06离散型随机变量的均值.docx

精品学习资源2 3 离散型随机变量的均值与方差2 3 1 离散型随机变量的均值教学目标：学问与技能 ：明白离散型随机变量的 均值或期望的意义，会依据离散型随机变量的分布列求出 均值或期望过程与方法： 懂得公式“ E<a +b） =aE +b” ， 以及“ 如 B<n,p），就 E =np”. 能熟练地应用它们求相应的离散型随机变量的均值或期望； 情感、态度与价值观 ：承前启后，感悟数学与生活的和谐之美,表达数学的文化功能与人文价值；教学重点： 离散型随机变量的 均值或期望的概念教学难点： 依据离散型随机变量的分布列求出 均值或期望授课类型： 新授课课时支配： 4 课时教 具：多媒体、实物投影仪教学过程 ：一、复习引入：1. 随机变量 ：假如随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量随机变量常用希腊字母 、 等表示8jGSC5ZkyQ2. 离散型随机变量 : 对于随机变量可能取的值，可以按肯定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量8jGSC5ZkyQ欢迎下载精品学习资源3. 连续型随机变量 :对于随机变量可能取的值，可以取某一区间内的一切值，这样的变量就叫做连续型随机变量8jGSC5ZkyQ4. 离散型随机变量与连续型随机变量的区分与联系:离散型随机变量与连续型随机变量都是用变量表示随机试验的结果；但是离散型随机变量的结果可以按肯定次序一一列出，而连续性随机变量的结果不行以一一列出 8jGSC5ZkyQ如 是随机变量，ab,a, b 是常数，就 也是随机变量 并且不转变其属性 <离散型、连续型）5. 分布列 : 设离散型随机变量 可能取得值为x1 ， x2 ，, ，x3，, ， 取每一个值 xi <i =1，2，, ）的概率为 Pxi pi ，就称表x1x2,xi,PP1P2,Pi,为随机变量 的概率分布，简称 的分布列6.分布列的两个性质： Pi 0，i 1， 2，, ；P1+P2+,=1Cn7. 离散型随机变量的二项分布 : 在一次随机试验中，某大事可能发生也可能不发生，在n 次独立重复试验中这个大事发生的次数 是一个随机变量假如在一次试验中某大事发生的概率是P，那么在 n 次独立重复试验中这个大事恰好发生k 次的概率是 8jGSC5ZkyQ欢迎下载精品学习资源Pn kk pk qnk ，<k0,1,2, ， n， q1p ）欢迎下载精品学习资源于是得到随机变量 的概率分布如下：01,k,n欢迎下载精品学习资源nPC 0 p0qnC 1 p1qn 1,Ck pk qn k,C n pn q0欢迎下载精品学习资源nnn称这样的随机变量 听从二项分布，记作 B n， p>，其中欢迎下载精品学习资源n， p 为参数，并记C k pk qnk b k； n，p>欢迎下载精品学习资源n8.离散型随机变量的几何分布： 在独立重复试验中，某大事第一次发生时，所作试验的次数 也是一个正整数的离散型随机变量“k ”表示在第 k 次独立重复试验时大事第一次发生. 假如欢迎下载精品学习资源把 k 次试验时大事A 发生记为Ak 、大事 A 不发生记为Ak ，欢迎下载精品学习资源P Ak >=p，P Ak >=qq=1-p> ，那么 8jGSC5ZkyQ欢迎下载精品学习资源PkP A A AAA PA P AP A P A PA qk 1p<k欢迎下载精品学习资源123k1k123k1k0,1,2, ，q1p ）于是得到随机变量 的概率分布如下：123,k,欢迎下载精品学习资源Pppqq2 p,qk 1 p,欢迎下载精品学习资源称这样的随机变量 听从几何分布欢迎下载精品学习资源记作 g k， p>=qk 1 p，其中 k0,1,2, ，q1p 欢迎下载精品学习资源二、讲解新课：45678910P0.020.040.060.090.280.290.22依据已知随机变量的分布列，我们可以便利的得出随机变量的某些制定的概率，但分布列的用途远不止于此，例如：已知某射手射击所得环数 的分布列如下 8jGSC5ZkyQ在 n 次射击之前，可以依据这个分布列估量n 次射击的平均环数 这就是我们今日要学习的 离散 型随机变量的 均值或期望8jGSC5ZkyQ依据射手射击所得环数 的分布列，我们可以估量，在 