2（3）PMABCBABAMPABC，AMPABC，PMAMBNAB即()PMatt atPMtaa，(1)3t aQMa当梯形 PMBN 与梯形PQDA的面积相等，即()()22QPAD DQMPBN BM()33 (1)()22t attaatt taa化简得66ata，D Q C P N B M A D Q C P N B M A 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 16 页，共 25 页 - - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载E A D B C N M 3t ，636aa，则636aa ，（4）36a时梯形 PMBN 与梯形PQDA的面积相等梯形PQCN的面积与梯形 PMBN 的面积相等即可，则CNPM()3tatta，把66ata代入，解之得2 3a，所以2 3a所以，存在a，当2 3a时梯形 PMBN 与梯形PQDA的面积、梯形PQCN的面积相等11. 如图，四边形 ABCD 是正方形， ABE是等边三角形， M为对角线 BD （不含 B点）上任意一点，将BM绕点 B逆时针旋转 60得到 BN ，连接 EN 、AM 、CM. 求证： AMB ENB ； 当 M点在何处时， AM CM 的值最小；当 M点在何处时， AM BM CM的值最小，并说明理由； 当 AM BM CM的最小值为13时，求正方形的边长 . 解： ABE 是等边三角形BABE，ABE60 . MBN60MBNABN ABEABN. 即BMANBE. 又MBNB AMBENB（SAS）当 M 点落在 BD 的中点时， AMCM 的值最小连接 CE，当 M 点位于 BD 与 CE 的交点处时，AMBMCM 的值最小理由如下：连接 MN.由知， AMBENB AMEN. MBN60 ，MBNB BMN 是等边三角形 . BMMN. 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 17 页，共 25 页 - - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载AMBMCMENMNCM 根据“ 两点之间线段最短 ” ，得 EN MNCMEC 最短当 M 点位于 BD 与 CE 的交点处时， AMBMCM 的值最小，即等于 EC 的长过 E 点作 EFBC 交 CB 的延长线于 F EBF90 60 30设正方形的边长为x，则 BF3/2x ，EF=x/2 在 RtEFC 中EF2FC2EC2， （x/2）2 +（3/2x+x ）2=（3+1 ）2 解得 x=212如图，已知 ABC 是边长为 6cm 的等边三角形，动点P、Q 同时从 A、B 两点出发，分别沿 AB、BC 匀速运动，其中点P 运动的速度是 1cm/s，点 Q 运动的速度是 2cm/s，当点 Q 到达点 C 时，P、Q 两点都停止运动，设运动时间为t（s） ，解答下列问题：（1）当 t2 时，判断 BPQ 的形状，并说明理由；（2）设 BPQ 的面积为 S（cm2） ，求 S与 t 的函数关系式；（3）作 QR/BA 交 AC 于点 R，连结 PR，当 t 为何值时， APR PRQ？【答案】解：(1) BPQ 是等边三角形 , 当 t=2 时,AP=21=2,BQ=2 2=4,所以BP=AB-AP=6-2=4, 所以 BQ=BP. 又因为 B=600, 所以 BPQ 是等边三角形 . (2) 过 Q作 QE AB,垂足为 E,由 QB=2y,得 QE=2t sin600=3t, 由 AP=t, 得 PB=6-t, 所以 SBPQ=21BP QE=21(6-t)3t= 23t2+33t ；(3)因为 QR BA,所以 QRC= A=600，RQC= B=600，又因为 C=600, 所以 QRC 是等边三角形 , 所以 QR=RC=QC=6-2t. 因为 BE=BQ cos600=212t=t, 所以 EP=AB-AP-BE=6-t-t=6-2t,所以 EP QR,EP=QR, 所以四边形 EPRQ 是平行四边形 , 所以 PR=EQ=3t, 又因为 PEQ=900, 所以 APR= PRQ=900. 因为 APR PRQ, 所以 QPR= A=600, 所以 tan600=PRQR, 即3326tt, 所以 t=56, 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 18 页，共 25 页 - - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载所以当 t=56时, APR PRQ13 在直角梯形 OABC 中， CBOA， COA90o， CB3， OA6， BA3 5 分别以 OA、OC 边所在直线为 x 轴、y 轴建立如图 1 所示的平面直角坐标系（1）求点 B 的坐标；（2）已知 D、E 分别为线段 OC、OB 上的点， OD5，OE2EB，直线 DE 交x轴于点 F求直线 DE 的解析式；（3）点 M 是（2）中直线 DE 上的一个动点，在x 轴上方的平面内是否存在另一个点 N使以 O、D、M、N 为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由A BD E（第 26 题图 1）FCOMNxy精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 19 页，共 25 页 - - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载图 7-2 A D O B C 2 1 M N 图 7-1 A D B M N 1 2 图 7-3 A D O B C 2 1 M N O 14在图 15-1 至图 15-3 中，直线 MN 与线段 AB 相交于点 O，1 = 2 = 45 （1）如图 15-1，若 AO = OB，请写出 AO 与 BD的数量关系和位置关系；（2）将图 15-1 中的 MN 绕点 O 顺时针旋转得到图 15-2，其中 AO = OB求证： AC = BD，AC BD；（3）将图 15-2 中的 OB 拉长为 AO 的 k 倍得到图 15-3，求ACBD的值精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 20 页，共 25 页 - - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载【答案】解： （1）AO = BD，AOBD；（2）证明：如图 4，过点 B 作 BECA 交 DO 于 E， ACO = BEO又AO = OB，AOC = BOE，AOC BOEAC = BE又1 = 45 ，ACO = BEO = 135 DEB = 45 2 = 45 ，BE = BD，EBD = 90 AC = BD 延长 AC 交 DB 的延长线于 F，如图 4BEAC， AFD = 90 ACBD（3）如图 5，过点 B 作 BECA 交 DO 于 E， BEO = ACO又 BOE = AOC ，BOE AOCAOBOACBE又OB = kAO，由 （2） 的方法易得BE = BD kACBD15如图，已知过A（2，4）分别作 x 轴、y 轴的垂线，垂足分别为M 、N，若点 P从 O点出发，沿 OM 作匀速运动， 1 分钟可到达 M点，点 Q从 M点出发，沿 MA作匀速运动， 1 分钟可到达 A点。（1）经过多少时间，线段PQ的长度为 2？（2）写出线段 PQ长度的平方 y 与时间 t 之间的函数关系式和t 的取值范围；（3）在 P、Q运动过程中，是否可能出现PQ MN ？若有可能，求出此时间t ；若不可能，请说明理由；（4）是否存在时间t ，使 P、Q 、M构成的三角形与 MON 相似？若存在，求出此时间 t ；若不可能，请说明理由； Y N A Q 图 4 A D O B C 2 1 M N E F A O B C 1 D 2 图 5 M N E 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 21 页，共 25 页 - - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载 O P M X解： A（ 2，4）， OM=2 ，AM=4，点 P 从 O点出发 ， 沿 OM作匀 速运 动， 1 分钟 可到 达 M点， 点 Q从 M点出 发， 沿 MA作匀 速运 动， 1 分钟 可到 达 A 点，点 P 的 速度 度 2， 点 Q速度 的 4，（ 1）设经 过 t 分钟 线段 PQ的 长度 是 2，则 PM=2-2t ， QM=4t，在 Rt PQM中， PQ2=PM2+QM2，即 22= （ 2-2t ）2+（4t ）2，解得 t=0（分 ）或 t=0.4 （ 分）答： 当 t=0 或 t=0.4时， 线段 PQ的长度 为 2；（ 2）由（ 1）可知 ， PM=2-2t ，QM=4t，在 Rt PQM中， PQ2=PM2+QM2， 即 y=（2-2t ）2+（ 4t ）2，整理 得， y=20t2-8t+4 （ 0 t 1）；（ 3）存在 A（2，4）， N（0，4）， M （2，0）， ON=4 ，OM=2 ，当 MON PMQ时 ，OMMP=ONMQ，即2 2- 2t=4 4t，解 得 t=0.5；当 MON QMP时 ，OMMQ=ONMP，即2 4t=精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 22 页，共 25 页 - - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载4 2- 2t，解 得 t=0.2 故当 t=0.5分或 t=0.2分时 P、 Q 、 M构 成的 三 角 形与 MON 相似 16、 （2013?娄底压轴题）如图，在 ABC 中，B=45 ，BC=5，高 AD=4 ，矩形EFPQ的一边 QP 在 BC 边上， E、F 分别在 AB、AC 上，AD 交 EF 于点 H（1）求证：；（2）设 EF=x，当 x 为何值时，矩形EFPQ的面积最大？并求出最大面积；（3）当矩形 EFPQ的面积最大时，该矩形EFPQ以每秒 1 个单位的速度沿射线DA 匀速向上运动（当矩形的边PQ到达 A 点时停止运动），设运动时间为t 秒，矩形 EFPQ与ABC 重叠部分的面积为S，求 S与 t 的函数关系式，并写出t 的取值范围（1）证明：矩形EFPQ，EFBC， AHFADC，EFBC， AEFABC，（2）解： B=45 ， BD=AD=4 ，CD=BCBD=54=1EFBC， AEHABD，EFBC， AFHACD，即，EH=4HF，已知 EF=x，则 EH=xB=45 ，EQ=BQ=BD QD=BDEH=4xS矩形EFPQ=EF?EQ=x?（4x）=x2+4x=（x）2+5，当 x=时，矩形 EFPQ的面积最大，最大面积为5（3）解：由（ 2）可知，当矩形 EFPQ的面积最大时，矩形的长为，宽为精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 23 页，共 25 页 - - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载4 =2在矩形 EFPQ沿射线 AD 的运动过程中：（I）当 0 t 2时，如答图 所示设矩形与 AB、AC 分别交于点 K、N，与 AD 分别交于点 H1，D1此时 DD1=t，H1D1=2，HD1=HDDD1=2t，HH1=H1D1HD1=t，AH1=AHHH1=2t， KNEF，即，得 KN=（2t） S=S梯形KNFE+S矩形EFP1Q1=（KN+EF）?HH1+EF?EQ1= （2t）+ t+（2t）=t2+5；（II）当 2t 4 时，如答图 所示设矩形与 AB、AC 分别交于点 K、N，与 AD 交于点 D2此时 DD2=t，AD2=ADDD2=4t，KNEF，即，得 KN=5tS=SAKN=KN?AD2=（5t） （4t）=t25t+10综上所述， S 与 t 的函数关系式为：精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 24 页，共 25 页 - - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载S=精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 25 页，共 25 页 - - - - - - - - - -