n 次射击中，估量大约有欢迎下载精品学习资源P4nP5n0.02n0.04n次得 4 环； 次得 5 环；欢迎下载精品学习资源,欢迎下载精品学习资源P10n0.22n次得 10 环欢迎下载精品学习资源故在 n 次射击的总环数大约为欢迎下载精品学习资源40.02n50.04n100.22n欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源40.0250.04100.22n ，欢迎下载精品学习资源从而，估量 n 次射击的平均环数约为欢迎下载精品学习资源40.0250.04100.228.32 欢迎下载精品学习资源这是一个由射手射击所得环数的分布列得到的，只与射击环数的可能取值及其相应的概率有关的常数，它反映了射手射击的平均水平 8jGSC5ZkyQ对于任一射手，如已知其射击所得环数的分布列，即已知各欢迎下载精品学习资源个Pi <i =0， 1，2，, ， 10），我们可以同样估量他任意n 次射欢迎下载精品学习资源击的平均环数 : 8jGSC5ZkyQ欢迎下载精品学习资源0P01P1,10P10 欢迎下载精品学习资源1. 均值或数学期望 : 一般地，如离散型随机变量 的概率分布为x1x2,xn,Pp1p2,pn,欢迎下载精品学习资源就称 Ex1 p1x2 p2,xn pn,为 的均值或数学期望 ，简称期欢迎下载精品学习资源望2. 均值或数学期望是离散型随机变量的一个特点数 ，它反映了离散型随机变量取值的平均水平欢迎下载精品学习资源3. 平均数、均值:一般地，在有限取值离散型随机变量的概率欢迎下载精品学习资源分 布 中 ， 令 p1p2,pn ， 就 有 p1p2,p1，nn欢迎下载精品学习资源Ex1x2,xn 1 ，所以 的数学期望又称为 平均数 、 均值n欢迎下载精品学习资源8jGSC5ZkyQ4. 均值或期望的一个性质 : 如ab a、b 是常数 >，是随机欢迎下载精品学习资源变量，就 也是随机变量，它们的分布列为x1x2,xn,欢迎下载精品学习资源ax1bax2b,axnb,欢迎下载精品学习资源Pp1p2,pn,欢迎下载精品学习资源于是 Eax1b p1ax2b p2,axnb pn,欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源 a x1 p1x2 p2,xn pn,>b p1p2,pn,>欢迎下载精品学习资源 aEb ，欢迎下载精品学习资源由此，我们得到了期望的一个性质 :E abaEb欢迎下载精品学习资源5. 如 B<n,p），就 E=np证明如下：欢迎下载精品学习资源PkCk pk 1p n kCk pkqn k ，欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源nnE0×C 0 p0 qn 1× C 1 p1 qn1 2× C 2 p2 qn2 , k× Ckpk qn k欢迎下载精品学习资源nnnnn，, n× C n pnq0 欢迎下载精品学习资源n又kC kn.kk. nk.n nk1. n11.k1.nC k 1欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源n1Enp 00 n1Cp qn 111nCp qn 12 ,k 1kCpn 11q n 1 k 1 ,欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源Cpn 1nn 11q0 np pqn 1np 欢迎下载精品学习资源故如 B n， p>，就 Enp三、讲解范例：欢迎下载精品学习资源例 1. 篮球运动员在竞赛中每次罚球命中得1 分，罚不中得 0分，已知他命中的概率为 0.7，求他罚球一次得分的期望 8jGSC5ZkyQ欢迎下载精品学习资源解：由于 P10.7, P00.3 ，欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源所以 E10.700.30.7欢迎下载精品学习资源例 2. 一次单元测验由 20 个挑选题构成，每个挑选题有 4 个选项，其中有且仅有一个选项是正确答案，每题挑选正确答案得5分，不作出挑选或选错不得分，满分100 分 同学甲选对任一题的概率为 0.9，同学乙就在测验中对每题都从 4 个挑选中随机地挑选一个，求同学甲和乙在这次英语单元测验中的成果的期望8jGSC5ZkyQ解：设同学甲和乙在这次英语测验中正确答案的挑选题个数分欢迎下载精品学习资源别是 ,，就 B<20,0.9）, B20,0.25 ,欢迎下载精品学习资源E200.918, E200.255欢迎下载精品学习资源由于答对每题得 5 分，同学甲和乙在这次英语测验中的成果分别是 5和 5所以，他们在测验中的成果的期望分别是：8jGSC5ZkyQ欢迎下载精品学习资源E5 5E51890, E5 5 E 5525欢迎下载精品学习资源例 3. 依据气象预报，某地区近期有小洪水的概率为0.25,有大洪水的概率为 0. 01该地区某工地上有一台大型设备，遇到大洪水时要缺失 60 000 元，遇到小洪水时要缺失 10000 元为爱护设备，有以下 3 种方案： 8jGSC5ZkyQ方案 1：运走设备，搬运费为3 800 元方案 2：建爱护围墙，建设费为2 000 元但围墙只能防小洪水欢迎下载精品学习资源方案 3：不实行措施，期望不发生洪水 试比较哪一种方案好解：用 X 1 、X 2 和 X 3 分别表示三种方案的缺失采纳第 1 种方案，无论有无洪水，都缺失3 800 元，即X 1 = 3 800 .采纳第 2 种方案，遇到大洪水时，缺失2 000 + 60 000=62 000元；没有大洪水时，缺失 2 000 元，即 8jGSC5ZkyQ欢迎下载精品学习资源X2 =62000 ，有大洪水；2000, 无大洪水 .欢迎下载精品学习资源同样，采纳第 3 种方案，有60000 ，有大洪水； X3 = 10000, 有小洪水；0, 无洪水 .于是，EX 13 800 ,EX 2 62 000× P X 2 = 62 000 > + 2 00000× P X 2 = 2 000 >8jGSC5ZkyQ= 62000× 0. 01 + 2000×1-0.01> = 2 600 ,EX 3 = 60000×P X 3 = 60000> + 10 000 ×PX3 =10 000 > + 0 ×PX 3 =0> 8jGSC5ZkyQ= 60 000×0.01 + 10000× 0.25=3100 .实行方案 2 的平均缺失最小，所以可以挑选方案2 .值得留意的是，上述结论是通过比较“平均缺失”而得出的一般地，我们可以这样来懂得“平均缺失”：假设问题中的气欢迎下载精品学习资源象情形多次发生，那么采纳方案2 将会使缺失减到最小由于洪水是否发生以及洪水发生的大小都是随机的，所以对于个别的一次决 策，采纳方案 2 也不肯定是最好的 8jGSC5ZkyQ例 4.随机抛掷一枚骰子，求所得骰子点数的期望欢迎下载精品学习资源解： Pi1/ 6, i1,2,6 ，欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源E11 / 621 / 661 / 6 =3.5欢迎下载精品学习资源例 5.有一批数量很大的产品，其次品率是15%，对这批产品进行抽查，每次抽取 1 件，假如抽出次品，就抽查终止，否就连续抽查，直到抽出次品为止，但抽查次数不超过10 次求抽查次数 的期望<结果保留三个有效数字）8jGSC5ZkyQ解：抽查次数取 110 的整数，从这批数量很大的产品中抽出 1 件检查的试验可以认为是彼此独立的，取出次品的概率是0.15，取出正品的概率是0.85，前 k1 次取出正品而第 k 次< k =1，2， ， 10）取出次品的概率： 8jGSC5ZkyQ欢迎下载精品学习资源Pk0.85k 10.15 < k =1， 2，10）欢迎下载精品学习资源需 要 抽 查 10 次 即 前 9次 取 出 的 都 是 正 品 的 概 率 ：P100.859 由此可得的概率分布如下：12345678910P0.150.12750.10840.0920.07830.06660.05660.04810.04090.2316依据以上的概率分布，可得的期望欢迎下载精品学习资源E10.1520.1275100.23165.35欢迎下载精品学习资源例 6.随机的抛掷一个骰子，求所得骰子的点数的数学期望 解：抛掷骰子所得点数 的概率分布为欢迎下载精品学习资源所以E1×123456111111666666P1 2×1 3×1 4×1 5× 1 6× 1欢迎下载精品学习资源666666欢迎下载精品学习资源 1 234 5 6>×1 3. 56欢迎下载精品学习资源抛掷骰子所得点数 的数学期望，就是 的全部可能取值的平均值例 7.某城市出租汽车的起步价为10 元，行驶路程不超出4km 时租车费为 10 元，如行驶路程超出4km，就按每超出lkm 加收 2 元计费 超出不足 lkm 的部分按 lkm 计>从这个城市的民航机场到某宾馆的路程为15km某司机常常驾车在机场与此宾馆之间接送旅客，由于行车路线的不同以及途中停车时间要转换成行车路程 这个城市规定，每停车5 分钟按 lkm 路程计费 >，这个司机一次接送旅客的行车路程是一个随机变量设他所收租车费为8jGSC5ZkyQ >求租车费 关于行车路程 的关系式； >如随机变量 的分布列为15161718P0.10.50.30.1求所收租车费 的数学期望 >已知某旅客实付租车费38 元，而出租汽车实际行驶了15km，问出租车在途中因故停车累计最多几分钟.8jGSC5ZkyQ解： >依题意得=2 -4> 十 10，即=2+2；欢迎下载精品学习资源 > E150.1160.5170.3180.116.4欢迎下载精品学习资源 =2+2E2E+2=34.8 <元）故所收租车费 的数学期望为 34. 8 元 >由 38=2+2，得 =18， 5 18-15>=15所以出租车在途中因故停车累计最多15 分钟四、课堂练习 ：1. 口袋中有 5 只球，编号为 1， 2， 3，4， 5，从中任取 3 球， 以 表示取出球的最大号码，就 E<） 8jGSC5ZkyQA4；B5；C 4.5；D4.75答案： C2. 篮球运动员在竞赛中每次罚球命中的1 分，罚不中得0分已知某运动员罚球命中的概率为0.7 ，求他罚球 1 次的得分 的数学期望；他罚球 2 次的得分 的数学期望；他罚球 3 次的得分 的数学期望欢迎下载精品学习资源解：由于 P10.7 ， P00.3 ，所以欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源E1× P1 0× P00.7欢迎下载精品学习资源 的概率分布为C012欢迎下载精品学习资源P0.3210.70.30.72欢迎下载精品学习资源2所以E0× 0.09 1× 0.42 2× 0.98 1.4 的概率分布为欢迎下载精品学习资源CC23欢迎下载精品学习资源P0.3310.70.3220.720.30.73欢迎下载精品学习资源33所以E0× 0.027 1× 0.189 2× 0.98 2.1.3 设有 m 升水，其中含有大肠杆菌 n 个今取水 1 升进行化验，设其中含有大肠杆菌的个数为，求 的数学期望 8jGSC5ZkyQ欢迎下载精品学习资源分析：任取 1 升水，此升水中含一个大肠杆菌的概率是1 ，事m欢迎下载精品学习资源件“ =k”发生，即 n 个大肠杆菌中恰有 k 个在此升水中，由 n 次独立重复试验中大事 A<在此升水中含一个大肠杆菌）恰好发生 k 次的概率运算方法可求出 P =k>, 进而可求 E . 8jGSC5ZkyQ解：记大事 A：“在所取的 1 升水中含一个大肠杆菌”，就PA>= 1 mn P =k>=P k>=Ck1 >k1 1 >nk<k=0,1,2, ,., n）n mm欢迎下载精品学习资源 B n,1 >，故 E = n×m1 = n mm欢迎下载精品学习资源五、小结 ：1> 离散型随机变量的期望，反映了随机变量取值的平均水平；2> 求离散型随机变量 的期望的基本步骤：懂得 的意义，写出可能取的全部值；求取各个值的概率，写出分布列；依据 分布列，由期望的定义求出E 公式 E<a+b）= aE +b，以及听从二项分布的随机变量的期望 E =np 8jGSC5ZkyQ六、课后作业 ：P64-65 练习 1,2,3,4 P69 A组 1,2,31. 一袋子里装有大小相同的 3 个红球和两个黄球，从中同时取出 2 个，就其中含红球个数的数学期望是<用数字作答）8jGSC5ZkyQ欢迎下载精品学习资源解：令取取黄球个数=0 、1、2>就 的要布列为012p33110510欢迎下载精品学习资源于是 E<）=0×3 +1×103 +2×51 =0.810欢迎下载精品学习资源故知红球个数的数学期望为 1.22. 袋中有 4 个黑球、 3 个白球、 2 个红球，从中任取 2 个球，每取到一个黑球记 0 分，每取到一个白球记 1 分，每取到一个红球记2 分，用表示得分数 8jGSC5ZkyQ求 的概率分布列求 的数学期望解：依题意 的取值为 0、1、2、3、4C 21=0 时，取 2 黑p=0>= 4C62911C2=1 时，取 1 黑 1 白p=1>=C4C3 1欢迎下载精品学习资源=2 时，取 2 白或 1 红 1 黑 p=2>=932CC2211C3 +2411欢迎下载精品学习资源C9C936CC111=3 时，取 1 白 1 红，概率 p=3>=32C629CC22=4 时，取 2 红，概率 p=4>=21936欢迎下载精品学习资源分 布 列p<2 ） 期 望01234为1111116336636欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源E =0× 1 +1×1 +2× 11 +3×1 +4×1 =14欢迎下载精品学习资源633663693. 学校新进了三台投影仪用于多媒体教学，为保证设备正常工作，欢迎下载精品学习资源事先进行独立试验，已知各设备产生故障的概率分别为p1、p2、p3，求试验中三台投影仪产生故障的数学期望8jGSC5ZkyQ解：设 表示产生故障的仪器数， Ai 表示第 i 台仪器显现故障 <i=1 、2、3）Ai 表示第 i 台仪器不显现故障，就：欢迎下载精品学习资源p=1>=pA1· A2· A3 >+ pA1 ·A2· A3>+ pA1 ·A2 ·A3>欢迎下载精品学习资源=p11 p2> 1 p3>+ p 21 p1> 1 p3>+ p 31 p1> 1 p2>= p 1+ p 2+p32p1p2 2p2p32p3p1+3p1p2p3欢迎下载精品学习资源p=2>=pA1· A 2· A >+ pA 1· A2· A3>+ pA1 ·A2·A3>欢迎下载精品学习资源= p 1p2 1 p3>+ p 1 p31 p2>+ p 2p31 p1>= p 1p2+ p 1p3+ p 2p33p1p2p3p=3>=pA1· A 2·A3>= p 1p2p3 E=1× p=1>+2×p=2>+3×p=3>= p1+p2+p3注：要充分运用分类争论的思想，分别求出三台仪器中有一、二、三台发生故障的概率后再求期望4. 一个袋子里装有大小相同的3 个红球和 2 个黄球，从中同时取出 2 个，含红球个数的数学期望是1.2解：从 5 个球中同时取出 2 个球，显现红球的分布列为012欢迎下载精品学习资源C2P20.111CC320.62C30.3欢迎下载精品学习资源CCC222555欢迎下载精品学习资源E00.110.620.31.2欢迎下载精品学习资源5.A 、 B 两个代表队进行乒乓球对抗赛，每队三名队员，A欢迎下载精品学习资源队队员是A1, A2 , A3 ， B 队队员是B1 , B2 , B3 ，按以往多次竞赛的统计，欢迎下载精品学习资源对阵队员之间胜败概率如下： 8jGSC5ZkyQ对阵队员A 队队员胜的概率B 队队员胜的概率21A1 对 B133A2 对 B22 35523A3 对 B355现按表中对阵方式出场，每场胜队得1 分，负队得 0 分，设 A 队， B 队最终所得分分别为，<1）求 ， 的概率分布；<2）求 E， E解： <） ， 的可能取值分别为 3， 2，1， 0欢迎下载精品学习资源P3222355355355355233123132355355355P22238,2712223228,75欢迎下载精品学习资源P12 ,5P0133335525欢迎下载精品学习资源依据题意知3 ，所以P0P3P2P18, P1P75228 ,75欢迎下载精品学习资源<） E32 , P53P032582281203757552522 ；15欢迎下载精品学习资源由于3, 所以 E3E2315七、板书设计 <略） 八、教学反思：1> 离散型随机变量的期望，反映了随机变量取值的平均水平； 2> 求离散型随机变量 的期望的基本步骤：欢迎下载精品学习资源懂得 的意义，写出 可能取的全部值；求 取各个值的概率，写出分布列；依据分布列，由期望的定义求出EaE +b，以及听从二项分布的随机变量的期望公式 E<a +b） =E =np ；8jGSC5ZkyQ申明：全部资料为本人收集整理，仅限个人学习使用，勿做商业用途；欢迎下载